Минимум потенциальной энергии

ТЕОРЕМА О МИНИМУМЕ ПОТЕНЦИАЛЬНОЙ ЭНЕРГИИ [c.392]

Обозначим неизвестную реакцию через X. Тогда на основании теоремы о минимуме потенциальной энергии деформации [c.393]

Для рассматриваемой задачи виртуальная работа нагрузки имеет заданное значение С. Поэтому принцип минимума потенциальной энергии становится принципом минимума энергии деформаций. Применительно к проекту с, этот принцип приводит к неравенству [c.21]

С ТОЙ же податливостью. Используя принцип минимума потенциальной энергии, приходим к неравенству [c.29]

Кроме того, так как кривизна х, кинематически допустима (т. е. получена исходя из прогибов, удовлетворяющих ограничениям на опорах) для проекта S , из принципа минимума потенциальной энергии для проекта s,- следует, что [c.99]

С другой стороны, неравенство (17), следующее из принципа минимума потенциальной энергии, записывается как [c.100]

Закон минимума потенциальной энергии деформации (принцип наименьшей работы) [c.67]

Действительное напряженное состояние равновесия упругого тела (системы) отличается от всех смежных состояний равновесия тем, что оно дает минимум потенциальной энергии деформации. [c.67]

Определяем значения усилия 3 из условия минимума потенциальной энергии деформации [c.71]

Рассмотрим теперь вопрос о том, как оценить состояние покоя консервативной системы в положении, в котором она не имеет минимума потенциальной энергии. Ответ на этот вопрос содержится в специальных теоремах А. М. Ляпунова [c.336]

При нет ни максимума, ни минимума потенциальной энергии [c.338]

Рассмотрим положение А (рис. VI.]). Это положение соответствует минимуму потенциальной энергии, и любое движение, начавшееся вблизи точки Л, происходит вблизи нее. Если материальная точка первоначально была далеко от А, но двигалась по показанному на рис. VI.I рельефу и попала в окрестность А с малой скоростью, то она уже не выйдет из этой окрестности. С другой стороны, для того чтобы материальная точка, попавшая в окрестность А, могла выйти из нее, точке должна быть придана энергия, превышаюш,ая некоторое пороговое значение. Если с этой целью повышается потенциальная энергия материальной точки при нулевой ее скорости, то материальная точка выйдет из окрестности Л только при условии, что ее потенциальная энергия будет доведена до значения, соответствующего ближайшему к ней максимуму потенциального рельефа (точка В). В этом смысле существует потенциальный порог или барьер, который надо преодолеть, чтобы вырвать материальную точку из окрестности точки А. Того же можно достигнуть, увеличивая кинетическую энергию материальной точки, но и в этом случае должен быть [c.228]

Итак, при движении консервативной системы в окрестности положения устойчивого равновесия соответствующего по условию минимуму потенциальной энергии) каждая из главных координат совершает около положения равновесия гармоническое колебание с одной из собственных частот. [c.239]

Отметим, что минимум потенциальной энергии обеспечивает выполнение условий равновесия (2.10), так как в положении равновесия потенциальная энергия имеет экстремальное значение. [c.42]

Если, как в рассматриваемом примере, силы потенциальные, т. е. каждой из них соответствует потенциальная энергия, то этот принцип эквивалентен условию минимума потенциальной энергии равновесной системы. Под виртуальными перемещениями понимаются произвольные изменения координат, не меняющие, однако, заданных условиями связей в системе (ср. 6). Возможно, например, вращать коромысло, меняя угол 0, но невозможно растягивать его (21 фиксировано). Итак, па систему, показанную на рис. 3, действуют три силы тяжести и ее потенциальная энергия [c.105]

Как отмечалось выше, это есть момент инерции относительно оси ез. Следовательно, ось с наименьшим моментом инерции должна быть направлена вдоль вектора 63. Аналогично в положении абсолютного минимума потенциальной энергии должно быть максимально выражение [c.508]

Можно доказать, что те положения равновесия материальной, точки, которым соответствует минимум потенциальной энергии по.гя, являются положениями устойчивого равновесия ). [c.382]

В определенной области в окрестности начала координат, являющейся точкой минимума, потенциальная энергия П будет положительной. Эту область будем называть областью минимума. [c.382]

Точка М (х, у, г) будет при этом находиться в области минимума потенциальной энергии. [c.382]

Из приведенных рассуждений вытекает, что условие минимума потенциальной энергии является достаточным условием устойчивого равновесия материальной точки в потенциальном силовом поле. Вопрос о необходимых условиях устойчивости равновесия не разъяснен еще в общем виде. Мы возвратимся к этим вопросам далее — в динамике системы. [c.383]

Согласно свойствам функций в окрестности точки минимума можно утверждать, что всегда существуют достаточно малые пределы изменения приращений координат, которым соответствует некоторая область минимума потенциальной энергии, в которой потенциальная энергия положительна. [c.217]

Неравенства (а) определяют область минимума П. Если в некоторых из соотношений (а) будет знак равенства, то соответствующая точка лежит на границе области минимума. На границе области минимума потенциальная энергия П приобретает также положительные значения. Предположим, что наименьшее из них равно А. [c.217]

При этом сила обращается в нуль как при х = О, так и при х = 1/s. Предполагается, что амплитуда движения мала по сравнению с 1/s, так что частица при д = О остается вблизи минимума потенциальной энергии, выражаемой соотношением (144). [c.238]

Первая теорема Ляпунова. Равновесие неустойчиво, если отсутствие минимума потенциальной энергии узнается по членам второго порядка в разложении потенциальной энергии без необходимости рассматривать члены высших порядков. [c.341]

На основании теоремы Лагранжа значения q и q при движении системы в области минимума потенциальной энергии не выходят из заранее назначенных сколь угодно тесных границ ( 7 < е, г/ < ei), если их начальные значения до и до выбраны надлежащим образом l o [c.480]

Предполагая еще, что рассматриваемые малые движения совершаются в области минимума потенциальной энергии, т. е. около положения устойчивого равновесия, имеем также [c.549]

Пример 63. Пользуясь теоремой о минимуме потенциальной энергии определить реакцию шгрнирно-подвижной опоры бруса малой кривизны, изображенного на рис. 392. Брус нагружен сосредоточенным моментом в опорном сечении В. [c.393]

Выражение в левой части (1.27) называется потенциальной энергией упругой конструкции, находящейся под действием заданных нагрузок Р , для кинематически допустимых смещений р и соответствующих деформаций q. Она получается путем вычитания из энергии деформаций для деформаций q виртуальной работы нагрузок на смещениях р. Неравенство (1.27) показывает, что смещения и деформации, дающие реще-ние нашей задачи для конструкции, минимизируют потенциальную энергию принцип минимума потенциальной энергии). [c.16]

В теореме Лагранжа — Дирихле дается строгое дока-аательетво того, что для любой материальной системы (в консервативном силавом поле) минимум потенциальной энергии является признаком устойчивого состояния равновесия. Приведем формулировку теоремы Лагранжа Дирихле если для материальной системы, находя- щейся в консервативном силовом поле и подчиненной голономным идеальным стационарным связям, потенциальная энергия в положении равновесия системы имеет минимум, то это положение равновесия устойчиво ). [c.42]

Приведем формулировку одной из теорем Ляпунова если отсутствие минимума потенциальной энергии П в исследуемом положении равновесия обнаруживается уже по членам второго порядка или вообш е по членам наименьшего порядка) в разложении функции Л qi, <72,, Qs) в ряд Тейлора, то равновесие неустойчиво. [c.43]

Таким образом, движение механической системы при минимуме потенциальной энергии в точке О будет происходить в области D. Следовательно, равновесие системы будет устойчивым и теорема Лагранжа— Дирихле доказана. [c.199]

Критерий Гриффитса. В 1920 г. была опубликована фундаментальная работа А.А. Гриффитса Явления разрушения и течение твердых тел . В ней впервые были выведены уравнения для определения разрушающего напряжения при нагружении хрупких твердых тел. А.А. Гриффитс использовал теорему минимума энергии , согласно которой равновесное состояние твердого тела при нaгpyжe raи в ynpyiofi области отвечасг минимуму потенциальной энергии системы в це гом. При анализе критерия разрушения А.А. Гриффитс дополнил эту теорему положением о том, что состояние равновесия возможно, если оно отвечает условию, при котором система может переходить от неразрушения к разрушению путем процесса, включающего непрерывное уменьшение потенциальной энергии. [c.288]

Допустим, что в некоторой точке поля О потенциальная энергия П имеет минимум. Выберем в точке О начало коо)1динат и положим Пд= 0. Покажем, что при наличии минимума потенциальной энергии можно найти определенное множество начальных условий, при которых координаты и скорость точки во время ее движения остаются ограниченными по абсолютной величине. Этим будет доказано, что точка поля, в которой потенциальная энергия имеет мини.мум, и есть положение устойчивого равновесия материальной точки. [c.382]

На основании теоремы Лагранжа — Дирихле нельзя, например, утверждать, что отсутствие минимума потенциальной энергии в положении равновесия системы обозначает неустойчивость состояния равновесия. Также нельзя на основании этой теоремы утверждать, что положению устойчивого равновесия всегда соответствует минимум потенциальной энергии, т. е. существует теорема, обратная теореме Лагранжа — Дирихле. [c.219]

В этой главе рассматриваются, главным образом, движения материальной системы в малой области, к внутренним точкам которой принадлежит начало координат. Предположим, что начало кординат совпадает с положением устойчивого равновесия системы и что выполняется достаточное условие такого равновесия, а именно наличие минимума потенциальной энергии в положении равновесия. [c.228]

Второй метод является обобщением известного способа доказательства теоремы Лагранжа — Дирихле об устойчивости равновесия при условии существования минимума потенциальной энергии в положении равновесия. [c.332]

Теорема Лагранжа определяет только достаточные условия устойчивости равновесия консервативной системы если нотенциальиая анергия имеет в положении изолированного равновесия минимум, то равновесие устойчиво. Ляпунов первый поставил вопрос об обратимо-ти теоремы Лагранжа, а именно моя но ли утверждать, что при отсутствии минимума потенциальной энергии равновесие будет неустойчивым Ему принадлежат следующие две теоремы, которые приводятся здесь без доказательств (см. 135]). [c.81]

На основании приведенных теорем 3.2 и 3.1 будем в дальнейшем считать, что устойчивому положению равновесия потенциальной системы отвечает минимум потенциальной энергии. Из DToro следует, что устойчивое положение равновесия потенциальной системы изоли])овано. [c.82]

Необходимо отметить, что устойчивость стационарного движения может быть осуществлена и при отсутствии минимума потенциальной энергии (за счет гироскопических сил). Поэтому распространить теоремы Ляпунова и Четае-ва об обратимости теоремы Лагранжа на стационарное движение нельзя. Однако для гироскопически несвязанной системы справедлива следующая теорема, являющаяся перефразировкой теоремы Четаева об обратимости теоремы Лагранжа. [c.88]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...