Обобщенные упругие потенциалы

Обобщенные упругие потенциалы [c.547]

I. ОБОБЩЕННЫЕ УПРУГИЕ ПОТЕНЦИАЛЫ [c.549]

Остановимся на общих динамических задачах. Для их исследования можно построить обобщенные упругие потенциалы [192] (по типу запаздывающих потенциалов волнового уравнения ( 9 гл. I)) или же, воспользовавшись представлением смещений через четыре волновые функции (см. 5 гл. III), непосредственно исходить из самих волновых потенциалов [222]. [c.556]

Если воспользоваться тем или иным представлением смещений п виде обобщенных упругих потенциалов, то, используя (5.1), сразу придем к определенным уравнениям для их плотностей. Например, если воспользоваться потенциалом простого слоя У(р, (р), то получим интегральные уравнения вида [c.595]

Сделаем одно замечание, касающееся численной реализации метода упругих решений. Поскольку необходимо строить решение, соответствующее массовой силе, заданной с помощью значений в дискретных точках, то представляется целесообразным использовать аппарат обобщенных упругих потенциалов (см. 1 гл. III). При таком подходе на поверхности возникают некоторые напряжения, которые необходимо аннулировать (с тем чтобы фактически получить частное решение неоднородного уравнения с нулевыми краевыми условиями), что приводит при построении алгоритма еще к одному этапу — определению этих напряжений и включению их (с обратным знаком) в краевое условие для последующей итерации. [c.673]

Введенные выше потенциалы позволяют решение основных краевых задач теории упругости свести к интегральным уравнениям второго рода. Начнем с первой основной задачи. Пусть для упругого тела, занимающего область D, ограниченную поверхностью S, требуется определить смещения, предельные значения которых будут принимать заданные значения iF (< ) (см. (1.1) гл. III). Будем разыскивать смещения в виде обобщенного упругого потенциала двойного слоя (1.8). Тогда в соответствии с формулой (1.21) приходим к интегральным уравнениям [c.557]

Хутор я некий Н, М. О методе обобщенных запаздывающих потенциалов и интегральных уравнений в нестационарных динамических задачах теории упругости. — В кн. Прикладные проблемы прочности и пластичности. Вып. 9. — Горький ГГУ, 1978. [c.682]

Обобщением формулы (1.42) является выражение совместной плотности вероятности обобщенных координат для системы с п степенями свободы при наличии потенциала упругих сил. Стационарное распределение обобщенных координат дискретной системы в вязкой среде не зависит от инерционных сил [1, 2] и определяется лишь упругим потенциалом и диссипативными свойствами среды. Уравнения колебаний безмассовой системы можно записать в форме [c.19]

Например, при решении задач теории упругости вариационными методами осуществляется переход к задаче об определении в некотором классе функций минимума соответствующего функционала. Доказывается, что решение этой задачи всегда существует и соответствующее ему поле смещений удовлетворяет дифференциальным уравнениям, однако краевые условия выполняются уже в некотором обобщенном смысле. Аналогичная ситуация возникает и при решении задач теории упругости методом потенциалов. При определенных ограничениях на форму поверхности и краевые условия доказывается, что получаемое посредством соответствующих интегральных уравнений решение краевой задачи может и не удовлетворять условиям, требуемым классической постановкой. Лишь при более строгих ограничениях (в чем, по сути дела, нет необходимости) решение оказывается регулярным. [c.243]

В теории конечных деформаций упругого тела принцип виртуальной работы приводит к установлению принципа стационарности потенциальной энергии при условии, что существуют функция энергии деформации материала тела и функции потенциалов внешних сил. Как только принцип стационарности потенциальной энергии установлен, он может быть обобщен с использованием множителей Лагранжа. [c.19]

Развитые методы распространяются на динамические задачи теории упругости путем учета сил инерции. Таким образом, принцип виртуальной работы для динамических задач выводится с помощью понятия кинетической энергии. Принцип виртуальной работы преобразуется в новый вариационный принцип, если предположить, что существуют функция энергии деформации и функции потенциалов внешних сил. Полученный таким образом вариационный принцип можно рассматривать как принцип Гамильтона, распространенный на динамические задачи теории упругости. Он может быть далее обобщен с применением правила множителей Лагранжа. [c.19]

Рассматривается тонкая бесконечная упругая пластина, ослабленная криволинейным отверстием с контуром Г. Гармоническая упругая волна расширения или сдвига движется по пластине и взаимодействует с отверстием. В частном случае динамическая нагрузка может быть приложена к контуру отверстия. В постановке обобщенного плоского напряженного состояния требуется найти решение уравнений Гельмгольца (4.1) относительно потенциалов Ф и Ф, которые связаны с вектором перемещений посредством формулы (1.2). Решение должно удовлетворять граничным условиям на контуре отверстия [c.91]

Здесь tpi, ipi — плотности обобщенных потенциалов двойного и простого слоя Tij определены в примечании на стр. 53 верхние знаки относятся к внутренним задачам, нижние — к внешним. ИУ (1.5), (1,6) и аналогичные ИУ для задач о стационарных колебаниях однородной и неоднородной упругой среды исследованы в [5, 10, 12]. Подобные ИУ в теории медленных течений вязкой жидкости рассмотрены в [13]. ИУ (1.5), (1.6) относятся к классу двумерных сингулярных интегральных уравнений. Их свойства хорошо изучены в том случае, когда граница области представляет собой поверхность Ляпунова. [c.186]

Чтобы осуществить это обобщение, надо ввести небольшое изменение в предыдущее рассуждение. Лемма 1 остается справедливой, если в члене формулы (3.8) и в связанных с ним уравнениях заменить модулем проекции вектора на соответствующую ось или плоскость. Лемма 2 остается тогда справедливой для упругих сферических молекул и потенциалов с угловым обрезанием, но доказательство нужно изменить и явно использовать полную непрерывность оператора Поскольку не известно, выполняется ли последнее свойство при потенциалах с конечным радиусом взаимодействия (без углового обрезания), для таких потенциалов нужны дальнейшие видоизменения. Можно заменить ы ( ) некоторой степенью функции V (Н) так, чтобы оператор был вполне непрерывен (см. 4 гл. 3), а остальные свойства сохранялись. При этих изменениях по-прежнему справедливы две основные леммы, а следовательно, и основные теоремы 1 и 6. [c.159]

Теория катастроф Во многих физических системах положения равновесия находят исходя из потенциала приравнивая нулю производные потенциала по обобщенным координатам. Теория катастроф занимается изучением зависимости числа положений равновесия от параметров задачи, например от нагрузок в упругих системах. Теория катастроф предсказывает, что вблизи некоторых критических значений таких параметров число положений равновесия изменяется заранее известным образом и что эти изменения носят универсальный характер для некоторых классов потенциалов. Основателем теории катастроф принято считать французского математика Рене Тома. В строительной механике независимо развивался свой частный вариант теории катастроф, занимавшийся изучением чувствительности критических нагрузок с дефектами структуры. [c.273]

Не составляет труда, исходя по-прежнему из обобщенных упругих потенциалов, построить интегральные уравнения для такого рода областей, однако при этом появляются разрывы в ядрах и в коэффициенте при внеинтегральном члене. К сожалению, теория для такого рода уравнений отсутствует, однако не составляет труда формально распространить (с некоторыми усложнениями) изложенные выше расчетные схемы. [c.581]

ШЗ. Хуторянский Н. М. О методе обобщенных зашаздывающи потенциалов и интегральных уравнений в нестационарных динамических задачах теории упругости. — Прикладные проблем ы прочности и пластичности. Всесоюз. межвуз. об. / Горьк. ун-т, IQiTS, выи. 9, с. 8Mli8. [c.290]

Если анизотропное тело обладает симметрией упругих свойств (упругой симметрией), то уравнения обобш,енного закона Гука для него упрош аются, так как некоторые из коэффициентов оказываются равными нулю, тогда как между другими появляются линейные зависимости. Эти упрош,ения можно вывести, применяя следуюш,ий метод. Отнесем тело к системе координат х, у, 2, а затем ко второй — х у, г, симметричной с первой, в соответствии с тем видом симметрии, какая наблюдается в теле. Направления осей х.у ъ и х у 2 одинакового наименования будут направлениями, эквивалентными в отношении упругих свойств, а поэтому уравнения обобщенного закона Гука для симметричных систем координат запишутся одинаково. Записав эти уравнения в системе д , у, 2 и в системе х у 2, далее переходим к одной из них, выражая, скажем, х, у, через х, у, ъ. Сравнивая получившиеся одноименные уравнения, мы находим зависимости между или Л Вместо уравнений обобщенного закона Гука можно взять выражение упругого потенциала, записанное в основной системе х, у, z и симметричной х у, z Переходя во втором выражении к системе х, у, zш приравнивая упругие потенциалы, приходим к тем же результатам. [c.31]

Если закон Гука считать первым приближением, пригодным для случад малых деформаций, то члены второго порядка в упругом потенциале W естественно рассматривать так же, как первое приближение. Если принять во внимание члены высших порядков, то мы получим обобщение теории, которое позволит учесть факты, которые в настоящее время выходят за ев пределы. Такие обобщения были предложены и частью разработаны несколь. кими авторами ). [c.109]

Как известно, задачи Дирихле и Неймана для уравнения Лапласа решаются с помощью потенциалов простого и двойного слоев, а при решении краевых задач для других дифференциальных уравнений применяются различного рода обобщенные потенциалы. Краевые задачи теории аналитических функций комплексного переменного, к которым приводятся задачи плоской теории упругости, [c.135]

Обобщение формулы Максвелла—Мора на случай теплового нагружения упругих стержневых систем. Как известно, в строительной механике вывод формулы, перемещений Максвелла—Морд основан на понятии потенциальной энергии деформации. Это справедливо только тогда, когда имеется лишь биловое воздей-. ствие на упругую систему. В том случае, когда система, подвергается еще и тепловому нагружению, потен-циальная энергия деформации тер яе.т смысл и становится "необходимым введение вместо нее системы термодинамических потенциалов. [c.55]

Интегралы (3.1) в теории упругости играют такую же роль, какую играет потенциал простого слоя в теории граничных задач гармонических функций (см., например, Гюнтер [1]) или обобщенные потенциалы (см., например Miranda [I]) простого слоя в теории граничных задач эллиптических урав нений в частных производных второго порядка. Интеграл (3.1), кроме того как в этом убедимся впоследствии, обладает граничными свойствами, анало гичными граничным свойствам потенциала простого слоя. В связи с этим интеграл (3.1) назовем потенциалом простого слоя. [c.215]

Из всех рассмотренных до сих пор представлений и(х,/) (через потенциалы Ламе Ф и if, через функцию Яковаке q) и через обобщенные функции Папковича — Нейбера 9 и х) наибольшее практическое значение имеет представление Ламе. Оно приводит к самым простым волновым уравнениям. Представление с помош.ью функции ф удобно для определения перемеш ений в бесконечной среде и в упругом полупространстве. Наименее удобное представление дают функции 0, х ввиду связанности волновых уравнений (44) и (45). [c.574]

Исходным положением нри определении нестационарных процессов деформации с помощью вариационных методов является принцип Гамильтона для упругих систем. Однако этот принцип применяется для вывода уравнений движения, но не для непосредственного построения прибли женного решения но методу Ритца, так как обобщенные координаты системы неизвестны в конечный момент интервала времени, в течение которого изучение процесса представляет интерес. Для того чтобы использовать метод Ритца, нужно к энергетическому функционалу прибавить некоторые дополнительные члены, описывающие состояние системы в конечный момент времени, но в итоге полученный функционал не обладает уже потенциалом. [c.236]

В работе Ю, И. Ларькина [137] рассмотрена задача о взаимодействии полуплоскости со стержнем бесконечной длины, прикрепленным к ее границе. Задача о равновесии однородной упругой бесконечной пластины, скрепленной с бесконечным стержнем, рассмотрена в работе К. С. Чобаняна и А. С. Хачикяна [251]. Обобщение этой задачи на случай двух однородных полубесконечных пластинок с различными упругими постоянными, соединенных между собой при у—О включением (стержнем), содержится в работе А. С. Хачнкяна [246]. Составная пластинка находится под действием уравновешенной системы сосредоточенных сил. Введя в рассмотрение комплексные потенциалы Колосова — Мусхелишвили [170], автор свел рассматриваемую задачу к задаче сопряжения [170, гл. 6]. В качестве примера рассмотрен случай, когда на плоскость действуют сосредоточенные силы величиной — 2Р, Р я Р, направленные перпендикулярно включению и приложенные соответственно в точках х—0, у=1 х——а, у—Ь х=а, у—Ь. [c.159]

Б у р чу л а д 3 е Т. В. а) К TeopiiH граничных задач колебания упругого тела (Тр. Тбилисского ун-та, т. 64, 1957) б) О некоторых плоских граничных задачах для анизотропных упругих тел (Тр. Матем. ин-та АН Груз. ССР, т. 27, 1960) в) О фундаментальных решениях одной системы дифференциальных уравнений (Сообщ. АН Груз. ССР, т. 20, № 4, 1958) г) О некоторых обобщенных потенциалах для анизотропных тел (там же, т. 23, № 2, 1959) д) Асимптотические формулы собственных функций некоторых граничных задач колебания анизотропного упругого тела (там же, т. 23, № 4, 1959) е) Об асимптотическом распределении собственных функций колебания упругого тела (там же, т. 15, № 4, 1954). [c.467]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...