Задача в напряжениях

Так как при решении задачи в напряжениях ац неизвестных шесть, а уравнений девять, то достаточно из шести уравнений совместности (6.31) взять любые три. [c.119]

Решение плоской задачи в напряжениях [c.134]

Таким образом, при решении плоской задачи в напряжениях последняя сводится к решению одного бигармонического уравнения (7.74). [c.153]

Рассмотрим теперь постановку плоских задач в напряжениях. Для определенности рассмотрим случай плоской деформации случай обобщенного плоского напряженного состояния исследуется совершенно аналогично. Соответствующая краевая задача содержит уравнения равновесия (2.67), граничные условия (2.70) и условия сов.местности Сен-Венана (2.61), которые с учетом выражения для [c.59]

При рещении задач в напряжениях за неизвестные принимаются компоненты напряжений Озс, Оу, Ог, Тжу, Хуг, Хх1, вместо щести соотношений (1.9) берут три условия совместности деформаций (1.11), совместно с уравнениями равновесия ( 111.20) и системой [c.107]

Решение плоской задачи в напряжениях с помощью уравнений [c.77]

В результате решение плоской задачи в напряжениях свелось к необходимости решать единственное уравнение (4.19). После определения функции ф переход к самим напряжениям выполняется по формулам (4.18). [c.78]

Ранее были рассмотрены стержни, выполненные из идеально упругопластического материала. Теперь коротко остановимся на особенностях расчета закручиваемых стержней из упрочняющегося материала. Для решения задачи в напряжениях воспользуемся функцией напряжений (функцией Прандтля), через которую касательные напряжения определяются выражениями [c.320]

Функция напряжений для плоской задачи. Итак, решения плоской задачи в напряжениях, т. е. задачи в двух измерениях, сводится к интегрированию трех уравнений, которые для случая, когда объемной силой является вес тела, имеют вид (2.3.1). К этим уравнениям присоединяют условия на контуре (2.3.2). Но для дальнейшего облегчения задачи вместо определения трех функций (а , Оу, т у) достаточно определить одну, так называемую функцию напряжений, посредством которой дальше уже путем дифференцирования (а не интегрирования) определяют все искомые функции. [c.37]

При решении задачи в напряжениях удобно, как и в плоской задаче, использовать обобщенную функцию напряжений ф, удовлетворяющую условию [c.40]

При решении задачи первого типа обычно выгодно за основные неизвестнее принять компоненты тензора напряжений, т. е. решать задачу в напряжениях. При этом для упрощения решения задачи основные уравнения следует представить только через искомые функции aej. [c.78]

Таким образом, при решении прямой задачи в напряжениях первоначально находятся шесть функций oij Xk), которые должны удовлетворять дифференциальным уравнениям равновесия (4.3), уравнениям Бельтрами—Мичелла (4.51) или (4.54) и граничным усло- [c.80]

Заметим, что рассмотрение этих задач (как и вообще задач для сред произвольной реологии) может проводиться в двух принципиально различных направлениях. В одном случае рассматриваются уравнения Ламе (4.4) гл. II и их обобщения на случай динамики и периодических колебаний. Здесь приходится решать систему дифференциальных уравнений для трех компонент вектора смещений, исходя из краевых условий на сами смещения или определенные комбинации их производных (тогда говорят, что задача решается в смещениях). В другом же случае исходят из уравнений движения (1.11) гл. II и уравнений совместности деформаций в напряжениях (4.11) — (4.13) и (4.16) — (4.18) гл. II и аналогичных им уравнений, если используются системы координат, отличные от декартовых. В этом случае подлежат определению шесть компонент тензора напряжений из девяти дифференциальных уравнений (говорят, что здесь решается задача в напряжениях). Отметим, что в этом случае возникают дополнительные трудности, когда па границе заданы смещения, поскольку их восстановление по напряжениям весьма громоздко. [c.242]

Решение плоской задачи в напряжениях сводится к отысканию трех неизвестных функций о (х, у), Оу х, у) и х у х, у). Для отыскания этих трех функций имеются два дифференциальных уравнения равновесия (5.2). К ним следует добавить уравнение сплошности (5.5), заменив в нем деформации на напряжения. [c.54]

Для решения плоской задачи в напряжениях в полярной системе координат имеем два уравнения равновесия (6.1) и уравнение сплошности (6.3). [c.83]

Решение задачи в напряжениях строится на базе двух уравнений равновесия, записанных в виде (19.3) с привлечением условия совместности деформаций (19.4). С помощью соотношений упругости [c.441]

Эго уравнение совместно с двумя уравнениями равновесия (19.3) и соответствующими краевыми условиями дают решение задачи в напряжениях трем искомым функциям а , Оу, Тд- , соответствуют три уравнения (19.3), (19.15). [c.443]

Решение задачи в напряжениях. В этом случае к уравнениям равновесия (19.27) следует добавить условие совместности деформаций, выраженных через напряжения. Так как процедура получения уравнений совместности, состоящая в исключении перемещений и, V из выражений деформации (19.28), трудоемка, то получим уравнение совместности иным путем. [c.455]

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ В НАПРЯЖЕНИЯХ [c.55]

Уравнения (4.2) представлены в напряжениях. Для решения задачи в напряжениях необходимо и уравнение (4.5) представить в напряжениях, воспользовавшись уравнениями закона Гука (4.6). [c.69]

Для решения плоской задачи в напряжениях удобно ввести так называемую функцию напряжений ф, через которую напряжения могут быть выражены следующим образом [c.69]

При решении задачи в напряжениях для того, чтобы обеспечить однозначность перемещений и, определяемых из выражений е, = ди/дг и ев = и/г, необходимо положить коэффициент , в выражениях (5.23) и (5.24) равным нулю. Тогда а, = Сг/г Ф 2С,, а Ов = —Сг г + 2Сз. Для заданных граничных условий для коэффициентов и Сз получим следующие выражения [c.97]

Какова последовательность решения плоской задачи в напряжениях с помощью функции напряжений [c.118]

Поэтому решение рассматриваемой задачи в напряжениях представится формулами [c.506]

Выше дано полное решение задачи в напряжениях для обобщенного плоского напряженного состояния в случае плоского деформированного состояния решение в напряжениях для Рв и Ррв будет тем же самым, однако ргг будет отлично от нуля. При этом на контуре выреза, так как для обычных материалов о < (т < (1/2), будет верно неравенство р ргг /> = 0 [c.507]

B. Краевые задачи в напряжениях.............296 [c.287]

В краевых задачах в напряжениях деформации можно найти при помощи условий равновесия результирующих сил, но это удается не всегда в настоящее время нет решенных задач этого типа (за исключением некоторых тривиальных). Для решения краевых задач в напряжениях можно использовать интегралы уравнений равновесия, полученные ниже в этом разделе и в разд. III, К. [c.317]

Согласно постановке краевой задачи необходимо найти в трехмерной области У, ограниченной замкнутой поверхностью S, тензорное поле Q (г), где г — радиус-вектор, определяющий положение произвольной точки внутри области V в глобальной криволинейной системе координат <7, где = 1, 2, 3 (рис. 2.26). При решении задачи теплопроводности Q = t тензор ранга О, температура, скаляр при решении задачи теории упругости в перемещениях Q- и - тензор ранга 1, вектор перемещений при решении этой же задачи в напряжениях Q = = о - тензор ранга 2, тензор напряжений. [c.48]

Здесь (2/(9) — заданная функция, кусочно-непрерывная и периодическая от 6 С/—произвольные постоянные Х1=/. в случае задачи в перемещениях (тогда 6 /== 0) и /1=1—задача в напряжениях. Для решения уравнений (70) функциям ф(С),ф(С) придадим вид [c.76]

В дальнейшем круг рассматриваемых задач ограничим случаями, когда объемные силы постоянны по всему объему тела или равны нулю. Это ограничение позволяет значите чьно упростить некоторые уравнения при решении задач в напряжениях, так как все производные от составляющих объемных сил по координатам х, у, г обращаются в нуль. [c.44]

Решение плоской задачи в напряжениях сводится к отысканию трех неизвестных функций Од, (j , у), (л, у) и т i/)- Д-чя этого имеются два дифференциальных уравнения равновесия (6,2). К ним следует добавить уравнение неразрывности деформаций (6,5), заменив в нем деформации на напряжения посредством формул закона Гука (6.8) для обобщенного плоского напряженного состояния. После упрощения ПОЛ ЧИ.М [c.60]

Постановка плоской задачи в напряжениях. Функция напряжений [c.349]

При решении плоской задачи в напряжениях в уравнении неразрывности деформаций (17.11) необходимо выразить деформации через напряжения с помощью формул закона Гука. Воспользовавшись, например, формулами (17.17) для обобщенного плоского напряженного состояния, получим [c.349]

Таким образом, в полярной системе координат уравнение неразрывности деформаций плоской задачи в напряжениях для случая, когда объемные силы постоянны или равны нулю, имеет вид [c.381]

Известно, что при решении задачи в напряжениях, когда поперечное сечение тела является многосвязной областью, граничных условий оказывается недостаточно для определения произвольных постоянных. К ним необходимо добавить условия однозначности перемещений. Поперечное сечение замкнутой трубы является двухсвязной областью. Для составления условия однозначности перемещений подставим в формулы закона Гука для плоского напряженного состояния (18.5) геометрические соотношения (18.4). Тогда получим два уравнения [c.392]

Как известно, постановка задачи в перемещениях не является единственно возможной. В ряде случаев более целесообразным является использование постановки задачи в напряжениях. Краевая задача для соответствующей системы дифференциальных уравнений здесь использована не будет, а будет произведен переход сразу к вариационной постановке — минимизации (максимизации) соответствующего функционала с помощью применения преобразования Фридрихса [17] к получепным ранее проблемам минимизации функционалов вида [c.202]

Как известно, решение плоской задачи в напряжениях может быть сведено к определению функции напряжений, которую здесь обозначим F = F (х, у). Эта функция находится как решение бигар-монического уравнения (см. 4.4) [c.371]

Целесообразно для решения плоской задачи (в напряжениях) ввести вспомогательную функцию — функцию Эйри ), определив ее следующим путем. Рассмотрим уравнение (4.4). Из первого уравнения следует существование такой функции А х,у), что дА/ду = Ох, дА/дх = —Хху Аналогично, из второго уравнения следует, что существует функция В х,у) такая, что дВ/ду = —Хху и dBfdx = ay. Приравнивая между собой выражения для Хху, приходим к доказательству существования такой функции U(x,y), что [c.278]

Остановимся еще на одном, казалось бы парадоксальном, примере. Из решения плоской задачи теории упругости для бесконечной области (безразлично — бесконечной или полубеско-нечной) будет следовать, что при неравенстве нулю главного вектора внешних сил перемещения оказываются бесконечными. В этом нет ничего удивительного, поскольку при рассмотрении плоской задачи (допустим, в случае плоской деформации) с позиций пространственной задачи оказывается, что суммарное усилие обращается в бесконечность. Следует заметить, что переходы к бесконечному телу при решении задачи в напряжениях и перемещениях не эквивалентны друг другу. Если в напряжениях переход и возможен, то в смещениях он может и быть ошибочен, что и подтверждается приведенным примером. Для устранения же бесконечных смещений можно предложить, например, такой спосЪб. После того как решение в деформациях определено достаточно точно из решения для бесконечного тела, находят по ним смещения в истинном теле, исходя из его фактических размеров и краевых условий. Разумеется, строгое обоснование предлагаемого подхода затруднительно для общего случая, но в частных задачах, по-видимому, оно может быть достигнуто. [c.304]

На базе уравнений задачи в напряжениях, сведенных к уравнению совместности в виде (19.11), развиты мощные аналитические методы решения плоских задач теории упругости с использованием функций комплексного переменного. Однако эти методы выходят за пределы данного круга и здесь не излагаются. Получение аналитических решений в замкнутом виде для более или менее сложных областей и видов нагрузок представляет большие трудности. Для сравнительно простых случаев решение может быть построено путем подбора функций Ф, заведомо удовлетворяющих уравнению совместности (19.11). Последующая р омбинация этих частных решений может дать с заданным уровнем приближения решение поставленной задачи. Такая задача рассмотрена в 19.4. Эффективные методы решения плоских задач теории упругости дают метод конечных разностей и метод конечных элементов, которые рассмотрены в последующих параграфах. [c.444]

Другой путь — решение плоской задачи в напряжениях. Подобно тому, как это было сделано при решении плоской задачи в декартовых координатах, подберем выражения для напряяшний через функцию ф в таком виде, чтобы удовлетворялись уравнения равновесия (5.4) и (5.5). [c.93]

В разд. III, наибольшем по объему из всех разделов этой главы, изучаются задачи о плоской конечной деформации. Здесь поясняются некоторые подробности методов решения. Краевые задачи в перемещениях можно решать чисто кинематически, не пользуясь ни развернутыми гипотезами относительно связи напряжений с деформациями, ни даже уравнениями равновесия. В краевых задачах в напряжениях и в смешанных краевых задачах необходимо постулировать определенные зависимости, описывающие поведение материала под действием касательных напряжений. Для простоты мы ограничимся исследованием упругого сдвига или квазиупругого поведения пластических или вязкоупругих материалов. Основы теории разд. III заимствованы из работы Пиикина и Роджерса [26]. [c.290]

Для решеиия плоской задачи в напряжениях в полярной системе координат имеем два уравнения равновесия (7. ) и уравнение неразрывности деформаций (7.3). Однако часто приходится иметь дело с напряженным состоянием, гтри котором во всех точках тела действуют только радиальные нормальные напряжения а . Остальные составляющие напряжений, как и составляющие объемных сил, равны нулю. Такое напряженное состояние называется простым радиальным. [c.91]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...