Краевая задача первая

Далее, используя соотношения (29), (31), можно получить матрицу параметров правого конца ротора через параметры левого, для краевой задачи первого приближения [c.31]

Первая краевая задача. Первая краевая задача возникает в том случае, когда на границе среды задаются кинематические условия, т. е. на граничной поверхности (или линии) известен вектор перемещения [c.13]

В настоящей книге применение комплексного переменного к плоской задаче ограничено примерами решения наиболее простых краевых задач (первой и второй). Смешанные краевые задачи, решение которых требует применения средств теории линейного сопряжения и сингулярных интегральных уравнений, полно представлены в последних изданиях книги [2], а также в [149, 150] в книге [148] основное место уделено применению интегральных уравнений. [c.923]

Как уже отмечалось, возможны два вида вариационных постановок краевых задач, первый из которых — вариационные уравнения или (в контактных задачах) неравенства типа (21), (11), (20), представляющие собой, по существу, принцип возможных перемещений Лагранжа. Второй вид — задача разыскания стационарной точки некоторого функционала. Оба вида используются на практике для построения алгоритмов решения конкретных задач. [c.98]

Для решения задачи следует добавить еще граничные условия на поверхности Л, ограничивающей тело V. В эластостатике мы имеем дело с тремя основными краевыми задачами. Первая состоит в нахождении распределения перемещений и напряжений внутри упругого тела, находящегося в равновесии, если внутри тела известны массовые силы, а на границе заданы перемещения. Вторая основная краевая задача заключается в определении перемещений и напряжений внутри тела при заданных массовых силах внутри тела и заданных нагрузках на его поверхности. Наконец, третья основная краевая задача заключается в определении функций и Gij внутри тела при заданных массовых силах и заданных перемещениях на части границы Аи и нагрузках на части границы Аа- Очевидно, Аи --+ = Л. [c.114]

Подсистемы теплозащиты в реальных условиях эксплуатации находятся под воздействием переменных по времени внешних тепловых нагрузок. Расчет и анализ нестационарных тепловых режимов в подобного рода подсистемах представляет большую сложность. Намечая пути решения такой задачи, можно в первом приближении предположить, что время переходного процесса в канале значительно меньше времени переходных процессов в теплоизоляционных стенках, и нестационарностью в канале — пренебречь. Для доказательства справедливости подобного допущения рассмотрим решение краевой задачи первого рода. [c.91]

Решение уравнения (272) определяется решением двух краевых задач. Первая - [c.199]

Решение краевой задачи. Введем произвольную характеристику первого семейства д1. В силу того, что при сверхзвуковых скоростях уравнения (1.6)-(1.9) имеют гиперболический тип, форма отрезка дЬ не влияет на обтекание отрезка ад. Поэтому, если контур аЬ обладает минимальным сопротивлением при заданной характеристике ае и определенных величинах Ф, Г, то и отрезок дЬ должен иметь минимальное сопротивление при фиксированной характеристике д1 и своих фиксированных величинах Ф, X. В противном случае уменьщение сопротивления отрезка дЬ привело бы к уменьщению сопротивления всего контура аЬ. На участке 1Ь выполняются уравнения (2.15), (2.28)-(2.30), а в точке Ь — граничное условие (2.24). Условия непрерывности функций а, 1 , в точке I и первое условие из (2.12) также удовлетворяются. Но если участок дЬ контура обладает минимальным сопротивлением, то в точке I должно выполняться и условие трансверсальности (2.34), записанное для 4/ Это условие в силу произвольности выбранной характеристики д1 должно выполняться на всей характеристике ЬН. Поэтому оно должно являться интегралом системы уравнений (2.11), (2.15), (2.28)-(2.30). [c.78]

Рассмотрим два частных случая дислокаций — прямолинейные винтовую и краевую. В первом случае ось дислокации совпадает с направлением вектора Бюргерса, т. е. с осью г. Этот случай вообще не требует каких-либо новых вычислений. Заранее ясно, что деформация и будет зависеть только от координат х, у. Но в плоскости X, у среда изотропна. Поэтому можно сразу воспользоваться результатом задачи 2, 27, согласно которому [c.236]

Эти методы можно разделить па две группы. Первая составляет методы приближенного решения краевых задач для дифференциальных уравнений, к которым сводятся те или иные задачи прикладной теории упругости. Из числа этих методов прежде всего рассмотрим метод конечных разностей (МКР) и особенности его применения в плоской задаче и в задачах изгиба пластин. Далее излагаются метод Бубнова — Галеркина и метод Канторовича — Власова. [c.228]

Рассмотрим равновесие кругового полого цилиндра, находящегося под действием а) равномерно распределенных касательных сил, приложенных на границах б) постоянного давления на границах. Оба случая относятся к первой краевой задаче. [c.146]

Приведенные соображения означают, что задача Коши существенно проще, чем краевая задача. При построении метода ее решения достаточно разработать алгоритм решения одного уравнения первого порядка (3.4) на малом отрезке [хд, xj. [c.98]

Как уже отмечалось, нелинейные краевые задачи намного сложнее линейных. Практически никогда не удается до решения задачи доказать существование и единственность ее решения. И тут помогает представление о существовании и единственности того физического процесса, который описывает решаемое дифференциальное уравнение. Следует иметь в виду, что в процессе математической постановки задачи могут быть отброшены некоторые детали процесса, которые, на первый взгляд, кажутся несущественными, но на самом деле влияющими на свойства решения. [c.114]

Итак, если, решив на круге К первую краевую задачу [c.189]

Выше (в 4) для решения краевых задач предлагалось использовать то или иное интегральное представление, тождественно удовлетворяющее дифференциальному уравнению при произвольной функции, входящей в представление. Эта функция находилась из интегрального уравнения, соответствующего поставленной краевой задаче. При этом ядра интегральных представлений выбирались таким образом, чтобы получаемые интегральные уравнения (первого рода) решались посредством тех или иных частных приемов. [c.88]

При решении краевых задач, естественно, возникает вопрос о разностной аппроксимации краевых условий. Допустим, что решается краевая задача для некоторой области, которая заменяется совокупностью узлов (среди них будут такие, которые окажутся расположенными на границе области и за ее пределами). Оставшиеся узлы делятся на две группы, называемые регулярными и нерегулярными. К первой относятся такие узлы, для которых образованные шаблоны будут состоять только из внутренних узлов, ко второй группе — остальные. В нерегулярных узлах следует получить разностные соотношения, приближенно эквивалентные краевым условиям. Наиболее простой и. [c.173]

Перейдем теперь к формулировке основных динамических задач. Первая основная задача динамики (задача I) заключается в определении в заданной области В и промежутке времени смещений u(p,t) и напряжений Оц р,1), удовлетворяющих уравнениям движения (1.11) или (4.4 ) гл. II (в сочетании с уравнениями совместности деформаций в напряжениях (4.11) — (4.13) и (4.16) — (4.18) гл. II), а также граничным (краевым) ) [c.245]

Краевые условия первой основной статической задачи запишем в виде [c.246]

Интересно отметить, что в ряде работ изучались краевые задачи, лишенные физического смысла, — задавалось значение так называемого Л -оператора от смещений. Постановка таких задач была связана с необходимостью изучить интегральные уравнения, сопряженные к некоторым интегральным уравнениям, соответствующим первой основной задаче. [c.247]

Перейдем к вопросу о единственности решений и начнем с рассмотрения статических задач. Будем предполагать, что оператор Ламе от смещений является интегрируемой функцией. Тогда для этих смещений в области О, ограниченной, вообще говоря, кусочно-гладкой поверхностью 5, справедливо третье неравенство Бетти (4.26) гл. И. Пусть 1 (р) и 2(р) — два различных регулярных решения, удовлетворяющие одним и тем же краевым условиям первой, второй или сразу в общем случае смешанной задач. Тогда интеграл в правой части (4.26) гл. II для разности смещений окажется равным нулю. Поскольку же подынтегральное выражение в левой части является положительно определенной формой, то из равенства нулю интеграла будет следовать, что подынтегральное выражение есть тождественный нуль. Следовательно, напряжения будут обращаться в нуль, что приводит к смещениям тела как жесткого целого. Однако в случае первой и смешанной задач необходимо исключить это смещение, поскольку тогда нарушаются условия на той части границы, где заданы смещения. [c.251]

Аналогично, в случае внешней краевой задачи, используя две первые формулы в (1.11), приходим к системам уравнений, определитель которых оказывается равным [c.337]

Однородное уравнение (3.4) имеет нетривиальное решение Фо(г) = 2 + р (а и р — по-прежнему действительная и комплексная постоянные), поскольку оно соответствует нулевому напряженному состоянию. Из теоремы единственности решения краевой задачи будет следовать, что иных собственных функций нет. Напомним, что сама вторая краевая задача теории упругости для конечной области разрешима, когда равны нулю главный вектор и вектор-момент внешних сил. Первое условие автоматически приводит к однозначности функции f t), а второе же условие— к равенству [c.380]

Введенные выше потенциалы позволяют решение основных краевых задач теории упругости свести к интегральным уравнениям второго рода. Начнем с первой основной задачи. Пусть для упругого тела, занимающего область D, ограниченную поверхностью S, требуется определить смещения, предельные значения которых будут принимать заданные значения iF (< ) (см. (1.1) гл. III). Будем разыскивать смещения в виде обобщенного упругого потенциала двойного слоя (1.8). Тогда в соответствии с формулой (1.21) приходим к интегральным уравнениям [c.557]

Подробно остановимся на вопросе о решении уравнения (5.2). Присутствие в этом уравнении оператора первого рода делает задачу некорректной, что может проявиться в неустойчивости того или иного численного алгоритма, хотя сама смешанная краевая задача является корректной ). [c.597]

Приведенные выражения позволяют сформулировать краевые задачи. В случае первой задачи из (11) сразу получается краевое условие [c.669]

Таким образом, решение нелинейной краевой задачи оказывается сведенной к совокупности решений и линейных задач. При первом приближении интегралы в правых частях отсутствуют и решается линейная задача. Далее определяются поправки к правой части и снова повторяется решение линейной задачи и т. д. [c.670]

Метод прогонки. Рассмотрим первую краевую задачу для уравнения теплопроводности в прямоугольнике 0 [c.93]

При переходе от дифференциальной краевой задачи к сеточной нужно аппроксимировать не только внешние граничные условия, входящие в постановку краевой задачи, но и внутренние граничные условия, вытекающие из системы дифференциальных уравнений. Наиболее естественным способом аппроксимации внутренних граничных условий является замена соответствующих характеристических соотношений их сеточными аналогами. На практике часто применяют и другие способы. В частности, вместо характеристических соотношений используют некоторые из уравнений основной системы. Эти уравнения аппроксимируют с помощью явной схемы уголок , имеющей первый порядок аппроксимации, или с помощью неявной схемы прямоугольник второго порядка точности (см. п. 3 3.2, пример 6). Заметим, что в последнем случае трудности при решении уравнений для искомых функций на верхнем слое не возникают, так как в соседнем с границей узле все неизвестные могут быть определены по основной явной схеме. [c.99]

Наконец, если в рассматриваемой задаче начальные условия отсутствуют и имеются лишь граничные (краевые), то такую задачу математической физики называют краевой задачей (ее называют также стационарной задачей). При этом, если в краевой задаче используются граничные условия или I, или II, или III родг, то ее называют соответственно или первой, или второй, или третьей краевой задачей (первую краевую задачу называют также задачей Дирихле, вторую — задачей Неймана). [c.126]

Выше рассмотрены два вида (по характеру линейной независимости) алгоритмов приближенного решения векторных интегральных уравнений, получающихся из краевых задач. Первый из них целесообразно использовать в случае, когда аппроксима-ционные свойства функций (/, т), /, й = 1, 2,. . ., п, существенно различны. Второй вид алгоритмов целесообразно использовать, когда аппроксимационные свойства Яу ( , т) являются достаточно близкими. [c.97]

Следует отметить, что процесс развития разрушения (рост трещины) можно представить как непрерывное зарождение макроразрушения (разрушения в объеме структурного элемента) в высокоградиентных полях напряжений и деформаций, возникающих у растущей трещины. Тогда ответственными за развитие разрушения являются по сути все те же локальные критерии разрушения (см. рис. В.1). Таким образом, если не рассматривать тело с трещиной как специфический объект исследований (чем традиционно занимается механика разрушения), а рассматривать трещину как концентратор напряжений, тО анализ развития разрушения в конструкции принципиально не будет отличаться от анализа разрушения в теле без трещины с использованием локальных критериев разрушения. Единственное отличие расчета зарождения разрушения в теле без трещины от расчета развития трещины в элементе конструкции заключается в методе определения НДС в первом случае НДС определяется непосредственно из решения краевой задачи, ва втором — на основании параметров механики разрушения. Очевидно, что это отличие не является принципиальным и связано с менее трудоемким способом расчета НДС у вершины трещины через параметры механики разрушения. В общем случае НДС у вершины трещины можно определить с помощью решения краевой задачи, например МКЭ. [c.8]

При решении краевых задач приближенные модели технических объектов можно строить на основе интегральных уравнений. При этом первый шаг на пути к ре-илению состоит в переходе от дифференциальных уравнений в частных производных к эквивалентным интегральным уравнениям. Во многих случаях, когда такой переход оказывается успешным, решение исходной задачи может быть получено с минимальными вычислительными затратами и высокой степенью точности. Кроме того, размерность исходной задачи понижается на 1, двухмерные задачи преобразуются в одномерные. [c.60]

Запись уравнений в форме (5.237) позволяет сформулировать метод последовательных приближений для их реигения, известный под названием метода упругих решений. В нулевом приближении правую часть (5.237) полагают тождественно равной нулю, при это.м получается краевая задача линейной теории упругости. В перво.м и последующих приближениях правая часть вычисляется по результатам предыдущего приближения таким образом, на каждом uiare приходится рен/ать одну и ту же систему уравнений с различными правыми частями. Условия (5.235) обеспечивают сходимость метода последовательных приближений к решению (вообще говоря, обобщенному) краевой задачи для уравнений [c.271]

Особый практический интерес представляет рассмотрение областей с криволинейными контурами, когда граница не совпадает с линиями ортогональных сеток (рис. 38). В этом случае следует различать контур заданной области Ь и контур сеточной области М, аппроксимирующей заданную. При расчете в этом случае граничные значения должны быть заданы в точках сеточной области, тогда как известны они на границе первоначальной области. При решении первой краевой задачи (задачи Дирихле), когда на границе задаются значения искомой функции, необходимо эти значения перенести на контур сеточной области так, чтобы после отыскания решения значения искомой функции на контуре первоначальной области совпали с теми граничными значениями, которые были заданы на этом контуре. Но такой переход может быть выполнен лишь после того, как будут найдены значения функции во внутренних точках области, т. е. тогда, когда будет решена поставленная задача. В связи с этим удовлетворение граничных условий может быть выполнено лишь путем последовательных приближений, причем переход к точкам контура может быть произведен по формулам [c.88]

В задаче (4.13), (4.14) используются и начальные, и граничные условия. Такие задачи называют начально-краевыми или смешанными (их называют также нестационарными, поскольку искомая величина и есть функция времени). При этом, если в начальнокраевой задаче используется краевое условие I (П или П1) рода, то ее называют первой (второй или третьей) начально-краевой задачей. [c.126]

Задача (4.16), (4.17) есть, очевидно, первая краевая задача, или задача Дирихле. В тепловых терминах задача (4.16), (4.17) состоит в отыскании стационарного поля температуры и в объеме т по заданному распределению температуры на границе S этого объема. [c.127]

Для численного пптегрировагсия полученной системы уравнений разобьем выделенный объем среды точками г = (г=1, 2,. ... ... п) на и материальных частиц значения всех искомых функций будем определять в точках = г (i=l, 2,. .., п). Тогда четыре последних дифференциальных уравнения в частных производных по времени от иеремеп ых а,, а, w, р2 перейдут в Ап обыкновенных дифференциальны уравнения по времени, для численного интегрирования которых удобно использовать модифицированный метод Эйлера — Коши. Для определения значений давления р i в точках г = г. в к шдый фиксированный момент времени необходимо решать лине пую (для pi ) краевую задачу для первого дифференциального (по / ) уравнения второго порядка с краевыми условиями (6 7.17). [c.53]

Книга содержит нетрадиционное изложение курса теории упругости, базирующегося на специальных разделах теории дифференциальных уравнений в частных производных и математического анализа. В первой главе в достаточно компактной форме дается конспективное изложение тех математических дисциплин, которые уже с успехом используются и могут быть использованы в дальпейи1ем при решении на современном уровне различных задач теории упругости. Две следующие главы посвящены концентрированному, по вместе с тем достаточно полному изложению собственно предмета теории упругости, включая такие сравнительно новые разделы, как. злектромагнитоупругость и механика хрупкого разрушения, постановке краевых задач, а также изложению некоторых приемов сведения краевых задач теории упругости к классическим задачам математической физики, В остальных главах книги (главы VI—VIII) конкретные математические методы, указанные в заглавии, применяются к решению определенных классов задач теории упругости. В ряде случаев эффективность того или иного метода демонстрируется на примерах таких задач, решение которых было получено только в последнее время. Большое внимание уделяется как вопросам строгого математического обоснования тех или иных алгоритмов, так и приемам их численной реализации. [c.2]

Остановимся на так называемом альтернирующем методе, предложенном Шварцем (см., например, [69]). Этот метод заключается в последовательном решении задач для любой области, ограниченной лишь одной поверхностью. Рассмотрим для простоты пример области, ограниченной (для принятой выше индексации) поверхностями 5о и 51. Первоначально решается, например, задача для области Оа при заданном на поверхности краевом условии и при этом определяется значение функции (или ее нормальной производной) на поверхности 51. После этого решается краевая задача для области 5Г при краевом условии, равном разности между заданным по постановке задачи условием и определенными значениями на первом этапе решения. Далее находятся значения на поверхности 5о, доставляемые эти решения, и т. д. Доказана сходимость метода Шварца. [c.106]

Исторически одним из первых методов, нашедших ншрокое применение при решении краевых задач для уравнений с частными производными, явился метод разделения переменных или, как его еще называют, метод Фурье, заключающийся в построении набора частных решений, каждое из которых разыскивается в виде произведения функций меньшего числа переменных (как правило, функций одного переменного). В ряде случаев оказывается, что такое представление не вступает в противоречие с исходным дифференциальным уравнением (тогда говорят, что уравнение допускает разделение переменных) и приводит, в зависимости от размерности задачи, к нескольким обыкновенным дифференциальным уравнениям, содержащим один и тот же числовой параметр. В зависимости от характера области, в которой решается краевая задача, граничных и начальных [c.117]

Сформулируем теперь краевые задачи непосредственно для функций ф(г) и ф(г). Начнем с первой основной задачи. Условие непрерывности смещений вплоть до границы эквивалентно условию непрерывной продолжимости выражения (2.7) во все точки границы. Осуществляя в левой и правой частях равенства (2.7) переход к граничным точкам, получаем [c.375]

В заключение остается проверить, действительно ли полученные таким образом ряды будут сходящимися и приведут к решению краевой задачи. Доказательство (ввиду его простоты) проведем при более сильном (чем использованное при построении решения) ограничении. Будем требовать, чтобы функции o v и имели первые производные, удовлетворяющие условиям Дирихле (см. 1 гл. I). При этом ряды [c.404]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...