Граничный член

Вариационное исчисление и граничные условия. Задача об упругом стержне Во всех наших предыдущих рассуждениях мы интересовались в основном дифференциальными уравнениями, которые получались как решение задачи о стационарном значении заданного определенного интеграла. Вывод этих уравнений при помощи интегрирования по частям показывает, что вариация определенного интеграла состоит из двух частей из интеграла,распространенного на данный интервал, и граничного члена. Мы не рассматривали до сих пор этот член, так как задача решалась при граничных условиях, обращавших его в нуль. Однако имеются случаи, когда граничный член играет более активную роль. Ниже, при изучении работ Гамильтона по решению дифференциальных уравнений динамики при помощи уравнения в частных производных, мы увидим, что в математически более сложных вопросах механики этот ранее отброшенный член окажется существенным. Здесь, однако, мы хотим обсудить другой аспект вопроса о граничном члене, имеющий более непосредственный физический смысл. [c.92]

Замечательное свойство вариационных задач заключается в том, что в них всегда автоматически возникает нужное число граничных условий. Эти граничные условия, не обусловливаемые имеющимися внешними обстоятельствами, следуют из сути вариационной задачи. Для наличия стационарного значения эти дополнительные граничные условия существенны в такой же степени, как и выполнение дифференциальных уравнений Эйлера — Лагранжа. Появление этих дополнительных условий связано с граничным членом в Ы. Наложенные извне (внешние) и естественные граничные условия, вместе взятые, обеспечивают единственность решения. [c.93]

Если удовлетворить этому уравнению, то вариация 6/ сводится к граничному члену, который в нашей задаче имеет вид [см. (2.10.12)] [c.94]

Задача 2. Рассмотреть случай двух стержней различного сечения, жестко скрепленных друг с другом. Здесь константа k в дифференциальном уравнении (2.15.4) испытывает скачок в точке х — соединения стержней. Показать, что граничный член (2.15.5) приводит к двум условиям непрерывности в точке х = а именно к требованию, чтобы ky" и ky" были непрерывны в точке х = i. [c.96]

Первый интеграл в (5.1.3) после интегрирования дает граничный член [c.137]

Это означает, что при t =. t = положение механической системы считается заданным, и при этих граничных значениях t не допускаются никакие вариации. Мы говорим, что мы варьируем при фиксированных граничных значениях , потому что начальное и конечное положения системы заданы. В этом случае граничный член в правой части [c.138]

Полученное выражение представляет собой граничный член, который не изменяется при варьировании и потому может быть опущен. Следовательно, интеграл действия сводится к [c.215]

Последний интеграл является граничным членом, не зависящим от способа варьирования, поскольку варьирование производится при фиксированных граничных значениях. Следовательно, хотя мы и изменили канонический интеграл, это изменение свелось лишь к добавлению некоторой константы. Поэтому обращение в нуль вариации канонического интеграла, записанного в первоначальных переменных, гарантирует обращение в нуль вариации канонического интеграла в новых переменных. Это означает, что канонические уравнения движения остаются инвариантными относительно преобразования (7.4.1). [c.238]

Из предыдущего известно, что вариация интеграла А равна нулю при варьировании с фиксированными граничными значениями, и содержит только граничный член, если граничные значения варьируются (см. гл. VI, п. 8) [c.258]

Естественные (статические) граничные условия, вытекающие из требования равенства нулю граничного члена (15.13) [c.446]

Уравнение (15.9) и есть уравнение Эйлера [рассматриваемой вариационной задачи, а равенство нулю граничного члена [c.448]

Граничный член (15.10) в рассматриваемой задаче, если учесть выражение (15.11) для дР/до", приобретает вид [c.448]

Таким образом, мы видим, что границы оказывают пренебрежимо малое влияние на распределение температур и на закон эволюции этого распределения в малой системе. Соответствую щие члены становятся существенными только на временах порядка t L /4x. Следовательно, при выполнении условий L I ъ t Z /4x эволюцию внутри малой системы можно изучать, как если бы полная система имела бесконечный размер. На фиг. 3.2.3 показано распределение температуры внутри малой системы для различных значений времени, вычисленное на основе (3.2.7) в пределе L — оо. При 1 температура достигает почти линейного распределения. На больших временах температура начинает медленно отклоняться от линейного распределения, главным образом вблизи границ (ибо граничные значения температуры не поддерживаются фиксированными). На фиг. 3.2.4 показано точное решение для трех различных значений Т при учете граничных членов. Видно, что для наибольшего времени f = 4 в системе с L = А1, соответствующей термостату, размеры которого лишь в 1,5 раза превышают длину интересующей нас системы, поправка пренебрежимо мала. Для t == 0,5 поправка ничтожно мала даже в случае L = 21, соответствующем термостату, размеры которого вдвое меньше размеров системы. Эти фигуры ясно показывают, сколь быстрой является сходимость к предельному значению (L = оо) в практических задачах. [c.85]

В последнем выражении граничный член представляет из [c.60]

Продолжив эту операцию, можно найти, что Ь = I. Граничные члены следуют из рассмотрения уравнения (2) [c.12]

Множители, заключенные в скобки, являются граничными членами произведения, включающими только операторы, действующие на крайние спины. Поэтому едва ли покажется удивительным, что эти члены исчезают, когда обычным образом вводятся циклические граничные условия (как это сделано в разд. 7.3), так что в результате остается [c.90]

Второй и четвертый члены в правой части (8.3.8) представляют собой граничные члены , происходящие от предельных значений у = N и у = 1 в суммах (8.3.6) соответственно. Они различаются только множителем i — z )y поэтому их сумма может быть сделана равной нулю выбором [c.137]

Граничные члены. Они происходят от предельных членов У2 = N или Д = 1 в суммах в (8.3.12), и их отличительным признаком в (8.3.15) является наличие множителя Р2 или Р . Определим [c.139]

Тогда сумма граничных членов в (8.3.15а) равна [c.139]

Наконец, суммируя совместно граничные члены (8.3.24а) и (8.3.246), соответствующие двум вариантам решения, получаем [c.140]

За исключением граничных членов , содержащих множитель или pj, все остальные содержат по крайней мере один множитель вида [c.142]

В результате остаются только граничные члены, содержащие множитель ру для некоторого значения у. После замены z в (8.4.3а) на 2,. .. у Z у Zi становится очевидно, что имеющиеся граничные члены сокращаются с теми, которые содержатся в (8.4.36), если [c.142]

Производя все возможные перестановки чисел z y. .., z y получаем следующее условие сокращения всех граничных членов [c.142]

Подставляя выражение (8.13.13) для gfJ X) в уравнение (8.13.11), мы находим, так же как в разд. 8.4, что имеются желательные члены , нежелательные внутренние члены и граничные члены . Приравнивание желательных членов (для четных п) дает [c.172]

Приступим теперь к доказательству соотношений (7.105) и (7.106). Вспомним для этого условие максимума (F.2). Чтобы упростить запись производных, мы включим в (ф) зависимость от С, происходящую от пределов интегрирования. Это позволит избежать выписывания граничных членов. Используя такое соглашение, запишем условие максимума по у [c.154]

В уравнении (1-1.3) второй член левой части представляет собой все силы, действующие на поверхности, ограничивающие систему, в то время как третий член — силы, например силу гравитации, которые действуют на каждый элемент системы. Среди переменных, фигурирующих в уравнении (1-1.3), вновь встречаются плотность и скорость, но появляются также и две новые переменные давление, которое действует через граничные поверхности и, следовательно, фигурирует во втором члене, и напряжение. Действительно, для того чтобы вычислить второй член в уравнении (1-1.3), необходимо иметь возможность вычислить силы, действующие на любую произвольную поверхность в материале при условии, что система, к которой применяют уравнение (1-1.3), может быть выбрана произвольно. Сила, действующая на любую заданную поверхность, не сводится просто к давлению, поскольку она не обязательно ортогональна к этой поверхности и ее величина не обязательно независима по отношению к ориентации этой поверхности в пространстве. Напряжение является тензором (точное определение будет введено в разд. 1-3), который связывает вектор силы с поверхностным вектором. Поверхность является вектором в том смысле, что для ее определения требуется задать не только ее величину, но и ориентацию в пространстве. [c.13]

Каждый член этого разложения удовлетворяет граничным условиям задачи при х = I ш/ (л) = 0 = О, [c.585]

Решение уравнения (6. 2. 18) для нулевого члена внутреннего разложения, удовлетворяющее граничному условию (6. 2. 19) и условию [c.247]

Для нахождения нулевого члена внешнего асимптотического разложения (6. 2. 24) [необходимо рассматривать уравнение (6. 2. 25) с граничным условием (6. 2. 26) и условием сращивания нулевых членов внутреннего и внешнего разложений [c.247]

Перейдем теперь к определению первого члена внутреннего разложения Ф. Для этого необходимо решить уравнение (6. 2. 20) с граничным условием (6. 2. 21) и условием сращивания [c.247]

Частное решение уравнения (6. 8. 37) нетрудно найти при помощи метода вариации произвольной постоянной. Первое из однородных решений (6. 8. 36), очевидно, удовлетворяет граничному условию (6. 8. 27) на бесконечном удалении от поверхности пузырька. Граничное условие на поверхности пузырька (6. 8. 23) или (6. 8. 24) может быть удовлетворено путем подбора произвольных постоянных для всех членов с т — 0. [c.283]

Рассмотрим сначала случай очень медленной химической реакции кШ 1. Тогда вторым членом в правой части (7. 3. 5) можно пренебречь по сравнению с первым. Интегрируя (7. 3. 5) с граничными условиями (7. 3. 6)—(7. 3. 7), находим выражение для критерия Шервуда (6. 9. 15) [c.306]

Путем интегрирования уравнения (10.52) с величиной а, выбираемой по граничным условиям, нетрудно получить равновесную величину а. Заметим, что при Т = О [10 ] второй член в правой части уравнения (10.52) очень мал. [c.449]

Резюме. Решение дифференциального уравнения или системы дифференциальных уравнений не единственно, если не добавлено нужное количество граничных условий. Задачи, связанные с нахождением стационарного значения определенного интеграла, всегда имеют нужное число граничных условий. Если условия задачи не дают достаточного количества граничных условий, то недостаюш,ие условия получаются из самой вариационной задачи, потому что граничный член в вариации б/ добавляет некоторые естественные условия к имеющимся условиям, наложенным извне . Задача об упругом стержне с различными способами закрепления концов прекрасно иллюстрирует это положение. [c.96]

Отсюда следует, что нулю должны равняться выражения в квадратных скобках. Получаемые при этом равенства суть соответственно уравнения равновесия в области и на границе. Таким образом, доказано сделанное выше утверждение — следствиями стационарности ()>ункционала (и) являются дис х )еренциальное уравнение равновесия во всем объеме тела (которые представляют собой уравнения Эйлера в вариационной проблеме для с )ункцио-нала /i(u)) и уравнения равновесия на той части поверхности тела, где заданы поверхностные силы, вытекающие из равенства нулю граничного члена (последний интеграл в (15.111)). [c.520]

Отсюда следует, что последней величиной (а следовательно, и нелинейными конвективными членами) можно пренебречь по сравнению с и при более слабых, чем (5.8.7), ограничениях, а именно при WiAr <С 1, что всегда выполняется при выполнении (5.8.2). Таким образом, при переходе к безразмерной переменной Tj r a t) фиксируется граничное условие на поверхности пузырька (г = 1) и за счет появления дополнительного члена [c.298]

Аналогично (5.10.3) можно выписать точное решение этого уравнения. Здесь же, как и для поля температур, ограничимся случаем малого влиянпя радиального движения па диффузию компонент, когда можно пренебречь первым членом в (5.10.15). Тогда это уравнение упростится и его решение с учетол граничных условий примет вид [c.320]

Для нахождения нулевых членов внутреннего и внешнего разложений следует совместно решать уравнения (6. 2. 18) и (6. 2. 25) с соответствуюш ими граничными условиями (6. 2. 19), (6. 2. 26) и условием сраш ивания асимптотических разложений (6. 2. 17) и (6. 2. 24). [c.247]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...