О других уравнениях динамики

Ч 2. О ДРУГИХ УРАВНЕНИЯХ ДИНАМИКИ [c.36]

Вариационное исчисление и граничные условия. Задача об упругом стержне Во всех наших предыдущих рассуждениях мы интересовались в основном дифференциальными уравнениями, которые получались как решение задачи о стационарном значении заданного определенного интеграла. Вывод этих уравнений при помощи интегрирования по частям показывает, что вариация определенного интеграла состоит из двух частей из интеграла,распространенного на данный интервал, и граничного члена. Мы не рассматривали до сих пор этот член, так как задача решалась при граничных условиях, обращавших его в нуль. Однако имеются случаи, когда граничный член играет более активную роль. Ниже, при изучении работ Гамильтона по решению дифференциальных уравнений динамики при помощи уравнения в частных производных, мы увидим, что в математически более сложных вопросах механики этот ранее отброшенный член окажется существенным. Здесь, однако, мы хотим обсудить другой аспект вопроса о граничном члене, имеющий более непосредственный физический смысл. [c.92]

Эти знаменитые уравнения описывают изменение со временем положения мгновенной угловой скорости вращения П относительно системы координат, связанной с телом. Они решают лишь часть динамической задачи о свободном вращении твердого тела и должны быть дополнены описанием движения системы координат, связанной с телом относительно системы неподвижных осей. Эта задача, как и ряд других задач динамики твердого тела, выходит за рамки данной книги, посвященной основным принципам механики и обращающейся к приложениям лишь для иллюстрации применения этих основных принципов. Для дальнейшего изучения этой темы читатель отсылается к учебникам, указанным в библиографии. [c.130]

Теорема живых сил. Прежде чем выводить другие следствия из общего уравнения динамики, удобно установить здесь еще одну о ц ую теорему о движении системы, формулировка которой не зависит от подразделения сил на внешние и внутренние или активные и реакции связей. [c.278]

В томе 121 этого журнала нами была опубликована статья Об одной общей форме уравнений динамики мы просим разрешения представить две дополнительные заметки, относящиеся к теме этой статьи, одну — математического характера, другую — библиографического, — о принципе наименьшего принуждения Гаусса. [c.568]

Вопрос об определении места вариационных принципов механики в системе физических знаний заключается, конечно, в первую очередь в форме выражения этого принципа. Однако указанный вопрос не исчерпывается этой формой. Обычное толкование принципа наименьшего действия состоит в том, что его широкое применение в физике основано на удобной форме. Ряд авторов стоит на той точке зрения, что содержание принципа Гамильтона тождественно с содержанием основных уравнений динамики. Так, например, Кирхгоф говорит Принцип Гамильтона, д алам-беровы и лагранжевы дифференциальные уравнения поэтому совершенно равнозначны ). Такая точка зрения господствует в научной литературе XIX в. Тем не менее, отождествление содержания принципа Гамильтона и уравнений динамики представляет собой положение недостаточно обоснованное., Методологической основой этой концепции является непонимание соотношения между формой и содержанием вообще. Тот факт, что как в механике, так и вне ее принцип Гамильтона применяется в одной и той же форме, еще недостаточен для того, чтобы сделать вывод о том, что содержание этого принципа в том и другом случае одно и то же. Принцип Гамильтона выражает некоторое свойство неорганической природы, общее ряду форм движения, и постольку он применим к механическому движению как частному случаю. [c.864]

Эта задача, подобно другим, может быть решена с помощью удачно найденной комбинации общих теорем и уравнений. Применим теорему об изменении главного момента количеств движения материальной системы относительно оси г и уравнения динамики относительного движения в проекции на ось х. [c.561]

Для того чтобы выполнить анализ линейной системы автоматического управления или другой динамической системы по временным характеристикам, необходимо решить уравнение (16) динамики САУ. В теории автоматического управления для решения уравнений динамики используется операторный метод на основе преобразования Лапласа. Если f (/) = О при / < О, то ее преобразование по Лапласу [c.67]

Применяя принцип Даламбера, следует иметь в виду, что он, как и основной закон динамики, относится к движению, рассматриваемому по отношению к инерциальной системе отсчета. При этом на точки механической системы, движение которой изучается, действуют только внешние и внутренние силы и f, возникающие в результате взаимодействия точек системы друг с другом и с телами, не входящими в систему под действием этих сил точки системы и движутся с соответствующими ускорениями Wu- Силы же инерции, о которых говорится в принципе Даламбера, на движущиеся точки не действуют (иначе, согласно уравнениям (97), эти точки находились бы в покое или двигались без ускорений и тогда, как видно из равенства (96), не было бы и самих сил инерции). Введение сил инерции— это лишь прием, позволяющий составлять уравнения динамики с помощью более простых методов статики, [c.427]

Использ) я волновую теорию света, Гамильтон получил возможность написать уравнения динамики в форме, зависящей лишь от одной функции Я. Дальнейшим развитием теории распространения света занимались Коши, Кирхгоф, Максвелл, Гельмгольц и другие физики. Коши поставил задачу о дальнейшем развитии оптико-механической аналогии. В рамках аналитической механики этой задачей занимался немецкий математик Феликс Клейн (1849—1925). Развитие аналогии следует искать в области колебательных движений, поскольку свет представляет собой некоторый колебательный процесс. Аналогией между математической теорией света Коши и устойчивыми движениями голономной консервативной системы занимался Н. Г. Четаев (1902—1959), но рассмотрение этих вопросов выходит за рамки нашего курса. [c.517]

Теорема Пуанкаре о несуществовании аналитических интегралов была доказана впервые в знаменитом мемуаре О проблеме трех тел и об уравнениях динамики [13] с использованием невырожденных периодических решений. Другое доказательство неинтегрируемости, данное в пятой главе Новых методов небесной механики [1], отличается от первого, как замечает сам Пуанкаре, только формой. В том и другом случае используется по существу тот факт, что резонансные торы общего положения невозмущенной задачи распадаются при возмущении. [c.36]

Возможности обоих вариантов предложенной разностной схемы проверялись на большом числе примеров. Рассматривались линейное и нелинейное уравнения переноса, в которых а и Ь - скаляры К = 1), равные, соответственно, а = Ь = ииа = и, Ь = и /2, а = О, и уравнения одномерной газовой динамики с а, Ь и Г из (2.2). Результаты приведены на рис. 1-7, где сплошные кривые - точные решения, а другие кривые или точки получены для тех же 1 по С1, С2 и СЗ при одинаковых к и фиксированных (в пределах каждого рисунка) е. Шаги интегрирования Ti выбирались по г и /г согласно (3.3) и соображениям, изложенным в конце п. 3. Везде, кроме рис. 7, результаты, полученные по СЗ, с точностью до их графического представления не отличаются от полученных по СЗА. На рис. 2-7 разбиения по осям координат относятся к кривым, полученным по С1. [c.193]

Наконец, Ляпуновым и другими был рассмотрен еще один вид устойчивости — односторонняя устойчивость , при которой малые отклонения остаются малыми при i > О и, вообще говоря, стремятся к нулю с безграничным увеличением i Легко показать, что если все тп множителей имеют отрицательные вещественные части, то мы будем иметь этот вид устойчивости. С другой стороны, для этой устойчивости необходимо, чтобы ни один из множителей не имел положительной вещественной части. В случае уравнений динамики, однако, вещественные части всех множителей не могут быть одновременно отрицательными, потому что каждому множителю A соответствует множитель —Aj. Таким образом, односторонняя устойчивость для уравнений динамики возможна только в том случае, когда все множители будут чисто мнимые числа. В этом же случае из односторонней устойчивости какой-нибудь системы следует перманентная устойчивость. [c.131]

Как было показано в предыдущей главе, основное уравнение динамики (17.1) может описывать разнообразные задачи, не связанные с расчетом конструкций. В задаче о собственных значениях матрицы массы и жесткости могут иметь другой физический смысл. [c.385]

Приведенная масса. Ранее ( 13) рассматривались уравнения динамики системы материальных точек. При этом указывалось, что решение их встречает для многих точек непреодолимые математические трудности. Действительно, точного решения системы уравнений (13.3) для произвольных сил не найдено уже в случае трех материальных точек, поэтому важна задача о замкнутой системе двух точек, называемая задачей двух тел. Она имеет простое и исчерпывающее решение — сводится к основной задаче динамики одной материальной точки. Решение задачи двух тел используется в небесной механике, описывающей движение планет и их спутников в Солнечной системе, в задачах на столкновение частиц, в статистической физике и других вопросах. [c.142]

Другой характерный класс задач, всегда привлекавший внимание вычислителей, образуют задачи о внутренних течениях. Если исследование таких течений на основе уравнений Эйлера, как правило, не представляет особого труда, то применение уравнений динамики вязкого газа иногда может вызвать определенные трудности, преодоление которых также может стать критерием эффективности применяемых численных алгоритмов. [c.163]

Преобразования базисных векторов. Для того чтобы найти положение стержня в пространстве для деформированного состояния, например вектора и (рис. П.З), и положение базиса, связанного с осевой линией стержня е , необходимо предварительно выбрать систему отсчета, например систему координат л,. Однако, при исследовании статики и динамики упругих элементов под действием нагрузок часто более удобными являются координаты, связанные определенным образом с самим упругим элементом, например координаты, определяемые базисом е,о) на рис. П.З. При решении уравнений равновесия стержней (или уравнений движения, когда рассматривается динамика) возникает необходимость перехода от одной системы координат к другой, что требует знания основных операций преобразования базисных векторов. [c.294]

Введение понятия о рычаге Жуковского дает возможности заменить решение задачи о равновесии сил, действующих на движущиеся звенья механизма или машины, решением задачи о равновесии сил, приложенных к рычагу Жуковского в статическом его состоянии. Другими словами, метод Жуковского дает возможность решать сложные задачи динамики с помощью уравнений равновесия статики. Этот метод используется в инженерных расчетах для определения уравновешивающей силы и сил давления звеньев кинематических пар и является более простым по сравнению с другими методами. [c.135]

Закон площадей [или свойство, относящееся к вращению, которое было выражено уравнениями в частных производных (Р)], также всегда может быть выражен в относительных координатах он поможет нам раскрыть форму характеристической функции V,, показав, что эта функция включает только такие внутренние координаты (числом бл — 9), которые не меняются при любом общем вращении всех конечных и начальных точек вокруг центра тяжести или вокруг любого другого внутреннего начала, при условии, что при определении эффектов такого вращения это начало рассматривается как неподвижное, а величина Н, как постоянная. Таким образом, общая задача динамики, касающаяся движений свободной системы п точек, притягивающих или отталкивающих друг друга, сводится в конце концов при использовании метода, изложенного в данной работе, к отысканию и дифференцированию функции V,, зависящей от бл — 9 внутренних или относительных координат [ ] и от величины Н, и удовлетворяющей двум уравнениям в частных производных первого порядка и второй степени. При интегрировании этих уравнений мы должны проследить за тем, чтобы в принятом начале движения, а именно в момент, когда t = О, конечные или переменные координаты были равны их начальным значениям, причем ду, гг [c.199]

При учете упругих свойств звеньев приходится сталкиваться со второй задачей динамики, опирающейся на решение систем дифференциальных уравнений. В этом случае специфика цикловых механизмов проявляется не только в существенно больших возмущениях, но, как правило, и в более сложном характере динамических связей из-за переменности параметров системы, кинематических нелинейностей, содержащихся в функции положения, и в силу других факторов. Соответственно возникают и качественно более сложные динамические эффекты, о которых речь пойдет в дальнейшем. [c.45]

Таким образом, располагая основным уравнением движения плоского механизма с переменной массой в форме моментов (268) или в форме энергий (274), можно решать основные задачи динамики плоских механизмов. Для решения практических задач динамики этих механизмов с переменными массами и доведения их решения до числового результата важнейшим условием является тщательное изучение рабочих процессов, связанных с изменением масс звеньев. Надо устанавливать законы изменения масс звеньев, их моментов инерции, положения центров масс, относительных скоростей движения центров масс по звену, а также скоростей отделения масс от звеньев. Теоретически не всегда можно разрешать эти задачи в аналитической форме и представить интересующие нас законы в виде конечных формул. Ввиду этого можно ожидать, что зависимости, связанные с переменностью масс, будут представлены главным образом в виде графиков и таблиц. Авторы считают, что в установлении необходимых для исследования законов изменения масс звеньев и других зависимостей, связанных с этим изменением, должны сыграть важную роль методы экспериментальной динамики машин. Кроме датчиков, реагирующих на изменение перемещений, скоростей, ускорений, сил, моментов, необходимо разработать и такие, которые могли бы в процессе движения регистрировать изменение масс, моментов инерции, положений центров масс и т. д. Только располагая достоверными сведениями о зависимостях, связанных с изменениями масс звеньев, можно создать модель такого звена с переменной массой и решать задачи динамики подобных механизмов. [c.220]

Преимущество эквивалентной модели в системе координат [d, q. О] заключается во взаимной неподвижности и строго фиксированном положении катушек, токи которых взаимодействуют друг с другом. Благодаря этому индуктивности bhj и их частные производные по углу взаимного расположения катушек dL jlda становятся постоянными. Более того, токи катушек d, q, отображающих трехфазную обмотку а, Ь. с, являются знакопостоянными в отличие от периодических фазных токов, что вносит дополнительные упрощения в процесс решения. Подставляя постоянные коэффициенты L j и dLnjlda в уравнения динамики типа (3.16) и (3.17), получаем уравнения эквивалентной модели в осях d. q. [c.85]

Если мы перейдем к системам с ббльшим числом степеней свободы, то уравнение энергии уже недостаточно, и придется обратиться к другим теоремам динамики. В случае системы, имеющей две степени свободы, в частности, если движение происходит в двух измерениях, добавочное требуемое уравнение в форме, не содержащей неизвестных реакций, иногда может дать теорема о моменте количеств движгния. Мы имели пример решения задачи таким методом в теории центральных сил ( 76, 84). [c.271]

Это значит, что уравнение (7) должно быть однородным, и притом степени м, относительно длин, п., относительно времени, Ид относительно масс иначе говоря, всякое уравнение, выражающее механический закон какого-либо явления, обладает тройной однородностью относительно длин, времен и масс, от которых оно зависит. Совершенно такая же однородность, конечно, имеет место также и относительно любых других трех величин, независимых по своим размерностям, если мы себе представим, что все величины, входящие в рассматриваемый закон, выран ены через эти новые основные величины. Во всяком случае в этом смысле оказывается однородным основное уравнение динамики, равно как и уравнения, выражающие теоремы о живой силе, об импульсе и количестве движения [c.356]

Приведенное мною мнение Остроградского было сообщено отчасти вместе с другими воззрениями профессору Брашману в 1853 г. в письме, которое было напечатано с некоторыми пропусками в первом томе Московского математического сборника в 1866 г. После того появилось в нашей литературе несколько рассуждений о начале наименьшего действия одни утверждали справедливость мнения Остроградского, что начало наименьшего действия в том виде, как его дает Лагранж, не имеет места другие, — что начало верно, но анализ Лагранжа ошибочен наконец, третьи, — что начало верно, что нет никакой ошибки в лагранжевом доказательстве. Присоединяясь к тем, которые утверждают последнее мнение, я постараюсь показать в этой записке источник того недоразумения, которое побудило Остроградского к вышесказанному обвинению Лагранжа в неточности анализа, и подтвердить новыми разъяснениями справедливость заключения, что в начале наименьшего действия (в том смысле, как понимает его Лагранж) в самом деле содержатся все уравнения динамики. [c.393]

Известно, что уравнения динамики и их решения несут большую информацию о двин ении, но только в механическом смысле. Если же нужно использовать информацию о других свойствах движения, то следует модулировать систему динамических уравнений некоторой функцией, содержание которой раскрывает желаемые изменения. В результате применения принципа модуляции и последуюш его осреднения получаем новые обобш енные координаты и их скорости, отражающие не только динамику, но и иной, более глубокий смысл. [c.71]

Ландау и Лифшиц [33, 34] приводят другое доказательства симметрии трансляционного тензора, однако, как можно заметить, существование этого тензора ими не доказывается. Вернее, они предполагают заранее, что сила, действующая на произвольное тело, может быть выражена в виде линейной векторной функции ее скорости. Доказательство симметрии этого тензора проводится на основе сложной цепи рассуждений, базируюш,ихся на соотношениях взаимности Онзагера и термодинамике необратимых процессов. Это остроумное доказательство замечательно в том смысле, что сама жидкость явно в анализе никогда не фигурирует, если не считать того, что ее мгновенное термодинамическое состояние предполагается полностью заданным, когда известны мгновенные положения и скорость частицы. В частности, обычные уравнения динамики жидкости вообпде не привлекаются ). Для проанализированных ими неустановившихся движений допупде-ние о том, что мгновенное термодинамическое состояние системы жидкость — частица единственным образом определяется мгновенным положением и скоростью частицы, равноценно одновременному пренебрежению в уравнениях движения жидкости как конвективными членами, так и членами, связанными с локальным ускорением, и допупдению о несжимаемости жидкости. Поэтому к этим результатам можно относиться как к опосредованному подтверждению соотношений Онзагера ). [c.191]

Центральное место в монографии занимает третья глава, в которой на основе единой кинематической гипотезы, позволяющей учесть поперечные сдвиговые деформации, удовлетворить условиям межслоевого контакта и условиям на граничных поверхностях, из принципа возможных перемещений получены нелинейные тензорные уравнения статики упругих анизотропных слоистых оболочек и сформулированы соответствующие им краевые условия. Указаны предельные переходы к уравнениям классической теории оболочек и ортотропной оболочки, предоставляющим возможность учета эффектов сдвига в одном направлении ортотропии (армирования) и неучета — в другом. Приведены упрощенные уравнения, пригодные для расчета пологих оболочек. Линеаризованные уравнения статической устойчивости слоистых оболочек, основанные на концепции Эйлера о разветвлении форм равновесия, сформулированы в параграфе 3.4, а в параграфе 3.5 из принципа виртуальных работ эластокинетики выведены нелинейные уравнения динамики. Здесь же приведены линеаризованные уравнения динамической устойчивости слоистых оболочек и пластин, обсуждены предельные переходы и упрощения, подобные тем, какие были сделаны в задаче статики. Параграф 3.5 посвящен формулировке неклассических уравнений многослойных оболочек в системе координат, связанной с линиями кривизн поверхности приведения. В этой же системе координат составлены уравнения, описывающие осесимметричную деформацию слоистой ортотропной оболочки вращения. В параграфе 3.7 описаны [c.12]

Несмотря на произвольную зависимость внешнего поля от времени, большую часть свойств П-подпространства можно обоб-пщть также и на этот случай. В частности, здесь существует суб-динамика в следующем смысле если вектор распределения в момент времени fo принадлежит подпространству R ( о), то он во все более поздние моменты времени принадлежит мгновенному подпространству Р t). Уравнение (17.8.6) здесь уже более не справедливо вместо него следует пользоваться другим уравнением, учитывающим зависимость операторов от времени [c.215]

Мы видели, что дифференциальное уравнение (84) относительного движения материальной точки имеет тот же вид, что и дифференциальное уравнение движения точки относительно неподвижной системы отсчета различие между этими уравнениями состоит лишь в том, что в уравнение относительного движения, кроме заданных сил и реакций связей, входят еще переносная и кориолисова силы инерции. С другой стороны, в главе 21 мы видели, что все общие теоремы динамики точки (теорема о количестве движения, теорема о моменте количества движения, теорема о кинетической энергии) являются следствием основного дифференциального уравнения динамики точки, выражающего второй закон Ньютона. Отсюда следует, что все эти обпще теоремы применимы и к относительному движению точки, но понятно, что, применяя эти теоремы к относительному движению, мы должны принять во внимание переносную и кориолисову силы инерции. В частности, при решении задач, относящихся к относительному движению точки, нередко приходится пользоваться теоремой о кинетической энергии. Нри составлении уравнения, выражающего эту теорему в относительном движении, необходимо принять во внимание работу переносной и кориолисовой сил инерции на относительном перемещении точки. Но так как ускорение Кориолиса Н7д всегда перпендикулярно к относительной скорости v , то следовательно, работа кориолисовой силы инерции в относительном движении равна нулю, и эта сила в уравнение теоремы о кинетической энергии не войдет. Поэтому это уравнение в дифференциальной форме будет иметь следующий вид [c.456]

Виртуальное варьирование предполагает использование виртуальных перемещений, определяющих свойства реакций связей. Таким путём применение операций вариационного исчисления при варьировании функционала действие увязывается с физическим смыслом учитываемых ограничений. Вспомогательный характер имеет заметка 7 о дифференцировании функции при неявной зависимости от переменных и о вариационной производной. Способы синхронного, асинхронного варьирования и способ, применённый Гельмгольцем (и его расширение), а также варьирование в скользящих режимах реализации связей рассматриваются в заметке 8. В заметке 9 обсуждается составление уравнений для виртуальных вариаций неголономной связи связи, представляющей огибающую связи, зависящей от двух независимых параметров неравенства для виртуальных перемещений при неудерживающих связях. В одном из пунктов заметки 10 полностью содержится (с нашим примечанием) двухстраничная работа М. В. Остроградского Заметка о равновесии упругой нити , написанная им по поводу одной известной классической ошибки Лагранжа в других пунктах рассматривается использование неопределённых множителей при представлении реакций связей. Некоторое ограничение множества виртуальных перемещений позволило сформулировать обобщение принципа наименьшей кривизны Герца для систем с нестационарными связями (заметка 11). Несвободное движение систем с параметрическими связями (заметка 12) изучается на основе принципа освобождаемости по Четаеву, сформулированному им в задаче о вынужденных движениях составлено общее уравнение несвободных динамических систем, основные уравнения немеханической части которых имеют первый порядок (в отличие от механической части, основные уравнения которой второго порядка), предложено общее уравнение динамики систем со случайными параметрами. Центральное вириальное равенство (заметка 13) выводится с помощью центрального уравнения Лагранжа. [c.13]

Следуя по тому же пути, что и в гл. VOI при изложении вопроса о подобии прн движении несжимаемой вязкой жидкости, составим систему безразмерных уравнений динамики вязкого газа. Ограничимся рассмотрением случая иеподвил<ного тела в безграничном, однородном на бесконечности потоке со скоростью К , плотностью рс ,, давлением / со, температурой Гоо, энтальпией / < , коэффициентом вязкости li величины Ср, с и их отношение ср с = k будем считать повсюду в даином потоке одинаковыми. Обозначим масштаб длин через L и примем в качестве масштабов других величин их значения на бесконечности. Для данного случая стационарного движения без объемных сил уравнения (1), (13), (20), (22), (27) после выделения масштабов примут вид (штрих обозначает безразмерные величины) [c.807]

В самом деле, кинетическое описание допускает решение вида (95). С помощью кинетического уравнения (94) легко устанавливается, что л о, Ро удовлетворяют уравнению (93). Соответственно, это означает, что если координата х равнялась величине хо(0 в момент времени / и величине хо(/ + А ) в момент времени IЧ- А , ее скорость определяется как (хо(г + Аг) — хо(0)/Аг. Другими словами, для измерения скорости требуется дважды измерить координату в момент времени г -ь Аг и в момент времени г. Только будучи уверенным, что повторное измерение не нарушает состояния частицы при первом измерении, можно говорить о существовании скорости и, соответственно, об импульсе ро, который входит в уравнение динамики (93). Разумеется, измерение и взаимодействие частицы с прибором — это объективно протекающие процессы. Поэтому более правильным является утверждение, что уравнения динамики базируются на предположениях о том, что частица находится в постоянной информационной связи с внешним миром, и эта связь не нарушает динамических свойств частицы. Именно эти характеристики уместно связать с объектами макромира. Однако для частиц микромира, как показало открытие квантовой механики, исходные положения об одновременном существова-нии координаты и импульса частицы оказываются неверными. [c.83]

В различных вопросах газовой динамики система (11) может быть 1редставлена в других равносильных формах. Например, можно исключить энтропию 5, заметив, что Dp = fpDp + fsDS. Так как fp = с , то уравнение DS = О равносильно уравнению [c.33]

В данной задаче, помимо различных статистических параметров, Нхмеется дополнительный параметр кд/к, который характеризует влияние краевого условия нри х = О на динамику волны. Случай ка к соответствует нри этом задаче о ирохождении н отражении волны от слоя среды, в то время как значение параметра кд/к оо отвечает наличию зеркальной поверхности при х = 0. Этот предельный случай приводит к краевому условию (0) = О для уравнения (1.1). Другое предельное значение ка к- 0 описывает отражение акустической волны от вакуума, а соответствую-ш ее краевое условие для уравнения (1.1) имеет вид 17 (0) = 0. В иредыдуш ем параграфе подробно рассматривалось условие ка = = к. Очевидно, что нри кд к, кроме естественного усложнения формул, полученных выше, никаких новых эффектов не появится. Рассмотрим теперь предельные случаи кц оо я к 0. [c.212]

В теории механических колебаний балок из композиционных материалов, а также других конструкций можно выделить два основных направления (они обсуждаются в работах [34, 1 ]) метод эффективных модулей и метод эффективных жесткостей. Согласно первому методу композиционный материал в задачах динамики рассматривается как однородный и ортотроппый (свойства такого условного материала соответствуют исходному материалу), а согласно второму — по упругим постоянным волокон и связующего и геометрическим параметрам находят эффективные жесткости . Эти методы приводят к различным уравнениям движения. и граничным условиям. Значение метода эффективных жесткостей заключается в возможности описывать волновую дисперсию, кроме того, он более эффективен в задачах о распространении волн. Проблема распространения волн в композиционных материалах здесь не обсуждается. Отметим только, что она рассмотрена в работах [40, 6, 16, 82]. В задачах динамики конструкций из композиционных материалов метод эффективных жесткостей получил более широкое распространение. Для балок из слоистых композиционных материалов наиболее эффективна разновидность метода, которая изложена в работе [77] и описана ниже.. [c.138]

Другие динамические теории слоистых пластин, основанные на соотношениях теории упругости и развитые применительно к задачам динамики пластин с изотропными слоями, а также к задачам о распространении волн в трехслойных и двухслойных пластинах, представлены в работах Коббла [51], Арменакаса и Кекка [9], Скотта [129]. В заключение отметим работы Джонса [81, 82], в которых на основе уравнений теории упругости получены точные решения задач о свободных колебаниях ортогонально-армированных и несоосно-армированных слоистых пластин. Эти решения интересны, а также могут быть использованы для оценки точности приближенных теорий типа теории Миндлина. [c.197]

Аналитическая форма механики, развитая Эйлером и Ла-гранжем, существенно отличается по своим методам и принципам от механики векторной. Основной закон механики, сформулированный Ньютоном произведение массы на ускорение равно движущей силе ,— непосредственно применим лишь к одной частице. Он был выведен при изучении движения частиц в поле тяготения Земли, а затем применен к движению планет под воздействием Солнца. В обоих случаях движущееся тело могло рассматриваться как материальная точка или частица , т. е. можно было считать массу сосредоточенной в одной точке. Таким образом, задача динамики формулировалась в следующем виде Частица, которая может свободно перемещаться в пространстве, находится под действием заданной силы. Описать движение в любой момент времени . Из закона Ньютона получалось дифференциальное уравнение движения, и решение задачи динамики сводилось к интегрированию этого уравнения Если частица не является свободной, а связана с други ми частицами, как, например, в твердом теле или в жидкости то уравнение Ньютона следует применять осторожно. Не обходимо сначала выделить одну частицу и определить силы которые на нее действуют со стороны остальных, окружа ющих ее частиц. Каждая частица является независимым объектом и подчиняется закону движения свободной частицы Этот анализ сил зачастую является затруднительным Так как природа сил взаимодействия заранее неизвестна приходится вводить дополнительные постулаты. Ньютон полагал, что принцип действие равно противодействию известный как его третий закон движения, будет достаточен для всех проблем динамики. Это, однако, не так. Даже в динамике твердого тела пришлось ввести дополнительное предположение о том, что внутренние силы являются цен- [c.25]

В содержание книги включен не только традиционный материал курсов аналитической механики. Значительное место уделено применению к задачам механики методов качественной теории дифференциальных уравнений, на современном уровне трактуются вопросы о разделимости переменных в уравнении Гамильтона — Якоби, дается рассмотрение эргодических теорем, включая теорему Пуанкаре о возвращении нашло свое место несколько отличное от принятого и приспособленное к задачам динамики изложение теории устойчивости движения, включающее теоремы Ляпунова. В заключительных главах, посвященных ограниченной задаче трех тел и задаче трех тел, автору в небольшом объеме удалось дать хорошее представление о постановках и трудностях этой классической в истории точных наук проблемы. Книга заканчивается теорией периодических орбит. Использование здесь (и в некоторых других местах) простейших понятий и рассужденир теории множеств не может затруднить внимательного читателя. [c.10]

Для того чтобы более ясно показать, что действие или накопленную живую силу системы или, другими словами, интеграл произведения живой силы на элемент времени можно рассматривать как функцию упомянутых выше бл -Ь 1 величин, а именно начальных и конечных координат и величины Я, следует отметить, что все, что зависит от способа и времени движения системы, может рассматриваться как такая функция. В самом деле, закон живой силы в первоначальном виде в сочетании с известными или неизвестными Зп зависимостями между временем, начальными данными и переменными координатами всегда дает известные или неизвестные Зп -р 1 зависимости, связывающие время и начальные компоненты скоростей с начальными и конечными координатами и с Я. Однако благодаря тому, что Лагранж не пришел к представлению о действии как функции такого рода, те следствия, которые были выведены здесь из формулы (А) для изменения этого определенного интеграла, не были замечены ни им, ни другими блестящими аналитиками, занимавшимися вопросами теоретической механики, несмотря на то, что в их распоряжении была формула для вариации этого интеграла, не очень отличающаяся от нашей. Дело в том, что Лагранж и другие, рассматривая движение системы, показали, что вариация этого определенного интеграла исчезает, когда даны крайние координаты и постоянная Я. Они, по-видимому, вывели из этого результата только хорошо известный закон наименьшего действия, а именно 1) если представить точки или тела системы движущимися от данной группы начальных к заданной группе конечных положений не так, как это в действительности происходит, и даже не так, как они могли бы двигаться в соответствии с общими законами динамики, или с дифференциальными уравнениями движения, но так, чтобы не нарушать какие-либо предполагаемые геометрические связи, а также ту единственную динамическую зависимость между скоростями и конфигурациями, которая составляет закон живой силы 2) если, кроме того, это геометрически мыслимое, но динамически невозможное движение заставить отличаться бесконечно мало от действительного способа движения системы между заданными крайними положениями, то варьированное значение определенного интеграла, называемого действием или накопленной живой силой системы, находящейся в представленном таким образом движении, будет отличаться бесконечно мало от действительного значения этого интеграла. Но когда этот закон наименьшего, или, как его лучше было бы назвать, стационарного действия, применяется к определению фактического движения системы, он служит только для того, чтобы по правилам вариацион- [c.180]

Основная теория для консервативных систем в QP. В главах Д II—VI были введены различные пространства изображений для того, чтобы пролить свет на математическую структуру гамильтоновой динамики. Несмотря на разнообразие представлений, все они связаны между собой теорией одного типа, теорией, основанной на допущении уравнения энергии Q (х, у) = О или на гамильтониане Н q, f,p). Из этих пространств пространства QT, QTPH vlQTP лучше других подходят для обсуждения теории наиболее общего типа PH имеет несколько более узкий интерес в связи с проблемами столкновений Q — полезно в случае консервативных гамильтоновых систем (для которых Н = Н (д,р)), а также для негамильтоновой динамики. [c.333]

Принцип виртуальных перемещений получился у нас как следствие уравнений движения (36.4). Раньше, в 198, мы уже упоминали о том, что можно итти обратным путём — вывести из принщша виртуальных перемещений принцип Даламбера, а уж отсюда притти к уравнениям движения (36.4). Но при таком построении динамики надо или считать принцип виртуальных перемещений за основное положение, или доказать этот принцип, исходя из какого-либо другого положения, принимаемого за основное. Было сделано много попыток дать вполне строгое доказательство принципа виртуальных перемещений, но подобно тому, как при установлении уравнений (36.20) (т. е. точнее говоря, при выводе выражений для реакций) нельзя обойтись без некоторого основного определения или условия (о реакциях идеальных связей), точно так же всякое доказательство рассматриваемого принципа скрыто или явно заключает в себе подобное же условие или допущение по отношению к связям специального характера, а потому, строго говоря, доказательством, т. е. сведением лишь на раньше признанные истины, названо быть не может. Для примера мы рассмотрим в общих чертах ещё два доказательства принципа виртуальных перемещений доказательства Лагранжа и Ампера (Ampere). [c.380]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...