Математический вывод

Мнения о способах преодоления отмеченных недостатков общего термодинамического образования расходятся. Одни предпочитают дедуктивный метод изложения, опираясь на строгие формулировки исходных аксиом и логику, связывающую их с многочисленными следствиями. Другие видят выход в более подробном рассмотрении опытных фактов, приводящих к формулировкам аксиом, отмечают интересные и поучительные примеры из истории становления и развития термодинамики, отдавая явное предпочтение рассуждениям, основанным на здравом смысле и аналогиях перед формальными математическими выводами. [c.5]

Математические выводы приведены в элементарной форме и обычно не требуют больших математических знаний, чем даются в высших технических учебных заведениях. В случаях изложения более сложных задач приводятся все необходимые объяснения и промежуточные выкладки, чтобы читатель мог без затруднений следить за ходом вывода. Лишь в нескольких случаях приведены окончательные результаты без полных выводов. Но при этом всегда даются необходимые ссылки на литературу, в которой эти выводы можно найти. [c.17]

Результаты (2.14) и (2.15) являются тривиальными математическими выводами из определения равновесия. Однако если силы Рд являются непрерывными функциями координат, то уравнение (2.15) принимает новый физический смысл, который символически можно выразить так [c.21]

Теоретическая, или рациональная, механика опирается на некоторое конечное число законов, установленных в опытной механике, принимаемых за истины, не требующих доказательства — аксиомы. Эти аксиомы заменяют собой в теоретической механике индуктивные истины опытной механики. Теоретическая механика имеет дедуктивный характер. Опираясь на аксиомы как на известный и проверенный практикой и экспериментом фундамент, теоретическая механика возводит свое здание при помощи строгих математических выводов. [c.15]

Однако научное значение классической динамики, в частности и ньютоновой динамики, не исчерпываются только физическими предсказаниями, которые делаются непосредственно на их основе. Ньютонова динамика состоит из совокупности математических выводов и заключений, полученных подчинением некоторых простых понятий некоторым простым законам. В математическом развитии предмета были развернуты общие схемы (в частности, лагранжев и гамильтонов метод), которые позволяют заменить первоначальные примитивные понятия более общими (такими как пространство конфигураций и фазовое пространство). Оказалось, что эти новые математические понятия могут быть использованы, чтобы представить физические понятия, отличные от тех, рассмотрение которых было источником понятий математических. Таким образом, ньютонова динамика породила новые физические выводы путем приложения внутренне присущих ей математических идей за пределами их исходной области применения. Примерами этого могут быть применение лагранжевых методов к теории электрических контуров и (что еще более удивительно) применение гамильтоновых методов в развитии квантовой механики. [c.14]

Решения имеются лишь для простейших случаев. Ниже приводятся некоторые из этих решений, которые могут быть полезны строителям для использования в соответствующих случаях и для правильного понимания тепловых процессов, имеющих место на практике. Поскольку математический вывод формул сложен, он не приводится в данной работе, но может быть найден в специальной литературе [12, 27, 63]. [c.116]

Такая достоверность научных представлений в рамках механической картины мира тесно связана с новым стилем научного исследования. Статика не могла слиться с экспериментальным исследованием. Динамика могла это сделать. Эксперимент исходит из начального состояния системы, подтверждает логический или математический вывод, сделанный на основе представления о механизме изменения, механизме перехода от начального состояния к последующему. Динамика говорит о том, что будет с телом при определенных начальных условиях и при определенных воздействиях. Именно в этом состоит схема эксперимента. Поэтому развитие динамики было условием развития экспериментального исследования. Последнее и придало механическому естествознанию ту [c.113]

Наиболее существенны в части IV результаты, относящиеся к итерационным методам выполнения граничных условий. Дело в том, что каждое из тех напряженных состояний, которые были введены в рассмотрение в части II (безмоментное и чисто моментное напряженные состояния, напряженное состояние с большой изменяемостью, простые и обобщенные краевые эффекты), обладают отличительными свойствами, важными для суждения о работе оболочки. Очевидно существенное различие между безмоментным и чисто мо-ментным напряженными состояниями в первом из. них материал оболочки работает по толщине равномерно, в то время как во втором загружены только области, примыкающие к лицевым поверхностям. Общим свойством и безмоментного, и чисто моментного напряженных состояний является их тотальность, охват всех областей срединной поверхности. В этом смысле оба они радикально отличаются от краевых эффектов, локализующихся вблизи линий искажения (хотя иногда это свойство и нивелируется). Полное напряженное состояние составляется определенным образом из перечисленных выше более простых напряженных состояний, и роль, которую играет в этой сумме отдельные слагаемые, зависит, в частности, от характера граничных условий. Поэтому можно утверждать, что построив асимптотические процессы выполнения граничных условий, мы, помимо чисто математических выводов, сможем сделать заключения и о физических свойствах полного напряженного состояния оболочки. В частности, здесь выясняются те последствия, которые влекут за собой те или иные странности поведения решений краевых задач безмоментной теории, выявившиеся в части III. [c.271]

Будущий прогресс в понимании явлений хрупкого разрушения зависит от успешного объединения усилий ученых в области механики сплошной среды, в металловедении, физике, математике и химии. Поскольку немногие исследователи обладают опытом во всех этих областях, материал книги построен таким образом, чтобы читатель мог самостоятельно получить нужную информацию. Большинство глав написано достаточно подробно, в приложениях к ним приведены математические выводы. По возможности расчеты даны на математическом уровне, доступном [c.5]

В. Э. Классен ) и я) размещались вокруг стола, и Виктор Львович, вооружившись мягким карандашом для писания на листках бумаги нужных выкладок, начинал изложение. Характерным было то, что Виктор Львович уделял математическим выводам сравнительно мало места. Часто, написав уравнения, сразу давал их решение, предполагая, что нужные выкладки слушатель сам сможет без затруднений выполнить дома. Время уходило на формулировку вопроса, на обсуждение вводимых допущений и часто на историческое введение. А когда решение было получено, обсуждалось его значение и область применения. При таком способе изложения можно было в сравнительно небольшое число лекций изложить довольно полный курс механики и показать сущность предмета, не затемняя ее промежуточными выкладками. На нас, слушателей, курс произвел большое впечатление и, без сомнения, оказал сильное влияние на нашу последующую педагогическую деятельность. [c.686]

Для решения этих задач в динамике пользуются как установленными в статике способами сложения сил и приведения их систем к простейшему виду, так и принятыми в кинематике характеристиками и приемами описания различных движений. Однако для установления связи между движением материальных тел и факторами, определяющими его характер, этого оказывается недостаточно, и потому в динамике пользуются еще и рядом других физических понятий (масса, количество движения, работа, энергия и т. д.). Количественные соотношения между различными физическими величинами, связанными с механическим движением материальных тел, устанавливаются в динамике путем математических выводов из основных законов классической механики. [c.262]

В механике материалов одинаково важную роль играют теоретические исследования и результаты экспериментов. Во многих случаях будет дан математический вывод формул и соотношений для описания механического поведения конструкции, но в то же время следует отдавать себе отчет в том, что их нельзя использовать для практики, пока не установлены некоторые свойства материала. Эти свойства оказываются известными только после соответствующих экспериментов, проведенных в лаборатории. Кроме того, многие важные для техники проблемы не могут эффективно разрабатываться средствами теории, поэтому практически экспериментальные наблюдения оказываются необходимыми. [c.11]

В настоящее время молекулярная теория ограничивается недостатком знаний о процессе соударения сложных молекул. В этой книге из-за отсутствия данных о соударениях двухатомных молекул все математические выводы проведены для одноатомного газа. Однако результаты можно с успехом применять и к двухатомным газам (к воздуху), если изменить соответствующим образом отношение удельных теплоемкостей и числа Прандтля. Рассмотрен сильный скачок с учетом более сложной модели молекулы. В свободном молекулярном потоке нет столкновений между молекулами, поэтому можно рассмотреть и двухатомный газ. Молекулярная теория турбулентного течения, в котором происходят столкновения целых групп молекул, еще недостаточно развита и поэтому в книгу не включена. [c.8]

Третье издание учебника переработано учтены новые нормативные документы по гидравлическим расчетам примеры и задачи решены в единицах международной системы. Некоторые сложные математические выводы опущены и приведены лишь конечные результаты и формулы. [c.3]

Содержание главы можно разделить на две части. В первой части (п. 2—6) изложены математические выводы потенциальной теории, физическая применимость которой при отмеченных выше условиях уже обсуждалась в гл. I, п. 7. К сожалению, методы теории функций комплексного переменного, которые применялись в гл. II—VII, не имеют эффективного аналога в осесимметричном случае, а точные аналитические методы пока что дали мало сведений, представляющих физический интерес ). Более полезными оказались приближенные аналитические методы (п. 3, 6). [c.287]

Проследим за изменением характера поляризации светового пучка, проходящего через оптическую систему. Обратим внимание только на физическую сторону, не прибегая к подробным математическим выводам. Пусть уравнение световых колебаний после поляризатора Р имеет следующий вид [c.259]

Достоверность теоретической механики зависит от достоверности оснований, на которых она покоится, так как математические выводы из этих оснований, если только они верны, внести ошибок не могут. Поэтому, сравнивая результаты вычислений с результатами наблюдений, мы в случае разногласий между ними должны усомниться в верности оснований, принятых для теоретической механики. [c.13]

Математические выводы изложены в элементарном виде и в большинстве случаев не требуют математических знаний больших, чем те, которые даются в высших технических учебных заведениях. Для более сложных задач приводятся все необходимые пояснения и промежуточные выкладки, с тем, чтобы читатель без затруднений мог следить за всеми выводами. Лишь в немногих случаях даны окончательные результаты без полных выводов. Но при этом всегда лаются необходимые указания статей, в которых можно найти выводы. [c.5]

Многие авторы, занимавшиеся определением условий захвата заготовки, полагали, что сила трения находится в плоскости, перпендикулярной оси валка и направлена под углом 90° к силе нормального давления. На ошибочность такого направления силы трения впервые указал П. К. Тетерин, который, используя векторный анализ, дал обобщенный математический вывод условий захвата. [c.60]

Данная книга в основном построена на трудах советских ученых. Из-за ограниченности объема в ней пришлось рекомендовать только одно решение или одну формулу, опустить математические выводы, самые сложные и относительно редко встречающиеся в практике расчеты, сократить библиографию. [c.3]

Результаты, полученные в работах [Л. 151, 152, 162], настолько сложны, что авторы не сумели доказать сходимости их решений со статическими величинами. Такая сходимость и правильность математических выводов вообще была доказана лишь с помощью эксперимента. Очевидно, однако, что для точно решенной математической задачи проверка осуществляется подстановкой результатов в исходные уравнения. Эксперимент в этом случае может показать лишь степень соответствия принятой математической модели данной физической системе. [c.83]

Многие вопросы изложены в упрощенном виде, имея в виду, главным образом, конкретное применение приводимых сведений для решения практических задач электротехники и радиоэлектроники. Ряд громоздких математических выводов опущен и даны лишь окончательные формулы, которые могут быть применены для инженерных расчетов. [c.10]

При написании этой книги автор постоянно имел в виду как запросы начинающих знакомиться с данной областью спектроскопии, так и запросы более подготовленных студентов и научных работников. В интересах первой категории читателей автор приложил все силы д 1я того, чтобы сделать изложение элементарным и ясным. Хотя предполагается, что читатель обладает некоторыми знаниями по квантовой механике, но мы, по возможности, избегали сложных математических выводов. В тех случаях, когда их нельзя было избежать, они давались в возможно простой форме и без стремления к математической строгости. В частности, не предполагалось, что читатель знаком с теорией групп. Однако везде, где это было необходимо, объясняются и применяются такие понятия теории групп, как характеры, представления и т. д., которые часто встречаются в литературе. [c.9]

Гидравлика — одна из отраслей механики, изучающая законы равновесия и движения жидкостей и разрабатывающая способы применения этих законов к решению различных практических инженерных задач. В своих исследованиях гидравлика, опираясь на законы физики и общие теоремы механики, широко использует точные и приближенные математические выводы. Ввиду сложности явлений, наблюдаемых при движении жидкостей, и необходимости доведения решений до стадии возможного их использования в инженерной практике гидравлика часто прибегает также к экспериментам и, обобщая их результаты, создает эмпирические закономерности и полуэмпирические теории. [c.5]

Аккуратный математический вывод этого результата с помощью применения к движению невязкой жидкости методов теории [c.103]

К чему же привело отрицание первостепенной важности экспериментальных данных К тому, что в современной научно-технической литературе публикуются подробные сведения об экспериментальном оборудовании и методике эксперимента, приводятся сложнейшие математические выводы, безразмерные параметры и безразмерные корреляционные зависимости, но фактически отсутствуют какие-либо экспериментальные данные. Причем это отсутствие данных не просто допускается, но и поощряется в соответствии с сущностью метода размерностей и сопутствующих ему безразмерных комплексов. [c.124]

В книге делается попытка выделить основные идеи, без которых невозможно обойтись в теории колебаний. Особое значение придается соединению наглядных физических рассуждений с математическими выводами, зачастую носящими формальный характер. Как подсказывает опыт, одна из главных трудностей в овладении любой теорией заключается именно в том, чтобы научиться, с одной стороны, превращать физически поставленную задачу в математически сформулированную проблему, а с другой — уяснить физический смысл математических результатов. Я надеюсь, что эта книга будет способствовать четкому установлению связи между математическими методами и физической природой колебаний. [c.7]

Применение метода абстракции, обобщение результатов опыта и непосредственных наблюдений позволили теоретйческой механике установить основные ее законы, или аксиомы. Из этих аксиом, соединенных с методами математического анализа, теоретическая механика получает все дальнейшие выводы о механическом движении и равновесии материальной точки, абсолютно твердого тела и механической системы. Достоверность теоретической механики зависит, таким образом, от достоверности ее аксиоматики, на которой она покоится, так как математические выводы из этой аксиоматики внести ошибок не могут. При этом не следует забывать, что аксиомы теоретической механики так же, как и ее основные понятия, имеют опытное происхождение. [c.10]

Распространение принципа относительности на электромагнитные явления — на все физические явления — означало, что необходимо было найти такие преобразования зравнений Максвелла, чтобы при переходе от одной инерциальной системы к другой их вид не менялся и скорость света оставалась постоянной. Эйнштейн строго показывает, что этим требованиям удовлетворяют преобразования Лоренца (83). При этом из формальных математических выводов они приобретают ясный физический смысл преобразований координат и времени при переходе от одной инерциальной системы к другой. Отметим разницу в пути, которым шли к соотношениям (83j Лоренц и Эйнштейн. Лоренц нашел их... как гипотезу о сокращении размеров тел в процессе их движения. Эйнштейн показал, что в постулате относительности речь идет не только о гипотезе сокращения тел, но и о новой трактовке времени [67]. Время, бывшее незыблемым, абсолютным, меняет свое течение в различных системах отсчета. В движущихся системах течение времени замедляется [c.134]

В теоретической механике вместо таких тел, которые встречаются в природе, рассматривают идеальные тела, находяш,иеся, вообш,е говоря, в таком же отношении к телам природы, в каком, в частности, находятся геометрические тела к твердым физическим телам. Индуктивные истины экспериментальной механики заменяются при этом математическими определениями, логически согласованными между собой, из которых посредством математических выводов получаются строгие следствия. [c.115]

Чисто математические выводы о концентрации напряжений были встречены, как это часто бывает, с изрядной долей скептицизма в среде инженеров-нракти-ков (путь к современной науке о прочности и здесь не был гладким). Кроме того, еще одно весьма острое противоречие стояло на этом пути. Попробуем в нем разобраться. Допустим, пас заинтересовал вопрос о прочности какого-нибудь материала. Зная, например, силы сцепления, связывающие два атома в твердом кристаллическом теле, можно определить прочность материала путем строгого расчета. Таким образом, мы получим так называемую теоретическую прочность. А можно изготовить образец из того же материала и оцределить значение прочности экспериментально. Прочность, определенную таким путем, принято называть технической. Так вот, оказалось, что техническая прочность значительно (в де- [c.26]

В свете результатов Закржевского и Крафта, приведенных выше, можно считать, что теория Амбронн — Винера повидимому дает объяснение согласно этой теории поток жидкости может оказывать влияние на систематическую ориентацию взвешенных частиц. Подобная систематическая ориентация в случае частиц, имеющих форму эллипсоидов в вязкой жидкости, находящейся в пластинчатом движении, была на основании математических выводов предсказана Джеффери 2 и позже проверена путем опытов Тэйлором з для пространства между двумя цилиндрами. Последним, например, было найдено, что если частицы имеют форму иголок , то амплитуда колебаний их больших осей в плоскости, перпендикулярной к радиусу, будет больше амплитуды колебания их в самой аксиальной плоскости. Это указывает на стремление осей группироваться в среднем вокруг направления, перпендикулярного 0 -Поляризатор [c.247]

Выше были отмечены этапы, через которые прошел Галилей в поисках законов падения. Мы относим к третьему этапу, приходящемуся примерно на 1609—1610 гг., многое из того, что изложено в Беседах , написанных гораздо позже. Достаточным основанием для этого являются сопоставления с более ранними сочинениями Галилея, его собственные указания и материалы его переписки. Четвертый этап (о нем уже шла речь в п. 3), датировка которого весьма проблематична, нашел свое выражение в латинском тексте, который создает остов Дня третьего Бесед . Здесь, удостоверившись в справедливости своих исходных положений, Галилей математически выводит из них различные следствия. Это и составляет одну из двух новых отраслей науки, о которых ведутся Беседы ,— учение о местном движении, В длинной цепи задач и предложений Галилей определяет и сравнивает времена падения тел вдоль вертикалей, вдоль наклонных и вдоль линий, составленных из вертикальных и ломаных отрезков. Кульминацией здесь является следствие из теоремы XXII (она же — Предложение XXXVI ) быстрейшее движение от одной конечной точки до другой происходит не по кратчайшей ли- 9 1 НИИ, каковой является прямая, а по дуге окружности . Как здесь, так и раньше, в тексте Дня первого Галилей придает неоправданную общность Своему результату, но, заканчивая свое доказательство, он выражается вполне точно чем более вписанная в дугу окружности ломаная приближается к дуге, тем быстрее совершается падение между двумя конечными пунктами . Поэтому не вполне справедливо безоговорочно приписывать-Галилею ошибочное утверждение, что дуга окружности является брахистохроной, f Исходных принципов нового учения о местном движении не один, а два помимо допущения закона t , Галилей в первом издании Бесед [c.91]

До сих пор явление ползучести исследовалось с позиций устаревших методов. В течение ряда десятилетий за решение подобных проблем обычно брались таким образом проводили простые и точные испытания (например, испытания на растяжение) очень сложных, содержащих примеси материалов, которые используются в промышленности, а затем результаты испытаний подвергали тонкому математическому анализу. Что касается перспектив такой деятельности, то нам нужно лишь осознать что кусок железа является значительно более сложной структурой, чем, например, наручные часы. Теперь представим себе, что, не открывая часы, их подвергли испытанию на сжатие. Далее попытались сделать некоторые математические выводы из полученной, несомненно, очень интересной кривой напряжение-деформация. И наконец, растворили часы в кйслоте, чтобы определить их химический состав. Хотя при этом можно использовать самые точные экспериментальные установки и проявить высшую степень знания математики, я сомневаюсь, можно ли, следуя этим путем, получить сколько-нибудь значимую информацию о том, как часы работают и как их можно усовершенствовать. Значительно более перспективный путь — разобрать часы на части, чтобы посмотреть, как они устроены, и затем изучить технологические свойства отдельных частей. Переведя все это в термины нашей проблемы, мы узнаем, что сначала нам надо изучить свойства монокристаллов, в особенности законы их пластичности лишь потом мы сможем перейти к исследованию поликристаллических металлов и с большей вероятностью преуспеть в этом, чем до настоящего времени. [c.7]

И все же в данном случае, по-видимому, скорее ошибается здравый смысл, чем математический вывод Снимки, сделанные в Абердинской научно-исследовательской баллистической лаборатории (см. фронтиспис), показывают, что очень тонкая игла, помещенная перед диском, действительно способна создать нечто вроде подобного абсурдного течения. [c.46]

Надеемся, что эта книга будет полезна инженерам и физикам. Мы старались придерживаться примерно такого математического уровня, который обычно встречается в механике сплошных сред. Например, для вывода основных уравнений вязкого сжимаемого течения мы воспользовались методом С. Чэпмена, так как он дает более наглядную физическую картину процесса, чем строгий математический вывод. Материал этой книги был собран при подготовке лекций по механике, физике и прикладной математике, которые читались в течение семи лет в университете Торонто. [c.8]

В течение последних десятилетий многие авторы изучали кинетику электрохимической реакции методом переменного тока [64—66] и разработали теорию фарадеевского импеданса. Математические выводы этой теории довольно громоздки, поэтому они здесь не приводятся. Интересующиеся могут найти их в оригинальных статьях. Дальнейшее изложение метода изучения кинетики электрохимических процессов переменным током будет исходить из представлений Б. В. Эршлера. [c.78]

Книга, предлагаемая ныне вниманию читателей, рассчитана в первую очередь на студентов втузов, а также на инженеров, интересующихся механикой и ее применениями, и на преподавателей механики. Она не является учебником в строгом смысле этого слова — в ней в начале каждой главы даны все определения и приведены все основные формулы ), но приведены без выводов мы считаем, например, более полезным не выводить уравнений Лагранжа, ибо этот математический вывод чи1атель может найти в любом учебнике, а подробно разъяснить, при каких ограничениях эти уравнения имеют место, какую задачу они позволяют решать, наметить методику их составления и т. п. [c.9]

Сначала мы объясним основные понятия этого подхода, а затем дадим математический вывод. Он в значительной степени опирается на волновые функции ВКБ-приближения и метод стационарной фазы, который обсуждается в приложении 3. Главу завершают применение этого понятия к переходам Франка-Кондона в двухатомных молекулах и обобш,ение на произвольные состояния. [c.219]

Случаи, когда тело, на котором происходит дифракция, имеет конечную диэлектрическую проницаемость и конечную проводимость, исследовались теоретически одно из первых исчерпывающих исследований такого рода для дифракции на сфере, выполненное в 1908 г. Ми, рассматривается в гл. 13, посвященной оптике металлов. Вообще говоря, предположение о конечной проводимости приводит к очень большому усложнению математического аппарата, и поэтому часто желательно принять концепцию идеально проводящего (и, следовательно, идеального отражающего) тела. Это, конечно, идеализация, но совместимая с электромагнитной теорией кроме того, поскольку проводимость некоторых металлов (например, меди) очень велика, подобное представление может служить хорошей аппроксимацией, если частота не слишком велнка. Однако следует подчеркнуть, что такая аппроксимация на оптических частотах никогда не является полностью адекватной. Упрощающее предположение о бесконечной проводимости дифракционного препятствия принято в большинстве работ, основанных на строгих математических выводах наши последующие рассуждения также ограничиваются этим случаем. [c.513]

Аналитическая форма упругого потенциала. Эксперименты, которые приводят к закону Гука, не дают, однако, доказательства этого закона. Закон Гука в абстрактной форме обобщает результаты многих наблюдений и экспе-риментон, но его формулировка гораздо точнее этнх результатов. Математические выводы, которые могут быть сделаны, если считать закон верным, допускают иногда экспериментальную проверку всякий раз, как такая проверка возможна, мы получаем новое подтиерждение истинности закона. В дальнейших главах мы займемся получением этих выводов здесь мы укажем лишь некоторые следствия, которые могут быть выведены непосредственно. [c.108]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...