Основные краевые задачи теории упругости

Введенные выше потенциалы позволяют решение основных краевых задач теории упругости свести к интегральным уравнениям второго рода. Начнем с первой основной задачи. Пусть для упругого тела, занимающего область D, ограниченную поверхностью S, требуется определить смещения, предельные значения которых будут принимать заданные значения iF (< ) (см. (1.1) гл. III). Будем разыскивать смещения в виде обобщенного упругого потенциала двойного слоя (1.8). Тогда в соответствии с формулой (1.21) приходим к интегральным уравнениям [c.557]

Сделаем несколько замечаний общего порядка [27]. Выше были рассмотрены вопросы решения основных краевых задач теории упругости на основе представления смещений в виде соответствующих потенциалов. Получены сингулярные интегральные уравнения и установлены условия их разрешимости в предположении, что граничная поверхность принадлежит классу поверхностей Ляпунова, а правая часть —классу Г. — Л. В этом случае и решение принадлежит классу Г. — Л. [c.569]

Для рассматриваемого объема У, находящегося в равновесии и ограниченного поверхностью L + S, можно поставить вторую основную краевую задачу теории упругости [11] найти решение системы уравнений [c.63]

Для расчета конструкций в упругой области применяются различные методы и программы решения на ЭВМ основных краевых задач теории упругости (см. гл. 3). При выполнении упругопластического расчета возникающая физически нелинейная задача решается итерационным путем таким образом, чтобы на каждой итерации задача была линейной. Такая процедура соответствует решению последовательности краевых задач для неоднородных упругих тел с одинаковыми граничными условиями и внешней объемной нагрузкой (метод переменных параметров упругости) либо задач для исходного тела с меняющейся объемной и поверхностной нагрузкой (метод дополнительных нагрузок). [c.129]

Здесь а = — значение на границе единичного круга, / (0), (5(0)—функции нагрузок и перемещений на той же границе. Уравнение (11) представляет собой граничное условие первой основной краевой задачи теории упругости, уравнение (10) — граничное условие второй основной задачи. Условия (10) и (11) можно представить одной формулой [c.371]

Вопросам усреднения уравнений с частными производными и их приложениям посвящена обширная литература. Настоящая книга почти не имеет пересечений с другими монографиями, в которых излагаются задачи усреднения дифференциальных операторов. Особое внимание в ней обращено на задачи, связанные с линейной стационарной системой теории упругости. Поэтому для удобства читателя первая глава книги содержит материал, относящийся к исследованию стационарной системы теории упругости. В ней рассматриваются вопросы существования и единственности решений основных краевых задач теории упругости, неравенства Корна и их обобщения, априорные оценки решений и их свойства, краевые задачи в так называемых перфорированных областях и свойства их решений, а также приводятся некоторые вспомогательные сведения из функционального анализа. Все эти результаты используются в последующих главах, многие из них излагаются впервые. [c.6]

Настоящая глава содержит все основные результаты, относящиеся к системе теории упругости, которые используются в последующих двух главах. Вводятся функциональные пространства, которым принадлежат решения основных краевых задач теории упругости, а также ряда специальных краевых задач, которые необходимы в гл. П для построения теории усреднения и в гл. III для изучения спектральных свойств операторов теории упругости в сильно неоднородных средах. [c.8]

При доказательстве разрешимости основных краевых задач теории упругости и получении оценок решений фундаментальную роль играют неравенства Корна (см. [99 45 46, 15]). [c.17]

Прежде чем приступить к изучению основных краевых задач теории упругости, приведем некоторые простые свойства коэффициентов, которые легко выводятся из (3.2), (3.3) и которые будут многократно использоваться в дальнейшем. [c.30]

Основные краевые задачи теории упругости [c.31]

В 3 установлены существование и единственность решений основных краевых задач теории упругости и получены оценки решений через данные задачи. Если область, в которой рассматривается решение, и коэффициенты системы зависят от параметра е, то и постоянные в этих оценках, вообще говоря, будут зависеть от 8. В этом параграфе покажем, что в случае перфорированных областей описанных в 4, постоянные в оценках типа (3,31), [c.46]

Итак, решение основных плоских задач теории упругости свелось к определению двух функций комплексного переменного ф (z) и X (2) при двух типах краевых условий (1.45) или (1.45 ) ). [c.499]

Теперь обсудим решение краевой задачи теории упругости неоднородных тел, которое приводит к определению эффективных модулей материала. Рассматриваемое тело представляет собой прямоугольную призму (см. рис. , а). Основные уравнения для компонент тензоров напряжений и деформаций — это уравнения (1), в которых коэффициенты жесткости удовлетворяют условиям (2), а также обычные уравнения равновесия в напряжениях и уравнения совместности деформаций теории упругости однородных изотропных тел. Последние соотношения здесь не приводятся, поскольку их можно найти в любом курсе теории упругости. Достаточно указать, что переменные поля (напряжений), имеющие вид [c.42]

Сведение трехмерных краевых задач теории упругости к двухмерным краевым задачам теории оболочек — один из основных вопросов в теории оболочек. При выводе соотношений для деформаций тонкой оболочки часто применяется гипотеза Кирхгофа—Лява, согласно которой а) прямые волокна оболочки, нормальные к координатной поверхности оболочки, остаются прямыми и нормальными к ней и после деформации б) нормальные к срединной поверхности волокна не испытывают удлинения. [c.9]

Комплексные потенциалы, описывающие напряженное (деформационное) состояние, могут иметь в некоторых точках особенности, связанные с наличием дефектов или структуры в материале. Такие особенности — концентрации напряжений (КН) — дают краевые дислокации и клиновые дисклинации. При решении краевых задач теории упругости характер особенностей необходимо знать заранее, и это нетрудно. Воспользуемся решением первой основной задачи теории упругости-тела кругового кольца [154]. Не принимая во внимание условные однозначности смещений и полагая, что внешняя нагрузка отсутствует, будем иметь некоторое решение. Йз него устремляя внешний радиус к бесконечности, а внутренний к нулю, получим комплексные потенциалы, описывающие поля напряжений краевой дислокации [c.127]

Основные начально-краевые задачи теории упругости. ХП1 Международный конгресс по теоретической и прикладной механике, Москва, 1972. Аннотации докладов. Наука , Москва, 1972. [c.645]

Подчеркнем, что (2.3) и (2.3 ) заключают в себе иначе записанную обычную конкретизацию ассоциированного закона для упрочняющейся среды с гладкой поверхностью нагружения. Согласно (2.3) функция -ф (ф) непрерывна, но не дифференцируема при ф = Vg п. Учитывая, что это является одной из основных причин сложности краевых задач теории упруго-пла-стических сред с упрочнением, В. Д. Клюшников предложил вместо (2.3 ). определять (ф) в виде аналитической функции, близкой к определяемой соотношениями (2.3 ). Трудно сказать, в какой мере это может упростить краевые задачи, но ясно, что таким путем можно улучшить описание поведения образцов при малых догрузках, конкретизируя функцию ф (ф) непосредственно с помощью экспериментальных данных. Существенно, что при этом поверхность нагружения (понимаемая так, как было отмечено выше) может оставаться гладкой в окрестности точки догрузки. [c.92]

В предыдущей главе были получены основные дифференциальные уравнения, описывающие поведение упругих сред при деформировании, а также найдены выражения для краевых значений вектора напряжений посредством компонент тензора напряжений или смещений. Для рещения конкретных физических задач необходимо теперь перейти к корректной математической постановке краевых и начальных задач теории упругости. [c.242]

Изложенное выше относится к реализации решения интегральных уравнений, соответствующих основным задачам теории упругости, когда граничная поверхность является достаточно гладкой. Обратимся к случаю, когда поверхность является кусочно-гладкой, т. е. состоит из совокупности разомкнутых гладких поверхностей, имеющих общие границы вдоль определенных линий, которые в свою очередь могут иметь угловые точки. Внутри каждой из таких поверхностей задано краевое условие того или иного типа, краевые же условия на угловых линиях или в угловых точках следует рассматривать как предельные со стороны той или иной поверхности. Предполагается, что в нерегулярных точках не приложены сосредоточенные воздействия ). [c.581]

И. О поведении решений основных краевых задач упругости в окрестности особых точек границы. — В кн. по теор. и прикл. механике. Аннотации докладов.—М. [c.678]

Основная идея изложенного в гл. 10 метода комплексной переменной для решения плоской задачи теории упругости состояла в том, чтобы представить искомые напряжения и перемещения через функции комплексной переменной, т. е. по существу через гармонические функции действительных переменных Ха.. Для этих функций формулируются те или иные краевые задачи, методы решения которых и составляют содержание соответствующего раздела теории упругости. Большая часть эффективных методов решения пространственных задач теории упругости представляет собою развитие той же идеи. Здесь мы приведем и будем в дальнейшем использовать одно такое представление решения задачи теории упругости через четыре гармонические функции. Это представление было открыто Папковичем в 1932 г. и независимо Нейбером в 1933 г. Будем отправляться от уравнений Ламе при отсутствии объемных сил [c.359]

Задача теории упругости неоднородного тела сводится, как это следует из основных уравнений, к краевой для дифференциальных уравнений в частных производных с переменными коэффициентами, математические [c.38]

Задачи теории упругости относят к краевым задачам, их обычно классифицируют по типу краевых (граничных) условий. Рассмотрим три основные задачи [c.38]

Основные успехи в рассмотрении упруго пластических плоских задач для тел с отверстиями (см. также гл. II) связаны с полным охватом отверстия пластической зоной. В зтом случае соответствующая математическая задача для идеального пластического тела весьма часто может быть сведена к некоторой краевой задаче для бигармонического уравнения в области, границы которой не известны заранее и должны быть определены в процессе решения из дополнительного краевого условия. В таких проблемах весьма полезными оказываются основные соотношения плоской теории упругости, полученные Г.В. Колосовым и Н.И. Мусхелишвили [c.7]

Интегральные уравнения первой основной задачи теории упругости для кругового диска с краевыми трещинами можно построить путем предельного перехода из интегральных уравнений для внутренних трещин, полученных на основе соотношений (1.152) и (V.76), поскольку, как легко убедиться, ядра интегральных представлений комплексных потенциалов (V.76) удовлетворяют в случае краевых разрезов условиям (IV. 120). В безразмерных переменных = = ii/l и т) = Хх/1 уравнение рассматриваемой задачи (V.91) будет [c.161]

Таким образом, решение основных краевых задач плоской теории упругости для анизотропных плит сводится к задачам определения двух аналитических функций фа(га) по контурным условиям (16.7) либо (16.8). [c.94]

В большинстве публикаций, посвященных решению прикладных контактных задач, используется двумерная постановка краевой задачи, в которой НДС объектов определяется соотношениями осесимметричной либо плоской задачи теории упругости. Это обстоятельство в основном объясняется двумя причинами сложностью анализа контактных явлений в трехмерной постановке и недостаточной мощностью вычислительных средств для удовлетворительного описания в пространстве геометрии взаимодействующих тел. [c.15]

Таким образом, сформулированная соотношениями краевая задача отличается от основной задачи теории упругости третьего рода присутствием граничных условий (111.60) — (III.63) в виде неравенств. Решение поставленной контактной задачи в общем случае нелинейно зависит от ряда факторов, к которым относятся изменение границ участков соприкосновения в процессе деформирования, взаимное проскальзывание контактирующих тел в касательном направлении, наличие трения. [c.78]

Основные граничные плоские и антиплоские задачи теории упругости для многосвязной области, содержащей криволинейные разрезы и отверстия произвольной формы, сведены в работах [94—96] к системе сингулярных интегральных уравнений первого рода по замкнутым (контуры отверстий и внешняя граница) и разомкнутым (разрезы) контурам. При этом предполагалось, что контуры разрезов и отверстий не пересекаются между собой (см. параграф 3 данной главы). Краевые трещины рассматривались только в некоторых частных случаях граничного контура (окружность, прямая), когда удается построить модифицированные сингулярные интегральные уравнения, не содержащие искомых функций на этом контуре [70, 95]. В последнее время изучались также задачи в случае произвольной симметричной области с краевой трещиной, находящейся на оси упругой и геометрической симметрии [27, 53, 58, 104] (см. также параграфы 3—5 четвертой главы). Ниже, следуя работе [97], приводятся обобщения указанных выше результатов на общий случай многосвязной области с разрезами и отверстиями, когда разрезы одним или двумя концами могут выходить на внешнюю границу и контуры отверстий. Получены численные решения построенных интегральных уравнений при одноосном растяжении бесконечной плоскости с одним или двумя круговыми отверстиями, на контуры которых выходят радиальные трещины. [c.33]

Метод сингулярных интегральных уравнений оказался эффективным также при решении задач теории трещин для кусочно-однородных тел [18, 19, 32, 77, ПО, 121, 152, 173]. Предлагаемая модификация интегральных уравнений при наличии кругового отверстия применяется в данной главе при исследовании составных кольцевых областей с трещинами. В качестве примера решена первая основная задача теории упругости для кусочно-однородно -го кругового кольца с краевыми трещинами решение получено в приближенной и строгой постановках. [c.183]

Осесимметричные контактные задачи. Наибольший теоретический и прикладной интерес представляют основные смешанные задачи (ОСЗ) теории упругости в обобщенной постановке, когда краевые условия на внешней поверхности многослойного полупространства разделяются на совокупности произвольного четного 2п или нечетного числа 2п - 1 (п= 1,2,...) концентрических окружностей. Частными случаями этих задач являются контактные задачи для п концентрических кольцевых штампов или одного кругового и п - 1 концентрических кольцевых штампов с учетом сцепления в области контакта. Математический аппарат исследования ОСЗ непосредственно распространяется и на аналогичные контактные задачи для круговых и кольцевых штампов с учетом и без учета трения, а также на родственные смешанные задачи для многослойного полупространства с круговыми и концентрическими кольцевыми трещинами на границах раздела слоев. Иными словами, ОСЗ имеют общетеоретическое значение и, в свою очередь, являются базовыми для построения и исследования решений обширного класса контактных и других смешанных задач теории упругости для многослойного полупространства. Учитывая это положение, изложим подробнее математическую постановку и методику аналитического и численного решения ОСЗ. [c.218]

Вопросы прочности тел с трещинами и другими дефектами изучаются в работах [9-14] и др. Теория краевых задач на римановых поверхностях для регаения задач теории упругости, в основном для однородных сред, применяется в работах [15-26]. [c.301]

Сильвестров В.В. Первая и вторая основные задачи теории упругости на двулистной римановой поверхности // Краевые задачи и их приложения. Чебоксары Изд-во Чувашского ун-та, 1986. - С. 111-119. [c.312]

Ее постановка стимулируется в линейной теории равновесия, во-первых, важностью разработки основ расчета оболочек средней толщины, во-вто-рых, потребностями анализа напряженного состояния в особых точках (например, около вершины конической оболочки, в зоне приложения сосредоточенной нагрузки), в-третьих, необходимостью выяснения вопроса о том, как удовлетворить краевым условиям (или в каком смысле будут удовлетворены при помощи того или иного расчетного алгоритма краевые условия) наконец, на примере простейших задач (линейной теории равновесия) легче всего разработать основные методы приведения задач теории упругости к задачам теории оболочек, когда размерность объекта исследования уменьшается на единицу. [c.231]

При рассмотрении указанных выше простейших объектов к символическому методу примыкает метод однородных решений. По этому методу решение задачи теории упругости иш ется в форме бесконечной суммы частных решений, удовлетворяюш их однородным краевым условиям на боковых поверхностях (параллельных срединной поверхности), но, вообще говоря, не краевым условиям на контурных поверхностях к этому агрегату решений прибавляется частное решение уравнений теории упругости, удовлетворяющее неоднородные краевые условия на боковых поверхностях. Основные моменты решения задачи заключаются (1) в определении корней трансцендентного характеристического уравнения однородных решений и (2) в установлении процедуры, определяющей произволы интегрирования однородных решений через заданные краевые условия на контурных поверхностях обычно для этой цели пользуются принципом возможных перемещений. [c.262]

Вопрос об интегрировании системы уравнений (2.1) и (2.3) с учетом граничных условий является основным предметом изучения теории упругости. Основными краевыми задачами считаются задачи отыскания такого решения этой системы, которое удовлетворяет краевому условию [c.271]

В общем математическом анализе основных краевых задач теории упругости существенное значение имеют методы теории потенциала. Именно на их основе Корну [423] и впоследствии Лихтенштейну [424] удалось дать первые доказательства однозначной разрешимости этих задач. Полное изложение этих методов мы имеем в фундаментальной Монографии В. Д. Купрадзе, Т. Г. Гегелиа, М. О. Башелейшвили, Т. В. Бурчуладзе [85]. [c.88]

Г. П. Черепанов [265] рассмотрел плоскую задачу теории упругости для тела, границами которого являются любое число отрезков оси х и прямые, перпендикулярные к оси х. На границах, параллельных оси у, задаются нормальное смещение и касательная нагрузка или тангенциальное смещение и нормальная нагрузка, а на участках границы вдоль оси X ставится любая комбинация из трех основных краевых задач теории упругости или контактная задача. Этот случай можно привести к такой краевой задаче для двух аналитических функций Ф(г) и й(г), в которую входят лроизводные. Поэтому конформное отображение позволяет существенно упростить рассматриваемую область, не усложняя краевой задачи, в отличие от общего случая. [c.266]

Николаев О. П., Хутор янский Н. М. О применении проекционного итерационного метода решения парного граничного интегрального уравяения основной смешанной краевой задачи теории упругости. — Прикладные проблемы прочности и пластичности. — Всеооюз. межвуз. сб./Горьк. ун-т, tl983, с. 571-61. [c.288]

Краевая задача для основного (нерастущего) вязкоупругого стареющего тела на интервале времени [т , г ] представляет собой традиционную задачу теории вязкоупругости. Ее можно преобразовать к краевой задаче теории упругости при наличии параметра, доказать взаимно однозначное соответствие решений поставленной и полученной в результате преобразования задач и получить связывающие их соотношения. [c.609]

В большинстве рассмотренных работ, связанных с контактными задачами, предполагалось, что трение между штампом и упругим телом отсутствует. Значительно большие математические трудности представляет другой предельный случай, когда штамп и основание находятся в условиях сцепления (такая задача есть частный случай основной смешанной задачи теории упругости). В отличие от более простых смешанных задач, в этом случае дело сводится к отысканию двух гармонических в полупространстве функций с неразделенными краевыми условиями первого и второго рода. Впервые такая задача для кругового штампа была решена В. И. Моссаковским (1954) путем сведения ее к плоской задаче линейного сопряжения двух аналитических функций. Впоследствии Я. С. Уфлянд (1954, 1967) дал непосредственное решение этой задачи с помощью тороидальных координат и интегрального преобразования Мелера — Фока. В статье Б. Л. Абрамяна, Н. X. Арутюняна и А. А. Баблояна (1966) осуществлен еще один подход к той же задаче, основанный на использовании парных интегральных уравнений. Контактным задачам при наличии сцепления посвящена также работа В. И. Моссаковского (1963). Решение основной смешанной задачи теории упругости для полупространства с прямолинейной границей раздела краевых условий дано Я. С. Уфляндом (1957) с помощью интегрального преобразования Конторовича — Лебедева. [c.36]

Постановка краевых задач теории упругости. Пусть упругое тело занимает трехмерную область V, а 5 представляет собой его поверхность. В каждой точке тела V должны выполняться основные уравнения теории упругости соотношение Коши, уравнение движения (уравнение равновесия для задач статики) и уравнение закона Гука ( в случае техмоупругости вместо закона Гука следует брать его обобщение, данное Дюамелем и Нейманом, и модифицированное уравнение теплопроводности (29.14)). Что же касается краевых условий,то основными являются три класса [c.112]

Ворович И. И. О поведении решений основных краевых задач плоской теории упругости в окрестности особых точек границы. — В кн. III Всесоюз. съезд по теорет. и прикл. механике (Москва, янв. 1968) Аннот. докл. М. Наука, 1968, с. 80. [c.274]

Многие задачи механики сплошных сред, в частности теории упругости и пластичности, могут быть весьма просто и эффективно решены путем приведения их к краевой задаче теории аналитических функций, обьино называемой задачей Римана или задачей сопряжеция. Хорошей иллюстрацией этого является материал, изложенный в основном тексте книги. Для удобства чтения книги напомним некоторые сведения, относящиеся к краевым задачам теории аналитических функций. Подробное изложение теории краевых задач аналитических функций имеется в классических монографиях НЛ. Мусхелишвили [1] и Ф.Д. Гахова [2]. Там же можно найти библиографию по этому вопросу. [c.235]

Термоупругость является новой областью науки, в которой быстро возрастает число научных публикаций и результатов. Ряд достижений в области сопряженной термоупругости получен советскими учеными. Следует особо отметить монографию В. Д. Купрадзе, Т. Г. Гегелия, М. О. Башелишвили, Т. В. Бурчу-ладзе Трехмерные задачи теории упругости , в которой даны доказательства теорем существования и единственности решений основных краевых задач для дифференциальных уравнений сопряженной термоупругости. Широко известен вклад в развитие термоупругости В. И. Даниловской, А. Д. Коваленко и Я. С. Подстригача. [c.6]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...