Следствия из уравнений движения

Левая часть этого уравнения представляет собой вторую производную по времени от функции /, [см. формулу (27.11) на стр. 277] таким образом, мы получили, как следствие из уравнений движения, равенство [c.292]

Мы вывели принцип Даламбера как следствие из уравнений движения [c.349]

Следствия из уравнений движения [c.29]

Отметим здесь еще следующее простое следствие из уравнения (3.1). Если жидкость или газ (например, воздух) находятся в механическом равновесии в поле тяжести, то давление в них может быть функцией только от высоты z (если бы на данной высоте давление было различно в различных местах, то возникло бы движение). Тогда из (3,1) следует, что и плотность [c.21]

Влияние сопротивления воздуха н. движение сн. ряд.. Если мы примем во внимание полученные таким образом свойства движения снаряда, то из уравнений движения (из уравнений (30 ), (29) и из теоремы живых сил) можно тотчас же вывести некоторые следствия, которые выявляют глубокие изменения в этом движении, вызываемые сопротивлением воздуха, по сравнению с движением, которое имело бы место в пустоте (т. I, гл. II, 6). [c.106]

По поводу этих работ Мизеса [14], [24], так же как и всех других работ такого типа, следует отметить, что они, по существу, вообще не относятся к той проблеме обоснования, которая рассматривается в настоящей работе,— к выяснению связи физической статистики и микромеханики. Мизес с самого начала отказывается от постановки задачи об установлении этой связи. Между тем, практическая невозможность решить уравнения механики для статистических систем совсем не означает принципиальную возможность от них отказаться и, в частности, не означает возможности отказаться от вполне поддающихся учету качественных следствий дифференциальных уравнений движения (на основании сказанного в 18, можно видеть, например, в каких случаях допустимо в классической механике исследование схемы цепей Маркова, а также можно видеть, что в этих случаях условие сим метрии вероятностей переходов не выполняется). Настоящая задача обоснования статистики заключается не в том, чтобы дать построение всей системы физической статистики, исходя из некоторых внутренних принципов, из специально выбранных аксиом, а в том, чтобы согласовать наличие вероятностных законов статистической механики с теми выводами, которые вытекают из микромеханики (например, в классической теории мы должны считать, что в каждом данном случае осуществляется определенное микросостояние, независимо от того, знаем ли мы его или нет, а в квантовой теории мы можем, например, извлекать следствия из стационарности [c.124]

Следствия из уравнения Бернулли. При помощи уравнения Бернулли очень просто решаются многие задачи о движении жидкости. Приведем три особенно важных примера. [c.62]

Таким образом, при сделанных выше предположениях о характере сил, действующих на механическую систему, ее уравнения движения 3.30) ковариантны относительно преобразования Галилея. Поэтому в системах отсчета К ч К будут иметь одинаковую форму любые следствия, вытекающие из уравнений движения (3.30). А это и означает, что все законы механики имеют одинаковый вид во всех инерциальных системах отсчета. [c.42]

Из уравнений движения можно вывести еще два следствия. Первое из них — теорема зеркальности — формулируется следующим образом если в некоторый момент времени радиус-вектор, проведенный из центра масс системы п материальных точек, движущихся под действием только сил взаимного притяжения, перпендикулярен вектору скорости для каждой из точек системы, то орбита каждой материальной точки при / > /о представляет собой зеркальное отражение ее орбиты при I < to Та- <ая конфигурация радиусов-векторов и векторов скоростей называется зеркальной. [c.137]

Одним из наиболее важных общих следствий динамических уравнений движения сплошной среды является теорема живых сил. [c.189]

Обычно уравнение движения слоя получают так же, как и для идеальной жидкости, учитывая, однако, сухое трение и сцепление [Л. 68]. Одно из следствий такого приема — в уравнении движения выпадают члены, отражающие параметры газового компонента (плотность, вязкость и др.). Уравнение (9-34) свободно от этого недостатка, отражая физические свойства всех компонентов системы, различая, в частности, силы контактного (сухого) трения частиц и вязкостного трения жидкости. Рассмотрим одномерную задачу движения плотного слоя по оси X. При этом учтем, что в плотном слое величина давления передается только в нормальном направлении. Тогда [c.289]

Для решения поставленной задачи следовало бы использовать уравнения движения точки в проекциях на полярные оси координат. Удобнее применять следствия из этих уравнений в форме теорем об изменении кинетической энергии и кинетического момента точки. [c.548]

В заключение этого параграфа сделаем следующее общее замечание о законах сохранения. Формулировка каждого из этих законов имеет следующий вид некоторое выражение, зависящее от координат точек и их скоростей, при движении системы не меняется . Эти выражения не зависят от ускорений точек и в этом смысле являются первыми интегралами уравнений движения. В дальнейшем (см. гл. VII) мы вернемся к понятию первый интеграл и дадим его точное определение. Там же будет показано, что найденные выше первые интегралы — законы сохранения — являются следствиями основного предположения классической механики об однородности и изотропности пространства и об однородности времени (см. гл. VII). Отложив поэтому уточнение этого понятия до гл. VII, мы в 7 настоящей главы на важном примере продемонстрируем, как классическая механика использует законы сохранения для того, чтобы упростить (а в некоторых случаях и решить) дифференциальные уравнения, описывающие движение. [c.77]

Среди этих т интегралов могут быть и зависимые, т. е. некоторые из равенств, входящих в систему (27), могут оказаться следствиями остальных. Такие зависимые первые интегралы не могут быть использованы для упрощения уравнений движения, и нас интересуют лишь системы независимых первых интегралов (27). Если т=--2п и если все равенства, входящие в систему (27), независимы, то система первых интегралов называется полной. В силу независимости функций, входящих в эту систему, полная система из т = 2п первых интегралов может быть разрешена относительно аргументов — ими являются координаты и обобщенные импульсы —и представлена в виде [c.266]

Это последнее утверждение играет важную роль потому, что оно позволяет положить в основу классической механики в качестве исходного постулата не второй закон Ньютона (или его ко-вариантную запись — уравнения Лагранжа), а вариационный принцип Гамильтона. Действительно, по крайней мере Для движений в потенциальных полях, постулируя вариационный принцип Гамильтона, можно получить из него как следствие уравнения Лагранжа. В теоретической физике иногда оказывается удобным вводить исходную аксиоматику в форме соответствующего вариационного принципа, устанавливающего общие свойства движения в глобальных терминах, и уже из этого принципа получать уравнения движения. [c.280]

Во многих случаях первые интегралы уравнений движения могут определяться из так называемых общих теорем динамики, которые для точки являются следствием основного закона (2). К рассмотрению этих теорем мы сейчас и перейдем. [c.324]

В первом случае движение шара подчинено голономной связи, а во втором — неголономной. Вообще, голономными, или конечными, связями называют связи, накладывающие ограничения только на положение материальных точек системы. Они выражаются аналитически конечными соотношениями между координатами точек системы, причем в эти соотношения может явно входить и время. Обратим внимание на тот факт, что, продифференцировав по времени такое уравнение, мы получим уравнение связи, содержащее явно проекции скоростей точек. Но это уравнение явится лишь следствием того уравнения, из которого оно было получено путем дифференцирования. Оно будет автоматически выполняться при удовлетворении голономной связи. [c.427]

Принимая во внимание следствие 8.4.2, заключаем, что циклические интегралы линейны относительно циклических скоростей 9,- и не зависят явно от циклических координат д . С помощью циклических интегралов можно исключить из остальных уравнений движения циклические скорости, выразив их через скорости позиционных координат. При этом порядок системы уравнений движения снижается на 2з единиц, где 5 — число циклических координат. [c.557]

Если функция W найдена в результате интегрирования диф ференциальных уравнений движения, то соотношения (11.366) также являются следствием, вытекающим из интегралов дифференциальных уравнений движения. [c.370]

С представлением о возможности кривизны пространства согласуется еще одна серия наблюдений орбита Меркурия, ближайшей к Солнцу планеты, немного отличается от рассчитанной теоретически на основании ньютоновских законов всемирного тяготения и движения, даже если в расчеты орбиты введены соответствующие небольшие поправки, следующие из специальной теории относительности (рис. 1.15). Могло бы это быть следствием кривизны мирового пространства вблизи Солнца Для ответа на этот вопрос нам надо знать, как повлияла бы возможная кривизна пространства на уравнения движения Мер- [c.30]

Из общего уравнения динамики можно получить, как следствие, общие теоремы динамики и дифференциальные уравнения движения механической системы оно, можно сказать, как бы включает в себя зсю механику. [c.781]

Одно из следствий научно-технической революции заключается в резком повышении требований к точности расчетов, что, в свою очередь, требует более полного учета всех физических особенностей рассматриваемых задач. Как правило, прикладные задачи, связанные с исследованием колебаний стержней, требуют знания статического напряженно-деформированного состояния. Это существенно осложняет решение уравнений движения, так как требует решения уравнений равновесия — определения вектора состояния в статике, компоненты которого входят в качестве коэффициентов в уравнения малых колебаний. В консервативных задачах статическое напряженно-деформированное состояние влияет в основном только на спектр частот, изменяя их числовые значения. В неконсервативных задачах, например в задачах взаимодействия стержней с потоком воздуха или жидкости, статическое напряженно-деформированное состояние влияет не только на спектр частот (на мнимые части комплексных собственных значений), но и на критические состояния стержня (на действительные значения комплексных собственных значений), что, конечно, необходимо учитывать при расчетах. Во второй части книги, так же как и в первой, основные теоретические положения и методы решения иллюстрируются конкретными примерами, способствующими более глубокому пониманию излагаемого материала. [c.3]

Антимир Дирака. Труды выдающегося английского физика П. Дирака представляют собой значительный и принципиально новый по содержанию вклад в развитие квантовой теории. Уравнение Шредингера (119) при всем его громадном значении для науки не является релятивистским, т. е. описывает движение частиц со скоростями у л. В микромире частицы могут двигаться с v г, поэтому необходимо было найти релятивистское обобщение уравнения Шредингера. Его получил в 1928 г. П. Дирак. К сожалению, рамки пособия не позволяют остановиться на этом вопросе более подробно, ограничимся анализом следствий, которые вытекают из уравнения Дирака. [c.176]

Если же из возможных движений отметить какое-либо одно перемещение ж его вставить в принцип Эйлера — Лагранжа, то полученное таким путем соотношение будет являться либо одним из дифференциальных уравнений движения, либо некоторым следствием из этих уравнений. [c.213]

Теорема живых сил. Прежде чем выводить другие следствия из общего уравнения динамики, удобно установить здесь еще одну о ц ую теорему о движении системы, формулировка которой не зависит от подразделения сил на внешние и внутренние или активные и реакции связей. [c.278]

Теорема и интеграл живых сил. Так как уравнения Лагранжа вполне определяют движение голономной системы, то всякое свойство движения должно являться следствием из этих уравнений. В виде примера полезно проверить, что, когда связи не зависят от времени, уравнения (43) будут содержать в себе теорему живых сил, которая, как уже известно, справедлива для всякой системы с такими связями (п. 30). [c.294]

В качестве первого и непосредственного следствия из натуральных уравнений мы можем доказать, что если к гироскопу, нахо-дящемуся в быстром вращении вокруг своей оси, приложить какую-нибудь силу F в какой-нибудь точке А этой оси, то достаточно, чтобы движение вершины было строго равномерным, для того чтобы смещение точки V происходило в направлении, перпендикулярном к активной силе F. Мы уже знаем (п. 4), что, по крайней мере приближенно, такое свойство существует для всякого гироскопа, находящегося в быстром вращении вокруг собственной оси. [c.157]

Дальнейшие замечания об обобщении принципа Гамильтона. Если движение о, к которому относится интеграл Гамильтона S, удовлетворяет лагранжевой системе (31), то на основании выражения (39) имеем Л = О, потому что, по предположению, биномы 2, обращаются в нуль с другой стороны, как мы видели в п. 43 гл. V, в качестве следствия из лагранжевых уравнений имеет место соотношение [c.427]

В дальнейшем (п. 29) мы увидим, как, по крайней мере в случае голономных систем, общее уравнение (48) приводит к однозначному определению движения системы после удара, если известны движение до удара и система прямо приложенных импульсов / . Но сначала мы получим из уравнения (48) некоторые следствия общего характера, а для этой цели мы должны прежде всего уточнить, с формальной точки зрения, условия, определяющие виртуальные перемещения 8Р . [c.501]

Это — формулировка принципа Гамильтона. В нащем изложении этот результат является в конечном счете следствием законов Ньютона. Другая точка зрения состоит в том, чтобы рассматривать его как исходный принцип, и в этом случае уравнения движения Лагранжа и остальные законы механики выводятся из него. [c.74]

Предварительно получим из уравнений движения газа (45) в час1пом случае установившегося безвихревого движения следствие в форме уравнения Бернулли. Для этого выразим левые части трех этих уравнений (45) в форме Лэмба Громеки. Пренебрегая объемными силами, имеем [c.589]

Но такой метод решения для большинства практических задач неприемлем из-за математической сложности. Трудности возникают также из-за того, что ни внутренние силы, ни реакции связей, как правило, заранее неизвестны. Однако в большинстве задач не требуется определять движение каждой точви системы, а достаточно найти параметры, характеризующие движение системы в целом. Эти суммарные характеристики движения механической системы определяются с помощью общих теорем динамики, являющихся следствием дифференциальных уравнений движения системы (9.1). К числу этих теорем относятся теорема об изменении количества движения, теорема об изменении кинетического момента и теорема об изменении кинетической энергии. Эти теоремы применимы как для точки, так и для системы материальных точек. [c.145]

Принцип Лагранжа мы вывели из уравнений движения (35.8) обратно, приняв этот принцип за исходное положение, мы можем совершенно так же, как это было сделано для принципа Гамильтона, получить из него как следствие уравнения движения (35.8). Подобно предыдущим принципам и принцип Лагранжа может быть положен в основание динамики, точнее, в основание динамики консервативных систем без неинтегрируе-мых связей (т. е. голономных). [c.366]

Для получения уравнения движения в привычной форме следует из уравнений (2.2)-(2.8), (2.11)-(2.13) исключить переменные Л, тп, п, <р, /1, А, а, /3. С этой целью используется тождество (1.11), в правую часть которого величина V подставляется из (2.2), а величина У /2 — из (2.4). В процессе преобразований используются другие из перечисленных уравнений или их следствия (2.14). Вычисления дают йУ (13 dm п du [c.12]

Таким образом, для случая движения в потенциальных полях мы получили из теоремы Нётер все законы сохранения, которые были рассмотрены выше. Теорема Нётер вскрыла природу их возникновения, связанную с инвариантностью уравнений движения при различных преобразованиях координат и времени. Закон сохранения энергии является следствием инвариантности уравнений консервативной системы при сдвиге вдоль оси времени, закон сохранения количества движения — результат инвариантности уравнений замкнутой системы по отношению к сдвигам вдоль осей координат, а закон сохранения кинетического момента — результат инвариантности уравнений замкнутой системы по отношению к поворотам вокруг осей координат. [c.293]

Если же из совокупности возможных перемещений отметить какое-либо одно нервмещение и его вставить в принцип Эйлера — Лагранжа, то полученное таким путем соотношение будет являться одним из дифференциальных уравнений движения либо некоторым следствием из этих уравнений. Приведем в развитие высказанной мысли ряд наиболее общих предложений. [c.144]

Отсюда видно, что массовые силы в этом случае должны обладать потенциалом. Обозначим потенциал внешних массовых сил через %. Если же предположить, что движение потенциально, V = grad ф, и внешние массовые силы обладают потенциалом, то из (11.1) как следствие получится, что движение должно быть баротропным. Уравнение (11.1) приобретает вид [c.150]

С другой стороны, уже в статике отмечалось (т. I, гл. IX, п. 19), что во всяком положении равновесия точки три частные произвол-ные от и должны обращаться в нуль, так что для всякого положения равновесия потенциал имеет стационарное значение. В частности, потенциал может иметь в этом положении максимум или минимум, но, как известно из анализа, это условие является только необходимым. Если в точке М для функции I/ имеет место действительный максимум, то справедливо известное предложение (теорема Дирихле), для доказательства которого используется только одно следствие уравнений движения, а именно упомянутый выше интеграл живых сил. Теорема эта следующая [c.134]

Уравнение (26 ) интегрируется в эллиптических квадратз рах, но, имея в виду получить здесь только одно частное следствие, имеющее большой астрономический интерес, мы ограничимся интегрированием его в первом приближении, т. е. по крайней мере до членов порядка выше первого относительно ). Поэтому предположим, что начальные постоянные выбраны таким образом, что ыевозмущенная орбита, определенная при тех же начальных условиях из уравнения (26), к которому при е = 0 сводится уравнение (26 ), оказывается эллиптической (или орбитой в кеплеровом движении). [c.185]

Вернемся теперь к общему случаю, т. е. к уравнениям (77). Имея в виду следствия, которые мы из них получим, рассмотрим ядесь наряду с состояниями движения, возможными для системы, также и ее виртуальные перемещения, лагранжевы составляющие которых 8 определяются, как мы знаем, из уравнений, получающихся из уравнений (76) путем отбрасывания в них (если свяви 21 [c.323]

Следствия из принципа реакций. Отнесем данную материальную систему S к галиледрым осям Q -f] и рассмотрим очень короткий промежуток времени т, в течение которого на систему среди прочих приложенных сил действуют силы, имеющие характер ударов в смысле, разъясненном в предыдущем пункте каждая такая сила на основании уравнения (Ij дает импульс /, не равный нулю. Вводя в виде вспомогательных неизвестных возможные реактивные удары, возникающие в отдельных точках вследствие наличия связей, мы будем отличать между силами как обыкновенными, так и ударными, действующими на любую точку силы внешнего происхождения от сил внутренних и будем обозначать через результирующую первых сил. Совокупность всех внутренних сил, действующих на систему в силу равенства действия и противодействия, составляет векторно уравновешенную систему (т. е. систему с равными нулю результирующей и результирующим моментом) поэтому для любого момента будут оставаться в силе основные уравнения движения (гл. V, 2) [c.464]

Для того чтобы более ясно показать, что действие или накопленную живую силу системы или, другими словами, интеграл произведения живой силы на элемент времени можно рассматривать как функцию упомянутых выше бл -Ь 1 величин, а именно начальных и конечных координат и величины Я, следует отметить, что все, что зависит от способа и времени движения системы, может рассматриваться как такая функция. В самом деле, закон живой силы в первоначальном виде в сочетании с известными или неизвестными Зп зависимостями между временем, начальными данными и переменными координатами всегда дает известные или неизвестные Зп -р 1 зависимости, связывающие время и начальные компоненты скоростей с начальными и конечными координатами и с Я. Однако благодаря тому, что Лагранж не пришел к представлению о действии как функции такого рода, те следствия, которые были выведены здесь из формулы (А) для изменения этого определенного интеграла, не были замечены ни им, ни другими блестящими аналитиками, занимавшимися вопросами теоретической механики, несмотря на то, что в их распоряжении была формула для вариации этого интеграла, не очень отличающаяся от нашей. Дело в том, что Лагранж и другие, рассматривая движение системы, показали, что вариация этого определенного интеграла исчезает, когда даны крайние координаты и постоянная Я. Они, по-видимому, вывели из этого результата только хорошо известный закон наименьшего действия, а именно 1) если представить точки или тела системы движущимися от данной группы начальных к заданной группе конечных положений не так, как это в действительности происходит, и даже не так, как они могли бы двигаться в соответствии с общими законами динамики, или с дифференциальными уравнениями движения, но так, чтобы не нарушать какие-либо предполагаемые геометрические связи, а также ту единственную динамическую зависимость между скоростями и конфигурациями, которая составляет закон живой силы 2) если, кроме того, это геометрически мыслимое, но динамически невозможное движение заставить отличаться бесконечно мало от действительного способа движения системы между заданными крайними положениями, то варьированное значение определенного интеграла, называемого действием или накопленной живой силой системы, находящейся в представленном таким образом движении, будет отличаться бесконечно мало от действительного значения этого интеграла. Но когда этот закон наименьшего, или, как его лучше было бы назвать, стационарного действия, применяется к определению фактического движения системы, он служит только для того, чтобы по правилам вариацион- [c.180]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...