Уравнения равновесия диференциальные

Совместное решение шести уравнений равновесия для вязкой жидкости, уравнения неразрывности и трёх уравнений движения (см. т. 1, сгр. 805—806) после ряда упрощений приводит к основному диференциальному уравнению гидродинамической теории смазки [c.570]

Диференциальные уравнения равновесия в напряжениях. Исключая перемещения из уравнений, связывающих напряжения и деформации, мы получим диференциальные уравнения равновесия, выраженные в напряжениях. Для этого отметим, что составляющие тензора деформации удовлетворяют следующим тождествам [c.33]

VI. ПРИМЕНЕНИЕ МИНИМАЛЬНЫХ ПРИНЦИПОВ К СОСТАВЛЕНИЮ ДИФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ РАВНОВЕСИЯ И ДВИЖЕНИЯ В НЕКОТОРЫХ СПЕЦИАЛЬНЫХ СЛУЧАЯХ. [c.56]

К этим диференциальным уравнениям равновесия струны надо присоединить еще граничные условия [c.67]

Это и есть диференциальное уравнение равновесия мембраны. [c.69]

И формула (4) дает П= —Л. Сказанное надо понимать в том смысле, что, выбирая чи) Х-,у) любым образом, мы сообщаем выражению (4) некоторое значение, большее, чем — А если же удовлетворяет диференциальному уравнению равновесия (1) и пограничным условиям (2), то выражение (4) принимает свое минимальное значение, равное — А если же, наконец, принять для я/ приближение вида (6), удовлетворяющее граничным условиям (2), но не диференциальному уравнению равновесия (1), определяя коэфициенты так, [c.153]

Прямое интегрирование диференциальных уравнений равновесия. Колонна (фиг. 2) сжата силой Р, действующей вдоль оси ее. При малой Р колонна остается прямой. При увеличении Р может наступить такой момент, когда прямолинейная форма колонны делается неустойчивой и колонна искривляется. Для нахождения того значения Р, при к-ром начинается это искривление, предполагают, что колонна уже искривилась, и составляют диференциальное ур-ие изгиба для малых отклонений от прямолинейной формы равновесия. При малых отклонениях это уравнение получается линейным. Интегрируют его и определяют из" граничных условий произвольные постоянные, вошедшие при интегрировании. Эта операция приводит к конечным уравнениям, в к-рые входят произвольные постоянные интегрирования, сила Р и размеры колонны. Критич. значение Р находится из того О соотношения между силой и размерами колонны, при к-ром уравнение изгиба может иметь несколько решений, удовлетворяющих одним и тем же граничным условиям (изгиб продольны й—см. Изгиб). Его иногда изменяют след, обр. к силе Р, критич. значение к-рой надо определить, присоединяют еще какую-либо силу (напр. поперечную силу или момент) и смотрят, при каком значении Р прогиб, вызываемый дополнительной силой, будет неопределенно возрастать. Это значение Р и будет С. к. [c.392]

Диференциальные уравнения равновесия. Из тела, находящегося под действием [c.117]

Уравнения теории упругости в перемещениях. В некоторых случаях бывает удобно за основные неизвестные принимать составляющие перемещения точек упругого тела. Тогда в каждой точке тела неизвестны три функции и, у и IV, и задача приводится к разысканию этих трёх функций, при условии, что внутри тела они должны удовлетворять диференциальным уравнениям равновесия (1), а на поверхности тела — уравнениям (3). Составляющие напряжения, входящие в эти уравнения, выражаются при помощи уравнений (7), (8) и (11) через составляющие перемещения. [c.120]

Трёх уравнений равновесия (1) и условий на поверхности (3) недостаточно для определения шести неизвестных функций. Статическая неопределимость упругого тела разрешается добавлением шести диференциальных зависимостей Сен-Венана (10), которые при помощи уравнений (12) выражаются через составляющие напряжений. [c.120]

Метод непосредственного интегрирования состоит в интегрировании диференциальных уравнений колебаний эти уравнения могут быть записаны в форме диференциальных уравнений равновесия, в которых помимо заданных сил Р учтены силы инерции, т. е. [c.180]

Если, с другой стороны, тот или другой из коэфициентов а или о отрицателен, то решение соответствующего диференциального уравнения будет заключать в себе действительные показатели, как в 15, и как бы мало отклонение ни было, оно вообще будет стремиться увеличиваться до тех пор, пока разложение в ряд и соответствующее приближение не перестанет быть действительным. Такое положение равновесия называется, неустойчивым". [c.80]

По поводу формулы (2а) следует заметить, что ее можно было бы вывести, не пользуясь диференциальным уравнением, а проведя через сосуд секущую плоскость, перпендикулярную к оси симметрии ), и рассматривая равновесие отсеченной части. Меридиональные напряжения а,., действующие в этом сечении по параллельному кругу радиуса г, должны уравновешиваться давлением, производимым жидкостью на площади круга и имеющим величину г п/ . Это условие дает равенство [c.17]

При исследовании явлений устойчивости плоской формы равновесия одно- или многопролетной неразрезной балки, концы которой не могут повертываться в плоскости концевых поперечных сечений и которая нагружена вертикальными силами в плоскости, целесообразно исходить из уравнения (48). Но при этом, однако, нужно иметь в виду, что так же, как и в случае диференциального уравнения (48) для упругой линии, в каждом пролете интегрирование нужно производить особо, так как выражение момента М при переходе через точку приложения силы или через опору изменяется. Обе постоянные интегрирования, получающиеся в каждом пролете, определяются по граничным условиям в начале и в конце соответствующего пролета. [c.333]

Плоская задача теории упругости охватывает два частных случая равновесия упругого тела случай плоского напряжённого состояния и случай плоской деформации. В математическом отношении оба указанных случая тождественны, так как приводятся к решению одного и того же диференциального уравнения. [c.124]

Выделив на поверхности цилиндрической оболочки бесконечно малый элемент (фиг. 59) с размерами ( х и йу и составив уравнения его равновесия, получают следующие диференциальные уравнения [c.172]

Ур-ння (1) выражают, что в деформированном теле имеет место геометрия Эвклида. Составляющие тензора кривизны Р и м а н н а-К рнстоффеля дюлжны при этом обратиться в нуль это условие равносильно уравнениям совместимости, если ограничиться малыми перемещениями. Из ур-ний (1) получаем диференциальные уравнения равновесия в напряжениях в виде [c.34]

Известная трудность в методе Ритца заключается всегда в построении функций, которые принимали бы на поверхности тела заданные значения. Так обстоит дело во всех тех случаях, когда заданы перемещения. Но если заданы поверхностные напряжения, то эта трудность отпадает, так как в вариационной задаче граничные условия отпадают. Необходимо только прп известных условиях относительно существования производных сделать потенциальную энергию минимальной. Класс допускаемых аппроксимирующих функций не ограничен уже условиями на поверхности если решать диференциальные уравнения равновесия в перемещениях [(2) 13] при заданных напряжениях, то условия равновесия на поверхности [(5) 13] должны быть выражены через производные перемещений. На- [c.161]

Диференциальное уравнение равновесия П. постоянной тол-щ и н ы. Плоскость, параллельную основаниям цилиндра или призмы и делящую высоту пополам, называют срединной плоскостью П. Относим П. к прямоугольной декартовой системе координат. Располагаем оси х-ов и -ов в срединной плоскости ось направляем перпендикулярно к этой плоскости. Через обозначаем прогиб срединной плоскости (го называют упругой поверхностью П.), а через и и V—перемещения, соответственно параллельные осямя -ов и у-оъ. При выводе ур-ия поверхности, вид к-рой принимает срединная плоскость, принимают, что последняя не испытывает рас-тялсений, что линейные элементы, перпендикулярные к срединной плоскости, после изгиба нормальны к срединной поверхности, что при изгибе П. точки срединной плоскости перемещаются только параллельно оси -ов, т. е. для точек этой плоскости перемещения u=v = 0, что толщина П. 1г бесконечно мала по сравнению с ее размерами, а прогиб мал по сравнению с к. Удлинениями линейных элементов срединной плоскости пренебрегают как бесконечно малыми высшего порядка по сравнению с такими удлинениями для слоев П., удаленных от срединной плоскости. При вычислении нормальных напряжений и касательных Уд для данного напряженного состоя- [c.275]

Задача об определении напряжений и деформаций в упругом твердом теле под действием данных массовых сил и при заданных поверхностных силах, или при условии, что под действием этих последних поверхность тела принимает заданную форму, приводится к аналитической задаче об определении функций, выражающих проекции смещения. Эти функции должны удовлетворять всем диференциальным уравнениям равновесия в каждой точке внутри тела, а также некоторым условиям на его поверхности. Методы, предложенные для интегрирования этих уравнений, распадаются на два класса. Методы одного из этих дбух классов состоят в том, что сначала разыскиваются частные решения для того чтобы удовлетворить граничным условиям, решение представляют в виде конечного или бесконечного ряда, состоящего из частных решений. Частные решения обычно могут быть выражены через гармонические функции. Этот метод решения можно рассматривать, как обобщение разложения по сферическим функциям или обобщение тригонометрических рядов. Методы второго класса состоят в том, что искомую величину выражают в виде определенного интеграла, элементы которого имеют особые точки, распределенные по поверхности или объему, тот тип решения является обобщением методов, которые Грин ввел в теорию потенциала. К моменту открытия общих уравнений теории упругости, метод рядов был уже применен к астрономическим, акустический проблемам и к проблемам теплопроводности ), а метод решений, имеющих особые точки, еще не был изобретен ). Ламе и Клапейрон ) первые применили метод разложения в ряд к проблемам равновесия упругих твердых тел. Они рассматривали случай тела, ограниченного бесконечной плоскбстЬю и находящегося под давлением, распределенным по какому-либо вакону. Позже Ламе °) рассматривал проблему тела, ограниченного сферической поверхностью и деформируемого данными повер ностными силами. Задача а распределении напряжений в полупространстве, ограниченном плоскостью, в основном совпадает с проблемой передачи внутрь тела действия силы, при- [c.28]

Другой метод для определения напряжений в теле развился на основе одной заметки Эри (Airy) °). Он заметил, что в случае системы двух измерений fi3 уравнений равновесия тела под действием поверхностных сил вытекает, что компоненты напряжения могут быть представлены как частные производные второго порядка одной единственной функции. Максвелл (Maxwell) ) обобщил этот результат на случай трех измерений, для которого пришлось ввести три функции напряжений . В дальнейшем было обнаружено, что эти функции связаны между собой довольно сложной системой диференциальных уравнений ). В самом деле компоненты напряжений могут быть выражены через компоненты деформации но эти последние,не неза-] висимы вторые производные от компонентов деформации по координатам связаны системой линейных уравнений, которые выражают условия, необходимые для того, чтобы компоненты деформации могли быть выражены, согласно обычным формулам, через производные от трех проекций смещения ), Принимая во внимание эти линейные соотношения, можно составить полную систему уравнений, которым должны удовлетворять компоненты напряжения, и таким образом получить возможность непосредственного определения напряжений без предварительного состааления и разрешения диференциальных уравнений для проекций смещения ). В случае системы двух измерений, получающиеся уравнения имеют довольно простой вид, и мы можем получить много интересных решений. [c.30]

Должна лежать в соприкасающейся плоскости той кривой, по которой располагается изогнутая ось, и когДа Бине (В1пе1) ввел уравнение моментов относительно касательной, то Пуассон на основании этого уравнения пришел к заключению,-что крутящий момент постоянен. Лишь постепенно возникло представление о двух изгибающих пара в двух главных плоскостях, и был найден способ определения меры закручивания. Когда эти элементы теории были получены, стало ясно, что, зная соотношения, связывающие, изгибающие и крутящие моменты с кривизной и степенью кручения и пользуясь обычными условиями равновесия, можно определить форму изогнутой оси, степень кручения стержня вокруг этой оси, а также растягивающую и Перерезы вающую силу в любом данном сечении. Изгибающие и крутящие. пары, а также растягивающая и перерезывающая силы, происходят от усилий, приложенных к, элементам поперечных сечений, и правильные выражения для этих пар и сил следует искать при помощи общей теории. Но здесь возникает затруднение, состоящее в том, Что общие уравнения применимы лишь тогда, когда смещения малы между тем для таких тел, как спиральные пружины, смещения ни в коем случае нельзя считать малыми. КирхГоф (КтеЬЬоК) первый преодолел Это затруднение. Он показал, что общие уравнения применимы со всей строгостью к малой части тонкого стержня, все линейные размеры которой того же порядка малости, что и диаметры, поперечного сечения. Он считал, что уравнения равновесия или движения такой части можно в первом приближении упростить, пренебрегая силами -инерции и массовыми силами. Исследования, содержащиеся в теории Кирхгофа, носят в значительной своей части кинематический, характер. Когда тонкий стержень подвергается изгибу и скручиванию, то каждый его элемент испытывает деформацию, аналогичную тем деформациям,. которые имеют место в призмах Сен-Венана но соседние элементы должны непрерывным образом переходить один в Другой. Для того чтобы выразить непрерывность этого рода, необходимы некоторые условия. Эти условия принимают форму диференциальных уравнений, которые связывают относительные смещения точек малой части стержня с относительными координатами этих точек и с величинами, которые определяют положение данной части относительно всего стержня в целом. Из этих диференциальных уравнений Кирхгоф получил картину деформации в элементе стерл я и нашел выражение для потенциальной энергии, отнесенной к единице -длины, через относительное удлинение, компоненты кривизны и степень кручения. Он получил уравнения равновесия и колебаний, варьируя функцию, Выражающую энергию. В случае, когда тонкий стержень подвергается действию внешних сил, приложенных лишь иа его концах, уравнения, которыми определяется форма изогнутой оси, идентичны, как показал Кирхгоф, с уравнениями движения тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки. Эта теорема носит название кинетической аналогии Кирхгофа . [c.36]

Теорема о минимуме энергии. С теоремой об однозначности решения связана теорема о минимуме потенциальной энергии. Рассмотрим случай когда отсутствуют массовые силы и на граничной поверхности заданы сме- едия Потенциальная энергия деформации тела равна объемному интегралу от упругого потенциала, распространенному по пространству, которое занимает тело. Мы можем выразить теорему следующим образом смещения, удовлетворяющие диференциальным уравнениям равновесия и условиям на граничной поверхности, сообщают потенциальной энергии деформации наименьшее значение по сравнению со значением, которое ей сообщает всякие другие смещения, удовлетворяющие лишь тем же условиям на граничной поверхности. [c.182]

Постановка задачи. С аналитической точки зрения основная задача теории упругости состоит в решении уравнения равновесия изотропного тела заданной формы й при заданных смещениях или напряжениях на гра[-ницё. Случай, когда на тело действуют массовые силы, приводится при помощи полученного в 130 частного интеграла к случаю тела, деформированного только поверхностными силами на граничной поверхности. Отсюда наша задача заключается в определении таких функций и, V, т, которые внутри заданной границы непрерывны вместе с их производными и удовлетворяют диференциальным уравнениям в частных производных [c.240]

Малые смещения. Переходя теперь к теории равновесия оболочек, испытывающих действие внешних сил, мы будем предполагать, что смещение всюду мало. Уравнения равновесия (45) и (46) 331 представляют собой систему шести уравнений, связывающих шесть компонентов упругого усилия Г,,. .. и четыре компонента упругого момента О,,. .. с компонентами смещения (и, V, хг>). Шесть величин р[,. .., входящих в эти уравнения, выражаются через и, V, чю по формулам (24) и (25) 326. Если считать достаточным первое приближение для упругого усилия и момента, то четыре из шести компонентов первого и все компоненты второго выражаются через величины г,, .,, ш и XJ, Хд, т по формулам (36) и (37) 329 эти же последние выражаются через и, V, чю по формулам (21) и (26) 326. Мы имеем, таким образом, систему шести диференциальных уравнений для определения пяти вгличин ЛА,, и, V, ш.. При рзшении этой системы отбрасываются все члены порядка выше первого относительно величин ЛА Л 2, н, и, w. [c.592]

Рассмотрим аналитически возникновение побочных тонов на примере асимметричного механического аппарата. Пользуясь принятыми обозначениями, иапишем диференциальное уравнение равновесия сил, действующих на механическую колебательную систему (без потерь) [c.28]

Теперь у нас имеются все данные для расчета жесткой оболочки, имеющей ось симметрии, при симметричной же нагрузке. Дальнейший расч т должен производиться следующим образом. В три уравнения (31), выражающие условия равновесия, вставляют результирующие напряжения и моменты 5 , 5,, и из формул (41) и (42), удлинения и а также приращения кривизны х,. и выраженные при помощи формул (32), (33), (36) и (37) через и, w к О, причем следует еще принять во внимание уравнение совместности (38) этих трех величин. Тогда три уравнения, выражающие условия равновесия, можно свести к двум диференциальным уравнениям для V и . [c.38]

Чтобы доказать это, мы сперва выведем диференциальное уравнение, которому должна удовлетворять выпукла поверхность мыльной пленки. Фиг. 80 показывает сечение мыльной пленки плоскостью, параллельной плоскости ху. Рассмотрим равновесие сил, действующих в направлении оси X и приложенных к эле. енту пленки, проектирующемуся на плоскость yz в виде малого прямоугольника со сторонами dy и dz. Из капиллярной физики известно, что натяжение пленки, приходящеес [c.71]

Совершенно аналогйчно прямоугольной пластинке исследуется и вопрос об устойчивости плоской формы равновесия круглой пластинки. Кто придает большое значение точным решениям, тот в случае круглой пластинки будет чувствовать себя удовлетворенным в большей степени, чем в случае прямоугольной пластинки, так как мы можем совершенно аналогично тому, как это оказалось возможным в третьей главе при рассмотрении изгиба круглых пластинок, симметрично нагруженных силами, перпендикулярными к их поверхности, вывести сравнительно просто точное выражение для критической нагрузки. Но для практических целей это не имеет никакого значения, и потому мы предпочитаем вывести формулу для критической нагрузки круглой пластинки совершенно таким же способом, как и для прямоугольной. Для этой цели нам нужно лишь составить выражение работы деформации при изгибе для такой возможной формы изогнутой поверхности со стрелою прогиба /, которая не очень отличалась бы от получающейся при потере устойчивости плоской формы. В третьей главе такого готового выражения, мы непосредственно не имеем, так как там задачу, относящуюся к круглой пластинке, мы решали на основании диференциального уравнения упругой поверхности, а не на основании теорем о работе упругих сил. Но мы легко можем его вывести дополнительно. По формуле (103), найденной нами в 27, стрела прогиба /круглой пластинки, нагруженной в центре сосредоточенной силой Р и свободно опертой по контуру, выражается следующим образом [c.319]

Обе формулы (86) и (87) и являются основою приближенного способа, который состоит в том, что вместо шарнирной цепи с 6e KvjHe4Ho большим числом бесконечно малых отдельных звеньев, заменяюь,ей непрерывный стержень, мы должны взять шарнирную цепь с небольшим числом звеньев. Вследствие этого диференциальные уравнения для непрерывной балки перейдут в уравнения в конечных разностях для шарнирной цепи. В остальных отношениях ход вычислений для определения критической нагрузки остается такой же, какой мы применили в первои параграфе этой главы. Как и там, мы сообщим шарнирной цепи, находящейся в равновесии, бесконечно малые возможные перемещения, совместные с граничными условиями, и напишем условия равновесия для [c.355]

В этом случае проще всего было бы вывести диференциальные уравнения в перемещениях с помощью минимальных принципов, а следовательно, для случая равновесия, которым мы здесь ограничимся, с помощью принципа минимума потен циальной энергии (принципа возможных перемещений), который во всяком случае остается в силе. [c.165]

Динамический прием основан на рассмотрении колебаний системы около положения равновесия. Надо составить диференциальное уравнение колебаний колонны, проинтегрировать его и вычислить период колебаний Т. Он зависит от величины сжимаюгцей силы Р. То значение Р, при к-ром Т неопределенно возрастает, и является Р р,. Физический смысл этого приема ясен с увеличением Р колонна колеблется все медленнее и медленнее. При Р = колонна, отклонившидь от прямолинейной формы, в нее уже не возврагцается, а остается искривленной. С математич. точки зрения этот прием является наиболее сложным. [c.393]

Частоту собственных колебаний К. в. со многими массами находим, принимая внешние моменты=0 и находя условия равновесия для вала в плоскости каждой массы Условия равновесия всехпмасс выражаются системой п диференциальных уравнений [c.294]

Уравнение колебаний М. [I]. Большой практич. интерес представляют поперечные колебания М., находящейся под действием равномерного натяшения т на 1 см . Если через V обозначить смещение М. от плоскости равновесия (ж, у), а через V (ж, у, О вынуждающую силу на 1 слФ поверхности М., то для случая малых колебаний зависимость смещения от зс, и и времени определится диференциальным уравнением [c.361]

Непосредственное интегри р.о-сапие диференциальных уравнений, получаемых рассмотрением слегка изменённой, сравнительно с заданной, формы равновесия (( вынужденное смещение ) приводит к -.системе однородных уравнений. Приравнивая нулю детерминант, составленный из [c.209]

Диференциальное уравнение колебаний груза в эгом случае (при отсчётах z от положения равновесия груза) имеет вид [c.660]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...