Альтернатива Фредгольма

Заметим, что уравнения (2.2) и (2.3) (и равным образом (2.5) и (2.3)) являются союзными друг к другу. Для сингулярных уравнений индекс (разность между числом собственных функций исходного уравнения и союзного к нему) может быть, вообще говоря, произвольным целым числом. Покажем, что для построенных выше сингулярных уравнений индекс оказывается равным нулю. Следовательно [35], будет существовать оператор, который преобразует их в эквивалентные регулярные уравнения второго рода, и поэтому к исходным уравнениям окажутся применимы альтернативы Фредгольма. [c.558]

Перейдем теперь к выводу условий разрешимости. Согласно альтернативе Фредгольма (см. 2 гл. I) необходимым и достаточным условием разрешимости уравнений, расположенных на спектре, является ортогональность правых частей и собствен- [c.560]

Таким образом, правая часть в (2.16) есть положительная величина, а левая — отрицательная. Поэтому отношение (1—Яо)/(1+Хо) есть число отрицательное. Следовательно, А.о 1. С другой стороны, точка Х=1 соответствует задачам 1+ и П , решения которых единственны. Если же допустить, что эта точка есть полюс резольвенты, то пришли бы к неединственности краевой задачи. Другое дело точка Х = —1, соответствующая задачам 1 и И+. Если бы эта точка не была полюсом резольвенты, то интегральное уравнение задачи 11+ было бы разрешимо при произвольной правой части, а тогда и краевая задача была бы всегда разрешима, но это противоречит теореме существования. Следовательно, точка X = —1 обязательно является полюсом резольвенты. Поскольку же уравнение задачи И является союзным (а альтернативы Фредгольма выполняются), то и здесь интегральное уравнение будет разрешимо лишь при определенных краевых условиях, хотя для исходной краевой задачи они не являются необходимыми ). [c.564]

Поэтому к системе (4.7 ) применимы альтернативы Фредгольма— числа собственных функций исходной системы и союзной совпадают между собой. [c.591]

Для квадратных систем вопросы разрешимости исчерпываются теоремой, называемой альтернативой Фредгольма. Пусть [c.97]

Согласно альтернативе Фредгольма возможны два случая [c.97]

Схема доказательства. Предложение 1 является прямым следствием свойства компактности 5° и свойства (3.2). Предложение 2 является следствием альтернативы Фредгольма. Покажем для примера, что для достаточно малого s критическое значение Я существует в интервале ]Я° — т], Я°- -г1[. Если это утверждение неверно, то должна существовать сходящаяся к нулю последовательность значений Ъп, такая, что оператор (Л " —Я°5 ")- из (У ") в V " будет иметь норму, равномерно ограниченную величиной с/ц. Тогда для каждого [c.213]

Используя далее свойство (3.2), мы можем построить решение 0° уравнения (V е(К°) ). Как легко видеть, это противоречит альтернативе Фредгольма, Предложение 2 доказывается аналогично. [c.214]

Альтернатива Фредгольма дает необходимое и достаточное условие для решения уравнения (4.2) [c.214]

Здесь не рассматриваются вопросы математического исследования свойств ГИУ. Отметим лишь, что применительно к возникающему ИУ первого рода доказано, что если его решение существует, то оно единственно (пример подобного доказательства см. в [6]). Для ИУ второго рода, хотя оно, вообще говоря, двумерное сингулярное, имеют место утверждения, аналогичные альтернативам Фредгольма (см, ниже п. 1.3). [c.184]

План доказательства теоремы состоит в следующем. Исключив из уравнений (2.2.8) функции h+, h , сведем решение задачи (2.2.1) к решению уравнения h = h + ho с ограниченными операторами и S . Затем докажем, что оператор вполне непрерывен яз Н в Н (лемма 5) и, следовательно, к оператору применима альтернатива Фредгольма. Таким образом доказательство теоремы сводится к исследованию уравнений h — я g — g — оператор, сопряженный и проверке условия ( Sho, )) = О (леммы 6, 7). [c.473]

Постоянная С выбирается из условия разрешимости неоднородного уравнения (41). Это условие по альтернативе Фредгольма есть условие ортогональности правой части (41) к решению сопряженного однородного уравнения, поскольку решение однородного уравнения [c.271]

В системе уравнений (6) коэффициенты определяются из условия существования решения этой системы (альтернатива Фредгольма) и имеют вид [c.515]

Доказательство законности теорем и альтернативы Фредгольма для сингулярных уравнений граничных задач термоупругости, по существу, получается повторением рассуждений, которые для этой же цели были использованы в главе IV, 7 для оператора (7.2). [c.385]

Теорема. Для интегральных уравнений (2.42)—(2.45) справедливы теоремы и альтернатива Фредгольма, [c.386]

Далее, очевидно, интегральные уравнения граничных задач и теперь будут сингулярными, но с главными частями, совпадающими с главными частями соответствующих интегральных уравнений для уравнения (2.1). Это следствие того, что главные части в обоих случаях получаются добавлением и вычитанием соответствующим образом выбранного выражения для решения статической задачи но эти последние в рассматриваемых случаях идентичны. Поэтому интегральные уравнения, разрешающие граничные задачи, относятся к типу, для которого теоремы и альтернатива Фредгольма справедливы. [c.404]

Докажем разрешимость интегрального уравнепия. Поскольку особенность ядра слабая, то справедлива альтернатива Фредгольма [90, 150], и достаточно показать, что соответствующее однородное интегральное уравнение не имеет иных решений, кроме тривиального (т) = 0. [c.358]

Таким образом, однородное уравнение не имеет решений, отличных от тривиального, и в силу альтернативы Фредгольма решение исходного интегрального уравнения [c.368]

Основное содержание так называемой альтернативы Фредгольма состоит в следующем [90] [c.28]

Отсюда ясно, что в данном случае имеет место альтернатива Фредгольма, т. е. уравнение (12.30) имеет решение, если однородное уравнение [c.203]

Альтернатива Фредгольма здесь не имеет места. [c.258]

Остановимся еще на сравнительно новой работе (1956 г.) Кино-сита и Мура 2, в которой методом потенциала построены интегральные уравнения для первых двух основных граничных задач статики пространственной теории упругости. Как и следовало ожидать, эти уравнения, являющиеся союзными, не принадлежат классу уравнений Фредгольма и являются сингулярными несмотря на это, авторы применяют к ним теоремы и альтернативу Фредгольма и получают хотя и правильные, но лишенные обоснования выводы . [c.11]

Но, оказывается, можно указать некоторый обобщенный процесс итерации, с помощью которого для уравнения (5.1) во многих случаях доказываются основные теоремы и альтернатива Фредгольма. [c.103]

Для того, чтобы сохранились теоремы и альтернатива Фредгольма, достаточно условия [c.131]

Функциональные уравнения резольвенты. Первая теорема Фредгольма. Задача, которая встает перед нами после того, как указан способ регуляризации системы уравнений, состоит в доказательстве того факта, что для этой системы остаются в силе основные теоремы и альтернатива Фредгольма. При доказательстве этого мы будем следовать Жиро, иногда внося в его рассуждения существенные изменения и дополнения, отличающие теорию систем от теории одного уравнения, которая была исследована Жиро. [c.141]

В гл. V было показано, что системы уравнений (6.1) и (6.2) являются сингулярными системами интегральных уравнений, для которых сохраняются основные теоремы и альтернатива Фредгольма, если только параметр х принимает значения на плоскости Ш с разрезами вдоль вещественной оси в интервалах [c.162]

Это есть однородное уравнение, соответствующее уравнению (7.14) при Е=0, или, что то же самое, однородное уравнение, соответствующее уравнению (7.1) при =0. По теореме 1 (стр. 208) имеем о ( ) = 0> альтернативе Фредгольма разрешимость [c.211]

Полученные интеграл-.ные уравнения — сингулярные в отличие от соответствующих уравнений гл. II. они представляют собой кон- турные или одномерные сингулярные интегральные уравнения. Уравнения (8.52) являются частным случаем систем сингулярных уравнений, рассмотренных в гл. V, и для них можно развить совершенно так же, как это сделано в гл. V, аналогичную теорию разрешимости при этом мы убедились бы, что остаются в силе три основные теоремы и альтернатива Фредгольма. [c.266]

Кф — вполне непрерывный оператор, и уравнение (8.55) есть одномерное сингулярное интегральное уравнение. Для такого уравнения справедливы основные теоремы и альтернатива Фредгольма, если индекс равен нулю. Индексом системы уравнений вида (8.55) называется число [c.268]

Это сингулярная система интегральных уравнений того вида, с которым мы уже встретились в 6 так же. как и там, можно показать, что ее индекс равен нулю поэтому сохраняет силу альтернатива Фредгольма. Остается показать, что однородное уравнение, соответствующее уравнению (8.70), имеет только нулевое решение. Чтобы показать это, допустим противоположное, и пусть есть отлич- [c.279]

В теории интегральных уравнений с ядрами Гильберта — Шмидта данное утверждение называется альтернативой Фредгольма. [c.195]

Адамара неравенство 243, 251 Адиабатическая теорема 166 Адиабатическое включение и выключение взаимодействия 166 Альбедо 58, 73 Альтернатива Фредгольма 195 Амплитуда рассеяния 22, 42, 255, 282, 412 [c.597]

Любое другое решение уравнения (6.13) есть сумма построенного выше решения из и любого вектора из N( 5 . Эта ситуация является частным случаем альтернативы Фредгольма. [c.38]

В теории Ф. у. доказьсваегся совокупность теорем (называемая альтернативой Фредгольма) о разрешимости ур-ния (1) и союзного к нему ур-ния [c.373]

SIMPLE 164—167 Алфавит языка 169 Альтернатива Фредгольма 94 Альфа-распад 255 Алюминий 316, 336 Амортизационные отчисления 435 Амплитуда колебания 223 Анион 232 [c.510]

Заметим, что важным обстоятельством для исследования сингулярных интегральных уравнений основных пространственных задач теории упругости является тот факт, что интегральные операторы в (3.6) и (3.8) являются взаимно сопряженными. С. Г. Мих-лин [59] доказал, что к полученным сингулярным интегральным уравнениям применимы альтернативы Фредгольма. В. Д. Купрад-зе [44] установил, что интегральные уравнения (3.6) и (3.8) имеют только действительные характеристические числа, по абсолютной величине меньшие единицы. [c.296]

Если обратиться к классической теории потенциала, то сингулярные интегральные уравнения, полученные для решения как первой основной задачи, так и для второй, представляют собой интегральные уравнения Фредгольма второго рода. Разница заключается в том, что для решения первой основной задачи исходят из представления в виде потенциала двойного слоя, а для решения второй основной задачи следует воспользоваться представлением смещений в виде обобщенного потенциала простого слоя. Разумеется, отличие также состоит в физическом смысле искомых функций и значениях правых частей. Для этих сингулярных уравнений индекс (разность между числом собственных функций исходного уравнения и союзного к нему) оказывается равным нулю [152]. Следовательно [153J, будет существовать оператор, который преобразует их в эквивалентные регулярные уравнения второго рода, и поэтому к исходным уравнениям применимы альтернативы Фредгольма. При этом поверхность тела может быть представлена набором кусочно-однородных поверхностей, подчиняющихся условиям Ляпунова, а плотность сингулярного интегрального уравнения должна удовлетворять условию Гельдера — Липшица вместе со своей производной [153] [c.55]

Если поверхность, по которой записано ГИУ, имеет угловую точку или ребро, то, как отмечалось в разд. 1, для ИУ второго рода применимость утверждений, аналогичных альтернативам Фредгольма, не исследована, тем более это не выяснено для ИУ первого рода. Отметим, что прием, позволяющий при численном счете исключить внеинтегральные члены в ГИУ теории упругости, соответствующие угловой точке поверхности, описан в [2, 3, 48]. Некоторые соображения по поводу путей построения представления смещений через потенциалы, пригодного при наличии угловой точки, приведены в [58]. [c.197]

Исследуем суш ествует ли нетривиальное решение однородной краевой задачи (6), (9) при п = 2. Если такие решения найдутся, то разрешимость неоднородной краевой задачи (7), (10) ставится под сомнение. Действительно, в этом случае по известной альтернативе Фредгольма правая часть (7) должна быть ортогональной решению краевой задачи, сопряженной задаче (6), (9) при п = 2. Следует заметить, что задача о нахождении нетривиального решения для однородной краевой задачи эквивалентна задаче на собственные значения, в которой число Прандтля Рг будет собственным, если величину Л > 1 считать данной. Вообгце говоря, спектр в рассматриваемом случае п = 2 не обязательно должен быть сплошным, как это имеет место при п I, я можно ожидать петривиального решения задачи (6), (9) лишь при некоторых значениях Рг ц (Л). К сожалению, получить аналитические результаты для обгцего случая трудно. Поэтому рассмотрим сначала случай струи с бесконечно большой интенсивностью, устремив А- + 1. Из (2) имеем [c.260]

Заключение к главе 3. Уравнение (1) с конечными г и Го является уравнением фредгольмовского типа, и для него выполняется альтернатива Фредгольма. Это означает, что при имеющих [c.134]

Выше указывалось, что интегралы в векторных уравнениях (1.42)— —(1.43), (1.47) —(1.48) рассматриваются в смысле их главных значений — эти системы уравнений сингулярны. Трудность дальнейшего исследования состоит в доказательствах применимости к ним теорем и альтернативы Фредгольма (при 1 и V, обеспечивающих положительность потенциальной энергии деформации) см. В. Д. Купрадзе (1963, 1968), а также С. Г. Михлин (1962). [c.14]

Из (VI.3) и (VI.5) следует, что Тоб - Соотношение (VI. 12) можно интерпретировать как функциональное уравнение в пространстве С или Т. В обоих случаях в силу альтернативы Фредгольма решение существует и единственно, ибо 1GF1< 1. Однако так как С содержит Т, то оба решения совпадают. [c.251]

Однако нет необходимости делать это. Теория систем одномерных сингулярных интегральных уравнений с ядрами типа Коши общего вида была разработана достаточно подробно еще в сороковых годах и изложена в [246] и в [13а]. Было показано, что, в отличие от систем уравнений Фредгольма, для систем сингулярных уравнений, вообще говоря, не имеет места теорема о равенстве нулю разности чисел линейно-независимых решений данной и сопряженной систем доказывается, что эта разность равна так называемому индексу системы, введенному в простейшем случае одного уравнения Неттером и распространенному для систем уравнений Мусхелишвили [246]. Таким образом, только в том частном случае, когда индекс системы сингулярных уравнений равен нулю, мы имеем случай Фредгольма и теорию разрешимости, аналогичную теории Фредгольма. Ниже будет показано, что уравнения (D ), (DJ, (Г,), (7 J относятся именно к этому типу и для них, в частности, остаются справедливыми основные теоремы и альтернатива Фредгольма кроме того, уравнения (D ), и (DJ, (7 г) являются попарно взаимно-сопряженными. Основываясь на этих свойствах полученных уравнений, в следующем параграфе мы докажем теоремы существования для первой и второй задач. [c.266]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...