Вариация определенного интеграла

Укажем такл<е, что вариация определенного интеграла с постоянными пределами интегрирования равна определенному интегралу от вариации подынтегральной функции [c.392]

Чему равна синхронная вариация определенного интеграла с постоянными пределами интегрирования [c.413]

Подобным же образом можно ввести вариацию определенного интеграла. Это означает, что берется разность между определенными интегралами, вычисленными при измененном и при первоначальном значениях подинтегрального выражения [c.79]

Теперь можно вычислить вариацию определенного интеграла (2.7.5) [c.80]

Она совпадает с системой уравнений для следующей вариационной задачи вместо вариации определенного интеграла [c.87]

Вариационное исчисление и граничные условия. Задача об упругом стержне Во всех наших предыдущих рассуждениях мы интересовались в основном дифференциальными уравнениями, которые получались как решение задачи о стационарном значении заданного определенного интеграла. Вывод этих уравнений при помощи интегрирования по частям показывает, что вариация определенного интеграла состоит из двух частей из интеграла,распространенного на данный интервал, и граничного члена. Мы не рассматривали до сих пор этот член, так как задача решалась при граничных условиях, обращавших его в нуль. Однако имеются случаи, когда граничный член играет более активную роль. Ниже, при изучении работ Гамильтона по решению дифференциальных уравнений динамики при помощи уравнения в частных производных, мы увидим, что в математически более сложных вопросах механики этот ранее отброшенный член окажется существенным. Здесь, однако, мы хотим обсудить другой аспект вопроса о граничном члене, имеющий более непосредственный физический смысл. [c.92]

Если мы возьмем вариацию определенного интеграла [c.238]

От этого порока — неизбежности специальных механических координат — можно освободиться, если сформулировать вариационный принцип как интегральный принцип, отнеся его с самого начала к конечному интервалу времени. В таком случае действительное движение отличается от всех возможных движений тем свойством, что для любой из его допустимых вариаций определенный интеграл по времени исчезает. В важнейших случаях это условие может быть сформулировано и так, что для действительного движения определенный интеграл по времени, определяемый как количество действия или действие движения, меньше, чем для всякого другого движения, связанного наложенными условиями. При этом действие одной-единственной материальной точки, по Лейбницу, равно интегралу по времени от кинетической энергии или, что является тем же самым, равно инте гралу от скорости по пути. [c.582]

Таким образом, вариация определенного интеграла с постоянными пределами интегрирования равна определенному интегралу от вариации подинтегральной функции. Операция варьирования, определенная нами и геометрически (фиг. 22), и аналитически, обычно называется синхронным варьированием. Легко понять, что проекции виртуального перемещения точки 6х, Ьу, 6г представляют собой синхронные вариации координат этой точки. [c.126]

Как уже сказано, этот прием чаще всего приходится применять к вычислению экстремума определенного интеграла. Поэтому по установлении этих идей следующим шагом в В. и. является вычисление вариации определенного интеграла, к-рый, как выяснено выше, в простейшем случае имеет вид 1 [c.182]

Таким образом, формулу для полной вариации от определенного интеграла можно представить в следующем виде [c.394]

Чему равна полная вариация от определенного интеграла [c.413]

Решение (14) в форме определенного интеграла можно было получить, не прибегая к методу вариации произвольных постоянных, а применив следующий наглядный способ рассуждения. Под действием импульса величины 5=1, прилагаемого в момент = О, покоящаяся система приобретает начальную скорость jQ = S/a = /a и не получает начального отклонения. Поэтому ее последующее движение при t > О будет определяться выражением [c.530]

Резюме. Задача минимизации определенного интеграла, содержащего неизвестную функцию и ее производную, может быть сведена к элементарной задаче минимизации функции многих переменных. Для этого интеграл заменяется суммой, а производная — отношением приращений. Условия, при выполнении которых первая вариация обращается в нуль, принимают форму разностного уравнения, которое в пределе переходит в дифференциальное уравнение Эйлера — Лагранжа. [c.76]

Задачи о равновесии при наличии дополнительных условий. Часто встречаются задачи о нахождении равно-весия"системы, на которую наложены одно или несколько дополнительных условий. В соответствии с общим методом, обсуждавшимся в гл. И п. 5 и 12, в подобных задачах к бесконечно малой виртуальной работе bw следует прибавить вариации дополнительных условий, умноженные на неопределенные множители Лагранжа X, и лишь затем полученную сумму приравнять нулю. Для иллюстрации этого общего метода мы рассмотрим здесь две задачи статики. В одной требуется минимизировать обычную функцию, а в другой — определенный интеграл. [c.104]

Резюме. При помощи вариаций особого вида Гауссу удалось преобразовать принцип Даламбера в подлинно минимальный принцип, в котором отыскивается минимум некоторой скалярной величины, названной Гауссом мерой принуждения при этом ускорения рассматриваются как переменные вариационной задачи. Будучи принципом минимума, принцип наименьшего принуждения аналогичен принципу наименьшего действия. Он проще, чем этот последний, так как не требует вариационного исчисления, поскольку отыскивается не минимум определенного интеграла, а минимум обычной функции. Большим недостатком принципа наименьшего принуждения является то, что он требует вычисления ускорений. Это, вообще говоря, приводит к гораздо более громоздким и трудоемким вычислениям. В то же время в принципе наименьшего действия все выводится- из скалярной функции, не содержащей производных выше первого порядка. [c.135]

Это и есть принцип Гамильтона . Он утверждает, что движение произвольной механической системы происходит таким образом, что определенный интеграл А приобретает стационарное значение по отношению к любым возможным вариациям положения системы, при которых начальное и конечное положения остаются фиксированными. [c.139]

Резюме. При помощи интегрирования по времени виртуальная работа сил инерции может быть преобразована в истинную вариацию. Таким образом, принцип Даламбера может быть математически переформулирован в принцип Гамильтона последний требует стационарности определенного интеграла, взятого по времени, от функции Лагранжа L, где L — разность между кинетической и потенциальной энергиями. Варьирование должно производиться при фиксированных граничных положениях системы (н фиксированном интервале времени). [c.140]

Еще Якоби ) показал, что если первая вариация простого определенного интеграла равна нулю, то вторая вариация интеграла мои<ет быть приведена к виду, удобному для исследования. [c.833]

В самом деле, исходя из определения вариации, мы должны взять определенный интеграл для измененной (проварьирован- [c.125]

Получим еще формулу для полной вариации от определенного интеграла, нижний предел которого положим равным нулю. Так как [c.134]

Для ЭТОЙ цели указанная сумма (3.30) конечного числа членов подставлялась в определенные интегралы (3.25) и (3.26), выражающие энергии и внутренних и внешних сил. Прежде чем вычислять суммы интегралов, находились их частные производные по неизвестным постоянным С, . .., Затем использовалось вариационное условие 6(1 г+1 ) =0, приводившее к системе п линейных уравнений для определения постоянных Си. .., Сп. Эта система получалась после вычисления интегралов, которые появляются в этих уравнениях (при заданном распределении давления р по пластинке) в качестве коэффициентов этой системы. Можно добавить, что, как показали Ритц, а потом и другие авторы, при надлежащем выборе функций йУ ,(л , у) в представлении (3.30) рассмотренный метод дает очень быструю сходимость и его можно также использовать (после вычисления частных производных второго порядка от ге ) для нахождения действующих в пластинках напряжений изгиба или моментов. В случае пластинки с жестко заделанными краями Ритц и Стодола ) заметили, что вариация части интеграла, определяемого соотношением (3.25), [c.152]

Алгебраический вариационный принцип. С точки зрения формальной динамики чрезвычайно большое значение имеет тот факт, что дифференциальные уравнения могут быть, вообще говоря, получены из требования, чтобы вариация некоторого определенного интеграла обращалась в нуль. [c.44]

Достаточное условие устойчивости выполнено, если у исследуемой нелинейной системы имеется функционал Ляпунова, положительно определенный для данной равновесной конфигурации (см. приложение П.2). Это условие накладывает ограничение и на форму равновесия, к которому оно может быть применено. В случае идеальной жидкости требуется, чтобы равновесие было экстремальной точкой какого-либо из первых интегралов движения. Если в этой точке вторая вариация данного интеграла строго положительна, то состояние устойчиво, а интеграл есть функционал Ляпунова. [c.179]

Для определения критической нагрузки по методу Бубнова — Галеркина умножим функцию Ф на вариацию прогиба Uz и проинтегрируем полученное выражение по всей площади пластинки, т. е. подсчитаем интеграл [c.194]

Внесем еще эти значения в члены, не стоящие под знаком интеграла в общем уравнении, или, еще лучше, в формулу, приведенную л пункте 37, в которой приняты во внимание и силы А", У, Z, . . . затем приравняем нулю отдельно величины, в состав которых входит каждая из четырех оставшихся вариаций Ьх, Ьу, 8х", Ьу тогда мы получим четыре следующих новых определенных уравнения [c.194]

Если В ней заменить функции х их выражениями через t, то V превратится в определенную функцию той же переменной t. Такой же определенной функцией с точностью до произвольной постоянной будет интеграл J dt, но тогда невозможно будет найти вариацию 6 J V dt. Действительно, величины X после подстановки бесследно исчезнут из интеграла J V di и будет невозможно установить вариации дх. Это было бы равносильно попытке найти изменение функции, зная только значение, которое она принимает при замене переменной определенным числом. Если воздержаться от варьирования t, что приводит к предположению, что [c.343]

Таким образом, если продолжать рассматривать Sx как совершенно произвольные, то будет невозможно отыскать вариацию интеграла S, который окажется вполне определенным вместе с функциями х. Следовательно, формула (31) не приведет ни к какому результату. Но если мы придадим 6х такие значения, при которых величины х -f- дх совпадут с величинами, играющими роль хв V dt, то последний дифференциал станет интегрируемым. Тогда вариация dS найдется по обычным правилам дифференциального исчисления и формула (31) дает важные следствия. Само собой разумеется, что дш, входящие в эту формулу, должны быть подчинены ограничениям, наложенным на дх. [c.343]

Один из этих принципов впервые ввел в теорию упругости выдающийся физик Густав Кирхгоф в одной из своих фундаментальных работ, опубликованной в 1850 г. ). Стремясь в этой замечательной статье развить теорию изгиба тонкой плоской упругой пластинки, он сразу же успешно вывел из экстремального условия для потенциальной энергии линейное дифференциальное уравнение в частных производных четвертого порядка для малых прогибов упругой пластинки (уравнение Лагранжа) и дифференциальные выражения для полной системы двух граничных условий, необходимых для определения формы изогнутой срединной поверхности пластинки. Таким образом, он впервые установил корректные выражения для этих двух граничных условий после многочисленных безуспешных попыток, предпринимавшихся в течение первой половины девятнадцатого столетия математиками французской школы (в том числе Пуассоном). Они утверждали, что поверхность слегка изогнутой упругой пластинки и решение указанного дифференциального уравнения четвертого порядка для прогибов пластинки должны удовлетворять трем независимым граничным условиям, тогда как Кирхгоф установил, что достаточно всего двух ). Он достиг этого применением принципа возможных перемещений, приравняв нулю первую. вариацию определенного интеграла, выражающего полную потенциальную энергию изогнутой пластинки как сумму энергии упругой деформации, вызванной внутренними напряжениями, деформирующими пластинку при изгибе, и потенциальной энергии системы внешних сил (нагрузок), изгибающих пластинку. Внеся вариацию под знак интеграла и применив ее к подинте-гральному выражению, он нашел дифференциальное уравнение [c.142]

Резюме. Решение дифференциального уравнения или системы дифференциальных уравнений не единственно, если не добавлено нужное количество граничных условий. Задачи, связанные с нахождением стационарного значения определенного интеграла, всегда имеют нужное число граничных условий. Если условия задачи не дают достаточного количества граничных условий, то недостаюш,ие условия получаются из самой вариационной задачи, потому что граничный член в вариации б/ добавляет некоторые естественные условия к имеющимся условиям, наложенным извне . Задача об упругом стержне с различными способами закрепления концов прекрасно иллюстрирует это положение. [c.96]

Для того чтобы более ясно показать, что действие или накопленную живую силу системы или, другими словами, интеграл произведения живой силы на элемент времени можно рассматривать как функцию упомянутых выше бл -Ь 1 величин, а именно начальных и конечных координат и величины Я, следует отметить, что все, что зависит от способа и времени движения системы, может рассматриваться как такая функция. В самом деле, закон живой силы в первоначальном виде в сочетании с известными или неизвестными Зп зависимостями между временем, начальными данными и переменными координатами всегда дает известные или неизвестные Зп -р 1 зависимости, связывающие время и начальные компоненты скоростей с начальными и конечными координатами и с Я. Однако благодаря тому, что Лагранж не пришел к представлению о действии как функции такого рода, те следствия, которые были выведены здесь из формулы (А) для изменения этого определенного интеграла, не были замечены ни им, ни другими блестящими аналитиками, занимавшимися вопросами теоретической механики, несмотря на то, что в их распоряжении была формула для вариации этого интеграла, не очень отличающаяся от нашей. Дело в том, что Лагранж и другие, рассматривая движение системы, показали, что вариация этого определенного интеграла исчезает, когда даны крайние координаты и постоянная Я. Они, по-видимому, вывели из этого результата только хорошо известный закон наименьшего действия, а именно 1) если представить точки или тела системы движущимися от данной группы начальных к заданной группе конечных положений не так, как это в действительности происходит, и даже не так, как они могли бы двигаться в соответствии с общими законами динамики, или с дифференциальными уравнениями движения, но так, чтобы не нарушать какие-либо предполагаемые геометрические связи, а также ту единственную динамическую зависимость между скоростями и конфигурациями, которая составляет закон живой силы 2) если, кроме того, это геометрически мыслимое, но динамически невозможное движение заставить отличаться бесконечно мало от действительного способа движения системы между заданными крайними положениями, то варьированное значение определенного интеграла, называемого действием или накопленной живой силой системы, находящейся в представленном таким образом движении, будет отличаться бесконечно мало от действительного значения этого интеграла. Но когда этот закон наименьшего, или, как его лучше было бы назвать, стационарного действия, применяется к определению фактического движения системы, он служит только для того, чтобы по правилам вариацион- [c.180]

Это выражение нужно продиференцировать по а и в результате положить а = 0. По известному правилу диференцирования определенного интеграла это диференцирование придется выполнить под знаком интеграла. Т. к., с другой стороны, это выражение получится из интеграла 1 указанной выше заменой функций у и у, т. ч. а входит только в новые выражения для у и /, то диференци-ровать подинтегральную функцию придется как сложную функцию. Если через Еу и Еу обозначим производные функции у, у ) по у и у то производная интеграла I— по а, в которой а положим равной О, даст вариацию <5/д в виде [c.183]

Примечание 2. Предыдущая теорема соответствует принципу наименьщего действия в форме Якоби. Ибо если мы назовем через /п массу, — длину пути г-й точки системы в определенный момент времени, то теорема выражает, что вариация интеграла [c.532]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...