Метод касательных модулей

Для практической реализации процедуры пошагового нагружения используются два основных метода. Один из них называется методом начальных напряжений ), другой — методом касательного модуля ). [c.216]

В отечественной литературе метод, основанный на той же идее, что н метод касательного модуля, называют методом переменных параметров упругости (см. Биргер И. А., Прикл. матем. и мех., XV, вып. 6 (1951)).— -Прим. ред. [c.216]

Метод касательного модуля [c.218]

После выбора метода решения уравнений, описывающих упругопластическое поведение материала, например метода касательного модуля или метода начальных деформаций, остается сформулировать краевую задачу для области, являющейся частью реальной конфигурации материала, выбранного для исследования. Данная задача подобна задаче, возникающей для линейно упругого материала (см. гл. 3). [c.219]

Метод конечных элементов в строгой форме (с использованием метода начальных деформаций) к исследованию упруго-пластического поведения композитов впервые применил Фойе [11] более подробно этот метод был изложен в последующей статье Фойе и Бейкера [12]. В сочетании с методом касательного модуля метод конечных элементов был применен Адамсом [1, 2] подробное изложение можно найти в статье Адамса [3]. [c.225]

С другой стороны, большая часть трудностей развития основ теории к настоящему времени преодолена, и подтверждается это тем, что развитые точные методы анализа могли быть последовательно использованы для изучения микромеханики упругопластического поведения композита. В настоящий момент лучше всего разработан метод конечных элементов, который в сочетании с двумя одинаково развитыми возможностями— методом начальных деформаций Фойе и Бейкера [12] и методом касательного модуля Адамса [1—3] — позволяет моделировать сложные области и граничные условия, возникающие в задачах механики композитов. Подходы Фойе —Бейкера и Адамса полностью описаны в их указанных выше работах, соответствующие программы для ЭВМ введены в библиотеки и при желании могут быть использованы. [c.238]

При необходимости только решения нелинейной задачи, т. е. определения напряженно-деформированного состояния, соответствующего заданной нагрузке, предпочтение следует отдавать итерационным методам. При этом если затруднена процедура А, то нужно использовать метод упругих решений или метод одного параметра, если затруднена процедура В — метод переменных параметров, если же обе процедуры реализуются достаточно просто — метод касательных модулей. [c.87]

Метод касательных модулей (см. рис. 7.4, а). В этом методе также нужно иметь некоторое первое приближение dj. Тогда закон деформирования (7.49) можно приближенно записать в виде (7.14), где под податливостями подразумеваются касательные податливости, например, [c.455]

Метод касательных модулей 455 [c.505]

Так как в соотношение (2.21) разница между приближениями входит в квадрате, метод Ньютона называется методом второго порядка. Следует отметить, что оценка (2.21) практически никогда не используется, так как вычислить F и F" и исследовать на экстремум их модули — задача для сколько-нибудь сложной функции F по своей трудоемкости неадекватная той цели, ради которой ее следует решать. Вообще, метод Ньютона — это достаточно громоздкий в реализации метод, так как он требует вычисления двух функций F к F. Его можно рекомендовать для решения сравнительно простых уравнений, когда F может быть вычислена относительно просто. На практике, когда вычисление F сложно, прибегают к ее приближенному вычислению, т. е. берется Ф л MF (см. (2.20)). При этом получается сходящийся итерационный процесс первого порядка, близкий по своему геометрическому истолкованию к методу касательных. Примером может служить решение уравнения теплового баланса поверхности ЛА. Для стационарного состояния справедливо следующее уравнение [c.78]

При сравнении результатов измерения модулей упругости, полученных статическим и динамическим методами, разница в определении составила 1,68%, а в определении G—0,4%. Указанные цифры не выходят за пределы погрешностей статического метода измерения модулей упругости. Следовательно, можно на основании сравнительных испытаний заключить, что погрешности измерения модулей нормальной и касательной упругости разработанным методом не превышают погрешностей статических методов измерений. [c.454]

Иллюстрация рассмотренного итерационного процесса для одномерного случая приведена на рис. 3.11, а. Если на каждом шаге приближения не проводить корректировку матрицы IG ] (значит оставлять прежней матрицу жесткости конструкции), а лишь уточнять невязки )с т. то итерационный процесс будет соответствовать модифицированному методу Ньютона (рис. 3.11, б). На практике для решения нелинейных задач деформирования многослойных конструкций из композиционных материалов часто применяют пошаговое нагружение. В пределах шага по нагрузке уточнение выполняют модифицированным методом Ньютона. Матрица касательных модулей корректируется при изменении нагрузки. [c.108]

Касательный модуль Gn используется для метода Ньютона и всех шаговых методов. Для метода переменных параметров G является секущим модулем и на основе (3.13) формула для принимает вид [c.111]

При вычислении критической нагрузки по формулам (102), (103) можно использовать метод последовательных приближений задаваясь критическим усилием Л кр, находим по диаграмме сжатия материалов слоев касательные модули Ек и вычисляем величины, входящие в правую часть формул. Затем производим минимизацию по параметру и находим новое значение Л кр, которое принимаем в качестве следующего приближения. [c.114]

Скорость (не) равна чему (нулю...), какова ((не-) постоянна...), имеет что (направление...), (не) изменяется как (со временем...), определяет что (изменение положения точки...), найдена, определяется как (по формуле, по модулю...), задана, является чем (вектором...), (не) зависит от чего (от траектории...), направлена по чему (по касательной. .), разложена на что (на составляющие...), рассматривается как что (как вектор...), относится к чему (к точкам...). Угловая скорость определяется как (по методу Виллиса...). [c.83]

Из рис. 224 видно, что касательные составляющие и у,2 окружных скоростей профилей зубьев в точке зацепления различны. И хотя это не нарушает правильности зацепления, но создает относительное скольжение профилей. Скорость скольжения = = V2 — Vi по мере приближения к полюсу уменьшается и в полюсе равна нулю. Скольжение сопровождается трением. Трение является причиной потерь мощности в зацеплении и износа зубьев. С уменьшением высоты зуба, уменьшением модуля уменьшается скольжение, уменьшается износ и увеличивается КПД. Зубчатые колеса с эвольвентным профилем зубьев изготовляют на специальных станках методом копирования или обкатки. [c.250]

Метод начальных напряжений (Мендельсон и Менсон [25]) был создан раньше и, видимо, используется чаще, нежели метод касательного модуля. При составлении систем матричных уравнений упругая и пластическая части приращений деформаций, представленных формулой (22), записываются раздельно для того, чтобы матрица жесткостей включала только упругие части приращений деформаций, т. е. содержала лишь упругие модули Е и V. Так как эти модули не меняются при переходе от одного шага нагружения к другому, матрицу жесткостей требуется обратить лишь однажды. Приращения же пластических частей деформаций, представленные последним слагаемым правой части уравнения (22), считаются неизвестными постоянными. [c.217]

Метод касательного модуля (Маркал и Тёрнер [23]) позволяет использовать процедуры, созданные ранее для решения задач линейной упругости. Вместо обобщенного закона Гука (8) применяются определяющие уравнения (22) упругопластической среды при этом полная история нагружения получается как сумма отдельных линейных (но не упругих) решений. Величины Sij, То и тИт, входящие в уравнение (22), вычисляются в начале каждого шага нагружения, а затем считаются постоянными, что приводит к линейному соотношению между переменными гц и dij — полными скоростями изменения деформаций и напряжений — в каждой точке внутри материала. Таким образом, на каждом шаге приращения нагрузки решение может быть получено сразу, без привлечения итерационных процедур. [c.218]

Как будет указано в разд. IV, Г, для построения точных методов необходимо использовать обсуждаемые здесь численные, а не замкнутые аналитические формы решения. При этом обычно приходится решать некоторую систему линейных алгебраических уравнений, находя значения a,j или ijj в каждой точке материала иначе говоря, необходимо построить и обратить матрицу жесткости системы. В методе касательного модуля эту матрицу нужно строить и обращать на каждом шаге приращения нагрузки, так как в начале каждого очередного дикла необходимо вводить новые значения величин 8ц, То и Мт. [c.218]

В 1968 г. Маркал 21] сравнил описанные выше методы, выведя уравнения метода начальных деформаций непосредственно из уравнений метода касательного модуля. Он показал, что метод начальных деформаций в частном случае упруго-идеально-пластического материала не сходится и, следовательно, неприменим к этому случаю. Сходимость оказывается очень медленной, когда поведение материала мало отличается от упруго-идеально-пластического, т. е. когда значительное возрастание деформаций за пределом упругости слабо влияет на величину напряжений этот факт был установлен Фойе и Бейкером [12]. С другой стороны, Адамс [1, 2] нашел, что метод касательного модуля в этом случае дает хорошие результаты. [c.218]

Маркал [21] на одном специально подобранном примере показал, что при использовании метода касательного модуля время вычислений оказывается несколько меньшим. Ясно, однако, что результаты такого сравнения зависят от конфигурации рассматриваемой области и от вида кривой напряжение — деформация. Обоснованное сравнение применительно к микроме- [c.218]

К исследованию упругопластических материалов впервые прямой метод жесткостей применили Галлагер с соавторами [13], одновременно использовавшие метод начальных деформаций. Хронологический перечень более поздних работ по применению прямого метода хлесткостей с одновременным применением метода начальных деформаций или же метода касательного модуля можно найти в труде Маркала [22]. В большинстве этих работ исследуется распределение напряжений около отверстий, вырезов и прочих разрывов в плоских пластинах, на которые действуют нагрузки, лежащие в плоскости пластины. Предполол<ив, что на месте такого разрыва находится включение той же формы (например, волокно), отличное по своим свойствам от исходного материала, приходим к рассмотрению композиционных материалов. Современное состояние метода конечных элементов описано в очень многих работах, в частности в работе Зенкевича [41]. [c.225]

Метод касательных модулей. Он имеет следующую дычисли-тельную схему [c.77]

Математическим аналогом метода касательных модулей является метод Ньютона—Рафсона—Канторовича. Для опномер-ного случая итерационный процесс (3.22) допускает гепметриче скую интерпретацию (рис. 3.4). На п+1 итерации I (1= 2,. .., L) уравнение метода конечных элементов будет иметь вил [c.77]

Поскольку, как отмечалось, функция f в неявной форме является нелинейной функцией от депланации w, решение можно получить методом итераций, положив сперва f = О и вычисляя уточненные значения при помощи соотношений (13), (15), (16), (17) и (11). после чего опять (13) и т7 д. Это метод последовательных упругих решений ) или метод начальных деформаций. С тем же успехом может быть применен метод касательного модуля, что также, возможно, поз-волит сэкономить машинное время. Описание подробностей проведенных здесь вычислений дано в [6]. [c.74]

Будем считать, что в физических соотношениях (3.89), связывающих приращення напряжений и деформаций, матрица касательных модулей [Gtl, вычисленная для равновесной конфигурации т, сохраняет неизменными свои компоненты на итерациях в пределах этапа нагружения. Кроме того, будем считать деформации малыми, поэтому при использовании соотношений (3.89) не будем делать различия в матрицах [Gi] для двух указанных выше вариантов интегрирования. Эти варианты вычислений соответствуют записи принципа возможных перемещений в форме Лагранжа. Более подробно с вычислительными и теоретическими аспектами решения нелинейных задач можно ознакомиться в работе [59]. Такой метод решения нелинейных задач можно назвать шаговым с промежуточной итерационной коррекцией модифицированным методом Ньютона. На рис. 3.7 условно показан процесс вычиааений. Здесь р vi и обозначают нагрузку и перемещения. Как видно из рисунка, жесткость системы на интервале нагружения (т, т + Ат) сохраняется постоянной. [c.100]

При решении уравнений методом Ритца — Папковича-предполагалось, что секущий и касательный модули не зависят от прогиба. Значения у и п брались из решения линейной задачи [c.324]

Избежать возникающего противоречия позволяет использование итерационной процедуры (10.63) с коэффициентами (10.70). Вычисление касательных модулей в процессе итераций приводит к поиску решения в области более близкой к действительной диагргшме деформирования. Сохраняющийся при этом недостаток, связанный с необходимостью перестройки матрицы жесткости, в значительной степени устраняется с помощью следующего комбинированного метода. [c.241]

Данный метод является по сути вариантом метода дополнительных напряжений с корректируемыми на отдельных этапах решения касательными модулями. Схема решения задачи на закритической стадии деформирования показана на рис. 10.8. Рассмотренный метод является более эффективным и экономичным, однако, лишь в тех случаях, когда сходимость итерационных процедур не требует корректировки паргшетров на каждой итерации. [c.242]

Метод переменных параметре упругости, когда для итераций используются параметры упругости (в том же смысле, что и касательные модули упругости), достигнутые на предыдущем шаге по пч>аметру, по смыслу близок к модифицированноьу методу Ньютона и применялся совместно с ним в неявной схеме интегрирования по параметру для решения однсюре-менно физически и геометрически нелинейнкк задач [534, 340, 302,175, 463, 197, 6]. Неявная схема продолжения с использованием для итераций метода Ньютона — Рафсона реализована в статье [423] для уточнения решения после нескольких шагов по параметру по явной схеме типа метода Эйлера. Итерация по Ньютону - Рафсону на каждом шаге интегрирования проводилась в работах [515,1,324]. [c.194]

В гораздо более точных опытах, в которых использовался метод Кельвина с двумя проволоками, Сэйр получил результаты для углеродистой стали и алюминиевого сплава, изображенные на рис. 2.60. Можно видеть, что касательный модуль на самом деле линейно убывает с возрастанием напряжения в испытаниях на простое растяжение. [c.181]

Таким образом, метод Гравесаида для определения модуля Е начинает работать, и то как приближенный, лишь после того, как угол достиг достаточно большого значения, чтобы по сравнению с ннм можно было пренебречь углом а . Если учесть нелинейность зависимости а=а(е), то метод Гравесанда позволяет находить касательный модуль с некоторой погрешностью, начиная от достаточно высокого уровня напряжений. (К стр. 225.) [c.573]

В случае превышения напряжениями предела текучести материала фиксируется возникновение пластической зоны в этом элементе, что требует численного обращения матрицы B ijkm в выражении (IV. 13) и вычисления касательного модуля из диаграммы деформирования материала. На последующих уточняющих итерациях касательный модуль заменяется секущим и производится уточнение приращений упругопластических деформаций по схеме метода переменных параметров упругости. В случае фиксирования разгрузки запоминается текущий предел текучести и переход к упругим соотношениям в выражении (IV. 14), т. е. касательный модуль сменяется модулем Юнга. Пластические деформации сохраняют при этом свои последние значения. [c.98]

Ф. Энгессер (1889), рассматривая неупругое поведение стойки методом Эйлера, предположил, что все продольные волокна при возмугцениях работают по закону касательного модуля. Так он пришел к формуле [c.397]

В течение многих лет формула (155), основанная на приведенном модуле Ву, применялась инженерами, которые имели -дело с такими пластическими материалами, как алюминиевые сплавы и строительная сталь, но некоторые эксперименты показали, что результаты испытаний лучше согласуются с формулой (151). Рис. 118, например, представляет результаты испытаний для сплошных круглых стержней из алюминиевого сплава ). Видно, что для больших значений гибкости результаты совпадают с кривой Эйлера, для коротких же стержней результаты удовлетворительно согласуются с кривой, отвечающей теории касательного модуля. Таким образом, метод рассуждения, примененный при вычислении о р в упругой области, становится неудов--летворительным за пределом упругости, так как к-ривая, отвечающая теории Ег, основанная на этом методе, не согласуется с результаталЙ лспытаний. г [c.154]

Кривая одноосного растяжения малоуглеродистой стали с разгрузкой испытуемого образца (рис. 58) показывает, что остаюч-деформация измеряется отрезком ОО. Пластическая деформация начинает проявляться на участке АВ и происходит без увеличения нагрузки. На участке ВС происходит упрочнение материала, поэтому угол наклона касательной к кривой ВС и к оси абсцисс tg р называют модулем упрочнения. Упрочнение имеет направленный характер, т. е. материал меняет свои механические свойства и приобретает деформационную анизотропию, при этом пластическая деформация растяжения ухудшает сопротивляемость металла при последующем его сжатии (эффект Ба-ушингера). Как видно из приведенной кривой, растяжение малоуглеродистой стали при пластических деформациях нагруженного и разгруженного образца значения деформаций для одного и того же напряжения . в его сечении не является однозначным. Методы теории пластичности, наряду с изучением зависимости между компонентами напряжений и деформаций, возникающих в точках тела, определяют величины остаточных напряжений и деформаций после частичной или полной разгрузки дetaли, а также напряжения и деформации при повторных нагружениях. [c.96]

Рассмотрим вывод формулы для расчета модуля сдвига 633. Сечения куба плоскостями, перпендикулярными осям 23 и проходящими через граничные точки отрезков Рц и Рз, разбивают на девять параллелепипедов (см. рис. 5.2, их порядковая нумет рация показана на фронтальной грани куба, перпендикулярной оси I). При действии на грани куба касательного напряжения < Тзз > = 1 получим, согласно методу Рейсса, следующее выражение для средней деформации [c.135]

Рис. 6. Касательное напряжение на поверхности раздела фаз в слоистой среде при воздействии поперечной нагрузки (по Вёлькеру и Ахенбаху [76]). Штрих-пунктирная кривая соответствует теории эффективных модулей сплошная — численному интегрированию штриховая — методу стационарной фазы.

Метод головного импульса был использован также для исследования нестационарных волн, распространяющихся вдоль слоев и возникающих при внезапном приложении касательных напряжений в сечениях, перпендикулярных слоям. В работе Вёлькера и Ахенбаха [76] определены касательные напряжения на границах раздела слоев и проведено сравнение с результатами решения по теории эффективных модулей, оперирующей с осредненными напряжениями. Результаты сравнения показаны на рис. 6. Видно, что для применимости метода головного импульса в действительности необходима только параболическая форма дисперсионной кривой низшей моды и при малых [c.373]

Для исследования напряженного состояния на поверхности раздела были разработаны аналитические методы. К ним относятся методы механики материалов, классической теории упругости и метод конечных элементов. Метод конечных элементов является наиболее универсальным и охватывает разнообразные граничные условия. Предполагаемая величина концентрации напряжений определяется условиями на поверхности раздела. Теоретические данные показывают, что концентрация касательных напряжений на концах волокон зависит от объемной доли волокна и геометрии его конца. Из этих данных также следует, что радиальное напряжение на поверхности раздела изменяется по окружности волокна и может быть растягивающим или сжимающим в зависимости от характера термических напряжений, а также от вида и направления приложенной механической нагрузки. Следовательно, в обеспечении требуемой адгезионной прочности, соответствующей конкретным конструкциям, существует определенная степень свободы. Наличие пор и влаги на поверхности раздела, так же как и повышение температуры, ослабляют адгезионную прочность, в результате чего снижаются жесткость и прочность композитов. Циклическое нагружение почти не сказывается на онижении адгезионной прочности. Показатель расслоения является критерием увеличения локальных сдвиговых деформаций в матрице и модуля сдвига композита. Этот параметр может быть использован при выборе компонентов материалов с заданной адгезионной прочностью на поверхности раздела, И наконец, следует отметить, что состояние данной области материаловедения [c.83]

Разработанная квазигетерогенная модель позволила прогнозировать распространение трещины в направлении нагружения и в поперечном направлении (устойчивое и неустойчивое). Появилась также возможность учесть зоны повреждения в области концентрации нормальных и касательных напряжений у кончика надреза. Изложены основные моменты рас-суждений, приводящих к необходимости рассмотрения этих областей. Влияние нормальных напряжений в направлении, перпендикулярном армированию, учтено в анализе путем введения эффективных касательных напряжений в плоскости армирования в критерий прочности. Кроме того, выведена модифицированная форма выражения для подсчета модуля сдвига в плоскости армирования вблизи надреза, учитывающая локальный изгиб волокон, ориентированных перпендикулярно направлению нагружения. Для анализа влияния на поведение композита дефектов поверхности и дефектов во внутренних слоях, возникающих либо в результате эксплуатации изделия, либо от начальных повреждений, использованы приближенные методы. [c.33]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...