К упругих решений

С помощью метода упругих решений выполнены решения задач о распределении напряжений при осесимметричном нагреве применительно к точечным электрозаклепочным сварным соединениям, а также о напряжениях в бесконечной пластине при нагреве ее движущимся линейным источником и др. [c.418]

Решение задач теории пластичности связано с решением системы нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных (10.24). . . (10.28), что представляет собой чрезвычайно сложную задачу, которая в аналитическом виде решается, как правило, в исключительных случаях. Поэтому решение задачи теории пластичности чаще всего строится с помощью приближенных методов. Одним из них является метод последовательных приближений, предложенный А. А. Ильюшиным и называемый в теории пластичности методом упругих решений. Суть его заключается в рассмотрении последовательности линейных задач теории упругости, решения которых с увеличением порядкового номера сходятся к решению задачи теории пластичности. [c.310]

Относительно процесса последовательных приближений по рассмотренной модификации метода упругих решений можно заметить, что в теории пластичности доказана его сходимость к точному решению для задач, в которых граничные условия формулируются только в перемещениях (и = v = w 0) или в напряжениях при [c.313]

Как видно, в этом случае решение нелинейной задачи сводится к решению последовательности линейных упругих задач. В качестве начального приближения, так же как м в предыдущей форме метода упругих решений, принимается решение для упругого стержня с модулем упругости Е. В последующих приближениях также рассматривается упругий стержень, но на каждом шаге с новым модулем упругости. [c.315]

Накопленный опыт применения метода упругих решений в форме метода переменных параметров упругости при решении задач теории пластичности говорит о том, что он обеспечивает сходимость последовательных приближений к точному решению, однако до настоящего времени строгого доказательства этого утверждения нет. [c.316]

Перейдем теперь к рассмотрению решений различных характерных задач теории упругости. [c.91]

Перейдем к рассмотрению вопроса о единственности решения для областей, ограниченных кусочно-гладкими поверхностями. Выше предполагалось, что оператор Ламе от смещений является интегрируемой функцией и в этом случае только и доказывается теорема единственности. При формальном же математическом подходе получаемое решение может и не обладать этим свойством, что и приводит к неединственности решения. Тогда конечность энергии упругих деформаций постулируется, в результате чего решение оказывается единственным. Приведем некоторые соображения физического характера, объясняющие сказанное. [c.252]

Представляется естественным к точкам, в которых нарушается регулярность решения, относить и те точки, в которых происходит изменение характера краевых условий (даже, если сама граница гладкая). Указанные особенности нельзя выявить заранее, однако весьма важные сведения могут быть все же получены. В работе [122], относящейся к поведению решения общих эллиптических краевых задач (и, следовательно, задач теории упругости) в окрестности нерегулярных точек границы, установлены следующие результаты. Показано, что решение в окрестности этих точек представляется в виде асимптотического ряда и бесконечного дифференцируемой функции. Слагаемые этого ряда содержат специальные решения однородных краевых задач для модельных областей (для конуса, если на поверхности коническая точка, для клина, если угловая линия). Эти решения зависят только от локальных характеристик (величины телесного или плоского угла и типа краевых условий). В ряде случаев (они далее будут подробно рассмотрены) построение этих решений сводится к трансцендентным уравнениям. Величины же коэффициентов при них зависят от задачи в целом. [c.306]

Изложенное выше относится к реализации решения интегральных уравнений, соответствующих основным задачам теории упругости, когда граничная поверхность является достаточно гладкой. Обратимся к случаю, когда поверхность является кусочно-гладкой, т. е. состоит из совокупности разомкнутых гладких поверхностей, имеющих общие границы вдоль определенных линий, которые в свою очередь могут иметь угловые точки. Внутри каждой из таких поверхностей задано краевое условие того или иного типа, краевые же условия на угловых линиях или в угловых точках следует рассматривать как предельные со стороны той или иной поверхности. Предполагается, что в нерегулярных точках не приложены сосредоточенные воздействия ). [c.581]

Сделаем одно замечание, касающееся численной реализации метода упругих решений. Поскольку необходимо строить решение, соответствующее массовой силе, заданной с помощью значений в дискретных точках, то представляется целесообразным использовать аппарат обобщенных упругих потенциалов (см. 1 гл. III). При таком подходе на поверхности возникают некоторые напряжения, которые необходимо аннулировать (с тем чтобы фактически получить частное решение неоднородного уравнения с нулевыми краевыми условиями), что приводит при построении алгоритма еще к одному этапу — определению этих напряжений и включению их (с обратным знаком) в краевое условие для последующей итерации. [c.673]

После того как процесс упругих решений закончился, не составляет труда определить напряженное состояние в произвольной точке тела. Для этого необходимо вычислить деформации (т. е. деформации во вспомогательной упругой среде) и, пользуясь соотношениями (3), получить напряжения. Поскольку, как правило, те пли иные программы на ЭВМ содержат блоки, определяющие напряжения, а не деформации, то представляется уместным вычислить в упругой среде напряжения и для перехода к истинным напряжениям воспользоваться формулами (7). [c.673]

Основное предположение линейной механики разрушения состоит в том, что трещина распространяется тогда, когда величина коэффициента интенсивности достигает критического значения, характерного для данного материала. Совершенно эквивалентная формулировка этого предположения состоит н том, что сила G, движущая трещину, превосходит критическое значение — сопротивление распространению трещины. Формула (19.4.4) утверждает эквивалентность двух этих формулировок. Что касается механического содержания принятой гипотезы и всей теории в целом, на этот вопрос можно ответить по-разному, а в рамках формальной теории вообще его можно не ставить. Тем не менее некоторые соображения могут быть высказаны. В оригинальной работе Гриффитса предполагалось, что освобождающаяся при росте трещины упругая энергия расходуется на увеличение поверхностной энергии если есть поверхностная энергия на единицу площади, то сила сопротивления движению трещины G = Анализ Гриффитса в течение долгих лет считался безупречным, хотя в нем содержится некоторый органический дефект. Энергия поверхностного натяжения вводится в уравнения теории как нечто данное и постороннее по отношению к упругому телу. На самом деле, поверхностная энергия есть энергия поверхностного слоя, свойства которого в той или иной мере отличаются от свойств остального материала и при решении задачи теории упругости этот поверхностный слой нужно как-то моделировать. Простейшая схема будет состоять в том, чтобы рассматривать поверхностный слой как бесконечно тонкую пленку с постоянным натяжением 7. Если контур свободного отверстия имеет кривизну, то поверхностное натяжение дает нормальную составляющую силы на контуре. При переходе к разрезу, в вершине которого кривизна становится бесконечно большой, поверхностное натяжение создаст сосредоточенные силы. В результате особенность у кончика трещины оказывается более высокого порядка, а именно, вида 1/г, а не 1/У г. На это обстоятельство было обращено внимание Гудьером, однако полное решение задачи было опубликовано много позже. В связи с этим можно выразить сомнение, связанное с тем, в какой мере пригодно представление о поверхностном натяжении в твердом теле как о натянутой бесконечно тонкой пленке, а особенно в какой мере эта идеализация сохраняет смысл при переходе к пределу, когда отверстие превращается в бесконечно топкий разрез. [c.664]

Точно так же возможно применение методов теории упругости к решению задачи теории пластичности, а именно прямого, обратного и полуобратного. Очень эффективным является приближенный метод, предложенный А. А. Ильюшиным — метод упругих решений. [c.271]

Основные дополнения отразили развитие отдельных разделов, интерес к которым повысился со времени появления в 1951 г. второго издания. В главах 3 и 4 введен анализ влияния концов и теория собственных решений, связанных с принципом Сен-Ве-нана. Ввиду быстрого роста приложений дислокационных упругих решений в науке о поведении материалов, эти разрывные в смещениях решения излагаются более подробно (теория краевых и винтовых дислокаций в главах 4, 8, 9 и 12). К главе 5 добавлены вводные сведения о методе муара с иллюстрацией его применения на практике. Изложение понятия об энергии деформации и вариационных принципов проведено в трехмерном случае и включено в главу 9, что дало основу для новых разделов по термоупругости в главе 13. Обсуждение использования комплексных потенциалов для двумерных задач пополнено группой новых параграфов, основанных на хорошо известных теперь методах Н. И. Мусхелишвили. Этот подход несколько отличается [c.12]

С помощью суперпозиции из решения, найденного в предыдущем параграфе, можно получить несколько новых рещений, представляющих практический интерес. Начнем со случая действия двух равных по величине и противоположных по знаку сил, находящихся на малом расстоянии d друг от друга и приложенных к упругому телу неограниченных размеров (рис. 204). [c.395]

Используя особенности упругой линии, мы можем довольно просто распространить полученное решение и на другие случаи закрепления стержня. Так, если стержень на одном конце жестко защемлен, а на другом - свободен (рис. 13.11), то упругую линию стержня путем зеркального отображения относительно заделки легко привести к упругой линии шарнирно закрепленного стержня. Очевидно, критическая сила для защемленного одним концом стержня длиной I будет равна критической силе шарнирно закрепленного стержня, имеющего длину 21. Таким образом, в рассматриваемом случае [c.516]

Для преобладающего числа задач, выдвигаемых инженерной практикой, точных решений в теории упругости пока не имеется, и потому приходится обращаться к различным приближенным теориям деформации или к приближенным решениям самих исходных уравнений. [c.131]

Если в этом уравнении производную dv/dl определять из упругого решения, то придем к энергетическому критерию [c.43]

Любимов А. К. К возможности решения задачи о движении равновесной трещины.- В кн. Методы решения задач упругости н пластичности. Вып. 8.— Горький ГГУ, 1974, с. 36—42. [c.489]

В квазиупругом методе вязкоупругое решение (т. е. переходная проводимость) получается из упругого решения заменой всех упругих характеристик материала соответствующими функциями релаксаций и функциями ползучести [86]. Хотя этот метод основан на приближенном обращении (120) и, следовательно, применим только к квазистатическим задачам, его преимущество состоит в том, что для получения различных переходных проводимостей он не нуждается в теории обращений. В самом общем виде этот метод дает аппроксимации определяющих уравнений (10) и (11) соотношениями [c.150]

Принципы соответствия справедливы для композитов независимо от того, учитывается или нет микроструктура материала. Если длины волн, определяющие динамический отклик, много больше характерного размера микроструктуры, то, как было указано выше, можно использовать эффективные модули и податливости композитов при этом плотность р относится к объему, много большему объема элемента микроструктуры, т. е. р представляет собой эффективную плотность материала. Большая часть имеющихся вязкоупругих (упругих) решений для ограниченного тела основывается на теории эффективных характеристик композитов. С другой стороны, большинство существующих результатов, найденных с учетом микроструктуры, относится к стационарным колебаниям в неограниченной среде. Как отмечено выше, в обоих случаях справедливы динамические принципы соответствия, поэтому здесь будут рассмотрены оба решения. В том случае, когда принимается во внимание микроструктура материала при переходе от упругих к вязко-упругим решениям, вместо эффективных характеристик используются характеристики отдельных фаз. [c.165]

На рис. 14, а, б приведены примеры экспериментального определения критических коэффициентов интенсивности напряжений при действии комбинированного нагружения. Заметим, что линейное расположение экспериментальных данных в пространстве координат log Ос, log Ос с наклоном —1/2 фактически есть экспериментальное доказательство того, что коэффициенты интенсивности напряжений, определяемые уравнением (28), действительно постоянны. Далее, приведенные данные показывают, что при заданном условии нагружения упругое решение (уравнение (37)) применимо к нашему композиту и что характерный объем разрушения Гс суш ествует. Однако постоянство Гс при одном виде комбинированного нагружения можно интерпретировать только как необходимое условие проверки гипотезы, что разрушение имеет место внутри постоянного объема впереди кончика трещины. Для подтверждения достаточности проверки значение Гс должно быть постоянным при любых условиях комбинированного нагружения. [c.237]

Зависящее от времени осевое напряжение в волокне, требующееся для определения зависящей от времени неэффективной длины б t), можно получить из упругого решения (уравнение (4)) при помощи принципа соответствия. Вязкоупругое решение в пространстве изображений, соответствующем преобразованию Лапласа, получается, если вместо упругого модуля сдвига матрицы подставить умноженное на р преобразование Лапласа от релаксационного модуля сдвига матрицы и если применить преобразование Лапласа к начальному условию в уравнении (4), представляю- [c.289]

Запись уравнений в форме (5.237) позволяет сформулировать метод последовательных приближений для их реигения, известный под названием метода упругих решений. В нулевом приближении правую часть (5.237) полагают тождественно равной нулю, при это.м получается краевая задача линейной теории упругости. В перво.м и последующих приближениях правая часть вычисляется по результатам предыдущего приближения таким образом, на каждом uiare приходится рен/ать одну и ту же систему уравнений с различными правыми частями. Условия (5.235) обеспечивают сходимость метода последовательных приближений к решению (вообще говоря, обобщенному) краевой задачи для уравнений [c.271]

В заключение отметим, что до сих пор в научном и практическом подходах человека к созданию необходимых материалов и конструкций преобладает постулат о термодинамическом равновесии как высшей стадии в достижении совершенства. Поэтому неудивительно стремление технологов и материаловедов создавать и просчитывать материалы и конструкции, которые бьши бы как можно более близки к равновесному состоянию. Соответственно, и разрабатываемые технологии получения конструкционных материалов ориентированы на условия, приближенные к термодинамическому равновесию. Поэтому в материалах, используемых в промышленности, различного рода дефекты распределены достаточно равномерно по массе образца. Мы считаем, что здесь кроется ключ к практическому решению проблемы упруго-пластического поведения и разрушения констрзтсционных материалов в процессе эксплуатации. [c.135]

Сделанные допущения эквивалентны концепции киазихрун-кого ра.з.рушопия Орована — Ирвина о том, что в конце трещины мон ет находиться пластическая зона, малая настолько, что 08 влняние ска.чывается существенно только на величинах (перемещениях и нх производных в нашем случае), непосредственно относящихся к концу трещины, и не отражается па элементах упругого решения в остальной части тела. [c.37]

Рептение задачи сводилось к определению составляющих уравнения (5.1). Параметры и v)/ определяли на основе упругого решения /30/. Для подсчета пластичес-кой диссипации энергии при произвольной диаграмме деформирования воспользовались структурной моделью упругопластической среды /29/. Согласно данной модели каждый элементарный объем металла можно представить набором [c.127]

Простейшие задачи теории упругости решаются или полуобратным методомСен-Венана, или как обратные задачи в тех случаях, когда решение фактически сводится к проверке решений задач, известных из сопротивления материалов. [c.83]

Гриффитс предполагал, что величина бГ есть поверхностная энергия твердого тела, имеющая ту же физическую природу, что и для жидкости. Однако впоследствии выяснилось, что затраты энергии при создании новых поверхностей при развитии трещины связаны главным образом с работой пластической деформации объемов материала, расположенных перед фронтом трещины. Если линейные размеры этих объемов малы сравнительно с длиной трещины, то поток упругой энергии по-прежнему можно вычислить, сообразуясь только с упругим решением, а затрату энергии на разрушение относить теперь к работе пластической деформации. В этом состоит концепция квазихрупкого разрушения, изложенная в [231]. Эта концепция позволила перейти от идеального материала в схеме Гриффитса к реальным материалам. Эффективность этой концепции состоит в том, что разрушение реальных конструкций практически всегда происходит по квазихрупкому механизму — макрохрупкий излом содержит значительные остаточные деформации вблизи поверхности разрушения. Таким образом, оказалось возможным распространить теорию разрушения Гриффитса на решение инженерных проблем. Энергия Г обеспечивает существование твердого тела как единого целого, а при образовании новых поверхностей (из начального разреза) принято считать, что энергия Г имеет поверхностную природу и поэтому может быть выражена соотношением [c.328]

Как следует из (7.20), только при фо = л/2/ (случай симметрии относительно биссектральной плоскости клина) и при 1- 1 (отражение волны от плоской стенки) пропадают упругие члены, добавочные к акустическому решению. С учетом (7.20) можно проверить, что в окрестности ребра клина смещения ограничены, а напряжения интегрируемы. [c.509]

Указание. По условиям симметрии деформации рассматриваем изгиб половины пружины. Сечение О перемещаетея вертикально вниз без поворота. Длина упругой линии увеличивается за счет свободного проскальзывания на опорах 1. Опорная реакция поворачивается, оставаясь нормальной к упругой линии. Обычное решение не учитывает двух последних обстоятельств. [c.148]

Гриффитс предполагал, что величина бГ есть поверхностная энергия твердого тела, имеющая ту же физическую природу, что и для жидкости. Однако впоследствии выяснилось, что затраты энергии при создании новых поверхностей при развитии трещины связаны главным образом с работой пластической деформации объемов материала, расположенных перед фронтом трещины. Если линейные размеры этих объемов малы сравнительно с длиной трещины, то поток упругой энергии по-прежнему можно вычислить, сообразуясь только с упругим решением, а затрату энергии на разрушение относить теперь к работе пластической деформации. В этом состоит концепция квазихрункого разруше- [c.28]

Очевидно, что pi есть комноненты тензора напряжений, полученного из решения задачи теории упругости для снлошно]о тела, располагающиеся на поверхности > -l-Q и имеющие обратный знак. Компоненты упругого решения, относящиеся к этому состоянию, отметим верхним. индексом градус . Тела в обоих состояниях одинаковые и упругие, что позволяет записать теорему Бетти [122] [c.39]

Хотя предложенный метод является приближенным для N < оо, в принципе погрешность можно сделать сколь угоднО малой при достаточно большом числе N и достаточно близких друг к другу значениях Хг. Это следует из свойства полноты системы интегрируемых с квадратом функций, в рядах Дирихле [87]. На практике, однако, точность обращения ограничивается гладкостью изображений по Лапласу. Ошибки за счет округления, неизбежные при любых численных представлениях, и погрешности при интерполяции, например при 1юлучении ассоциированного упругого решения методами конечных разностей или конечных элементов, определяют нижнюю границу погрешности для квадратичного отклонения [19, 84, 87]. Оказывается, что для принятых численных значений изображений Лапласа при сближении Хг квадратичная ошибка сначала уменьшается, а затем увеличивается. Этот рост отражает перемену знака возрастающих членов в функции Д/с(0- [c.146]

Уже после завершения работы над отчетом [93], который составил основу настоящей главы, автор получил два отчета Хашина [49, 50], посвященных исследованию колебаний композиционных тел прн малых значениях тангенса угла потерь. Хашин, по существу, использует тот же метод аппроксимации и приходит к тем же выводам, что и автор. Однако в работе [50] в ряд раскладывается упругое решение, а не обратная ему величина, что не позволяет определить отклик при резонансных частотах. [c.172]

Метод касательного модуля (Маркал и Тёрнер [23]) позволяет использовать процедуры, созданные ранее для решения задач линейной упругости. Вместо обобщенного закона Гука (8) применяются определяющие уравнения (22) упругопластической среды при этом полная история нагружения получается как сумма отдельных линейных (но не упругих) решений. Величины Sij, То и тИт, входящие в уравнение (22), вычисляются в начале каждого шага нагружения, а затем считаются постоянными, что приводит к линейному соотношению между переменными гц и dij — полными скоростями изменения деформаций и напряжений — в каждой точке внутри материала. Таким образом, на каждом шаге приращения нагрузки решение может быть получено сразу, без привлечения итерационных процедур. [c.218]

Рассмотренный метод был применен в [15] к элементарной задаче расчета напряженного состояния моноволокна, заключенного в полимерную матрицу. На рис. 5.5 для гипотетической ситуации (температура, соответствующая отсутстви ю напрял<ений, равна 200 °С и 7 g = 50° — ниже, чем у типичных смол) показаны приведенные радиальные напряжения на поверхности раздела волокно — матрица, образовавшиеся в процессе охлаждения с постоянной скоростью (по абсциссе отложено безразмерное время). Сплошные линии для двух разных конечных температур Тр получены интегрированием уравнения (5.25). На этом же рисунке показаны напряжения, развивающиеся после охлал<дения ниже Tg. Скачок напряжений в этом диапазоне температур получен при подстановке начального модуля смолы, находящейся в стеклообразном состоянии, в упругое решение. Когда Tpостаточных напряжений должно пройти много времени. [c.193]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...