Полная интегрируемость

Требование полной интегрируемости эквивалентно обращению в нуль правой части этого равенства при любых < q, q Г(q). Значения же форм a v([c.328]

Тогда для полной интегрируемости системы (1.12) на основании теоремы Фробениуса необходимо и достаточно, чтобы обращались в нуль все разности вида [c.47]

Любая из скобок Пуассона между любыми двумя интегралами движения равна 0. Этот факт тесно связан со свойством полной интегрируемости нелинейное ур-ние в частных производных (8) распадается на бесконечную систему обыкновенных дифференц. ур-ний. [c.389]

Из теоремы Лиувилля следует, что для полной интегрируемости гамильтоновой системы достаточно знать N интегралов движения. Совокупности всех комплектов /( соответствует семейство инвариантных торов. Торы являются инвариантными, т. к. их положение и форма в фазовом пространстве не меняются со временем. [c.399]

Условия, позволяющие установить полную интегрируемость уравнений кинематических связей, составляют содержание теоремы Фробениуса, которую можно найти в теории систем дифференциальных уравнений Пфаффа. При составлении уравнений движения механических систем с кинематическими связями вопрос об интегрируемости этих связей никакого значения не имеет, поэтому мы на этой теореме останавливаться не будем. [c.130]

При п = 1 и п = 2 имеем интегрируемые задачи Кеплера и Эйлера. В задаче Кеплера дополнительным интегралом является интеграл момента, а задача Эйлера интегрируется разделением переменных (в эллиптических координатах). Задача Кеплера вполне интегрируема и в многомерном евклидовом пространстве [220]. Наиболее интересный с точки зрения релятивистской механики случай пространства Минковского рассмотрен в работе [93]. В литературе, по-видимому, не отмечалась полная интегрируемость многомерной задачи двух центров. [c.48]

Один интеграл всегда существует — это интеграл энергии. Таким образом, для полной интегрируемости уравнений на h достаточно знать еще один независимый интеграл. Перечислим известные случаи интегрируемости. Как уже отмечалось, задача о тяжелом волчке содержит шесть параметров три собственных значения оператора инерции I, l2,h и три координаты центра масс b 2i 3 относительно его собственных осей. [c.89]

О. И. Богоявленский [21] установил полную интегрируемость этой задачи в случае шарового тензора инерции, сведя уравнения вращения к уравнениям задачи Неймана о движении точки по трехмерной сфере с квадратичным потенциалом. Для доказательства воспользуемся тождеством Эйлера [c.95]

Из этого результата можно вывести теорему Якоби о полной интегрируемости задачи о движении точки по поверхности многомерного эллипсоида при отсутствии внешних сил. Действительно, зафиксируем значение переменной положив, например, Л1 = 0. Тогда Л2,..., Л будут криволинейными ортогональными коорди- [c.102]

ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ И ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРЕПЯТСТВИЯ К ПОЛНОЙ ИНТЕГРИРУЕМОСТИ [c.133]

Глава III. Препятствия к полной интегрируемости [c.134]

Глава III. Препятствия к полной интегрируемости соотношения [c.160]

В линейном приближении амплитуды всех волн формально считаются бесконечно малыми, их взаимодействие не учитывается и для них выполняется суперпозиции принцип. Однако любая реальная волна имеет конечную амплитуду, и картина, даваемая линейной теорией, может не соответствовать действительности. Взаимодействие волн учитывается с помощью нелинейных ур-ний, к-рые в сложных случаях можно решить лишь численными лштодами. Часто, однако, в результате упрощений (вапр., рассматривая волну, бегущую лишь в одном направлении) нелинейные ур-ния в П. удаётся свести к нек-рым хорошо изученным канонич. нелинейным ур-ниям, допускающим полную интегрируемость при любых нач. условиях. Напр., разл. волны со слабой дисперсией хорошо описываются Кортевегл — де Фриса уравнением (КдФ) [c.599]

Петвиашвили уравнения, а также квоидальные волны, Напр., солитоны, описываемые ур-нием КдФ, в при- ближении длинных волн ведут себя подобно идеаль- 3 ному одноатомному газу. Решения квазичаплыгинских ур-ний в многомерном случае могут быть автомодель- ного типа V r t (см. Автомодельность), а в одномерном нестационарном или в двумерном стационарном случаях исходные нелинейные ур-ния могут быть сведены к двум линейным ур-ниям для обратных ф-ций, и более того — к простому ур-нию Лапласа Дф(г,ф,2) — О в своеобразном трёхмерном фазовом пространстве, что и показывает возможность их полной интегрируемости при любых нач. условиях. [c.599]

Важно отметить также, предваряя решение задачи, что при постановке задачи о выборе оптимального управления Ло(ж, ) нигде не предполагается выполнение условия измеряемости переменных состояния x t), x t) в любой момент времени (как, впрочем, и переменных у, у, Z, z). Иначе говоря, требуется обеспечение полной интегрируемости системы и определение на этой основе состояния объекта в любой момент времени t, t G [to, ti]. [c.199]

Проблема точного интегрирования уравнений динамики — одна из самых популярных тем исследования, начиная со знаменитых Математических начал натуральной философии Ньютона. Руководящей идеей в этом круге вопросов является общая идея симметрии. При решении задачи о центральном движении Ньютон уже использовал соображения симметрии факторизуя орбиты группы вращений, он свел эту задачу к изучению движения по прямой в потенциальном поле. Впоследствии Лагранж и Якоби заметили, что классические интегралы задачи многих гравитирующих тел связаны с инвариантностью уравнений движения относительно группы преобразований Галилея. Это фундаментальное наблюдение обобщено Эмми Нётер каждой группе преобразований, сохраняющих действие по Гамильтону, отвечает интеграл уравнений движения. Верно и обратное фазовый поток уравнений Гамильтона, в которых гамильтонианом служит известный интеграл, переводит решения исходных уравнений движения в решения тех же уравнений. На этой идее основано доказательство известной теоремы Лиувилля о полной интегрируемости уравнений Гамильтона фазовые потоки инволютивных интегралов попарно коммутируют и порождают абелеву группу симметрий максимально возможной размерности на многообразиях их совместных уровней. [c.6]

Плодотворная постановка задачи об интегрируемости уравнений Г амильтона и первые нетривиальные результаты в этом направлении принадлежат Анри Пуанкаре. В работе О проблеме трех тел и об уравнениях динамики (1890 г.) он исследовал задачу о полной интегрируемости основной проблемы динамики . Речь идет о гамильтоновых системах, возникающих в теории возмущений функция Гамильтона разлагается в ряд по степеням малого параметра Н = Но + еН - - , причем гамильтони- [c.16]

Полную интегрируемость системы с потенциалом а/ z для всех п установил Калоджеро. Затем Мозер [222] нашел интегрируемые случаи, когда f — а/ sin z и f = а/ sh z. Применяя технику Мозера, Калоджеро обобщил эти результаты, доказав интегрируемость системы взаимодействующих частиц с потенциалом в виде р-функции Вейерштрасса [185]. Потенциалы a/z , а/s z и а/ sh . 2 являются, как известно, вырожденными случаями р-функции. [c.51]

Ат, т) -I- 2 Вт,р) -Ь [Ср,р), всегда имеют три интеграла Fj = = Н, F2 = т,р), F3 = р,р). Задача об их полной интегрируемости сводится к вопросу о наличии четвертого интеграла, независимого с функциями Fj, F2 и F3. Перечислим известные интегрируемые случаи, считая матрицы А, В, С диагональными А = = diag(ai, й2, аз), В = diag(6i, 62,63), С = diag( i, сг, сз). [c.91]

Гамильтониан задачи Якоби дается формулой (7.9), в которой надо положить Л1 = О, /Х1 = 0. Разделение переменных Л2,..., А , /Х2, - , Мп осуществляется по указанной выше схеме. Отметим, что для двумерного эллипсоида гамильтониан принимает вид (7.5) при п = 3 получаем лиувиллеву гамильтонову систему. Если зафиксировать значение одной из переменных Л2,..., Л , то тем же методом получим полную интегрируемость задачи о геодезических на многомерных гиперболоидах всех возможных типов. Результаты качественного анализа (основанного на формулах Якоби) поведения геодезических на поверхности двумерного эллипсоида можно найти в [И]. Якоби показал, что задача о движении по [c.102]

Глава III. Препятствия к полной интегрируемости импульсам. Запишем его в явном виде Гп= Л,/( ь 2)Р1Р2- [c.140]

Еще один подход к изучению топологических препятствий к полной интегрируемости гамильтоновых систем предложен А. Т. Фоменко [165, 166а]. Он связывает факт наличия дополнительного гладкого интеграла общего положения с топологией поверхности уровня интеграла энергии и количеством устойчивых замкнутых траекторий. [c.148]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...