Симплектическая геометрия

При вычислениях в симплектической геометрии бывает полезно ввести в симплектическом пространстве еще какую-нибудь евклидову структуру. Мы зафиксируем симплектическую систему координат р, д и введем евклидову структуру с помощью координатного скалярного произведения. [c.195]

Приведенную выше диаграмму всегда полезно иметь в виду при исследовании связей в симплектической геометрии. [c.440]

Те, кто плохо знаком с дифференциальной и симплектической геометрией (здесь можно рекомендовать книги [75, 6, 7]), при чтении этого параграфа могут все результаты представлять себе в координатной форме и игнорировать иногда слишком формальную математическую терминологию. В ее основе лежат простые динамические факты, но при первом знакомстве она может казаться несколько оторванной от них. [c.27]

Здесь описаны приложения классификаций критических точек функций в геометрии, приводящие к лагранжевым особенностям (см. о них в обзоре Симплектическая геометрия , т. 4). Термин каустики, описывающий ответы в этих задачах, заимствован из оптики (каустика, т. е. жгущая —место концентрации световых лучей). Теория лагранжевых особенностей [c.100]

В симплектической геометрии поверхности называются лагранжевыми. Их характеристическое свойство состоит в том, что значение инварианта Пуанкаре [c.75]

Из симплектической геометрии хорошо известно неравенство [c.189]

Глава 1. Симплектическая геометрия [c.8]

В обычной геометрии существует два способа уменьшить размерность многообразия — взять сечение или проекцию. В симплектической геометрии размерности симплектических многообразий чётны и уменьшение размерности всегда достигается в два шага, один из которых — взятие сечения, другой — проектирование. Для того чтобы получить многообразие характеристик мы начинаем с сечения коразмерности 1 (гиперповерхность) и затем проектируем его с одномерным ядром на многообразие характеристик. [c.9]

Контактная геометрия составляет математический базис геометрической оптики в таком же смысле, в каком симплектическая геометрия является базисом классической механики. Оптико-механическая аналогия Гамильтона позволяет интерпретировать проблемы и результаты симплектической геометрии на языке контактной геометрии и наоборот. Тем не менее, прямой подход в терминах контактной геометрии во многих случаях предпочтительнее, по крайней мере с точки зрения геометрической интуиции он демонстрирует геометрическое содержание формул симплектической теории. Связь между симплектической и контактной геометриями подобна связи между геометрией линейных пространств и проективной геометрией для того чтобы получить контактный аналог симплектического утверждения, необходимо заменить функции гиперповерхностями, аффинные пространства проективными и т. д. [c.59]

Теоретическая механика, развиваясь, достигла большой глубины и мастерства в исследовании многих весьма сложных проблем. Существует также значительное число математических дисци1ялин (теория оптимальных процессов, симплектическая геометрия, теория потенциала, теория линейчатых поверхностей, теория возмуш.ений, теория устойчивости, теория дифференциальных уравнений и др.), проис- [c.9]

Основная часть этой книги написана двадцать лет назад. За это время идеи и методы симплектической геометрии, на которых основана книга, нашли многочисленные применения как в математической физике и других областях приложений, так и в самой математике. В особенности следует отметить бурное развитие теории коротковолновых асимптотик, с их приложениями в оптике, теории волн, акустике, спектроскопии и даже хиагаи, и одновременное развитие теории лагранжевых и лежандровых особенностей и многообразий, т. е. теорий особенностей каустик и волновых фронтов, их топологии и их перестроек. [c.6]

Более подробное изложение теории возмущений читатель найдет в книге Математические аспекты классической и небесной механики В. И. Арнольда, А. И. Нейштадта и Б. В. Козлова, составляющий третий том знциклопедической серии Современная математика. Ф даментальные направления (М. ВИНИТИ, 1985). Четвертый том этой же серии содержит обзор современного состояния симплектической геометрии (Б. И. Арнольд, А. Б. Ги-венталь), статью А. А. Кириллова о геометрическом квантовании и обзор С. П. Новикова с соавторами о развитии теории интегрируемых систем, лить затронутом в настоящей книге. [c.7]

Обнаруженные во всех этих теориях факты потенциально имеют широчайший круг приложений, но, поскольку они были открыты лишь недавно, и изложены лишь в специальной литературе, их применение сдерживается пока относительной труднодоступно-стью математических текстов для прикладников. Я надеюсь, что настоящая книга позволит овладеть зтими достижениями не только математикам, но и механикам, физикам и всем другим потребителям теории динамических систем, симплектической геометрии и вариационного исчисления. [c.8]

В классической механике используются весьма разнообразные математические методы и понятия дифференциальные уравнения и фазовые потоки, гладкие отображения и многообразия, группы и алгебры Ли, симплектическая геометрия и эргодическая теория. Многие современные математические теории возникли из проблем механики и лишь впоследствии приняли тот аксиоматически-абстрактный вид, который так затрудняет их изучение. [c.9]

Б. Подмногообразия симплектического многообразия. Ограничение симплектической структуры на подмногообразие — замкнутая 2-форма, но она уже не обязательно невырождена. В евклидовом пространстве, кроме внутренней геометрии подмногообразий, имеется обширная теория внешних кривизн. В симплектической геометрии положение нрош,е [c.448]

НОВЫЙ качественный подход к анализу проблемы п тел. Позднее в гамильтоновой динамике зародились два различных направления ( ) исследование динамической сложности, возникающей в этой задаче из-за определенной гиперболичности (Алексеев, Конли), и Ш) анализ интегрируемых систем и их возмущений, который привел к КАМ-теории. Хотя и гиперболическая, и интегрируемая модели были известны еще со времен Пуанкаре, потребовался глубокий анализ Колмогорова, для того чтобы осознать, что многие качественные особенности (весьма специальных) интегрируемых систем в определенной степени сохраняются под действием возмущений, а также возникают в типичных ситуациях (например, вблизи неподвижной эллиптической точки). На развитие обоих этих направлений повлиял вопрос об устойчивости солнечной системы, который изучался в рамках гиперболического подхода в терминах устойчивости системы п тел и в рамках КАМ-теории посредством анализа возмущений, например, (интегрируемой) системы центральных сил без учета взаимодействий между планетами. В работе Конли и Цендера была установлена взаимосвязь топологических и вариационных методов, ставшая краеугольным камнем современной глобальной симплектической геометрии. Возрождение анализа вполне интегрируемых систем началось с работы Гарднера, Грина, Крускала и Миуры и открытия П. Лаксом новых методов построения интегрируемых систем. Это привело к быстрому увеличению числа новых интересных примеров конечномерных интегрируемых систем, а также к построению теории бесконечномерных гамильтоновых систем. Применение этой теории к изучению нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных стало крупным достижением впервые в ситуациях, когда асимптотическое поведение уже не может быть названо тривиальным, появились средства для законченного качественного анализа. [c.24]

Эта эквивалентность называется также контактной, ибо графики J -эквивалентных отображений в пространстве R"X XRp имеют диффеоморфные пересечения (контакты) с плоскостью R"XO- Мартине [270] назвал рассматриваемую эквивалентность V-эквивалентностью, поскольку она переводит росток многообразия (variety) в росток / (0), а термин контактная группа вообще-то закреплен за другим объектом (см. обзор Симплектическая геометрия в т. 4 этой серии). [c.165]

Гивенталь А. Б., Симплектическая геометрия. Итоги науки и техн. ВИНИТИ. Соврем, пробл. матем. Фундам. направл., 1985, 4, 7—139 [c.237]

Здесь описаны некоторые приложения классификации критических точек функций в геометрии, приводящие к лежандро-вым особенностям (см. о них в обзоре Симплектическая геометрия , т. 4 настоящей серии). Теория лежандровых особенностей опубликована в 1974 г. (см. [105], (9]). [c.97]

Симплектическая геометрия — это геометрия фазового пространства. Эта глава содержит некоторые стандартные определения и факты элементарной симплектической геометрии, вместе с некоторыми менее иэвестными примерами (например, здесь описаны симплектические структуры пространств многочленов и теория нормальных форм подмногообразий симплектич кого многообразия). [c.6]

Замечание. Эмпирическое правило Вейнстейна гласит в симплектической геометрии любой важный объект является лагранжевым подмногообразием (например, уравнения Гамильтона и симплектоморфиэ-мы могут быть описаны как лагранжевы многообразия). [c.23]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...