Закон тяготения Ньютона

Пусть имеется п материальных точек с массами т, ..гпп, взаимодействующих друг с другом по закону тяготения Ньютона. Система уравнений движения для задачи п тел имеет вид [c.266]

Р е ш е II н е. По закону тяготения Ньютона сила, действующая па точку, выражается в виде [c.374]

В отличие от инертной массы масса, входящая в закон тяготения Ньютона [c.225]

Пример 3. Материальная точка массой т (рис. 10), брошенная вертикально вверх с поверхности Земли со скоростью Но. движется под действием силы притяжения Земли по закону тяготения Ньютона. Определить зависимость скорости точки от ее расстояния до центра Земли. [c.238]

Вывод закона тяготения Ньютона из законов Кеплера. [c.428]

Пример 46, Найдём орбиту частицы в случае её притяжения к некоторому центру по закону тяготения Ньютона. В рассматриваемом случае мы имеем для силы выражение [c.182]

Пусть масса частицы равна единице, а силовая функция имеет выражение и =у, т. е. начало координат притягивает частицу по закону тяготения Ньютона. Тогда последнее уравнение представится так [c.454]

Две массы mi=M— х и т2 = ц движутся в согласии с законом тяготения Ньютона (задача двух тел). Кроме того, в пространстве имеется еще третья масса тз = т, которая находится под действием сил притяжения к первым двум телам, но сама влияния на них не оказывает (например, случай системы Земля — Луна — спутник). Смысл слов ограниченная состоит именно в этом. Уравнения движения массы m имеют вид [c.124]

В ньютоновой теории гравитации М. служит источ-нико.м силы всемирного тяготения, притягивающей все тела друг к другу. Сила Fg, с к-рой тело с массой гщ притягивает тело с массой т , определяется законом тяготения Ньютона [c.51]

Одной из трудностей, которые должна была преодолеть механика Ньютона, была проблема фигуры Земли. Не меньшие трудности возникали при изучении движения тел Солнечной системы и прежде всего Луны. Основанные на законе тяготения расчеты Клеро (1713—1765) и Даламбера, произведенные в 1745 г., дали для апогея лунной орбиты период обращения в 18 лет, величину, вдвое превосходившую данные наблюдений. Многие ученые полагали, что закон тяготения Ньютона нуждается в поправке так думали, в частности, Клеро и Эйлер. Некоторое время спустя, однако, Клеро пришел к заключению, что причиной расхождения теории с наблюдениями является не ошибочность закона Ньютона, а недостаточная точность применявшегося метода вычислений, при которых ограничивались первым приближением. Второе приближение уже давало результаты, согласные с наблюденными. В 1749 г. Клеро сообщил об этом Эйлеру. Для окончательного решения вопроса Эйлер, в то время живший в Берлине, рекомендовал Петербургской академии паук объявить конкурс на тему Согласуются или же нет все неравенства, наблюдаемые в движении Луны, с теорией Ньютона Предложение Эйлера было принято, и он вошел в состав жюри. В 1751 г. премия, на основании отзыва Эйлера, вполне убежденного вычислениями Клеро, была присуждена этому французскому ученому. Его Теория Луны, выведенная из одного только принципа притяжения, обратно пропорционального квадратам расстояний была издана на французском языке Петербургской академией наук (1752). [c.189]

Последнее утверждение становится очевидным, если вместо приближенного выражения для потенциальной энергии воспользоваться выражением, вытекающим из закона тяготения Ньютона, [c.210]

Изучая движение материальных тел под действием сил, можно выделить весьма важный класс задач динамики, характерных тем, что некоторые из действующих на объект сил могут быть запрограммированы и реализованы в процессе движения человеком-пилотом (или автопилотом). Часть сил, приложенных к движущемуся объекту, конечно, определена (детерминирована) природой, а часть может изменяться в широких пределах по некоторым законам, заложенным в конструкции летательного аппарата. Так, при изучении движения ракеты в поле тяготения Земли гравитационная сила вполне детерминирована (она в первом приближении подчиняется закону тяготения Ньютона), а реактивная сила может изменяться и регулироваться как по величине, так и по направлению. Каждому закону регулирования реактивной силы будет соответствовать некоторый закон движения ракеты. В современной ракетодинамике и динамике самолета такие задачи часто называют задачами с управляющими (или свободными) функциями. Если управляющие функции все заданы и, следовательно, сделаны определенными все действующие силы, то мы будем иметь дело с обычной задачей теоретической механики найти закон движения объекта, если действующие на него силы известны. Но выбор (задание) свободных функций можно подчинить некоторым достаточно общим и широким условиям оптимальности (экстремаль- [c.34]

Все физические тела испытывают действие сил взаимного тяготения. Основной закон, определяющий силы тяготения, был сформулирован Ньютоном и носит название закона тяготения Ньютона. [c.268]

Рассмотрим потенциальную функцию 17(г). В соответствии с законом тяготения Ньютона потенциальная энергия взаимодействия [c.85]

Введем радиус-вектор Я центра масс тела т относительно точки М и радиус-вектор г элементарного объема тела с массой т. Тогда для силы притяжения элемента (1т можно написать в соответствии с законом тяготения Ньютона [c.417]

Тесно связаны проблема инерционности и проблема гравитации, становящаяся всё более злободневной по мере её осознания. Предложение Э. Маха [64] по расширению аксиоматики Ньютона за счёт бесконечно удалённых масс учитывается при исследовании инерционности механического движения в форме принципа, названного принципом изменения нарушения симметрии (заметка 36) (аналог известного спонтанного нарушения симметрии при наблюдениях массы элементарных частиц). Нарушение симметрии — исходная посылка появления так называемого гравитационного парадокса [75]. Обсуждается задача вычисления энергоресурса бесконечно удалённых масс, из которых при наличии закона тяготения Ньютона в мысленных экспериментах формируется тело конечных размеров (шар) (заметка 37). Составлен кинетический потенциал системы релятивистская частица — собственное поле, обладающее инерционными свойствами (заметка 38). [c.15]

Изучая движение материальных тел под действием сил, можно выделить весьма важный класс задач динамики, характерных тем, что некоторые из действующих на объект сил могут быть запрограммированы и реализованы в процессе движения человеком-пилотом (или автопилотом). Часть сил, приложенных к движущемуся объекту, конечно, определена (детерминирована) природой, а часть может изменяться в широких пределах по некоторым законам, заложенным в конструкцию летательного аппарата. Так, при изучении движения ракеты в поле тяготения Земли гравитационная сила вполне детерминирована (она, в первом приближении, подчиняется закону тяготения Ньютона), а реактивная сила может изменяться и регулироваться как по величине, так и по направлению. Каждому закону регулирования реактивной силы будет соответствовать некоторый закон движения ракеты. В современной ракетодинамике и динамике самолета такие задачи часто на> зывают задачами с управляющими (или свободными) функциями. Если управляющие функции все заданы и, следовательно, сделаны определенными все действующие силы, тогда мы будем иметь дело с обычной задачей теоретической механики найти закон движения объекта, если действующие на него силы неизвестны. Но выбор (задание) свободных функций можно подчинить некоторым, достаточно общим и широким, условиям оптимальности (экстремальности) и производить определение динамических характеристик для этих классов оптимальных движений. Метод проб или сравнений, лежащий в основе классических вариационных принципов, применим и здесь, но варьируется выбор управляющих функций, а не траекторий в пространстве конфигураций. Задачи такого рода имеют большое практическое значение в динамике полета ракет и самолетов, а также в теории автоматического регулирования- [c.14]

Отсюда можно сделать следующий вывод если в формулировке первого закона Кеплера добавить, что он справедлив при любых начальных условиях, то отсюда вытекает, что сила центральна, а поэтому справедлив закон площадей следовательно, при этом добавлении из первого закона Кеплера вытекает второй и закон тяготения Ньютона. [c.281]

Частицы несжимаемой жидкости притягиваются к неподвижному центру по закону тяготения Ньютона. Найти уравнение поверхности уровня если задан объем жидкости т, и сила на единице расстояния равна х [c.95]

Тангенциальная компонента Qi результирующей силы притяжения Рь приложенной в точке Л], в действительности немного больше тангенциальной компоненты Q2 результирующей силы Рг в точке Лг (обе результирующие Pi и Рг направлены к Луне) по двум причинам во-первых, по закону тяготения Ньютона Pi>Pz и, во-вторых, угол ф1 меньше угла фг. Поэтому [c.843]

Если принять, что планеты движутся в центральном поле тяготения, то из первого закона Кеплера вытекает закон тяготения Ньютона V = —к г (см. пункт Г выше). [c.40]

В частности, при а = 1 (закон Гука) получаем А = —2 (закон тяготения Ньютона), а — 2. Вместе с задачей 1 это доказывает эллиптичность орбит. Гиперболические и параболические орбиты можно получить так же. [c.42]

Мы ограничиваемся законом тяготения Ньютона. Случаями, в которых известно, что он неточен, являются движения линий апсид внутренних планет, но их легко рассмотреть, добавляя малые поправки в соответствии с принципами общей теории относительности. [c.7]

Если спутник данного небесного тела движется по круговой орбите, то можно довольно проста определить массу притягивающего его тела. Пользуясь законом тяготения Ньютона F = для силы притяжения между Землей и Луной, мы показываем в гл. 3, что GM = Одг = R g, где G — гравитационная постоянная, Л з — масса Земли, и д—скорость Луны, г — радиус орбиты Луны, R — радиус Земли, g — ускорение свободного падения на поверхности Земли (980 см/с ). Первое из двух приведенных равенств получается в результате приравнивания силы притяжения центробежной силе МдЧд/г, где Mjj — масса Луны. [c.35]

Значение экспериментов Кавендиша трудно переоценить. Во-первых, они доказали всеобщность закона тяготения Ньютона, он стал, наконец, поистине всемирным. Знание величины [c.51]

ПРИЛИВНОИ ЭФФЕКТ. Рассмотрим систему Земля—Луна. Оба тела будем считать однородными шарами, так что они притягиваются как точки по закону тяготения Ньютона. Луна вокруг Земли движется примерно по окружности. На поверхности Земли имеется мировой океан и материки. Известно, что в океане и на материках наблюдаются приливные волны (рис. 36) одна волна выпячивается в сторону Луны, другая — в противоположную сторону (на деле эти волны отстают от Луны, но это уже более тонкий эффект). Надо объяснить это явление, т. е. ответить на вопрос, по какой причине малая частица на поверхности Земли имеет тенденцию подняться вверх, когда Луна находится над ней (в зените) или с противоположной стороны (в надире). [c.84]

ВСЕМИРНОГО ТЯГОТЕНИЯ 3.4К0П — закон тяготения Ньютона в нерелятивистской мохапшгс, согласно к-рому сила гравитац. притяжения двух тел с массами ntj и ni2 обратно пролорциональпа квадрату расстояния г между лтт [c.348]

Теория тяготения Ньютона в нерелятивистской классической знке Закон тяготения Ньютона гласит, что две материальные точки с массами и /Ид, находящиеся на расстоянии г друг от друга, притягиваются по направлению друг к другу каждая с силой [c.188]

Ньютонова теория Т. и ньютонова механика явились величайшим достижением естествознания. Они позволяют описать с больпюй точностью обширный круг явлений, в т. ч. движение естеств. и искусств, тел в Солнечной системе, движения в др. системах небесных тел в двойных звёздах, в звёздных скоплениях, в галактиках. На основе теории тяготения Ньютона было предсказано существование планеты Нептун и спутника Сириуса и сделаны многие др. предсказания, впоследствии блестяще подтвердившиеся. В совр. астрономии закон тяготения Ньютона является фундаментом, на основе к-рого вычисляются движения и строение небесных тел, их массы, эволюция. Точное определение гравитац. поля Земли позволяет установить распределение масс под её поверхностью (гравиметрич, разведка) и, следовательно, непосредственно репшть важные прикладные задачи. Однако в нек-рых случаях, когда поля Т. становятся достаточно сильными, а скорости движения тел в этих полях не малы по сравнению со ско-ростью света, Т. уже не может быть описано законом Ньютона. [c.188]

Конечно, Герц не имел, как имели мы здесь, уже готового предположения о распределении давления по поверхности плитки, при знании которого ему оставалось бы только доказать правильность решения. Он по этому вопросу не делал никаких предварительных предположений и нашел закон распределения давлений лишь в результате своих исследований. Герц пришел к своему результату, опираясь на то, что решение основных уравнений упругого равновесия может быть получено при помощи теории потенциала притягивающих или отталкивающих масс. Если представить себе, что между обоими телами помещен трехосный эллипсоид равномерной плотности, у которого ось, идущая в направлении нормали касательной плоскости, в сравнении с осями, расположенными в площадке сжатия, бесконечно мала, то для сил притяжения масс этого эллипсоида, подчиняющихся закону тяготения Ньютона, можно вычислить потенциал в виде функции от координат ауфпункта ) и для такого потенциала уже давно была выведена готовая формула. Как можно показать, не только сами составляющие сил притяжения, вычисляемые по соответствующим формулам, но и функции, получаемые из них путем диференцирования или интегрирования по координатам, будут представлять решения основных уравнений теории упругости, и вся задача заключается лишь в том, чтобы составить из них такое решение, которое удовлетворяло бы одновременно всем граничным условиям, относящимся к напряжениям и деформациям. Это и удалось сделать Герцу. Кто захотел бы ознакомиться с теорией сжатия упругих тел по оригинальным работам Герца, тот должен иметь соответствующие предварительные сведения из теории потенциала. [c.230]

Центральная проблема небесной механики — проблема трех тел — в XVIII в. была уже или предметом, или стимулом многих исследований, без которых нельзя себе представить историю общей механики Это относится к значительной части тех работ, которые рассмотрены в первых пунктах настоящей главы. Связь исследований по общей и небесной механике становится совершенно явной и систематической к середине XVIII в., когда стала общепризнанной безнадежность построения теории орбит (планет и комет) на основе декартовой теории вихрей, и получили достаточные подтверждения расчеты, основанные на законе тяготения Ньютона. Наибольшее значение имели в то время исследования по теории движения Луны как для небесной механики, так и для навигационной практики. Тут надо отметить работы Кле-ро и Эйлера, в частности премированное в 1751 г. Петербургской академией наук исследование Клеро, само название которого программно Теория движения Луны, выведенная единственно из начала притяжения, обратно пропорционального квадратам расстояния . Оценивая это исследование, Эйлер писал в отзыве, составленном но поручению Петербургской академии, что эту диссертацию не только нужно считать достойной высшей награды, но через нее и слава знаменитейшей Академии возрастает не незначительно, так как, предложив вопросы столь трудные, она привела к ясности положения самые скрытые Велико историческое значение и другой работы Клеро, тоже получившей в 1762 г. премию Петербургской академии наук. В ней было рассчитано время прохождения кометы Галлея . [c.153]

К открытию закона тяготения Ньютона привела проблема понимания строения Вселенной, но история этого открытия не получила еш е своего разрешения. Обстоятельства открытия закона тяготения,— пишет Л. Розен-фельд,— опять-таки связаны с некоторыми загадками, которые уже давно привлекли взимание историков после того как Ньютон впервые пришел к идее тождественности силы тяжести на Земле с силой, которая управляет движениями планет, почему Ньютон не сразу пришел к решению Bonpo pi [c.362]

Вероятно, целесообразно подчеркивать в современных курсах механики, что закон тяготения Ньютона в его классической формулировке справедлив для гравитирующих материальных точек. Для планеты Земля учет истинной формы Земли и реального распределения масс геоида приводит к более сложному выражению гравитационного потенциала и как следствие к дополнительным силам, вызывающим эволюцию орбит близких спутников Земли. Определение траекторий тени или трассы спутника на поверхности Земли является интересной задачей кинематики относительного движения. [c.31]

Результирующая гравитационная сила, действующая на спутник со стороны масс планеты Земля, оказывается отличной от силы, получаемой из закона Ньютона для притягивающихся точек, и нецентральной. В ряде случаев оказывается необходимым учитывать и местные аномалии гравитационного поля Земли, обусловленные неравномерным распределением масс в различных слоях Земли. Отличие реальной притягивающей силы геоида от силы в законе тяготения Ньютона для точечных гравитирующих масс хотя и невелико, но с течением времени также вызывает изменение орбит искусственных спутников Земли. [c.40]

ТЯГОТЕНИЕ. Т. в нерел)1тпвистскоц классической фи 11К( — действующая между любыми телами сила притяжения, определяемая массами тел. В не-релятнвистской физике Т. описывается законом тяготения Ньютона, согласно к-рому сила Т., действую-ш,ая со стороны тела Ь на тело а, равна для точечных тел [c.215]

На законе тяготения Ньютона основана небесная механика, предметом к-рой является вычисление движений астрономич. объектов (звезд, планет, комет и т. и.). В частности, для движения двух тел, взаимо-действуюнщх ио закону Ньютона, справедливы Кеплера законы. Сравнение вычислений с наблюдениями показало высокую точность ньютоновского закона Т. Вместе с тем были обнаружены небольшие отклонения, к-рые объясняются более общей теорией тяготения Эйнштейна. [c.216]

НЕБЕСНАЯ МЕХАНИКА — раздел астрономии, изучающий движение тел Солнечной системы. Т. к. расстояния между всеми телами Солнечной системы очень велнки но сравнению с размерами самих тел, то их можно рассматривать как материальные точки, притягивающие друг друга по закону тяготения Ньютона. Поправки, вытекающие из теорип относительности, очень малы и в некоторых случаях учитываются дополнительно. Т. о., основная задача Н. м. сводится к т. и. задаче п тел. Строгое математич. решение задачи п тел невозможно, ноэтому при исследовании движения тел Солнечной спстемы рассматривают отдельные специальные задачи. [c.364]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...