Теоремы единственности для внешних задач

Теоремы единственности для внешних задач. Докажем теорему. [c.99]

Теоремы единственности для внешних задач. [c.106]

Замечание. Мы рассмотрели теоремы единственности для внешних задач установившихся термоупругих (и упругих) колебаний. Для внутренних задач колебаний, вообще говоря, теоремы единственности не имеют места и нарушаются за счет появления частот собственных колебаний. Этого вопроса мы коснемся в главах VII, IX, X. [c.107]

Условие термоупругого излучения. Теоремы единственности во внешних задачах термоупругих колебаний могут быть доказаны при наложении на решения некоторых условий на бесконечности, аналогичных (но не идентичных) условиям, которые были в 2, п. 3 введены для решения уравнения упругих колебаний. [c.105]

Однородное уравнение (3.4) имеет нетривиальное решение Фо(г) = 2 + р (а и р — по-прежнему действительная и комплексная постоянные), поскольку оно соответствует нулевому напряженному состоянию. Из теоремы единственности решения краевой задачи будет следовать, что иных собственных функций нет. Напомним, что сама вторая краевая задача теории упругости для конечной области разрешима, когда равны нулю главный вектор и вектор-момент внешних сил. Первое условие автоматически приводит к однозначности функции f t), а второе же условие— к равенству [c.380]

Энергетические тождества. В этом параграфе доказываются теоремы единственности для внутренних и внешних задач динамики классической упругости, термоупругости и моментной упругости. [c.117]

Но тогда по непрерывности потенциала простого слоя V х ф) и по теореме единственности для первой внешней задачи III, 3.4, ф у) = 0. Это противоречит допущению и тем самым необходимость доказана. [c.388]

Пусть это не так. Рассмотрим потенциал U х) = Z (х X). По теореме единственности для третьей внешней задачи П1, 3.4 будем иметь [c.390]

По теореме единственности для четвертой внешней задачи имеем [c.391]

На бесконечности потенциал W удовлетворяет условиям термоупругого излучения и является регулярным решением уравнения В (дх, о)) 1F == = 0. Поэтому, согласно теореме единственности для первой основной внешней задачи (см гл. П1) [c.529]

Следовательно, функции ф (z), ф (z) решают первую основную задачу для областей Sf к 2,. . ., m + 1) при отсутствии внешних усилий. По теореме единственности для области S +i и в силу условия ф (оо) = = ijj (оо) = О получаем ф (z) = i ) (z) = О в откуда следует [c.377]

Купрадзе показал, что в случае сингулярных интегральных уравнений теории упругости классическая теория Фредгольма остается в силе. В уже цитированной книге он дал доказательство теоремы единственности и теоремы существования решения как для внутренней, так и для внешней задачи. [c.617]

До сих пор мы рассматривали теоремы единственности для областей, содержащих бесконечно удаленную точку эти теоремы играют фундаментальную роль в теории внешних граничных задач. В случае конечных областей для внутренних задач колебания единственность не имеет места вследствие существования дискретного спектра [c.77]

Теорема существования для внешней смешанной дина мической задачи (Ма). Опираясь на теорему единственности 3 4 гл. III, можно доказать следующее положение. [c.202]

С другой стороны, У(х) есть упругий потенциал двойного слоя, обращающийся в нуль на бесконечности, и по теореме единственности для первой внешней задачи имеем [c.435]

В газовой динамике внешних и внутренних течений различают еще два класса задач прямую и обратную. Прямая задача состоит в определении поля течения при заданной форме обтекаемого тела (для внешних задач) или канала (ддя внутренних задач) и заданных граничных условиях. Прямая задача сводится в общем случае к краевой задаче, для которой, как правило, не доказаны теоремы существования н единственности. Обратная задача состоит в определении поля течения при условиях, заданных на некоторой поверхности, и условиях в начальном сечении. При этом форма обтекаемого тела (или канала) не задана и определяется в процессе решения. Обратная задача сводится к задаче Коши. В обратных задачах о течении за отошедшей ударной волной задается форма ударной волны и в процессе решения находится форма обтекаемого тела. В обратной задаче теории сопла задается распределение скорости, например, па оси сопла, а поверхность сопла определяется в процессе решения. [c.34]

В газовой динамике различают задачи прямую и обратную. Прямая задача состоит в определении поля течения при заданной форме канала (для внутренних задач газовой динамики) или форме обтекаемого тела (для внешних задач) и заданных на некоторых границах краевых условиях. Прямая задача сводится, в общем случае, к краевой задаче, для которой, как правило, не доказаны теоремы существования и единственности. [c.4]

Интегральная формула (3.2) широко используется при доказательстве общих положений в механике сплошной среды. Так, используя это соотношение, легко доказывается теорема единственности для приращений в упруго-пластическом теле, т. е. единственность решения задачи (1.1), (1.2). Действительно, предположим, что имеются два решения этой задачи 8а- 8е1 8иц и 8af , <5е , при одних и тех же приращениях внешних параметров [c.58]

Многосвязная область с отверстиями и трещинами. Пусть в бесконечной плоскости имеется один замкнутый криволинейный разрез L, разбивающий всю плоскость на две области внутреннюю 5+ и внешнюю 5 Предположим, что при переходе через контур L напряжения остаются непрерывными q t)=0), а вектор смещений получает скачок g t). Тогда комплексные потенциалы Ф г) и 4 (2) определяются по формуле (1.66), а неизвестная функция g t) удовлетворяет уравнению (1.67) (при q t)=0), т. е. сингулярное интегральное уравнение первой основной задачи (при заданной на границе L нагрузке) является одним и тем же для внутренней и внешней области. Из теоремы единственности следует, что для существования решения необходимо выполнение условий равновесия области 5+ (равенство нулю главного вектора и главного момента внешних усилий, действующих на контуре L), т. е. интегральное уравнение в этом случае имеет решение при дополнительных условиях, которым должна удовлетворять правая часть уравнения (следовательно, союзное однородное интегральное уравнение имеет нетривиальное решение). Таким образом, задача является некорректной. Для ее регуляризации в работах [94, [c.19]

Внутренние задачи. Спектр собственных частот. Теоремы единственности. В главе III, 3, п. 4 было доказано, что основные внешние задачи термоупругости, при выполнении условий термоупругого излучения на бесконечности, допускают единственные решения для любых значений параметра со . Для внутренних задач это не так, и можно указать дискретное мно- [c.386]

Задачи колебания. Перенесение методов приближенного решения, которые выше применялись к задачам статики, на задачи теории колебания не требует никаких принципиальных дополнений. Достаточно вместо матрицы Кельвина теперь рассматривать матрицу Купрадзе Г (х — у, со) (см. гл.II) и иметь в виду, что параметр со должен быть отличен от частот собственных колебаний исследуемой задачи. В главе VII было показано, что в этом случае имеют место основные теоремы существования и единственности, вместе е формулами представлений регулярного решения но этого, как мы видели, достаточно для применения описанных способов приближенного решения. Что касается внешних задач, то в этом случае, как было показано в главе VII, теоремы существования и единственности, при условии излучения, имеют место для любых значений параметра со и, следовательно, приближенные методы всегда применимы. [c.527]

Это соотношение является краевым условием для второй основной задачи теории упругости (внешняя задача). По теореме единственности получаем

[c.33]

Функции фо(г) и to(2) дают решение смешанной задачи теории упругости для области S при нулевых смещениях на и нулевых внешних силах на L . По теореме единственности, которая, как нетрудно убедиться, имеет место при указанных выше свойствах a>(t)y [c.174]

Теорема 15. Смешанная динамическая внешняя задача (М,) имеет, и притом единственное, решение для произвольного граничного задания класса Н. Решение выражается потенциалом простого слоя, если отличны от собственных частот задачи (D ), и представляется в виде линейной комбинации некоторых дискретных потенциалов типа простого слоя, если 0)2 совпадает с одним из исключенных выше значений. [c.202]

Переходя к теореме единственности, следует прежде всего напомнить, что, как это уже указывалось, при заданных внешних силах и условиях закрепления упругое тело, вообще говоря, может иметь не одну, а несколько форм равновесия. Однако если допустить линеаризацию уравнений, то можно доказать, что при этом для любой задачи теории упругости получается только одно решение. Покажем это для статических задач. [c.215]

Возвратимся к нашей задаче. Устойчивость оболочки (так же, как и устойчивость любого упругого тела) можно рассматривать только исходя из первоначально нелинейной постановки задачи. Действительно, в силу теоремы Кирхгофа [51] задача о равновесии любого упругого тела в линейной постановке имеет единственное решение с точностью до перемещений тела как абсолютно твердого. Это решение непрерывно зависит от внешних возмущений (внешние силы и заданные перемещения на границе тела), т. е. является устойчивым. Для справедливости теоремы Кирхгофа достаточно, чтобы потенциальная энергия, накопленная в теле в результате деформаций, была положительно определенной функцией деформаций. Для оболочек это условие выполнено (см. 1.10). [c.38]

Теорема 13. Внешняя неоднородная динамическая задача (Од) имеет, и притом единственное, решение для произвольного граничного задания класса Н и при любом значении параметра 0)2. Решение выражается потенциалом двойного слоя (первого рода), если отлично от собственных частот внутренней задачи (Г ), и линейной комбинацией потенциала двойного слоя с некоторыми потенциалами простого слоя, если есть одна из собственных частот задачи (Т ). [c.199]

В этой главе доказаны теоремы единственности для основных граничрых и начально-граничных задач классической теории упругости, микрополярной упругости и термоупругости. Рассматриваются задачи для внутренних и внешних (бесконечных) областей в случае статики, гармонических колебаний и общей динамики. [c.85]

Очевидно, это усуювие вытекает из условия (см. гл. III, 2, п. 5), которым мы пользовались при доказательстве теоремы единственности для шестой внешней задачи в D , [c.302]

Перейдем теперь к рассмотрению спектральных свойств уравнений (2.2) и (2.3), а равным образом и (2.5). Положим Я = 1 и допустим, что эти уравнения имеют нетривиальные собственные функции (ввиду равенства нулю индекса, число этих функций одинаково). Обозначим через фо собственную функцию уравнения (2.3), а через У(р, фо) — потенциал, имеющий функцию фо своей плотностью. Этот потенциал является реще-нием задачи И при нулевых значениях напряжений на поверхности. Уместно при этом отметить, что в любом случае смещения, представимые потенциалом простого слоя, убывают на бесконечности как l/R, а напряжения — как 1// . Поэтому можно воспользоваться теоремой единственности внешней задачи теории упругости. Тогда получаем, что потенциал V тождественно равен нулю в области 0 . С другой стороны, потенциал простого слоя является функцией, непрерывной всюду, включая поверхность 5. Поэтому потенциал V р, фо) будет тождественно равен нулю в области 0+, поскольку он обращается в нуль на поверхности 5. Возвращаясь же к формуле (1.24), получаем, что функция фо тождественно равна нулю. Следовательно, точка Я = I не является собственным значением для уравнений (2.3), (2.4) и (2.5). Поэтому перечисленные уравнения разрешимы при произвольной правой части, а получаемые решения единственны, [c.559]

Большое разнообразие встречающихся в физике Н, у. м. ф. затрудняет развитие общих матем. методов их исследования. Лишь для сравнительно немногих Н. у. м. ф. доказаны теоремы существования и единственности, к таким относятся ур-ния Янга — Миллса, ур-ния Навье — Стокса в двумерном случае, ур-ния газовой динамики. Для ур-ний Навье — Стокса в трёхмерном случае теорема единственности решения задачи Коши до сих пор не доказана. Затруднена даже проблема классификации Н. у. м. ф. Часть их попадает под классич. разделение на эллиптич., гиперболич. и параболич. ур-ния, но значит, число важных Н. у. м. ф. (среди них Кортевега — де Фриса ур-ыие, Кадомцева — Петвиашвили ур-ние) не могут быть отнесены ни к одному из этих типов. Нек-рую классификацию Н. у. м. ф. можно осуществить на основе физ. соображений. Прежде всего это разделение на стационарные и ЭВО.ТЮЦ. ур-ния. Большинство стационарных ур-ний относится к эллиптич. типу. Среди эволюц. ур-ний, явно содержащих производные по времени, можно выделить консервативные Н. у. м. ф., сохраняющие интеграл энергии, и диссипативные Н. у. м. ф., описывающие открытые системы , обменивающиеся энергией с внешним миром . Одним из интересных достижений теории Н. у. м. ф. было обнаружение того факта, что консервативные Н. у. м. ф., как правило, являются гамильтоновыми системами, хотя явное введение кано-иич. переменных зачастую оказывается трудной задачей. Установлена гамильтонова природа большинства консервативных обобщений ур-ний Эйлера и даже системы ур-ний Власова, описывающих плазму без столкновений. Для гамильтоновых систем, близких к линейным, развиты методы теории возмущений, позволяющие учитывать нелинейные эффекты и производить статистич. описание решений. Все перечисленные выше универсальные Н. у. м. ф., за исключением Бюргерса ур-ния и Хохлова — Заболотской ур-ния, являются гамильтоновыми. [c.315]

Функщш 5J"(r,0 и Si (г, L) будем называть внутренним и внешним разложением соответственно. Из теоремы с)оцествования и единственности корректной краевой задачи для области/)вытекает следующее [c.130]

Внешняя задача приводит к некоторым трудностям, как явствует из результатов разд. 13 гл. VI. Риголо-Турба удалось обойти эти трудности для одномерного случая и доказать теоремы существования и единственности для некоторых стационарных и нестационарных, линейных и слабо нелинейных задач [38—40]. [c.448]

Теорема. Решение второй основной задачи термоупругости для внешней среды D yuie meyem, единственно и представляется суммой [c.395]

Передйем теперь к исследованию вопроса о существовании и единственности обобщенного решения задачи Коши для уравнения (1 1)> удовлетворяюш,его условию (3.7). Несмотря на простой внешний вид уравнения (I.I), доказательство теоремы о существовании и единственности обобщенного решения задачи Коши для него,при условии выполнения неравенства (3.7), если эта теорема вообще имеет месю.по-видимоцу, является трудной задачей. Мы сделаем ряд упрощающих предположений, касающихся структуры разрывов решения и начальных условий. Эти предполонения позволят доказать теорему [c.37]

Часть IV книги посвящена в основном уравнению Гельмгольца и волновому уравнению. Здесь подробно изложена теория краевых задач для уравнения Гельмгольца в неощ>аниченных (внешних) областях, доказаны теоремы существования и единственности решений таких задач с условием излучения Зоммерфельда на бесконечности, причем для доказательства существования решения используются метюды теории потенциала, а также метод предельного поглощения и метод предельной амплитуды. Рассматривается вопрос о продолжении резольвенты в комплексную область, вопрос о частотах рассеяния, изучена задача об акустическом резонаторе и поведении его частот рассеяния, а также другие физические задачи, связанные с уравнением Гельмгольца. [c.8]

Внешние задачи для уравнения Гельмгольца первоначально изучались методами теории потенциала в соответствии с классической схемой, развитой для уравнения Лапласа (см. Гюнтер [ 1], Келлог [1]). Здесь принципиальную трудность представляет доказательство теорем единственности, так как при вещественных со мы имеем дело с точками непрерывного спектра. Фактически мы вынуждены искать решения, не принадлежащие обычному пространству L , Теоремы единственности следуют тогда из условия излучения Зоммерфельда, которое означает, что поток энергии направлен в бесконечность, а не из бесконечности (см. Зоммерфельд [ 1], Реллих [ 2], а также Розо [ 4] по поюду других ситуаций). Другая интерпретация условия излучения да-нав 8 (возможность согласования невозмущенной зоны с волновым фронтом). [c.389]

Во всех тех случаях, когда в конструкциях применяются тонкие стержни или пластинки, необходимо считаться с возможностью потери устойчивости деформации таким образом ставится общая проблема устойчивости упругих систем. Мы уже видели, что первые исследования, относящиеся к проблемам этого типа, были сделаны Эйлером и Лагранжем, которыми был решен ряд отдельных, не связанных между собою задач. Во всех этих задача % при одних и тех же внешних силах возможны два вида равновесия и обычное доказательство 134) однозначности решений уравнений теории упругости оказывается неприменимым. Общая теория устойчивости была предложена Брайаном (G. Н. Вгуап) Он пришел к выводу, что исключения из теоремы об единственности возможны лишь тогда, когда большие относительные смещения разных частей тела сопровождаются малыми деформациями в отдельных точках, как это имеет место в случае тонких стержней и пластинок, или же тогда, когда возникают смещения, мало отличающиеся от тех, которые возможны для неизменяемого твердого тела последнее обстоятельство имеет место, например, в случае сферы, сдавливаемой круглым кольцом несколько меньшего диаметра. Во всех случаях, когда возможны две формы равновесия, критерий для определения той формы, которая будет иметь место, состоит в условии, что энергия должна иметь наименьшее значение. [c.42]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...