Интегрирование канонических уравнений

ПРИМЕРЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ КАНОНИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ В СЛУЧАЕ ЦИКЛИЧЕСКИХ КООРДИНАТ [c.376]

В чем заключается особенность интегрирования канонических уравнений в случае циклических координат [c.390]

Итак, мы реализовали намеченную в начале этого параграфа программу и определили движение системы, обходя интегрирование канонических уравнений Гамильтона. Правда, при этом нам понадобилось найти полный интеграл уравнения в частных производных. [c.324]

Покажем, что решение задачи интегрирования канонических уравнений сводится к нахождению так называемого полного интеграла уравнения (11.350). [c.356]

ИЛИ находящихся в инволюции, ограничивает общность метода интегрирования канонических уравнений движения, основанного на применении теоремы Пуассона ). [c.368]

Таким образом, теорема Якоби доказана. Интегрирование уравнений движения сведено, следовательно, к нахождению полного интеграла уравнения (4). Наоборот, если бы мы пожелали классическими методами проинтегрировать уравнение Якоби, то нам пришлось бы сначала проинтегрировать канонические уравнения. Можно, сказать, что две задачи анализа интегрирование канонических уравнений и нахождение полного интеграла уравнения (4) — эквивалентны в том смысле, что решение одной задачи влечет за собой и решение другой. [c.476]

Теорема основана на том, что канонические уравнения являются уравнениями характеристик некоторого уравнения с частными производными первого порядка. Она сводит интегрирование канонических уравнений к разысканию полного интеграла этого уравнения. Формулируется эта теорема следующим образом. [c.367]

ИНТЕГРИРОВАНИЕ КАНОНИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ [c.234]

Теорема.—Для интегрирования канонических уравнений достаточно определить к различных интегралов р1, уравнения с частными производными [c.251]

Это действительно так, если считать, что основная задача механики состоит лишь в интегрировании уравнений движения. Но такая ограниченная точка зрения была бы несправедливостью по отношению к далеко идущим исследованиям Гамильтона. Пользоваться непосредственно главной функцией Гамильтона действительно нельзя, и приходится прибегать к методу Якоби, но тем не менее главная функция Гамильтона остается важной и интересной функцией и служит гораздо более глубоким целям, чем простое интегрирование канонических уравнений. Поэтому сравнение tt -функции Гамильтона с S-функцией Якоби заслуживает того, чтобы на нем остановиться. Постигнув все тонкости теории Гамильтона, мы придем к заключению, что в теории Гамильтона два уравнения в частных производных столь же необходимы и естественны, как одно уравнение в теории Якоби. [c.292]

Теорема Якоби позволяет свести интегрирование системы обыкновенных дифференциальных уравнений (1) к нахождению полного интеграла уравнения (7) в частных производных. Вторая задача, конечно, не проще первой, а даже более сложна. Но оказывается, что метод Якоби является весьма эффективным среди существующих методов нахождения точных решений системы (1). Он также является одним из наиболее мощных методов приближенного интегрирования канонических уравнений. [c.359]

В названном мемуаре Остроградский рассматривает вариационную задачу, в которой подынтегральная функция зависит от произвольного числа неизвестных функций и их производных сколь угодно высокого порядка, и доказывает, что задача может быть сведена к интегрированию канонических уравнений Гамильтона, которые можно рассматривать как такую форму, в которую можно преобразовать любые уравнения, возникающие в вариационной задаче. Это преобразование не требует никаких операций, кроме дифференцирования и алгебраических действий. Заслуга такого обобщения задачи динамики принадлежит М. В. Остроградскому. [c.216]

Одним из важных вопросов механики является задача интегрирования уравнений движения, которые составляют вариационный принцип. Разработка теории интегрирования канонических уравнений принадлежит Гамильтону, К. Якоби и Остроградскому. [c.216]

Таким образом задача об интегрировании канонических уравнений была приведена к отысканию главной функции. Рассматривая эту функцию в зависимости от времени и координат q , qzm имеем [c.13]

В трех лекциях (XIX, XX, XXI) Якоби вносит существенные усовершенствования в метод интегрирования канонических уравнений, основанный Гамильтоном на рассмотрении уравнений в частных производных. [c.19]

ИНТЕГРИРОВАНИЕ КАНОНИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ ГАМИЛЬТОНА [c.469]

Действие по Гамильтону и его свойства. Можно по-разному подходить к задаче интегрирования канонических уравнений Гамильтона. В частности, ее можно связать со свойствами некоторого интеграла, взятого вдоль интегральной кривой. [c.469]

Таким образом, задача интегрирования канонических уравнений (1) сводится к отысканию производящей функции 8 Р,д), удовлетворяющей нелинейному уравнению Гамильтона — Якоби [c.10]

Самым простым и эффективным методом точного интегрирования уравнений Г амильтона является метод разделения переменных. Согласно Якоби, задача интегрирования канонических уравнений [c.97]

С точки зрения задачи точного интегрирования канонических уравнений Гамильтона с гамильтонианом (10.1) наибольший [c.240]

Методы интегрирования канонических уравнений [c.517]

Импульс силы 206, 371 Инерционные системы отсчета 274 Интегралы площадей 530 Интеграл энергии 489, 497—498 Интегрирование канонических уравнений 517—530 [c.532]

Остроградский 35, 326, 520, 521 Остроградского метод интегрирования канонических уравнений 520 Отклонение падающих тел от вертикали 275 [c.533]

При таком выборе переменных уравнения движения, когда активные силы потенциальны, записываются в весьма симметричной и компактной форме, называемой канонической это облегчает исследование общих свойств движения и допускает сведение задачи интегрирования канонических уравнений к разысканию полного интеграла некоторого уравнения в частных производных первого порядка (теорема Якоби). Переменные являются независимыми и симметрично входят [c.503]

При численном интегрировании канонических уравнений движения одномерного осциллятора д = дН/др, р = —дН/дд, Н = = д +р )/2 используется дискретная схема Эйлера [c.291]

Во-первых, некоторые решения уравнения (1) можно использовать для интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений динамики. В этом состоит метод Якоби интегрирования канонических уравнений Гамильтона, изложенный в следующем параграфе. [c.224]

Метод Якоби — Гамильтона интегрирования канонических уравнений Гамильтона [c.226]

В 1.13—1.19 были приведены канонические формы уравнений абсолютного и относительного движения задачи п тел. Интегрирование канонических уравнений движения механической схемы с k степенями свободы тесно связано с интегрированием одного уравнения в частных производных, называемого уравнением Гамильтона — Якоби. Оно имеет вид [c.318]

Особое значение для теории интегрирования канонических уравнений динамики, составленных Гамильтоном, имеют интегральные инварианты, указанные Пуанкаре и обобщенные Кар-таном в первой четверти XX века [30]. Интегральные инварианты также объединяют понятия механики дискретных систем и представления механики сплошной среды. [c.7]

Таким образом, задача интегрирования канонических уравнений сводится к отысканию производящей функции S, удовлетворяющей ввиду равенства р = 8/ нелинейному уравнению в частных производных [c.138]

В главе V продолжается изложение аналитической механики— рассматривается механика Гамильтона. Глава содержит оптико-механическую аналогию, канонические уравнения, вторую форму принципа Гамильтона, канонические преобразования, метод интегрирования канонических уравнений, известный под названием метода Гамильтона — Якоби, и ряд других вопросов. [c.7]

Метод интегрирования канонических уравнений, основанный на теореме Гамильтона —Якоби, применяли в решении различных задач многие авторы. Можно указать на [35], [5], [29], [15]. [c.348]

Ита <, показано, что интегрирование канонических уравнений Гамильтоиа можно заменить нахождением полного интеграла уравнения Гам льто а — Якоби. В общем случае обе эти задачи обладают одинаковой трудностью, одна (о ме Отся динамическ1 е задачи, для которых 1 ахожден е П0. 0Г0 интеграла уравнения Гамильтона— Якоби оказывается более простым, чем интегрирование канонических уравнений Гамильтона. [c.158]

Центральное место в книге принадлежит аналитической механике, включающей различные формы уравнений движения, механику неголономных систем, теорию колебаний и устойчивости, классические методы интегрирования канонических уравнений динамики, включающие теорию интегральных инвариантов. В иеголономной механике получили дальнейшее развитие основные представления тензорного исчп-сления. Эти представления перенесены далее в механику сплошной среды. [c.2]

Совершенно аналогичная ситуация возникает и в гамильтоновой форме механики. Мы снова не имеем прямого метода интегрирования канонических уравнений, и наиболее эффективными оказываются координатные преобразования фазового пространства. При этом выясняется, что уравнения Гамнльтопа обладают рядом преимуществ по сравнению [c.225]

Следующим этапом является установление общих законов подобных преобразований. Так была развита теория канонических преобразований и их инвариантов. Отсюда видно, что существует глубокая внутренняя связь между аналитической динамикой и общей теорией групп преобразований. Впоследствии эта связь была открыта Софусом Ли (1842—1899), и вся теория приняла удивительно стройный и красивый вид в механику вошли новые идеи, характерные для математики конца XIX в. Якоби показал, что существует такое каноническое преобразование, которое приводит исходные уравнения к новым, легко интегрируемым уравнениям. Таким образом, задача прямого интегрирования канонических уравнений заменяется другой математической задачей найти вид соответствующего канонического преобразования. Наконец, остается задача интегрирования канонических уравнений. Оказалось, что интегрирование этих уравнений равносильно интегрированию уравнения в частных производных так называемого уравнения Гамильтона — Якоби. [c.217]

Основное в динамике Гамильтона— Якоби— вариационный принцип, связанный с оптико-механической аналогией, теория интегрирования канонических уравнений Гамильтона и уравнение в частвсых производных Гамильтона — Якоби в связи с касательным преобразованием. Внутренний смысл всей этой математической схемы заключен в ее связи с принципом Гюйгенса, в возможности представлять механическое движение не только в виде перемещения тела (системы точек), но и в виде развертывания касательного преобразования поверхностей равного действия, в глубокой связи траектории луча с некоторой поверхностью (волновой или действия ), выражающей взаимосвязанность корпускулярного и волнового аспектов движения в механике и физике. [c.216]

Гамильтон считал, что главная функция S должна удовлетворять двум уравнениям в частных производных первого порядка (17) и (18). Это обстоятельство уменьшало, видимо, возможности применения метода к частным задачам механики, Якоби показал, что необходимость соблюдения уравнения (18) совершенно излипшя чтобы иметь возможность проинтегрировать уравнения движения по формулам (16), достаточно найти интеграл лишь одного уравнения (17), содержащий надлежаш ее число параметров. Вместе с тем Якоби показал, что этими параметрами могут и не быть начальные значения координат q. Это существенное улучшение результатов Гамильтона имеет особое значение для применения рассматриваемого метода интегрирования канонических уравнений. [c.20]

Покажем, что теорема Нётер тесно связана с традиционными методами интегрирования канонических уравнений и, в частности, с теоремами Пуассона и Лиувилля. Ограничимся сначала случаем О и введем в рассмотрение скобки [c.77]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...