Закон живой силы

Закон живых сил. Приращение кинетической энергии детали равно работе сил, вызвавших это приращение [c.48]

Закон живой силы [c.99]

Закон живой силы в инерционном движении точки на рассматриваемой поверхности вращения можно записать в виде [c.115]

Система, предоставленная самой себе, может выбирать свои движения из движений с имеющимся запасом полной энергии h. Это обстоятельство позволяет ограничить множество сравнимых траекторий и смотреть на закон живых сил как на некоторое условие и принцип механики искать в виде условного вариационного принципа. [c.227]

Укажем еще на связь кинетической энергии с основным уравнением движения. Подобно тому, как в механике точки из закона живых сил [c.86]

Если в движении системы тел, для которой действует закон живых сил, взять произведение скорости каждой материальной точки системы на ее массу и на элемент ее траектории и подобные произведения, полученные для всех материальных точек, суммировать, а затем сумму эту проинтегрировать от одного заданного положения до другого, тоже заданного, то значение полученного интеграла будет вообще минимумом. [c.173]

В обычно применяемых методах определение движения свободной точки в пространстве под влиянием ускоряющих сил состоит в интегрировании трех обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка, а определение движения системы свободных точек, взаимно притягивающихся или отталкивающихся, — в интегрировании системы подобных уравнений, число которых втрое больше числа притягивающихся или отталкивающихся точек, если только мы предварительно не уменьшим это последнее число на единицу, рассматривая только относительные движения. Таким образом, в солнечной системе, если мы рассматриваем только взаимные притяжения Солнца и десяти известных планет [ ], определение движений последних относительно первого при помощи обычных методов сводится к интегрированию системы тридцати обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка, связывающих координаты и время, или же, при помощи преобразования Лагранжа, — к интегрированию системы шестидесяти обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, связывающих время и эллиптические элементы. При помощи этих интегрирований тридцать переменных координат или шестьдесят переменных элементов могут быть найдены, как функции времени. В методе, предложенном в данной работе, задача сводится к отысканию и дифференцированию единственной функции, которая удовлетворяет двум уравнениям в частных производных первого порядка и второй степени подобным же образом всякая другая динамическая задача, относящаяся к движениям (как бы многочисленны они не были) любой системы притягивающихся или отталкивающихся точек (даже если мы предполагаем, что эти точки ограничены какими-либо условиями связи, совместными с законом живой силы), сводится к изучению одной центральной функции, форма которой определяет и характеризует свойства движущейся системы и определяется двумя дифференциальными уравнениями в частных производных первого порядка в сочетании с некоторыми простыми соображениями. Таким образом, по крайней мере интегрирование многих уравнений одного класса заменяется интегрированием двух уравнений другого класса, и даже если считать, что этим не достигается никакого практического облегчения, тем не менее можно получить некое интеллектуальное наслаждение от сведения, пожалуй, самого сложного из всех исследований. [c.176]

Этим двум уравнениям в частных производных, начальному и конечному, первого порядка, но второй степени, должна тождественно удовлетворять характеристическая функция V они дают (как мы увидим далее) основное средство для раскрытия формы этой функции V и имеют существенное значение для ее теории. Если бы форма этой функции была известна, то мы могли бы исключить Зп — 1 начальных координат из Зп уравнений (С), и хотя мы еще не можем фактически осуществить процесс этого исключения, мы вправе утверждать, что оно удалит наряду с другими и остающуюся начальную координату и приведет к уравнению (б) конечной живой силы, которое затем могло бы быть преобразовано в уравнение (Р). Подобным же образом мы можем заключить, что все Зп конечных координат могут быть совместно исключены из Зп уравнений (О) и что результатом этого будет начальное уравнение живой силы (7) или преобразованное уравнение (О). Поэтому мы можем рассматривать закон живой силы, который помог нам раскрыть свойства нашей характеристической функции V, как включенный в эти свойства и получающийся в каждом частном случае путем исключения из систем (С) и (О) при рассмотрении любой из этих систем или при проведении любого другого динамического исследования методом этой характеристической функции мы вправе использовать уравнения в частных производных (Р) и (О), которым эта функция необходимо должна удовлетворять. [c.181]

Мы сможем считать еще одним подтверждением нащих собственных общих интегральных уравнений доказательство того, что они заключают в себе не только известный закон живой силы, но также шесть других известных интегралов первого порядка закон движения центра тяжести и закон площадей. Для этой цели необходимо только отметить, что из концепции нашей характеристической функции V с очевидностью следует, что эта функция зависит от начальных и конечных положений притягивающихся или отталкивающихся точек системы, не как отнесенных к какому-либо внешнему стандарту, а только как сравниваемых друг с другом следовательно, эта функция не будет меняться, если мы, не делая никаких реальных изменений ни в начальной, ни в конечной конфигурации, ни в их отношении друг к другу, сразу изменим все начальные и все конечные положения точек системы при помощи какого-нибудь общего движения, будь то перенос или вращение р]. Теперь, рассматривая три координатных переноса, мы получим три следующих уравнения в частных производных первого порядка, которым должна удовлетворять функция V [c.184]

Величины е , е ,..., и е , е ,..., е п представляют собой начальные данные, относящиеся к способу движения системы, а Ъп конечных интегралов, связывающих эти 6п начальных данных и п масс со временем и с 3 конечными или переменными величинами г) , г ,. .отмечающими переменные положения п движущихся точек системы, получаются теперь путем исключения вспомогательной постоянной Я из Зп + 1 уравнений (8) и (Е). В то же время Ъп промежуточных интеграла или интегралы первого порядка, которые связывают те же переменные отметки положения и их первые производные со временем, массами и начальными отметками положения, получаются в результате исключения той же вспомогательной постоянной Я из уравнений (Н) и (Е). Поэтому наша основная формула и промежуточные и конечные интегралы могут быть очень просто выражены в любой новой группе координат. При этом частные производные (Е), (О), которым должна удовлетворять наша характеристическая функция V и которые, как мы уже говорили, имеют существенное значение для теории этой функции, также могут быть легко выражены любыми подобными преобразованными координатами путем простого сочетания конечных и начальных выражений закона живой силы [c.187]

Точно так же совсем нетрудно вывести аналогичное преобразование известных дифференциальных уравнений движения второго порядка для любой системы свободных точек, взяв вариацию новой формы (Т) закона живой силы и использовав динамические значения производных нашей [c.187]

Из предыдущих замечаний следует, что для того, чтобы применить наш метод к любой задаче динамики, относящейся к любой движущейся системе, необходимо сочетать известный закон живой силы с нашим законом переменного действия. Общее выражение этого последнего закона может быть получено следующим образом. Прежде всего мы должны выразить величину Т, т. е. половину живой силы системы, как функцию (которая всегда будет однородной функцией второй степени) производных и т. д. любых прямоугольных координат или других отметок положения системы. Затем мы должны взять вариацию этой однородной функции по и т. д. и заменить вариации 0р2 и т.д.вариациями д r , т. д.самих отметок положения. Наконец, надо вычесть из конечного значения результата на- [c.189]

Посредством этого известного разложения полная живая сила 2Т системы распадается на две части 2Т, и 2Т, первая из которых, 2Г,, может быть названа относительной живой силой, так как она получается исключительно из относительных скоростей точек системы в их движениях вокруг общего центра тяжести х , у , г , в то время как вторая часть, 2Т , получается только из абсолютного движения этого центра тяжести в пространстве и будет такой, как если бы все массы системы были объединены в этом общем центре. В то же время закон живой силы Г = С/ + Я (6) с помощью закона движения центра тяжести распадается на два следующих отдельных уравнения [c.193]

Это означает, что мы выразим половину Т, относительной живой силы системы как функцию скоростей ц любых отметок относительного положения и затем, взяв вариацию Т относительно р, заменим эти вариации вариациями самих отметок положения вычтем начальное значение результата из конечного и сложим вариации конечной и начальной функций <р, и Ф,, которые входят в уравнения условий д>, = О, Ф, = О (соединяющие конечные и начальные отметки относительного положения), соответственно помноженные на неопределенные множители А,, Л, наконец, приравняем полный результат величине б V, —t дН,, где Н, является независимой от времени величиной в уравнении (50) относительной живой силы, а V, является относительным действием, вариацию которого мы хотим найти. Нет необходимости останавливаться здесь на демонстрации этого нового правила (У ), которое легко можно вывести либо на основе уже изложенных принципов, либо исходя из закона живой силы, при помощи вариационного исчисления в сочетании с дифференциальными уравнениями второго порядка относительного движения. [c.197]

Задача интегрирования этих уравнений состоит в том, чтобы попытаться найти с их помощью шесть отношений между временем t, массами Ша, шестью переменными координатами х , у , г , Ха, Уа, 2а и их начальным , значениями и начальными скоростями а , Ь , с , а , Ь , а г, Ь ц с[, а , 4- Если бы мы знали эти шесть конечных интегралов и сочетали их с начальной формой закона живой силы или известного промежуточного интеграла [c.200]

Тот же закон переменного действия подсказывает еще один метод исследования формы этой характеристической функции, не требующий предварительного интегрирования известных уравнений движения, а именно, интегрирование двух уравнений в частных производных, связанных с законом живой силы [c.215]

Приближенные выражения, выведенные из предыдущей строгой теории 244 Другая строгая теория возмущения, основанная на свойствах возмущающей части константы закона живой силы и дающая формулы для варьирования элементов, более аналогичные уже известным 246 Упрощение дифференциальных уравнений, определяющих постепенно меняющиеся элементы в любой задаче на возмущение и интегрирование упрощенных уравнений посредством некоторых функций [c.234]

Другая строгая теория возмущения, основанная на свойствах возмущающей части константы закона живой силы и дающая формулы для варьирования элементов, более аналогичных уже известным [c.246]

Хотя наш общий метод в динамике предназначен главным образом для изучения систем притягивающихся или отталкивающихся точек, он не ограничивается ими, но может быть использован во всех вопросах, к которым применяется закон живых сил. Все анализы, приведенные в данной работе, и в особенности теория возмущений, могут быть не без пользы проиллюстрированы на следующих аналогичных рассуждениях и выводах, относящихся к движению одной точки. [c.253]

Интеграл, который мы только что написали, превратится в частном случае динамики в закон живых сил. Мы могли бы получить это немедленно, положив [c.331]

Мы не останавливались бы более на принципе наименьшего действия, если бы геометры, занимавшиеся этим принципом, остановились на уравнении (22). Но они пошли дальше. Они комбинировали это уравнение вместе с дифференциалом в смысле д выражения закона живых сил, что приводит к нашему интегралу (20). [c.334]

Если мы в это уравнение подставим вместо 0 ее значение —Л, полученное из закона живых сил, то получим интеграл уравнений (14), играющий роль интеграла живых сил. Пусть [c.354]

Этим замечанием Эйлера в неявном виде формулируется ограничение области применения принципа наименьшего действия кругом проблем, в которых силы имеют потенциал ). Таким образом, согласно Эйлеру, необходимым условием применимости принципа наименьшего действия является подчинение системы закону живых сил, в. то время как Мопертюи усматривал универсальность своего принципа наименьшего количества действия именно в том, что он имеет более общее значение, чем закон живых сил, или другие законы механики. В то же время в той форме, которую придал Мопертюи этому принципу, он имеет смысл только для конечных и мгновенных изменений скорости, и поэтому из него можно получать только уравнения, связывающие конечные величины. Эйлерова же форма принципа наименьшего действия охватывает непрерывные движения, и из нее получаются дифференциальные уравнения траекторий. [c.789]

Согласно его толкованию, физический смысл принципа наименьшего действия заключается в конкретизации закона живых сил. Более того, Лагранж увязывает это толкование с установленным им ранее фактом из статики, что в случае равновесия живая сила всегда максимальна или минимальна. [c.800]

Умножая на Л и интегрируя от нуля до / и приняв во внимание закон живых сил и хорошо известное уравнение [c.819]

Якоби указывает, что случай, когда одновременно имеют место закон живых сил и принцип наименьшего действия, очень важен <(Гамильтон заметил, что в этом случае задача может быть сведена к нелинейному дифференциальному уравнению в частных производных первого порядка. Если найдено одно его полное решение, то получаются все интегральные уравнения. Функцию, определенную этим дифференциальным уравнением, Гамильтон называет характеристической. [c.826]

В той форме, которую придал Якоби принципу наименьшего действия, связь его с законом живых сил видна еще более резко, чем у Лагранжа.. В оценке принципа в той форме, в которой время исключено, а именно [c.828]

На основании этого, для определения движения машины достаточно одного уравнения. Задача этого Отдела, главным образом, заключается в том, чтобы составить основное уравнение установившегося движения машины. Это можно сделать при помощи закона живой силы, связывающего живую силу машины с работой сил, действующих в машине. [c.9]

Уравнение лвижения машины, основанное на законе живых сил, [c.49]

Если на рассматрпваемой траектории dt не равно пулю, то можно выбрать в р ачестве параметра Я время t, пзмереиное на траектории, па которой имеет место закон живой силы [c.228]

Для того чтобы более ясно показать, что действие или накопленную живую силу системы или, другими словами, интеграл произведения живой силы на элемент времени можно рассматривать как функцию упомянутых выше бл -Ь 1 величин, а именно начальных и конечных координат и величины Я, следует отметить, что все, что зависит от способа и времени движения системы, может рассматриваться как такая функция. В самом деле, закон живой силы в первоначальном виде в сочетании с известными или неизвестными Зп зависимостями между временем, начальными данными и переменными координатами всегда дает известные или неизвестные Зп -р 1 зависимости, связывающие время и начальные компоненты скоростей с начальными и конечными координатами и с Я. Однако благодаря тому, что Лагранж не пришел к представлению о действии как функции такого рода, те следствия, которые были выведены здесь из формулы (А) для изменения этого определенного интеграла, не были замечены ни им, ни другими блестящими аналитиками, занимавшимися вопросами теоретической механики, несмотря на то, что в их распоряжении была формула для вариации этого интеграла, не очень отличающаяся от нашей. Дело в том, что Лагранж и другие, рассматривая движение системы, показали, что вариация этого определенного интеграла исчезает, когда даны крайние координаты и постоянная Я. Они, по-видимому, вывели из этого результата только хорошо известный закон наименьшего действия, а именно 1) если представить точки или тела системы движущимися от данной группы начальных к заданной группе конечных положений не так, как это в действительности происходит, и даже не так, как они могли бы двигаться в соответствии с общими законами динамики, или с дифференциальными уравнениями движения, но так, чтобы не нарушать какие-либо предполагаемые геометрические связи, а также ту единственную динамическую зависимость между скоростями и конфигурациями, которая составляет закон живой силы 2) если, кроме того, это геометрически мыслимое, но динамически невозможное движение заставить отличаться бесконечно мало от действительного способа движения системы между заданными крайними положениями, то варьированное значение определенного интеграла, называемого действием или накопленной живой силой системы, находящейся в представленном таким образом движении, будет отличаться бесконечно мало от действительного значения этого интеграла. Но когда этот закон наименьшего, или, как его лучше было бы назвать, стационарного действия, применяется к определению фактического движения системы, он служит только для того, чтобы по правилам вариацион- [c.180]

Следовательно, таким путем мы можем вывести из свойств нашей характеристической функции шесть других известных интегралов, злюмянутых выше, помимо того седьмого, который содержится в законе живой силы и который помог нам открыть наш метод. [c.185]

Эти последние преобразования дифференциальных уравнений движения второго порядка системы притягивающихся или отталкивающихся точек во всех отношениях совпадают (не считая небольших различий в написании) с изящными каноническими формами, данными Лагранжем в Me anique Analytique, но нам казалось, что стоит вывести их заново из свойств нашей характеристической функции. Предположим (как это часто считается удобным и даже необходимым), что п точек системы не являются целиком свободными и подвержены не только своим собственным взаимным притяжениям и отталкиваниям, но связаны любыми геометрическими условиями и подвергаются влиянию любых внешних факторов, согласующихся с законом сохранения живой силы так, что число независимых отметок положения будет менее велико, а силовая функция менее проста, чем раньше. Тогда мы можем доказать при помощи рассуждения, очень сходного с предыдущим, что и при этих предположениях (которые, однако, дух динамики все более и более склонен исключать) накопленная живая сила, или действие V системы, представляет собой характеристическую функцию движения уже разобранного выше рода. Эта функция выражается тем же законом и формулой вариации, подверженной тем же преобразованиям, и обязана удовлетворять таким же способом, как и выше, конечной и начальной зависимости между ее частными производными первого порядка. Она приводит при помощи варьирования одной из этих двух зависимостей к тем же каноническим формам, которые были даны Лагранжем для дифференциальных уравнений движения, и дает, исходя из изложенных выше принципов, их промежуточные и конечные интегралы. По отношению же к тем мыслимым случаям, в которых закон живой силы не имеет места, наш метод также неприменим однако среди людей, наиболее глубоко занимавшихся математической динамикой вселенной, все более крепнет убеждение, что представление о таких случаях вызывается недостаточным пониманием взаимодействия тел. [c.189]

Ответ Лагранжа предуказан тем, что, как мы видели выше, область применения принципа ограничена для него сферой применения закона живых сил. Если вспомнить, что Лагранж показал, что принцип наименьшего действия может быть выражен в форме интеграла который должен равняться максимуму или минимуму, то станет совершенно ясен ответ Лагранжа на поставленный выше вопрос. [c.800]

Итак, мы видим, что Лагранж и здесь, как и в проблеме обоснования анализа, идет по пути известного самоограничения. Он ограничивает сферу применимости принципа наименьшего действия областью применимости закона живых сил, следуя в этом отношении за Эйлером. Он рассматривает свойство интеграла dt 2 давать минимум или максимум для действительного движения как свойство аналитического характера. У Лагранжа принцип наименьшего действия перестал уже иметь явно логическое значение, признаком которого было бы нечто большее, чем чисто аналитические свойства, выражающиеся возможностью делать вариацию нулем , — говорит Дюринг ). Но то, что Дюринг считает достоинством Лагранжа, на самом деле есть его недостаток, ибо, кроме метафизики , существует также научный анализ физического содержания математических выражений ). Исследование Лагранжа, которое было выше нами рассмотрено, пред- [c.800]

Остроградский указывает, что анализ Лагранжа в той части его аналитической механики, где он выводит уравнение движения из принципа, наименьвиего действия вместе с законом живых сил, неточен. Остроградский считает, что в силу применения закона живых сил между некторыми переменными, которые Лагранж полагает независимыми, существует зависимость [c.830]

Продолжая исследования М. В. Остроградского, Ф. А. Слудский ) и затем М. И. Талызин ) показали, что принцип наименьшего действия в форме Эйлера—Лагранжа и принцип Гамильтона—Остроградского существенно различны. Дело в том, что в принципе Гамильтона вариации координат 6 , изохронны и время не варьируется, так как каждой точке действительной траектории ставится в соответствие точка на другой бесконечно близкой кривой, причем обе точки проходятся в один и тот же момент времени. В случае же принципа Эйлера— Лагранжа связи стационарны и имеет место закон живых сил Т = U + h. При этом допущении время должно варьироваться. [c.834]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...