Асинхронное варьирование

Асинхронно-варьированные движения. Между естественным движением М и каким-нибудь синхронно-варьированным движением М , по определению, существует одно-однозначное соответствие положения S и времени, в силу чего всякой конфигурации Р , принимаемой системой в естественном движении 7И, соответствует одна вполне определенная конфигурация Pf-j-SPf в варьированном движении Л1 при этом предполагается, что обе конфигурации Р,- и Р Pt достигаются системой в соответствующих движениях одновременно. [c.406]

По самому определению, всякому асинхронно-варьированному движению Мд однозначно соответствует синхронно-варьированное движение /Mg, имеющее ту же траекторию и отличающееся от него только законом изменения во времени. [c.406]

Заметим, кроме того, что между dt, дифференциалом времени в естественном движении М, и 8f, бесконечно малым приращением, характеризующим связь между соответствующими моментами времени Б асинхронно-варьированном движении и в движении М, существует соотношение переместительности [c.407]

Условимся рассматривать здесь только те асинхронно-варьирован-ные движения, для которых выполняется условие [c.408]

С другой стороны, важно отметить, что уравнение (23) не накладывает никаких ограничений на выбор траектории асинхронно варьированного движения или, если угодно, соответствующего синхронно-варьированного движения. Действительно, как бы ни были заданы 8Р в функциях от времени, уравнение (23), присоединенное к уравнению (21), определяет в функции от t величину d bt)jdi и, следовательно, определяет посредством одной квадратуры само Ы. [c.408]

Поэтому уравнение (22), если его применять только к асинхронно-варьированным изоэнергетическим движениям, сохраняет, без ограни- [c.408]

Величина А, определяемая формулой (25) для всякого возможного движения рассматриваемой материальной системы, носит название действия-, уравнение (24) выражает то обстоятельство, что для любого естественного движения действие имеет стационарный характер по сравнению со всеми асинхронно-варьированными изо-энергетическими движениями. [c.409]

Обратно, если для некоторого движения М справедливо вариационное условие (24) по отношению ко всем асинхронно-варьированным изоэнергетическим движениям, то достаточно провести в обратном [c.409]

Случай голономной системы со связями, не зависящими от ВРЕМЕНИ и с консервативными силами, в предположении консервативных сил принцип стационарного действия допускает следующую специальную формулировку, аналогичную той, которая была указана без доказательства в п. 10 для принципа Гамильтона для голономной системы со связями, не зависящими от времени, соответствующее действие для какого-нибудь естественного движения между двумя достаточно близкими конфигурациями будет не только стационарным, но и минимальным по сравнению с тем, которое имелось бы для всякого асинхронно-варьированного изоэнергетического движения. Здесь мы также, чтобы не слишком задерживаться, откажемся от доказательства этого утверждения ), [c.411]

Так как виртуальные перемещения для какой угодно конфигурации получаются путем прибавления к координатам произвольных бесконечно малых значений величин bq, то мы непосредственно видим, что траектория синхронно-варьированного движения будет произвольной кривой, бесконечно близкой к кривой с и соединяющей те же начальную и конечную точки. Если далее вспомним, что всякое асинхронно-варьированное движение можно получить из синхронно-варьированного, оставляя неизменными оо конфигураций и изменяя только момент t прохождения системы через соответствующую этому моменту конфигурацию в синхронно-варьированном движении на то заключаем, что также и для асинхронно-варьированных движений (изоэнергетических или нет) динамические траектории будут вполне произвольными <ривыми, лишь бы они были бесконечно близкими к кривой естественного движения и соединяли одни и те же концы. [c.412]

Заметив это, возьмем в качестве решения системы (31) некоторое решение о, соответствующее заданному значению постоянной энергии. Применяя операцию асинхронного варьирования к решению о, получим [c.432]

Так как при введенных с самого начала предположениях относительно функции Лагранжа 2 функция Н действительно зависит от dt, условие, что асинхронно-варьированное движение — изо-энергетическое, т. е. что Ь Н = 0, содержит, конечно, условие [c.432]

Движение асинхронно-варьированное 406 [c.545]

В методе переменного действия развивается подход, состоящий в использовании способов синхронного, асинхронного варьирования и варьирования по Гельмгольцу. Среди полученных интегральных равенств (заметки 14-17) центральное интегральное равенство, составленное на основе центрального уравнения Лагранжа при асинхронном [c.13]

Асинхронное варьирование. Варьируемыми можно считать не только обобщённые координаты и обобщённые скорости, но и время. Варьирование с изменением времени называется асинхронным [58. [c.66]

В способе асинхронного варьирования, применявшемся ещё Лагранжем, обозначим операцию классического асинхронного варьирования обобщённых координат и обобщённых скоростей через А [c.66]

Геометрическая интерпретация асинхронного варьирования определяется равенствами (3), (4) пусть = qi t) — некоторая траектория системы в действительном движении под действием активных сил и реакций связей, согласующих движение с наложенными связями наряду с траекторией действительного движения рассматриваются варьированные кривые такие, что точке qi в момент времени t на действительной траектории соответствуют точки qi + Aqi в момент времени t + At на варьированной кривой. Точке М траектории действительного движения ставятся в соответствие точка Ml, полученная синхронным варьированием, и точка М2, полученная классическим асинхронным варьированием (рис. 8.1). [c.67]

Операции асинхронного варьирования функции и функционала обозначим так же, как и вариации варьирования обобщённых координат, через А. Напомним, что операция 5 выполняется изохронно. Применительно к функции Лагранжа Ь и функционалу б (действие по Гамильтону) имеем следующие выражения вариаций [c.67]

Варьирование по Гельмгольцу. Иной способ варьирования применил Гельмгольц при выводе своего принципа (см. [ИЗ]). Далее способ, применённый Гельмгольцем, будем называть варьированием по Гельмгольцу. В отличие от асинхронного варьирования, в этом способе время как переменная, не варьируется, но варьируется дифференциал времени (И. (Например, при введении новой независимой переменной г вместо t, когда принимается I = 1 = (11/М 0.) Обозначим через А вариации по Гельмгольцу и покажем, что это варьирование перестановочно с операцией / д. Способ Гельмгольца приведём в сравнении со способом асинхронного варьирования. [c.68]

Из сравнения (10) и (5) следует, что перестановочные соотношения в способе Гельмгольца и способе асинхронного варьирования совпадают с точностью до обозначения (используем его и далее в способе [c.68]

Примечание. В работе [22] операция асинхронного варьирования (3) в реономной голономной системе рассматривается как расширенное варьирование вспомогательной склерономной системы с п + 1 степенями свободы. Заметим, что для дополнительной обобщённой координаты, которой считается время, в равенстве вида (3), [c.69]

Центральное уравнение Лагранжа при асинхронном варьировании. Центральным уравнением Лагранжа по предложению Гамеля называют равенство [58 [c.106]

Об изменении действия по Гамильтону и действия по Лагранжу при синхронном и асинхронном варьировании. Левая часть интегрального равенства (8) представляет собой выражение, которое равно нулю при предположениях принципа Гамильтона-Остроградского. Действительно, если кривые сравнения получаются изохронным виртуальным варьированием (А = 0) и при условиях на концах [c.108]

При асинхронном варьировании из (21) следует условие стационарности действия по Гамильтону [c.110]

Стремление к унификации формул аналитической механики приводит к идее рассматривать реономные системы как склерономные с п + 1 обобщённой координатой, включив в это число время. Здесь изучается вспомогательная склерономная система, построенная на основе функционала действие по Якоби. Обсуждается обоснование расширенного принципа Гамильтона-Остроградского вспомогательной системы с применением асинхронного варьирования. Получены уравнения движения и условия трансверсальности. [c.111]

Асинхронное варьирование действия вспомогательной склерономной системы. Исходной реономной системе (1) сопоставляется вспомогательная склерономная система по способу Якоби (см. п. 6.1). В этой системе время I рассматривается как дополнительная обобщённая координата и вводится независимый аргумент т [c.111]

Рассмотренный в этом параграфе способ варьирования, заключаю-шийся в сравнении конфигураций системы, допускаемых связями, в фиксированный момент времени называется синхронным варьированием. Можно рассмотреть более обш.ую операцию асинхронного варьирования, когда истинная конфигурация в момент / сравнивается с бесконечно близкой, допускаемой связями в момент отлич- [c.29]

Эти асинхронно-варьированные движения называются изоэнерге-тическими, так как в случае консервативных сил с потенциалом U уравнение (23) принимает вид [c.408]

Эта двойная формулировка, определяющая естественное движение по сравнению с асинхронно-варьированными изоэнергетическими движениями, и составляет так называемый принцип стационарного действия в только что указанной общей форме, обнимающей также и случай неконсервативных сил, формулировка этого принципа принадлежит Гёльдеру ). [c.410]

Кроме того, если примем во внимание, что, с одной стороны, полная энергия Е остается неизменной при переходе от естественного движения к какому-нибудь асинхронно-варьированному изоэнергетиче-скому движению и что, с другой стороны, этот переход в метрическом многообразии равносилен замене динамической траектории естественного движения произвольной бесконечно близкой кривой с теми же концами < , С , то из принципа стационарного действия (24 ) будем иметь, что динамическая траектория естественного движения между двумя указанными конфигурациями Q, Q при заданном значении энергии будет некоторой кривой метрического многообразия для которой криволинейный интеграл (25 ) имеет стационарное или минимальное, если обе конфигурации достаточно близки) значение. [c.413]

Асинхронное варьирование. Принцип Гёльдера ). В принципе Гамильтона операция варьирования производилась для одного и того же момента времени точке Р (в -пространстве) на действительной траектории в момент t ставилась в соответствие точка Р на варьированной траектории соответствующая тому же самому моменту времени. Это было возможно, так как в принципе Гамильтона задаются не только концевые точки, но и соответствующие им моменты времени, так что движение по исходному и варьированному путям совершается за одно и то же время. Теперь мы рассмотрим случай, когда точке q на исходной траектории, соответствующей положению системы в момент t, ставится в соответствие точка g + на варьированной траектории, характеризующей положение системы в момент t + Будем предполагать, что вариации 6 i, 6q2, , 6g , 8t являются функциями времени, принадлежащими к классу Сг. [c.534]

Виртуальное варьирование предполагает использование виртуальных перемещений, определяющих свойства реакций связей. Таким путём применение операций вариационного исчисления при варьировании функционала действие увязывается с физическим смыслом учитываемых ограничений. Вспомогательный характер имеет заметка 7 о дифференцировании функции при неявной зависимости от переменных и о вариационной производной. Способы синхронного, асинхронного варьирования и способ, применённый Гельмгольцем (и его расширение), а также варьирование в скользящих режимах реализации связей рассматриваются в заметке 8. В заметке 9 обсуждается составление уравнений для виртуальных вариаций неголономной связи связи, представляющей огибающую связи, зависящей от двух независимых параметров неравенства для виртуальных перемещений при неудерживающих связях. В одном из пунктов заметки 10 полностью содержится (с нашим примечанием) двухстраничная работа М. В. Остроградского Заметка о равновесии упругой нити , написанная им по поводу одной известной классической ошибки Лагранжа в других пунктах рассматривается использование неопределённых множителей при представлении реакций связей. Некоторое ограничение множества виртуальных перемещений позволило сформулировать обобщение принципа наименьшей кривизны Герца для систем с нестационарными связями (заметка 11). Несвободное движение систем с параметрическими связями (заметка 12) изучается на основе принципа освобождаемости по Четаеву, сформулированному им в задаче о вынужденных движениях составлено общее уравнение несвободных динамических систем, основные уравнения немеханической части которых имеют первый порядок (в отличие от механической части, основные уравнения которой второго порядка), предложено общее уравнение динамики систем со случайными параметрами. Центральное вириальное равенство (заметка 13) выводится с помощью центрального уравнения Лагранжа. [c.13]

Асинхронное варьирование позволяет в варьированном движении обобщённо-консервативных систем сохранить одинаковыми значения интеграла энергии (изоэнергетическое варьирование). Изоэнергетическое варьирование движения можно считать следствием влияния дополнительно наложенных идеальных стационарных связей (см. [51], Примечание Бертрана). Однако сам интеграл энергии как связь, требующую физической реализации с помощью реакций, Бертран не рассматривает. Выполнение условия изоэнергетичности достигается соотнесением действительного и варьированного состояний в разные моменты времени, в частности при прохождении начального и конечного положений. [c.68]

Варьирование по Гельмгольцу ставит в соответствие точкам действительного движения точки qi + 5qi в тот же момент времени (точки М и Ml на рис. 8.1), а скорости в варьированном состоянии qi + Aqi получаются с учётом соотношения (5) (операции А и дифференцирование d/dt не переставимы). Интегрированием равенства (11) каждой кривой, полученной варьированием по Гельмгольцу, сопоставляется функция Ai в способе асинхронного варьирования. [c.69]

Составляются интегральные равенства, представляющие собой выражения изменения действия при варьировании. В качестве действия рассматриваются классические действия по Гамильтону, по Лагранжу и вириальная форма действия для систем Четаева-Румянцева. Обобщения интегральных равенств получены при рассмотрении истинной траектории и варьированных кривых при совместном применении синхронного и асинхронного варьирования. Даётся обоснование расширенного принципа Гамильтона-Остроградского в теории реономных систем. На основе способа варьирования по Гельмгольцу сформулированы новые обобщения принципа Гёльдера. [c.106]

Интегральное равенство (5) по виду совпадает (с точностью до обозначений) с обобщённым принципом Гёльдера, полученным [102] при интегрировании асинхронной вариации функции AL (первое выражение в (8.6)). Однако здесь функция L варьируется по Гельмгольцу, и поэтому имеется различие кинематического смысла условий на концах кривые, варьированные по Гельмгольцу, проходят через начальное и конечное положения системы в моменты времени to и ti, а кривые, полученные асинхронным варьированием — в моменты времени to + Ar(io), ti + Ar(ii). [c.119]

Кроме классического принципа Гамильтона-Остроградского, получаемого изохронным варьированием (Аг = 0), принятому условию можно сопоставить расширенный вариант принципа, получаемого асинхронным варьированием. Например, условию d Ar)/dt = О удовлетворяет также функция Ат = edt, где с = onst, т. е. могут рассматриваться асинхронно варьированные кривые, получаемые путём бесконечно [c.119]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...