Уравнения поверхности теории потенциала

В дальнейшем при рассмотрении задач теории потенциала для областей, ограниченных несколькими поверхностями, будут изложены приемы, связанные с определенной модификацией представлений гармонической функции, что приводит к интегральным уравнениям, всегда разрешимым, в частности, в случае задачи В . [c.102]

Новая техника выдвинула трудную задачу построения теории теплообмена в сверхзвуковых потоках с учетом химических и фазовых превращений вещества. В ряде работ из этой области приводятся расчетные соотношения, полученные на основе упрощений и грубых приближений. Большинство исследователей при решении нестационарных задач по теплообмену использует замкнутую систему уравнений аэродинамики и уравнений кинетики химических превращений вещества. Однако не всегда эта замкнутая система уравнений является корректной. Например, часто приравнивают конвективный перенос вещества к скорости химической реакции, менаду тем как первое понятие относится к классу потоков и, следовательно, связано, с поверхностями одинакового потенциала -переноса, а второе характеризует изменение в объеме и по существу всегда скалярная величина. [c.16]

В импульсной теории несущий винт представляется схемой активного диска, т. е. диском нулевой толщины, который способен поддерживать по обе стороны от себя разность давлений и таким образом сообщать ускорение проходящему через него воздуху. Нагрузка считается стационарной, но в общем случае она может изменяться по поверхности диска. В- схеме активного диска можно учесть на винте постоянный крутящий момент, за счет которого проходящему через диск воздуху сообщается некоторый момент количества движения. Задача теории состоит в том, чтобы рассчитать обтекание активного диска и, в частности, при заданной силе тяги найти индуктивную скорость и потребную мощность. В импульсной теории эту задачу решают, используя основные гидродинамические законы сохранения в вихревой теории скорость, индуцируемую вихревым следом, находят с помощью формулы Био — Савара в потенциальной теории решают уравнения гидродинамики относительно потенциала скоростей или функции тока. Если схема течения одна и та же, то все три теории должны дать одинаковые результаты. [c.43]

Применение функций Грина в теории потенциала известно очень хорошо. Удобнее всего определить этз функцию внутри замкнутой поверхности 5 как потенциал, который обращается в нуль на данной поверхности, а в точке Р х, у, z ), находящейся внутри нее, стремится к бесконечности как 1/г, когда / -> 0. Обозначим такое решение уравнения V a = О через G (Р) тогда решение этого уравнения, не обращающееся в бесконечность внутри данной поверхности и принимающее на ней произвольное значение V, запишется в виде [c.347]

Как доказывается в теории потенциала, при весьма широких предположениях о виде поверхности о и при только что указанных граничных условиях, уравнение Лапласа имеет единственное решение (задача Неймана). Не останавливаясь на общей теории, перейдем к рассмотрению некоторых простейших частных гидродинамических задач, а затем и более общих пространственных течений. [c.271]

Устремляя точку наблюдения Х( к поверхности, мы найдем, что, хотя уравнение (4.11) дает непрерывные в любой точке поля смещений, выражения (4.12) — (4.14) не определены на поверхности, если точка приложения нагрузки и точка наблюдения совпадают. Используя стандартные методы теории потенциала (см. гл. 3), можно получить, например, [c.105]

Теперь рассмотрим те вопросы теории волн на поверхности воды, для решения которых мы желаем применить метод ГИУ. Характерная особенность теории волн на воде заключается в наличии свободной поверхности или границы раздела с другой жидкостью (например, с атмосферой), на которой может поддерживаться волновое движение (где восстанавливающим механизмом является гравитация), даже если основное дифференциальное уравнение, описывающее движение внутри жидкости, будет эллиптическим, например уравнение Лапласа для потенциала скорости ф (v = УФ) в случае безвихревого течения невязкой и несжимаемой жидкости. Такие предположения обычно применяются в задачах о волнах на поверхности воды они существенно нарушаются тогда, когда происходят некоторые особые физические явления, например разрушение волн. Исключая эти явления и некоторые другие эффекты, например поверхностное натяжение и т. д., мы получим [2] для Ф следующее линейное дифференциальное уравнение в частных производных внутри области D, занятой жидкостью [c.19]

Как доказывается в теории потенциала, при весьма широких предположениях о виде поверхности о, уравнение Лапласа (15) при только что указанных граничных условиях имеет единственное решение функция , представляющая это решение, называется гармонической функцией. Не останавливаясь на общей теории решения уравнения Лапласа, приведении его к интегральному уравнению и других относящихся сюда общих вопросах математической физики, перейдем к рассмотрению некоторых частных гидродинамических задач, а затем изложим метод расчета пространственного обтекания осесимметричных тел — наиболее важной для практики пространственной задачи. Что касается вопроса об обтекании тел произвольной формы, то, в отличие от плоского движения, соответствующая задача в пространстве представляет непреодолимые трудности. [c.393]

Первое из этих выражений, представляющее потенциал скоростей непрерывного распределения источников по некоторой поверхности сз, дает гидродинамическую интерпретацию известного в теории тяготения и электростатического притяжения потенциала простого слоя. Потенциал простого слоя так же, как и ньютонов потенциал объемного распределения (19), является решением уравнения Лапласа, причем, как доказывается в теории потенциала, потенциал простого слоя конечен [c.397]

Метод отражений. Как указано ранее, формы тела или границы потока в теории потенциальных течений представляются просто поверхностями тока, геометрически подобными очертаниям твердых границ, имеющих практический интерес поскольку задача напряжений сдвига у границы не рассматривается, то никаких трудностей из-за этого представления не возникает, ибо поток не проникает ни через эти поверхности, ни через твердые границы. Однако, как видно из уравнений для функций потенциала или тока, математическое поле беспредельно, и здесь существует кажущееся поле потока по обе стороны любой выбранной поверхности тока, например, в случае моделирования потока, обтекающего шар, исследование уравнений покажет, что неразрывное поле движения распространяется на произвольно большое расстояние, выравниваясь после шарообразной поверхности тока к диполю в центре. Поскольку любое другое замкнутое тело должно также включать особенности, подобным же образом поля потока будут существовать по обеим сторонам границы и поток будет всегда заканчиваться у внутренних особенностей. Эта система внутренних особенностей считается как бы отражением их наружной части. Если может быть найдено расположение, природа и напряжение этих отраженных особенностей, их потенциалы вместе с потенциалами механизмов течения, воспроизводящих наружный поток, дадут полный потенциал для потока вокруг тела. Оценка этих потенциалов, однако, вообще является трудной задачей. Только для случаев шарообразной, круглой или плоской границ имеются способы, пригодные для определения отражений. [c.111]

Большой интерес в настоящее время представляет возможность применения метода вихревого слоя, к профилям конечной толщины.. При этом вихри распределяются по поверхности профиля и задача решается в точной постановке. Общая теория вопроса является непосредственным приложением математической теории потенциала задача сводится к построению подходящих численных методов расчета. Наибольшее значение метод вихревого слоя приобрел в связи с новыми возможностями, которые дают ЭВМ. В частности, Г. А. Павловец (1966) разработал схему численного расчета обтекания многосвязных контуров произвольной формы. В этой работе метод вихревого слоя применяется в интерпретации М. А. Лаврентьева (1932), когда задача сводится к интегральному уравнению Фредгольма второго рода, выражающему обращение в нуль касательных скоростей потока с внутренней стороны замкнутого контура. При построении численного метода для отыскания неизвестного распределения плотности вихревого слоя на всех контурах используется итерационный процесс решения системы интегральных уравнений Фредгольма второго рода. Численный метод дает реальную возможность рассчитывать поле течения для таких сложных систем, как толстый профиль со щелевыми закрылками и предкрылками, механизированный профиль вблизи земли и т. п. [c.88]

Дальнейшие уточнения расчета обтекания требуют распределения особенностей по поверхности тела вращения. Задача для распределенных по поверхности источников и стоков сводится к решению интегрального уравнения Фредгольма второго рода, вывод которого непосредственно следует из общей математической теории потенциала и дан, например, в работе Н. Я, Фабриканта (1937). Численный метод решения задачи, приспособленный к современным вычислительным машинам, имеется в работе Л. А. Маслова и И. Б. Федоровой (1965) и сводится к решению интегрального уравнения методом последовательных приближений. Л. А. Маслов [c.90]

В предыдущих разделах настоящей главы были представлены решения некоторых задач плоского течения, имеющих практическое значение. При этом были использованы некоторые из наиболее мощных аналитических методов теории потенциала. Так как мы в первую очередь заинтересованы в физической интерпретации и значении этих задач, то нами были показаны только те методы, которые имеют непосредственное приложение к проблемам некоторого практического значения . Однако существует ряд общих выводов, имеющих практический интерес, которые можно будет достаточно хорощо обрисовать здесь и которые не зависят от таких подробных данных, которыми характеризовались уже рассмотренные задачи. В качестве первого вывода следует упомянуть, что в целом каковы бы ни были отдельные формы граничных контуров, течение в любой системе замкнутых поверхностей всегда пропорционально разности давлений между поверхностями, через которые движется жидкость и от которых она движется при условии, что оба ряда поверхностей имеют постоянное давление каждый. Это положение можно рассматривать как само собой очевидное следствие линейности уравнения Лапласа. Его можно вывести также, пользуясь методом функции Грина. Однако представляет собой интерес показать следу- [c.190]

Введенные выше потенциалы позволяют решение основных краевых задач теории упругости свести к интегральным уравнениям второго рода. Начнем с первой основной задачи. Пусть для упругого тела, занимающего область D, ограниченную поверхностью S, требуется определить смещения, предельные значения которых будут принимать заданные значения iF (< ) (см. (1.1) гл. III). Будем разыскивать смещения в виде обобщенного упругого потенциала двойного слоя (1.8). Тогда в соответствии с формулой (1.21) приходим к интегральным уравнениям [c.557]

Сначала при известном температурном поле находится частное решение уравнения (2.2.12) для термоупругого потенциала перемещений, первые производные которого по координатам определяют соответствующие частные решения для перемещений. Далее вычисляются отвечающие частным решениям для перемещений тепловые напряжения, которые, вообще говоря, не удовлетворяют заданным условиям на поверхности тела. Затем на это решение накладывается решение соответствующей краевой задачи теории упругости, содержащее необходимое число постоянных интегрирования для удовлетворения граничных условий. [c.40]

Согласно линеаризованной теории в области течения нижнее полупространство) существует потенциал скоростей ф, удовлетворяющий уравнению Лапласа. На глиссирующей поверхности известна нормальная или, что эквивалентно, вертикальная скорость. В случае больших чисел Фруда, когда силой веса можно пренебречь, на горизонтальной поверхности перед глиссером (р = 0. За глиссером равна нулю частная производная потенциала скорости по времени д(р/д1. Если в случае установившегося движения продолжить течение в верхнее полупространство, то окажется, что течение во всем пространстве представляет собой течение вокруг тонкого крыла. При этом подъемная сила глиссирующей поверхности равна половине подъемной силы тонкого крыла, а точки приложения этих сил совпадают. Поправка на конечный размах, вводимая в теории тонкого крыла, полностью переносится и на подъемную силу глиссирующей поверхности Л. И. Седов, 1937). Вообще всякое решение задачи [c.11]

Интегральные уравнения. В первой краевой задаче вектор перемещения и Q), принимающий заданное значение v Q на поверхности О (объема Vi во внутренней задаче, полости во внешней задаче), разыскивается в форме второго потенциала теории упругости с неизвестной плотностью Ь М) [c.13]

Согласно электрохимической теории коррозии [2—4], протекание процессов (1.1), (1.1а), (1.2) и (1.2а) подчиняется законам электродной кинетики. Иначе говоря, кинетические уравнения, найденные для описания этих частных реакций в чистом виде, сохраняют свою силу и в том случае, если они протекают иа поверхности металла одновременно. Очевидно, что коррозионная система достигнет некоторого стационарного состояния тогда, когда сумма скоростей окислительных процессов (1.1) и (1.2а) будет равняться сумме скоростей восстановительных процессов (1.2) и (1.1а). При этом электродный потенциал металла Е приобретает некоторое стационарное значение ст, или [c.6]

Уравнение Рейнольдса позволяет определить градиент давления в масляном слое вдоль оси х в общем случае, когда движение масла происходит под действием силового потенциала и под увлекающим действием движущейся поверхности [69]. Это уравнение служит основой гидродинамической теории смазки. [c.80]

Так же как в начале гл. 1, в этом уравнении опущен нелинейный инерционный член и-уи. Взяв ротор , мы заключаем, что в рамках линейной теории поле вихрей не зависит от времени Завихренность остается фиксированной, однако при этом многие другие величины могут распространяться . Вращательная часть поля скоростей, порожденная этим стационарным полем вихрей, не зависит от времени ей соответствует избыточное давление Ре == О (как следует из уравнения (4)), и она, таким образом, не возмущает плоскую поверхность воды. Оставшаяся часть поля скоростей является безвихревой и поэтому может быть записана в виде градиента Уф потенциала скорости Ф только эта часть возмущает поверхность воды или проявляет себя в колебаниях, связанных с распространением волн. [c.257]

Теоретическая механика, развиваясь, достигла большой глубины и мастерства в исследовании многих весьма сложных проблем. Существует также значительное число математических дисци1ялин (теория оптимальных процессов, симплектическая геометрия, теория потенциала, теория линейчатых поверхностей, теория возмуш.ений, теория устойчивости, теория дифференциальных уравнений и др.), проис- [c.9]

В первом их этих уравнений неизвестно. М. А. Гольдштик искусно обошел это затруднение, заменив первое уравнение системой уравнений, следующих из теории потенциала скоростей, что особенно ясно показано в [59, с. 108]. Это равенство нулю частных производных от потенциала скоростей на всех твердых границах, постоянство осевой скорости в цилиндрическом потоке и на входной границе (сечение 1-J на рис. 5.5), а также равенство нулю центробежного давления на свободной поверхности. Эта система уравнений одинаково справедлива как для сверхкритиче-ского, так и для подкригического потока. Однако второе уравнение системы (П.1) справедливо только для сверхкритического потока. Вычисления же в работах [6, 58 и 119] построены для подкригического потока. Это и является причиной отказа в данной книге от использования результатов теоретических вычислений в [6, 58 и 119]. [c.167]

Если обратиться к классической теории потенциала, то сингулярные интегральные уравнения, полученные для решения как первой основной задачи, так и для второй, представляют собой интегральные уравнения Фредгольма второго рода. Разница заключается в том, что для решения первой основной задачи исходят из представления в виде потенциала двойного слоя, а для решения второй основной задачи следует воспользоваться представлением смещений в виде обобщенного потенциала простого слоя. Разумеется, отличие также состоит в физическом смысле искомых функций и значениях правых частей. Для этих сингулярных уравнений индекс (разность между числом собственных функций исходного уравнения и союзного к нему) оказывается равным нулю [152]. Следовательно [153J, будет существовать оператор, который преобразует их в эквивалентные регулярные уравнения второго рода, и поэтому к исходным уравнениям применимы альтернативы Фредгольма. При этом поверхность тела может быть представлена набором кусочно-однородных поверхностей, подчиняющихся условиям Ляпунова, а плотность сингулярного интегрального уравнения должна удовлетворять условию Гельдера — Липшица вместе со своей производной [153] [c.55]

Конечно, Герц не имел, как имели мы здесь, уже готового предположения о распределении давления по поверхности плитки, при знании которого ему оставалось бы только доказать правильность решения. Он по этому вопросу не делал никаких предварительных предположений и нашел закон распределения давлений лишь в результате своих исследований. Герц пришел к своему результату, опираясь на то, что решение основных уравнений упругого равновесия может быть получено при помощи теории потенциала притягивающих или отталкивающих масс. Если представить себе, что между обоими телами помещен трехосный эллипсоид равномерной плотности, у которого ось, идущая в направлении нормали касательной плоскости, в сравнении с осями, расположенными в площадке сжатия, бесконечно мала, то для сил притяжения масс этого эллипсоида, подчиняющихся закону тяготения Ньютона, можно вычислить потенциал в виде функции от координат ауфпункта ) и для такого потенциала уже давно была выведена готовая формула. Как можно показать, не только сами составляющие сил притяжения, вычисляемые по соответствующим формулам, но и функции, получаемые из них путем диференцирования или интегрирования по координатам, будут представлять решения основных уравнений теории упругости, и вся задача заключается лишь в том, чтобы составить из них такое решение, которое удовлетворяло бы одновременно всем граничным условиям, относящимся к напряжениям и деформациям. Это и удалось сделать Герцу. Кто захотел бы ознакомиться с теорией сжатия упругих тел по оригинальным работам Герца, тот должен иметь соответствующие предварительные сведения из теории потенциала. [c.230]

В случае несжимаемой жидкости теорию потенциала можно использовать для создания поля течения с помощью распределения источников на свободной поверхности, положение и интенсивность которых являются искомыми функциями одной переменной (длины дуги). Использовав эту идею, Шиффман и Спенсер ) показали, что условие постоянства давления на свободной поверхности приводит к системе интегральных уравнений относительно функций одной переменной. Значительным достижением, которое принадлежит Хиллману, было приближенное численное интегрирование этих уравнений для конуса с углом в 60°. [c.177]

Задача об определении напряжений и деформаций в упругом твердом теле под действием данных массовых сил и при заданных поверхностных силах, или при условии, что под действием этих последних поверхность тела принимает заданную форму, приводится к аналитической задаче об определении функций, выражающих проекции смещения. Эти функции должны удовлетворять всем диференциальным уравнениям равновесия в каждой точке внутри тела, а также некоторым условиям на его поверхности. Методы, предложенные для интегрирования этих уравнений, распадаются на два класса. Методы одного из этих дбух классов состоят в том, что сначала разыскиваются частные решения для того чтобы удовлетворить граничным условиям, решение представляют в виде конечного или бесконечного ряда, состоящего из частных решений. Частные решения обычно могут быть выражены через гармонические функции. Этот метод решения можно рассматривать, как обобщение разложения по сферическим функциям или обобщение тригонометрических рядов. Методы второго класса состоят в том, что искомую величину выражают в виде определенного интеграла, элементы которого имеют особые точки, распределенные по поверхности или объему, тот тип решения является обобщением методов, которые Грин ввел в теорию потенциала. К моменту открытия общих уравнений теории упругости, метод рядов был уже применен к астрономическим, акустический проблемам и к проблемам теплопроводности ), а метод решений, имеющих особые точки, еще не был изобретен ). Ламе и Клапейрон ) первые применили метод разложения в ряд к проблемам равновесия упругих твердых тел. Они рассматривали случай тела, ограниченного бесконечной плоскбстЬю и находящегося под давлением, распределенным по какому-либо вакону. Позже Ламе °) рассматривал проблему тела, ограниченного сферической поверхностью и деформируемого данными повер ностными силами. Задача а распределении напряжений в полупространстве, ограниченном плоскостью, в основном совпадает с проблемой передачи внутрь тела действия силы, при- [c.28]

Некоторые результаты теории потенциала. Между методами решения поставленной проблемы и методами решения соответствуюш,их проблем теории потенциала суш,ествует бросаюш,аяся в г аза аналогия. В теории потенциала мы имеем дело с определением функции И, которая помимо обычных условий непреривиости внутри заданной поверхности удовлетворяет еще уравнению ) [c.241]

Перейдем теперь к рассмотрению спектральных свойств уравнений (2.2) и (2.3), а равным образом и (2.5). Положим Я = 1 и допустим, что эти уравнения имеют нетривиальные собственные функции (ввиду равенства нулю индекса, число этих функций одинаково). Обозначим через фо собственную функцию уравнения (2.3), а через У(р, фо) — потенциал, имеющий функцию фо своей плотностью. Этот потенциал является реще-нием задачи И при нулевых значениях напряжений на поверхности. Уместно при этом отметить, что в любом случае смещения, представимые потенциалом простого слоя, убывают на бесконечности как l/R, а напряжения — как 1// . Поэтому можно воспользоваться теоремой единственности внешней задачи теории упругости. Тогда получаем, что потенциал V тождественно равен нулю в области 0 . С другой стороны, потенциал простого слоя является функцией, непрерывной всюду, включая поверхность 5. Поэтому потенциал V р, фо) будет тождественно равен нулю в области 0+, поскольку он обращается в нуль на поверхности 5. Возвращаясь же к формуле (1.24), получаем, что функция фо тождественно равна нулю. Следовательно, точка Я = I не является собственным значением для уравнений (2.3), (2.4) и (2.5). Поэтому перечисленные уравнения разрешимы при произвольной правой части, а получаемые решения единственны, [c.559]

Интегральное уравнение (2.24) при Я=1 соответствует второй основной задаче для совокупности областейDI,. ..,От когда решение разыскивается в виде единого потенциала простого слоя, распределенного по всем поверхностям. Собственные функции союзного уравнения соответствуют решению первой основной задачи для области О. Используя обобщенную теорему Гаусса (1.19), не составляет труда показать, что смещение как жесткого целого каждой из поверхностей 5/ (/ = = 0) есть собственная функция. Поэтому в отличие от случая, когда область ограничена одной поверхностью, точка X = 1 является полюсом резольвенты. [c.567]

Решение уравнений (43.10) в форме (43.12) обладает некоторыми преимуществами в случае, когда необходимо удовлетворить граничным условиям на плоских поверхностях. Тогда задача об удовлетворении граничных условий может быть сведена к смешанной задаче теории гармонического потенциала (задача Буссинеска — Черрути). [c.350]

Теория У. к. заключается в решении уравнения Уокера для магнитоетатич. потенциала /(магн. поле A=V4>) с учётом, граничных условий на поверхности образца. Ур-ние имеет вид [c.226]

Для того чтобы понять рассмотренные выше закономерностиЪо влиянию состава электролита на водородное перенапряжение, а также другие экспериментальные наблюденные факты, необходимо учесть и специфическое строение двойного слоя, на которое впервые указал Фрумкин, разработавший теорию замедленного разряда в современном ее понимании (24). Дело в том, что,, используя теорию замедленного разряда в ее первоначальном виде для вывода основных кинетических уравнений реакции разряда ионов водорода, не учитывали специфические особенности электрохимических реакций. На реакцию, протекаюш,ую на границе раздела двух фаз металл — электролит в условиях, когда на электроде имеется определенный заряд,, оказывает большое влияние электростатическое взаимодействие между этим зарядом и ионами. Прямым следствием указанного взаимодействия является изменение концентрации реагирующих частиц на поверхности металла, а следовательно, и изменение скорости самой электрохимической реакции. Силы электростатического взаимодействия между электродом и ионами, в свою очередь, зависят от плотности заряда, т. е. потенциала электрода и строения двойного слоя. [c.28]

Первоначально развитие методов расчета нестационарных характеристик тонких тел, колеблющихся в сверхзвуковом потоке, основывалось на линейной теории, использующей предположение о малости возмущений, вызываемых телом в потоке газа. Скачки уплотнения вырождаются в характеристические поверхности, а система уравнений газовой динамики сводится к уравнениям второго порядка в частных производных для потенциала возмущенной скорости. Результаты, полученные при таком подходе, изложен в книгах Е.А. Красильпщковой (1952 г.) и ДЖ.В. Майлса (1963 г.) [c.5]

Однако, это доказательство, кроме длинноты, имеет некоторое неудобство. Оно опирается, в самом деле, на теорему о разрывности производных потенциала простого слоя. Но, как известно, доказательство этой теоремы предполагает различные гипотезы относительно природы поверхности 8 и вида ее уравнения в соседстве с рассматриваемой точкой. Мы получаем, таким образом, менее общее доказагельство теоремы, которую мы имели в виду для давлений. [c.213]

Для вывода математической зависимости между степенью защиты и плотностью защитного тока (или смещением потенциала в отрицательную сторону) необходимо воспользоваться уравнениями кинетики электродных процессов. Основными электрохимическими реакциями на корродирующем и подвергающемся катодной защите металле являются ионизация металла (анодный процесс), электровосстановление кислорода, разряд ионов водорода и металла (катодные процессы), уравнения скоростей которых приведены в табл.- 7. Их использование оказывается затруднительным, если базироваться на теории многоэлектродных систем, поскольку в практических условиях коррозии и защиты распределение поверхности на катодные и анодные участки, а также распределение внещнего ток по гетерогенной поверхности остается неопределенным. Вместе с тем вывод искомого соотношения оказывается возможным на базе гомогенно-электрохимических представлений о поведении металлов в условиях стационарной коррозии и поляризации внешним током. [c.21]

В теории пластического потенциала вектор приращения пластической деформации перпендикулярен поверхности нагружения (текучести) в любой регулярной точке доказать, что если удовлетворяется критерий Мизеса, то выполняются уравнения def /si = deu/sn = defn/sni- [c.268]

Теорема о минимуме энергии. С теоремой об однозначности решения связана теорема о минимуме потенциальной энергии. Рассмотрим случай когда отсутствуют массовые силы и на граничной поверхности заданы сме- едия Потенциальная энергия деформации тела равна объемному интегралу от упругого потенциала, распространенному по пространству, которое занимает тело. Мы можем выразить теорему следующим образом смещения, удовлетворяющие диференциальным уравнениям равновесия и условиям на граничной поверхности, сообщают потенциальной энергии деформации наименьшее значение по сравнению со значением, которое ей сообщает всякие другие смещения, удовлетворяющие лишь тем же условиям на граничной поверхности. [c.182]

R. D. Mindlin [2.152] (1952) получил на основе трехмерных уравнений теории анизотропной электроупругости уточненные дифференциальные уравнения поперечных пьезоэлектрических колебаний пластин постоянной толщины. При этом он исходил из модели Тимошенко. По аналогии с работой для упругой пластины [2.1501 им получены граничные условия для электрического поля. В построенной модели учитывается взаимодействие упругих и электрических полей. Тензор напряжений и вектор поляризации зависят линейно от тензора деформаций и вектора напряженности электрического поля. Предполагается, что поверхности полностью покрыты электродами и потенциал, так же как и продольные перемещения, линейно изменяется по толщине. В случае плоской деформации и гармонического во времени движения система дифференциальных уравнений относительно продольного перемещения , прогиба W и электростатического потенциала ср имеет вид [c.124]

Поляризация и электрический потенциал, соответствующие решению (7.6.21), имеют следующее поведение. Абсолютная величина поляризации практически однородна в основной части объема слоя со значением, лишь немного меньшим однородного значения из классической теории. Однако около поверхностей раздела величина поляризации резко спадает к граничным значениям (7.6.15). Электрический потенциал ф также имеет почти однородный градиент в объеме слоя, его величина меньше величины однородного градиента из классической теории, однако непосредственно около поверхностей величина градиента резко возрастает (рис. 7.6.2). Мы имеем, таким образом, электрический пограничный слой. Миндлин [Mindlin, 1969] показал, что равновесное решение уравнений для моноатомных решеток [c.474]

В качестве практически важного примера найдем смен ение и потенциал, создаваемые электрическим зарядом, расположенным на произвольно ориентированной поверхности пьезокристалла любой симметрии (/ , = 0). В основном будем следовать работе [05]. Необходимо отметить, что функции Грина произвольного пьезоэлектрика содержат поперечные волновые числа, явля-юп1иеся корнями характеристического уравнения восьмой степени. Явное аналитическое выражение для таких корней отсутствует. Однако в строгой теории возбуждения волн электродными преобразователями фигурируют лишь значения компонент Фурье-функций Грина, которые могут быть получены численными методами. Помимо этого, из обш,его выражения в некоторых случаях удобно получать более частные результаты, например для поверхности, являюн ейся плоскостью симметрии или перпендикулярной оси симметрии, когда число компонент функции Грина и порядок характеристического уравнения понижаются (см. 5 гл. I). [c.173]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...