Начало наименьшего действия

Настоящая заметка служит пополнением реферата, прочитанного мною 17 декабря 1866 г. в Математическом обществе и напечатанного в 1-м выпуске 11-го тома Математического сборника. Я намерен показать на примере разницу между выражениями начала наименьшего действия, данными Лагранжем и Остроградским. [c.388]

Начало наименьшего действия Лагранжа, в применении к движению [c.388]

Уравнение Т = П + h всегда будет иметь место, если силовая функция и условия не будут содержать времени и если величина начальной скорости будет одна и та же. Начало наименьшего действия Лагранжа получает здесь [c.389]

Начало наименьшего действия Остроградского в применении к дви-жению свободной точки состоит в том, что (т + П) (И для движения [c.390]

Из этого видно, что если бЛ = О, то б Л равно нулю это, впрочем, получается прямо из формулы (4), если положить дА = 0. Итак, 6А и б Л вместе не равны нулю, и было бы ошибочно выразить начало наименьшего действия уравнением б Л = 0. [c.400]

Заметим, что данное нами доказательство начала наименьшего действия неприложимо в некоторых случаях, указанных Якоби ) но это суть именно те случаи, когда J 2Т dt под условием (1) не имеет ни минимума, ни максимума. Подробное исследование этого вопроса мы надеемся предложить читателю в приготовляемом нами к печати сочинении О прочности движения . [c.429]

Начало Гамильтона и начало наименьшего действия Начало наименьшего действия представляется или в форме Гамиль-юна или в форме Лагранжа, Гамильтон рассматривает интеграл [c.542]

НАЧАЛО ГАМИЛЬТОНА И НАЧАЛО НАИМЕНЬШЕГО ДЕЙСТВИЙ [c.543]

Перейдем к доказательству начала наименьшего действия по Лагранжу. [c.545]

Приложим начало наименьшего действия к решению следующего вопроса. Доказать, что материальная точка, двигаясь по какой-нибудь поверхности без действия сил, описывает кратчайший путь. Вопрос этот был нами рассмотрен в механике точки, где мы видели, что материальная точка движется по геодезической линии (радиус кривизны направлен по нормали к поверхности), и нашли, что это есть кратчайший путь. Разрешим теперь вопрос, не прибегая к геодезической линии. Пусть материальная точка движется по некоторой поверхности и перемещается из положения А (фиг. 344) в положение В. Напишем теорему [c.548]

Введение. Принцип наименьшего действия и его обобщение, произведенное Гамильтоном, переводят задачу механики в область вариационного исчисления. Уравнения движения Лагранжа, вытекающие из стационарности некоторого определенного интеграла, являются основными дифференциальными уравнениями теоретической механики. И тем не менее мы еще не достигли конца пути. Функция Лагранжа квадратична по скоростям. Гамильтон обнаружил замечательное преобразование, делающее функцию Лагранжа линейной по скоростям при одновременном удвоении числа механических переменных. Это преобразование применимо не только к специальному виду функции Лагранжа, встречающемуся в механике. Преобразование Гамильтона сводит все лагранжевы задачи к особенно простой форме, названной Якоби канонической формой. Первоначальные п дифференциальных лагранжевых уравнений второго порядка заменяются при этом 2га дифференциальными уравнениями первого порядка, так называемыми каноническими уравнениями , которые замечательны своей простой и симметричной структурой. Открытие этих дифференциальных уравнений ознаменовало собой начало новой эры в развитии теоретической механики. [c.190]

Казалось бы, из наших рассуждений следует, что принцип Ферма является истинным минимальным принципом, а не принципом стационарного значения, если сравнение происходит в локальном ) смысле, т. е. если истинные траектории сравниваются с траекториями, находящимися поблизости. Однако для справедливости нашего вывода требуется, чтобы вдоль всей траектории Т волновые поверхности были хорошо определенными, однозначными поверхностями с определенными нормалями. Между тем может возникнуть и другая ситуация (рис. 22). Рассмотрим пучок лучей, исходящий из точки М. Эти лучи вначале расходятся, но затем они могут снова начать сходиться, так что соседние траектории Т и Т могут пересечься в какой-то точке /И. В этом случае волновая поверхность, которой принадлежит точка М., вырождается в точку, (В оптических инструментах каждому точечному источнику световых волн М должно соответствовать изображение Л1, где волновые поверхности вырождаются в точку.) Наше заключение о настоящем относительном минимуме справедливо лишь до точки Л1, но не может быть распространено на область яа точку /И, так как в этом случае близкие траектории проходят через область, где они не пересекают никаких волновых поверхностей. Тогда величина О перестает быть действительной, а неравенство > становится иллюзорным. При соответствующе ситуации в механике точка М называется кинетическим фокусом , сопряженным с точкой М на траектории Т. После того как мы проходим через кинетический фокус, принцип наименьшего действия перестает быть минимальным принципом. [c.310]

В формулировках принципа наименьшего действия, обсуждавшихся до сих пор, не уделялось внимания условиям движений, предположенных возможными, и все-таки эти условия имеют такое же значение, как и сама величина действия, так как в зависимости от характера наложенных условий содержание принципа принимает совершенно различное значение. Дело идет не только о признаке, по которому сделан выбор, но и о природе движений, которые подлежат отбору. Однако, пока это обстоятельство, недооценка которого привела ко многим роковым ошибкам, было ясно понято и принцип наименьшего действия получил первую правильную формулировку, прошло длительное время. Если открытие принципа наименьшего действия приурочить именно к этому моменту, то только Лагранжу можно приписать эту заслугу. Между тем такая оценка была бы несправедлива в отношении тех людей, которые подготовили почву и начали работу, впоследствии удачно завершенную Лагранжем. К числу этих людей относятся прежде всего Лейбниц, судя главным образом по его письму 1707 г., оригинал которого утерян, затем Мопертюи и Эйлер. [c.583]

Однако, несмотря на все это, нельзя упустить из вида того непоколебимого исторического факта, что твердая вера во внутреннюю взаимосвязь законов природы с господством высшего разума являлась непосредственной исходной точкой открытия принципа наименьшего действия и что такая вера в случае, если она с самого начала не втиснута в слишком узкие рамки, не может быть несомненно доказана, но также никогда не может быть несомненно опровергнута, так как в конце концов можно каждое всплывающее противоречие снова и снова объяснять недостатками формулировки. [c.585]

Характерно, что принцип наименьшего действия, даже после того, как он был полностью узаконен в механике Лагранжем, не оказал никакого существенного практического влияния на научный прогресс. Его рассматривали скорее как математический курьез, как интересный, но излишний придаток к ньютоновым законам движения. Еще в 1837 г. Пуассон смог назвать его лишь бесполезным правилом . Только после исследований Томсона и Тэта, Г. Кирхгофа, К. Неймана, Л. Больцмана и др., когда оказалось, что принцип наименьшего действия является инструментом, отлично используемым для разрешения проблем гидродинамики и теории упругости, в то время как другие математические методы частью оказались более неуклюжими, частью вовсе отказывали, был подготовлен перелом и начали ценить эвристическое значение принципа. Томсон и Тэт сказали об этом (1867 г.) знаменитый принцип наименьшего действия Мопертюи до сих пор рассматривался скорее как странное и несколько запутанное свойство движения, чем как полезное руководство в кинетических исследованиях. Но мы твердо убеждены, что ему придадут гораздо более глубокое [c.585]

Фазовая волна, сопровождающая движение тела, при условии, конечно, принятия наших представлений, имеет свойства, которые зависят от природы этого движущегося тела так, например, частота движущегося тела зависит от полной энергии. Поэтому естественно будет предположить, что если силовое поле воздействует на движение тела, то оно будет действовать также и на распространение его фазовой волны Руководствуясь идеей полной идентичности принципа наименьшего действия и принципа Ферма, я был вынужден с самого начала моих исследований в этой области принять, что для заданного значения полной энергии движущегося тела и вследствие этого для частоты его фазовой волны возможные динамические траектории движущегося тела совпадают с возможными лучами фазовой волны. Это привело меня к хорошему результату, который будет изложен в третьей главе, а именно, к интерпретации установленных Бором условий внутриатомной устойчивости. К сожалению, это потребовало довольно произволь- [c.652]

Смещение u x,y,z,t) состоит из четырех слагаемых смещения и (х, t) сечения как целого, отвечающего продольным колебаниям два других слагаемых — это смещения, обусловленные поворотом сечений около осей г/ и s при изгибе последнее слагаемое есть депланация при стесненном кручении. Первые слагаемые двух других смещений (5.74) представляют собой смещения сечения как целого при изгибе в двух взаимно перпендикулярных плоскостях, вторые слагаемые — это смещения в результате поворота сечепия на угол 0. По смещениям (5.74) нетрудно написать выражения для кинетической и потенциальной энергий и с помощью принципа наименьшего действия получить следующие уравнения (начало координат выбрано в центре тяжести) [c.167]

Начало наименьшей работы. Раскрытие статической неопределимости упругих систем может производиться по началу наименьшей работы. Согласно этому началу лишние неизвестные обобщенные силы имеют такие значения, при которых обобщенные силы, действующие на систему, совершают наименьшую работу. [c.256]

Решение. Полуцилиндр и стержень являются системой твердых тел, находящихся в равновесии. Под действием веса стержня полуцилиндр может начать движение вправо (при недостаточной силе трения между полуцилиндром и полом). Для определения искомой наименьшей величины коэффициента трения скольжения между полуцилиндром и горизонтальной плоскостью рассмотрим отдельно равновесие стержня и полуцилиндра. [c.89]

Пример 62. Задача о брахистохроне. В 1696 г. И. Бернулли поставил и решил следующую задачу материальная точка, имеющая начальную скорость, равную нулю, движется под действием силы тяжести по некоторой кривой, соединяющей две заданные точки. Найти такую кривую, при движении по которой время движения будет наименьшим. Эта задача получи-л а название задачи о брахистохроне н положила начало вариационному исчислению. [c.235]

Наименьшая скорость коррозии стали наблюдалась в мае на атмосферной площадке, что объясняется отсутствием частого смачивания. Длительные (примерно в течение 3 лет) испытания стали на воздухе показали, что значительное влияние на ускорение процесса коррозии металла оказывают небольшие осадки в начале эксперимента. В течение 15 сут после начала проведения опыта скорость коррозии возросла, после чего началось постепенное замедление, что объясняется накоплением продуктов коррозии и действием солнечной радиации (182 ч), способствующей уплотнению про- [c.65]

II. Чтобы обеспечить больший успех этому исследованию, следует начать с того же соображения, которым воспользовался Мопертюи, для установления общего закона покоя это соображение приведет нас к более точному и более плодотворному пониманию того, что разумеют под количеством действия сил. Мы увидим, что то, что обозначается этим термином, имеет первостепенное значение в вопросах о действии сил, независимо от того, находятся ли тела, на которые действуют силы, в покое, или же они приведены в движение это я покажу при помощи ряда весьма убедительных доказательств. После этого легко будет согласиться с тем, что это количество действия сил должно входить во все выражения, значения которых являются наименьшими при том эффекте, который производят эти силы. То, что природа во всех своих творениях употребляет наименьшее возможное количество действия, является общепризнанным правилом но до сих пор в большинстве случаев было в высшей степени трудно точно определить это количество действия, об экономии которого так заботится природа. Но как только [c.56]

Как показывает опыт, в результате гидролиза, либо вследствие воздействия щелочных реагентов здесь возможно образование не только простейших гидратов окиси хрома, но и более сложных соединений, состоящих из гидроокисей или основных солей хрома и других мета тлов-приме-сей, присутствующих в электролите. При этом в первую очередь образуются те соединения, растворимость которых наименьшая. Так, например, pH гидратообразования Сг(ОН)з из чистых хроматных растворов, содержащих 100 г/л СгОз и 9 г/л СгЗ+, было определено равным 5,9. В случае присутствия в том же растворе 5 г/л АР+ pH начала возникновения твердой фазы снижалось до 4,5, а при содержании 10 г/л РеЗ+ — до 2,8. Полученные результаты находятся в полном согласии со значением pH гидратообразования для этих металлов-примесей [16]. Опыты показали также, что pH образования гидроокиси меди, никеля, кальция, магния лежит выше pH образования Сг(ОН)з, в связи с чем их гидраты не выпадают вместе с труднорастворимыми соединениями хрома. Поэтому названные примеси не оказывают существенного влияния на процесс осаждения хро.ма. Накопление анионов С1 , 504 и других также не оказывает заметного действия на pH гидратообразования. Наличие органических примесей увеличивает содержание в электролите трехвалентного хрома. Подобный результат можно объяснить тем, что находясь в сильно окислительной среде хромовой ванны, молекулы органических веществ окисляются, восстанавливая при этом Сг до СгЗ+. В результате у катода создается повышенная концентрация трехвалентного хрома. В связи с этим было обнаружено, что органические примеси молекулярного строения оказывают вредное влияние на качество хромовых покрытий, обусловливая образование т"ем-ных полос, налетов крупных пор, иногда доходящих до основного металла. Подобные вещества наиболее часто [c.49]

В дальнейшем, для определенности, мы будем называть сдвиги, вызванные царапиной, искусственными, остальные — естественными. Если царапину провести иначе, а именно — вдоль оси растяжения, наклонно, или создать точечные нарушения действием сосредоточенных нагрузок и т. п., то во всех таких случаях опыт неизменно показывает, что царапина и точечные нарушения являются источниками сдвигов (рис. 5—11) трещины, ориентированные по направлению куба, в своей вершине также давали начало сдвигам. Наименьшие царапины, с которыми мы делали опыты, были получены на склерометре Мартенса при нагрузке в 1—0,5 Г. Глубина царапины в этом случае была 7— 5 мк. Она была еле заметна на поверхности кристалла прп непосредственном наблюдении. Такие царапины также давали начало сдвигам. Однако они не являются еще предельно малыми, эффект могут давать, по-видимому, и значительно меньшие. [c.44]

При определении наименьшего расстояния, на котором может быть остановлен автомобиль, приходится учитывать не только путь собственно торможения. Должны быть также учтены все обстоятельства от момента возникновения опасности до начала торможения. Внезапно возникшим препятствием водитель может быть так поражен, что от испуга придет в замешательство, и должно пройти известное время — время испуга , пока он будет в состоянии нормально реагировать. Это время могло бы отсутствовать при повышении бдительности водителя. Это тем более желательно, что последующие неизбежные моменты реакции и действия сами по себе означают возрастание опасности. [c.27]

В своей работе об изопериметрах он изложил начало наименьшего действия с точки зрения более общей, чем это было сделано до него Гамильтоном. [c.241]

Приведенное мною мнение Остроградского было сообщено отчасти вместе с другими воззрениями профессору Брашману в 1853 г. в письме, которое было напечатано с некоторыми пропусками в первом томе Московского математического сборника в 1866 г. После того появилось в нашей литературе несколько рассуждений о начале наименьшего действия одни утверждали справедливость мнения Остроградского, что начало наименьшего действия в том виде, как его дает Лагранж, не имеет места другие, — что начало верно, но анализ Лагранжа ошибочен наконец, третьи, — что начало верно, что нет никакой ошибки в лагранжевом доказательстве. Присоединяясь к тем, которые утверждают последнее мнение, я постараюсь показать в этой записке источник того недоразумения, которое побудило Остроградского к вышесказанному обвинению Лагранжа в неточности анализа, и подтвердить новыми разъяснениями справедливость заключения, что в начале наименьшего действия (в том смысле, как понимает его Лагранж) в самом деле содержатся все уравнения динамики. [c.393]

В этой теореме, самой по себе замечательной, содержится как частный случай лагранжево начало наименьшего действия, которое получим, положив бЛ или дЕ равным нулю. Тогда бЛ = О, т. е. если истинное движение изменится бесконечно мало на другое, так что крайние положения не изменяются и в новом движении имеет место закон сохранения полной энергии, причем первая варьяция полной энергии равна нулю, то и первая варьяция действия равна нулю. Вот, кажется, самое определительное понятие о начале наименьшего действия как теореме аналитической механики. [c.400]

Для уяснения смьюла принципа Лагранжа большое значение имели работы профессора Московского университета Ф. А. Слудского (1841—1897). Он показал в своих статьях, что Остроградским высказан новый вариационный принцип и что оба принципа — Лагранжа и Остро -радского одинаково справедливы Вы[)ажения начала наименьшего действия, данные этими учеными, суть выражения двух различных общих свойств движения . [c.219]

В отличие от него Эйлер, начав с высказываний в том же духе, приходит к другим выводам. Исследуя фактическое применение принципа к частным задачам механики, Эйлер увидел, что найти выражение, которое должно быть максимумом или минимумом, для каждой данной чйстной задачи можно только тогда, когда уже известно решение этой задачи, проведенное исходя из обычных общих принципов механики, формулирующих не конечные цели, а причинно-следственные связи явлений. Таким образом, эвристическое значение принципа оказалось ничтожным. Он не дает возможности предвидеть или установить законы даже тех механических явлений, которые всесторонне исследуются обычными дифференциальными уравнениями движения Ньютона. Как также было отмечено Эйлером, универсальность принципа наименьшего действия даже в пределах механики не является установленной и он, Эйлер, не может сколько-нибудь уверенно оценить границы его применимости. Надо отметить, что Эйлер совершенно не рассматривал вопроса об определении характера варьируемых движений. [c.792]

Все эти работы показывали, что русская механика вступила в пору своей зрелости, начало которой было положено исследованиями Остроградского. В работах русских ученых был решен комплекс вопросов о характере вариации в принципе наименьшего действия в форме Лагранжа и о методе вывода из него уравнений движения механики. Глубоко изучена была также строгая математическая форма самого иринцииа наименьшего действия и его связь с уравнениями движения. Выяснение этих вопросов было необходимо для того, чтобы принцип наименьшего действия стал не только безупречным основанием аналитической механики, но и мощным д1етодом исследования в различных областях физики. [c.220]

В своем руководстве по сопротивлению материалов (см. стр. 188) Винклер чрезвычайно подробно исследует двухшарнирные и бес-шарнирные арки, а в важной работе ) 1868 г. пользуется в применении к ним линиями влияния. Опираясь на начало наименьшей работы, он устанавливает положение кривой давления в арках ) и формулирует принцип, носящий его имя. Согласно этому принципу йз всех веревочных кривых, которые могут быть построены для действующих на арку нагрузок, истинной криво11 давления будет та, которая в наименьшей степени отклоняется от оси арки. Для того чтобы прийти к этому заключению, можно [c.386]

В курсе теории упругости доказывается, что при пространственном напряженном состоянии через к тж-дую точку всегда можно провести три площадки, по которым касательные напряжения равны нулю. Та сие площадки называются главными площадками, а нормальные напряжения, действующие по ним,— г. ав-ными напряжениями. Все три главные площадки взаимно перпендикулярны. Наибольщее (в алгебраическом смысле) главное напряжение принято обо начать О], следующее по величине Ст2, а наименьшее — Стз [c.104]

Рассматриваются поступательные перемеш ения однородного шара, при которых его центр скользит по кривой Г, соединяюгцей начало системы Oxyz с точкой Р = Р хр,ур, Zp). Такое движение обеспечивается уиравляюш ей силой, приложенной к центру шара касательно к Г. В начальный момент центр шара находится в точке О. Исследуемая задача заключается в определении управляюш,ей силы, под действием которой центр шара в заданный момент tp достигает точки Р с наименьшими затратами энергии на преодоление сил сопротивления жидкости. Ири этом не исключается, что шар к начальному моменту имел некоторую скорость. [c.57]

Из рис. 49 и 50 было видно, что при снижении числа оборотов двигателя (от наибольших к наименьш Им) крутящий момент сперва немного повышается, а затем вновь начинает снижаться. Поэтому если движение на подъем, например на автомобиле ГАЗ-21, началось на прямой передаче при скорости автомобиля около 70 км/ч (что соответствует, как это видно из рис. 51, числу оборотов 2700 об/мин), а под действием сопротивления подъема обороты двигателя начали снижаться, то при снижении их до 2000—2200 об/мин крутящий момент двигателя продолжает возрастать (см. рис. 49). [c.96]

Внутренняя Б. рассматривает законы движения снаряда в канале орудия под действием пороховых газов. Только зная эти законы, можно проектировать орудие требуемой мощности. Так. обр. основная задача внутренней В. заключается в установлении функциональной зависимости давления пороховых газов и скорости движения снаряда в канале от проходимого им пути. Для установления этой зависимости внутренняя Б. пользуется законами термодинамики, термохимии и кинетич. теории газов. С.-Робер первый воспользовался началами термодинамики при изучении вопросов внутренней Б. затем французский инж. Сарро дал ряд капитальных трудов (1873—1883 гг.) по вопросам внутренней Б., послуживших основой для дальнейших работ различных ученых, и этим положил начало современному рациональному изучению вопроса. Явления, происходящие в канале данного орудия, существенным образом зависят от состава пороха, формы и размеров его зерен. Продолжительность горения порохового зерна зависит гл. обр. от его наименьшего размера — толщины — и скорости горения пороха, т. е. быстроты проникания пламени в толщу зерна. Скорость горения прежде всего зависит от давления, под к-рым оно происходит, а также и от природы [c.150]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...