Однозначность решения уравнений теории упругости

Таким образом, в случае тонких стержней и пластинок отпадают те условия, на которых построено доказательство теоремы об однозначности решения уравнений теории упругости, и мы встречаемся с возможностью существования нескольких форм равновесия при одних и тех же внешних силах. Так, например, при действии продольных сжимающих сил прямой стержень может сохранить свою прямую ось но при некоторых условиях эта ось может и искривиться, тогда мы [c.257]

ОДНОЗНАЧНОСТЬ РЕШеНИЯ УРАВНЕНИЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ 125 [c.125]

Однозначность решения уравнений теории упругости [c.125]

При решении всех предыдущих задач мы шли обратным методом, задаваясь напряжениями и выясняя, при каких силах, действующих на поверхности, получается выбранная система напряжений при этом каждый раз может возникнуть вопрос, нельзя ли при какой-либо другой системе напряжений получить такие же силы на поверхности. Если это окажется возможным, то решение уравнений теории упругости окажется многозначным заданным силам на поверхности будут соответствовать несколько систем напряжений, и необходимо выяснить, какие из этих систем имеют место в действительности. В этом случае при обратном или полуобратном способе решения мы не будем уверены, что выбрали именно ту систему напряжений, которая соответствует действительности. Благодаря этому вопрос об однозначности решения уравнений теории упругости приобретает большое вначение. [c.125]

ОДНОЗНАЧНОСТЬ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ [c.127]

Однозначность решения уравнений теории упругости 125, 131 Однородность тел 68 Оператор Лапласа 92, 187 Ось нейтральная 117 [c.362]

Если исключить случай начальных напряжений в теле, то ответ на поставленный выше вопрос с позиций классической теории упругости должен быть дан только отрицательным. Для естественно ненапряженного тела (т. е. когда при отсутствии внешних сил в теле нет напряжений) решение уравнений теории упругости однозначно . [c.32]

Таким образом, для решения задачи теории упругости з напряжениях приходится интегрировать девять уравнений (4.1) и (4,12), Наличие трех лишних уравнений необходимо для получения однозначного решения, что обсуждалось при выводе уравнений неразрывности деформаций (2.8), следствием которых являются уравнения Бельтрами—Мичелла, [c.46]

Когда дифференциальные уравнения теории упругости установлены, приходится решать для них два основных вопроса вопрос о существовании решения для составленной системы уравнений и вопрос об однозначности решения Что касается первого вопроса, то он имеет чисто математический характер. Задача о существовании интеграла для дифференциальных уравнений теории упругости до сих пор не вполне разрешена и мы этого вопроса в дальнейшем касаться не будем [c.54]

Однозначность состояния равновесия. В заключение главы об энергии дадим доказательство следующего положения если основные уравнения теории упругости имеют решение, то такое решение является единственным (вопросы существования решений освещены далее в 50). [c.52]

По теореме 10 9 настоящей главы эти же значения принимают Т-операции от W(x-, извне на 5. Отсюда ясно, что вектор ти (х) прикинет на 5 предельные извне значения, равные f(x). С другой стороны, и (лг) есть регулярное в решение динамических уравнений теории упругости и по теореме единственности является однозначно определенным решением задачи (TJ. [c.202]

Функции ф, удовлетворяющие уравнению (7.18), носят название бигармонических функций. Пользуясь бигармоническими функциями с однозначными вторыми производными, можно строить многочисленные решения плоских задач теории упругости, которые автоматически удовлетворяют уравнениям равновесия и условиям совместности деформаций. Эти решения следует лишь удовлетворить заданным граничным условиям. Такой метод решения задач, когда решение задается, а граничные условия определяют характер внешнего воздействия, носит название обратного. [c.134]

Уравнение (II.8) называется бигармоническим. Решение задач плоской деформации теории упругости сводится во многих случаях к интегрированию бигармонического уравнения (П.6) при соответствующих граничных условиях и условиях однозначности для функции (р(х, у). [c.28]

Однородное уравнение (3.4) имеет нетривиальное решение Фо(г) = 2 + р (а и р — по-прежнему действительная и комплексная постоянные), поскольку оно соответствует нулевому напряженному состоянию. Из теоремы единственности решения краевой задачи будет следовать, что иных собственных функций нет. Напомним, что сама вторая краевая задача теории упругости для конечной области разрешима, когда равны нулю главный вектор и вектор-момент внешних сил. Первое условие автоматически приводит к однозначности функции f t), а второе же условие— к равенству [c.380]

Однозначность решения уравнений теории упругости для слзпгая тел с односвязным контуром была впервые доказана Кирхгофом Будем исходить при доказательстве из представления о естественном состоянии упругого тела. Если на элементы тела не действуют никакие объемные силы, а также не приложено никаких усилий к поверхности тела, то тело не испытывает никаких деформаций и все внутренние напряжения равны нулю. Предположим, что при заданных объемных силах рХ, рУ, рЕ и данных усилиях на поверхности Х , Уv, дифференциальные уравнения равновесия (3) имеют два решения. Пусть Хх,. .., Уг представляет систему напряжений, соответствующих первому решению, и Хк,. .., Уг — второму. Составим разности Хх = Хх — Х"х,. .., Уг == = у г — у г- Они представят собой систему напряжений Хх, У г, удовлетворяющих уравнениям [c.54]

В случаях, когда тело ограничено многосвязным контуром, доказательство однозначности решения уравнений теории упругости, основанное на представлении о естественном состоянии упругого тела теряет силу, и мы будем, вообще говоря, получать многозначные решения. Физический смысл этого заключения выясним на простейшем примере. Возьмем случай кольца. Одним плоским разрезом мы можем обратить кольцо в тело с односвязным контуром. В таком теле при определенных внешних силах возникают вполне определенные напряжения и деформации. Если мы удалим внешние силы, напряжения и деформации пропадут, тело вернется к своему естественному состоянию. Удалим посредством плоского сечения тонкий слой материала кольца у места разреза. Тогда концы разрезанного кольца не будут совпадать друг с другом при отсутствии внешних сил мы сможем привести их к соприкасанию, лишь приложив внешние силы. Предположим, что мы достигли таким путем соприкасания и скрепили (склеили, спаяли) между собой поверхности, соответствующие месту разреза, тогда по удалении внешних сил в кольце останутся напряжения, величина которых будет зависеть от того, какая часть материала кольца была удалена у места разреза. Напряжения эти, возникающие, как мы видим, в телах с многосвязным контуром, при изготовлении называют самонапряжениями или начальными напряжениями. Они именно и обусловливают многозначность решений уравнений теории упругости в случае многосвязных контуров [c.55]

Во всех тех случаях, когда в конструкциях применяются тонкие стержни или пластинки, необходимо считаться с возможностью потери устойчивости деформации таким образом ставится общая проблема устойчивости упругих систем. Мы уже видели, что первые исследования, относящиеся к проблемам этого типа, были сделаны Эйлером и Лагранжем, которыми был решен ряд отдельных, не связанных между собою задач. Во всех этих задача % при одних и тех же внешних силах возможны два вида равновесия и обычное доказательство 134) однозначности решений уравнений теории упругости оказывается неприменимым. Общая теория устойчивости была предложена Брайаном (G. Н. Вгуап) Он пришел к выводу, что исключения из теоремы об единственности возможны лишь тогда, когда большие относительные смещения разных частей тела сопровождаются малыми деформациями в отдельных точках, как это имеет место в случае тонких стержней и пластинок, или же тогда, когда возникают смещения, мало отличающиеся от тех, которые возможны для неизменяемого твердого тела последнее обстоятельство имеет место, например, в случае сферы, сдавливаемой круглым кольцом несколько меньшего диаметра. Во всех случаях, когда возможны две формы равновесия, критерий для определения той формы, которая будет иметь место, состоит в условии, что энергия должна иметь наименьшее значение. [c.42]

Из 8ТИХ соображений мы также пропустили исследования вопроса в существовании общего решения уравнений теории упругости и об однозначности этого решения. Оставили без рассмотрения также общие методы интегрирования уравнений теории упругости и ограничились лшпт. подробным изложением ряда частных решений, могущих иметь непосредственное практическое приложение. По тем же соображениям нами пропущены исследования вопросов о строении упругих тел, о зависимости между упругими деформациями и сопровождаюлрши их тепловыми и электрическими явлениями, а также о распространении колебаний в упругой среде. [c.10]

Система уравнений (15), (16) и (17), (18) не замкнута, поскольку имеются 42 неизвестные величины и 24 уравнения. Для замыкания даннрй системы необходимо звести еще 18 определяющих уравнений, связывающих характеристики напряженного а, т и деформированного состояния ежи. Эта связь может быть линейной, тогда получим замкнутую систему уравнений, описывающих упругое поведение тела. Для изотропной среды необходимо вводить шесть упругих характеристик среды вместо двух в классической теории упругости. Для однозначного решения системы должны быть приданы граничные условия. Если они силовые, то на поверхности тела задаются поверхностные нагрузки [c.106]

Соотношения (10.31) представляют собой систему четырех действительных линейных уравнений, служащую для определения четырех неизвестных величин Re o, Imeo, Im o, Re o. Эта система однозначно разрешима, так как соответствующая однородная система прт е = О и с = О имеет только тривиальное решение в силу теоремы единственности теории упругости. Таким образом, линейное поле напряжений на бесконечности вызьшает также линейное поле напряжений внутри эллиптического включения. [c.119]

Теорема о минимуме энергии. С теоремой об однозначности решения связана теорема о минимуме потенциальной энергии. Рассмотрим случай когда отсутствуют массовые силы и на граничной поверхности заданы сме- едия Потенциальная энергия деформации тела равна объемному интегралу от упругого потенциала, распространенному по пространству, которое занимает тело. Мы можем выразить теорему следующим образом смещения, удовлетворяющие диференциальным уравнениям равновесия и условиям на граничной поверхности, сообщают потенциальной энергии деформации наименьшее значение по сравнению со значением, которое ей сообщает всякие другие смещения, удовлетворяющие лишь тем же условиям на граничной поверхности. [c.182]

Введение деформации, имеющей особые точки. Мы можем иссле> вать такие решения уравнений плоской деформации, которые в определенных точках принимают бесконечные значения. Хзкие точки не могут находиться в области, занятой материальной средой, а должны лежать в полостях внутри тела. В этих случаях необходимо соблюсти условие однозначности смещения, вращения и деформации. Когда такие точки лежат вне тела или на его границе, то эти условия, вообще, не требуют ника-J кого особого исследования. Смещение выражается некоторой функцией переменной дс-j-iy, так что особые точки смещения тождественны с o oi быми точками этой функции. Не вдаваясь в исчерпывающее исследования возможных особенностей и их значения для теории упругости, мы рассмот] рим напряженные состояния, которые соответствуют некоторым особым точкам простого типа. [c.219]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...