Фундаментальные решения теории упругости

Решение уравнений (2.76) называется тензором фундаментальных решений теории упругости [c.92]

Правая часть выражения (3.4) называется потенциалом простого слоя с плотностью p(v)- Точно так же можно образовывать новые решения уравнений Ламе, если в подынтегральных выражениях решение Кельвина заменить на тензор фундаментальных решений теории упругости. Например, если расположим источники (2.78) с равномерно распределенной плотностью по отрицательной полуоси а, то [c.94]

Ядра Wа [у, X, (0 ), Фг// у, х, ю ) представляют собой фундаментальные решения теории упругости, полученные в предыдущей главе. [c.161]

Развитие техники за последние десятилетия связано с применением новых материалов и широким использованием в конструкциях различного рода гибких элементов и вызвало необходимость решения задач, которые являются предметом нелинейной теории упругости. Эти задачи могут быть либо геометрически нелинейными (когда тела не обладают достаточной жесткостью, например гибкие стержни), либо физически нелинейными (когда тела не подчиняются закону Гука), а также геометрически и физически нелинейными (когда детали изготовлены из резины или некоторых пластмасс). Во всех этих задачах непременными свойствами модели являются сплошность и идеальная упругость, а возможность других свойств, конкретизирующих ее, определяется особенностями абстрагируемого твердого тела. Нелинейная теория упругости, таким образом, имеет еще более общий характер и решает весьма широкий круг задач, постоянно и неизбежно выдвигаемых современной техникой. Это не принижает фундаментального значения линейной теории упругости и не обязывает получать зависимости последней как частный случай значительно более сложных соотношений нелинейной теории упругости. Напротив, познания теории упругости должны начинаться с изучения исторически первой и наиболее разработанной линейной теории упругости, которая в этом отношении должна носить как бы пропедевтический характер. [c.5]

Для реализации метода граничных элементов необходима матрица фундаментальных решений исходной системы уравнений. В линейных задачах теории упругости и теории пластин фундаментальные решения имеют простой вид, и поэтому метод здесь получил широкое распространение. Для пологих оболочек матрица фундаментальных решений определяется сложными громоздкими выражениями, а для пологой сферической оболочки выражается через специальные функции. Поэтому исследований по решению задач теории пологих оболочек методом граничных элементов мало. В связи с этим актуальной темой исследования является разработка методов граничных интегральных уравнений для решения линейных и нелинейных задач теории пологих оболочек, основанных на применении фундаментальных решений, которые определяются простыми аналитическими выражениями. [c.4]

П.6. Фундаментальное решение для плоской задачи теории упругости [c.182]

Изложению конкретных постановок задач и анализу результатов их решения предпосылается краткий исторический обзор исследований, в той или иной мере относящихся к предмету данной работы. Поскольку в книге рассматриваются только гармонические волновые процессы, то этот обзор ни в коей мере не может претендовать на воссоздание исторического процесса развития такого раздела механики, как динамическая теория упругости. В определенной мере решение этой трудной задачи достигается с помощью обширных исторических справок, помещенных в вышедших в последнее время фундаментальных работах [151,160,174, 182, 186, 250]. [c.8]

Фундаментальные сингулярные решения уравнений теории упругости играют такую же важную роль в алгоритмах МГЭ, как и их аналоги в рассмотренных ранее задачах о потенциальном течении. Классическим результатом, составляющим основу всего последующего анализа, является решение, которое определяет поле смещений Ui(x) при действии единичной сосредоточенной силы б]( ) в упругом теле. В условиях плоской деформации [31 [c.101]

Таким образом, решение двумерных задач теории упругости для ортотропных и трансверсально изотропных тел (однородных или кусочно-однородных) в точности следует описанным выше процедурам, включая схемы численного выполнения квадратур и даже введение в соотношения непрямого метода двумерного вектора смещений тела как жесткого целого для того, чтобы можно было удовлетворить условиям убывания решения на бесконечности. Имеются только два различия (I) использованные фундаментальные решения являются решениями уравнений (4.74)—(4.76), а не [c.129]

Уравнения (6.1) — (6.7) дают нам все компоненты сингулярного или фундаментального решения и их производные, что позволяет в принципе решить лк ую трехмерную задачу теории упругости для изотропного тела. [c.163]

Решение, которое нам требуется, т. е. сингулярное фундаментальное решение динамических уравнений теории упругости, представляет собой решение для безграничной среды, в точке которой приложена объемная сила с постоянным направлением но с зависящей от времени величиной f(t). Таким образом, нам требуется решение динамических уравнений для объемной силы вида [c.288]

Возрождение интереса в России к теории упругости началось с организации в С.-Петербурге в 1809 г. новой инженерной школы Института инженеров путей сообщения. Впереди всех других стран по развитию инженерного образования в это время была Франция. При организации знаменитой Политехнической школы в Париже в процессе подготовки инженеров были введены некоторые новые особенности. Они заключались в весьма объемлющей предварительной подготовке студентов по таким фундаментальным дисциплинам, как математика, механика, физика и химия. Кроме того, вводилась система чтения лекций, лабораторной работы и периодические упражнения в решении задач. Эти нововведения в инженерном образовании имели большой успех, и другие страны последовали примеру Фран- [c.654]

Метод граничных элементов (МГЭ) — это метод решения краевых задач для дифференциальных уравнений в частных производных, появившийся в результате сочетания идей теории потенциала с методами современной теории аппроксимации. МГЭ, с точки зрения теории аппроксимации, имеет много общих черт с широко известным методом конечных элементов, но отличается от него существенным преимуществом дискретизация осуществляется, как правило, не внутри области, в которой ищется решение, а на ее границе. Такое упрощение достигается путем точного удовлетворения исходным дифференциальным уравнениям с помощью представлений решения в виде, характерном для теории потенциала. Указанные представления могут быть использованы в рамках МГЭ лишь в случае, когда известны в явном виде (точно или приближенно) фундаментальные решения (или функции Грина) для рассматриваемых дифференциальных уравнений 1 исследованы граничные свойства соответствующих потенциалов. Путем предельного перехода на границу в формулах представления решения получаются граничные интегральные уравнения (ГИУ), которые являются основным объектом аппроксимации Б МГЭ. Этим объясняется еще одно (более раннее) название МГЭ — метод граничных интегральных уравнений. Заметим, что возникающие в теории упругости и в других разделах механики деформируемого твердого тела ГИУ часто являются сингулярными интегральными уравнениями [114, 107, 84], методы аппроксимации которых далеко не тривиальны. [c.3]

Теорема 2.1. Фундаментальные решения нестационарной динамической теории упругости для трехмерной однородной анизотропной безграничной среды обладают передним и задним волновыми фронтами. [c.102]

Важно отметить, что такой способ вывода уравнений не ограничивается случаем, когда тело помещается внутрь бесконечной плоскости. В работе [15], как отмечалось ранее, рассматривается погружение тела в последовательность полуплоскостей. Чтобы получить уравнения, допускающие эффективное численное решение, т. е. уравнения Фредгольма второго рода, согласно этому подходу, требуется, чтобы полуплоскости последовательно касались заключенного в них тела при обходе его границы. Такой подход несколько громоздок и особенно неудобен при решении задач теории упругости для анизотропного тела [16] из-за необходимости поворота тензора упругих постоянных. Для эффективности численного решения при любом методе вывода уравнений (включая рассматриваемый в статье) важно, чтобы фиктивные нагрузки были приложены непосредственно к контуру В. Это не позволяет, например, рассматривать тело, заключенное в полуплоскости, при фиктивных нагрузках, приложенных к границе полуплоскости. Следует также заметить, что какой бы метод не использовался, фундаментальное решение для выбранной фиктивной области должно быть простым. Этому требованию лучше всего удовлетворяет бесконечная плоскость. [c.157]

В заключение этой главы следует указать, что подробно математические проблемы плоской задачи теории упругости и методы решения соответствуюш,их задач рассмотрены в фундаментальной монографии Мусхелишвили [32. [c.118]

Фундаментальные решения уравнений классической теории упругости [c.65]

ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ РЕШЕНИЯ КЛАССИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ [c.67]

В заключение отметим, что фундаментальное решение для упругой тонкой круговой цилиндрической оболочки, полученное с помощью ряда Фурье по окружной координате и использования интеграла Фурье, впервые получено С. Юанем [87] в 1946 г. при дей- ствии радиальной сосредоточенной силы и использовании теории пологих оболочек. Это решение обобщено В. М. Даревским [22] на случай нагрузок общего вида, равномерно распределенных по малым прямоугольным площадкам. Причем В. М. Даревский использовал теорию непологих оболочек в варианте А. Лява [74]. Формальное отличие приведенного здесь решения от указанных и, в частности, от данного в работе Э. И. Григолюка, В. М. Толкачева [14] состоит в использовании тригонометрической формы записи [c.265]

Обилие моделей, упомянутых в разделе 5.4.6, затрудняет их выбор. Если добавить к ним эмпирические и теоретические модели разделов 5.2 и 5.3, трудности выбора возрастают многократно. Попытки сравнительной оценки прогностической мошности моделей путем сопоставления предсказаний с наблюденными данными оказались мало эффективными при малой выборке данных она не может считаться представительной (типичной), а при большой выборке слишком велик разброс ее точек. Поэтому в качестве истинных данных стали использовать результаты численного решения фундаментальных уравнений теории упругости для множества реализаций числовых моделей. Возможности этого подхода резко возросли благодаря развитию способов построения численных моделей (в частности, рентгеновской микротомографии) и конечно-разностных методов продолжения полей по вращаемым сеткам с переменным шагом, допускающим включение в численную модель среды множества микрообъектов самой причудливой формы. [c.159]

Поскольку правая часть уравнений теории упругости — вектор, то при определении фундаментального решения дельта-функцию можно сТавйть поочередно на место первого, второго или третьего компонента этого вектора, фундаментальные решения при этом будут получаться различными. [c.90]

В предыдущем параграфе решение уравнений плоской теории упругости свелось к граничной задаче для бигармонического уравнения, которому удовлетворяет функция Эри. К решению уравнений плоской теории упругости могут быть с успехом применены также методы теории функций комплексного переменного. Впервые применение этих методов было дано в фундаментальных исследовани- ях Г. В. Колосова и Н. И. Мусхелишвили. Комплексное представление общего решения уравнений плоской теории упругости оказалось весьма плодотворным для эффективного решения основных задач плоской теории упругости. [c.118]

Сделаем еще одно замечание, касающееся содержания книги. При выборе материала авторы ограничились лишь задачами линейной теории упругости в условиях изотропии и симметричности тензора напряжений. Такой подход диктуется как невозможностью существенного увеличения объема курса, так и тем обстоятельством, что учет таких факторов, как анизотропия, несимметричность тензора напряжений и некоторых других не привел к появлению на сегодняший день каких-либо принципиально новых математических методов и зачастую связан лишь со значительно более громоздкими выкладками (например, учет анизотропии при решении задач методом потенциалов сказывается лишь на структуре фундаментального решения, построение которого приведено в дополнении I). Следует заметить, что методы линейной теории упругости весьма часто в той или иной форме (как промежуточный этап) используются также и при решении задач для меупругих сред, в связи с чем авторы сочли целесообразным привести в дополнениях соответствующие примеры. [c.9]

К этому времени относятся фундаментальные работы В. П. Ветчинкина (1888—19.55) но определению критического числа оборотов длинных валов, Б. Г. Галеркина (1871 —1945) но расчету пластин, Н. М. Беляева (1890— 1944) по теории пластических деформаций, проблемам усталости и ползучести металлов, контактных напряжений и т. д. Теория упруго-пластнче-ских деформаций развивается и используется для решения задач о сопротивлении как при статическом, так и при скоростном деформировании, что позволяет и в машиностроительных расчетах отразить принципы предельной несуш,ей способности. В 1938 г. Академией наук СССР была проведена первая научная конференция по пластическим деформациям, показавшая как новые результаты исследований в машиностроительной и строительной области, так и перспективы их развития. [c.36]

Предлагаемая вниманию читателей книга освещает различные методы решения задач механики деформируемого твердого тела. Для иллюстрации возможностей методов выбраны задачи статики, динамики и устойчивости стержневых и пластинчатых систем, т.е. задачи сопротивления материалов, строительной механики и теории упругости, имеющих важное практическое и методологическое значения. Каждая задача механики деформируемого твердого тела содержит в себе три стороны 1. Статическая - рассматривает равновесие тела или конструкпди 2. Геометрическая - рассматривает связь между перемещениями и деформациями точек тела 3. Физическая -описывает связь между деформациями и напряжениями. Объединение этих сторон позволяет составить дифференциальное уравнение задачи. Далее нужно применить методы математики, которые разделяются на аналитические и численные. Большим преимуществом аналитических методов является то, что мы имеем точный и достоверный результат решения задачи. Применение численных методов приводит к получению просто результата и нужно еще доказывать его достоверность и оценивать величину погрепшости. К сожалению, до настоящего времени получено весьма мало точных аналитических решений задач механики деформируемого твердого тела и других наук. Поэтому приходится применять численные методы. Наличие весьма мощной компьютерной техники и развитого программного обеспечения практически обеспечивает решение любой задачи любой науки. В этой связи большую популярность и распространение приобрел универсальный численный метод конечных элементов (МКЭ). Применительно к стержневым системам алгоритм МКЭ в форме метода перемещений представлен во 2, 3 и 4 главах книги. Больпшми возможностями обладает также универсальный численный метод конечных разностей (МКР), который начал развиваться раньше МКЭ. Оба этих метода по праву занимают ведущие места в арсенале исследований. Большой опыт их применения выявил как преимущества, так и очевидные недостатки. Например, МКР обладает недостаточной устойчивостью численных операций, что сказывается на точности результатов при некоторых краевых условиях. МКЭ хуже, чем хотелось бы, решает задачи на определение спектров частот собственных колебаний и критических сил потери устойчивости. Эти и другие недостатки различных методов способствовали созданию и бурному развитию принццпиально нового метода решения дифференциальных уравнений задач механики и других наук. Метод получил название метод граничных элементов (МГЭ). В отличии от МКР, где используется конечно-разностная аппроксимация дифференциальных операторов, в МГЭ основой являются интегральное уравнение задачи и его фундаментальные решения. В отличие от МКЭ, где вся область объекта разбивается на конечные элементы, в МГЭ дискретизации подлежит лишь граница объекта. На границе объекта из системы линейных алгебраических уравнений определяются необходимые параметры, а состояние во [c.6]

К сингулярным интегральным уравнениям (IX.74) и (IX.77) в общем случае геометрии оболочки и формы разрезов могут быть применены методы численного решения, xopoujo развитые в плоской задаче теории упругости для тел с трещинами (см. параграф 2 главы II). Дополнительные трудности возникают при вычисле1П1и фундаментального решения Ф (х, у) и его производных, через которые выражаются ядра уравнений. В дальнейшем на примерах кругового отверстия, прямолинейной и дугообразной треид.ин будет рассмотрен асимптотический метод решения уравнений (IX.74) при малых значениях параметра Я, характеризующего пологость обо лочки. [c.287]

Андреев А.Н. Фундаментальное решение пеклассических дифференциальных уравнений изгиба трансверсально изотропной пластинки // Численные методы решения задач теории упругости и [c.275]

Исследование задач о пластинах (и балках на упругом основании), проведенное в этой главе, следует установленной схеме представлений НМГЭ и ПМГЭ и до некоторой степени обладает преимуществами по сравнению с применимыми к данному случаю методами, опубликованными в других работах. Задачи изгиба тонкой пластины не только представляют значительный практический интерес, но и показывают, как при помощи МГЭ учитываются известные ограничения двумерной теории, аппроксимирующей трехмерные задачи. Кроме того, обобщение, позволяющее исследовать пластины на упругом основании, дает примеры фундаментальных решений все возрастающей сложности, так что привлекательность использования стандартного для всех этих задач алгоритма в некотором отношении утрачивается из-за необозримости самого фундаментального решения. Пластины и упругое основание поэтому лучше разделять и рассматривать как двухзонную задачу специального вида, в которой [c.328]

Отметим еще раз, что соотношение ПМГЭ для теории упругости оказывается следствием специального выбора состояния со звездочкой, т. е. функции Грина (фундаментального решения) для безграничной среды [гл. 4, уравнения (4.35) и (4.37)]. [c.475]

Из физических соображений вытекает, что каждое упругое тело, находящееся под воздействием внешней нагрузки, при подходящем опирании находится, по меньшей мере, в одном равновесном состоянии. Кроме того, так как математические формулировки задач теории упругости базируются на фундаментальных физических принципс1х, следует ожидать, что выводимые из них соотношения не могут привести к абсурдным результатам. Это говорит о существовании решения краевой задачи теории упругости. Вместе с тем этот вопрос представляет собой одну из труднейших математических задач, которая решена в настоящее время при достаточно общих условиях. Здесь не будут приводиться эти довольно сложные и громоздкие доказательства, а будет просто строиться соответствующее решение, удовлетворяющее как дифференциальным уравнениям, так и граничным условиям задачи. [c.37]

Таким образом, можно записать ГИУ и в том случае, когда область ограничена несколькими поверхностями 5о, Si,. ... .., Sk или тело кусочно однородно (см., например, [1—3]). Если известна функция Грина краевой задачи типа Дирихле или Неймана для области, внешней по отношению к поверхности 5j (пусть 5] — внутренняя граница), и в исходной краевой задаче на Si заданы нулевые условия, то, используя при выводе ГИУ не фундаментальное решение дифференциальных уравнений (как обычно делается), а функцию Грина, можно получить ГИУ, в котором интегралы по Si отсутствуют. Именно так в [4] преобразовано ГИУ двумерной задачи теории упругости для тела с трещиной. [c.183]

Напряженно-деформированныё состояния в зонах концентрации. Большинству несущих деталей машин и элементов конструкций, как отмечалось выше, характерны неодноосные и неоднородные напряженные состояния. Эти состояния наиболее характерны для зон конструктивной концентрации напряжений — отверстий, выточек, галтелей, патрубков, мест изменения толщин и присоединения укрепляющих элементов, резьб и т. д. Анализу упругих напряженных состояний в зонах концентрации посвящено большое число фундаментальных работ по решению краевых задач теории упругости (Н. И. Мусхелишвили, Г. Н. Савин, Г. Нейбер, Р. Петерсон и др.). Обобщение результатов этих работ, а также многочисленных экспер иментальных исследований позволило получить обширную справочную тформацпю [c.21]

При решении инженерных задан поляризационно-оптическим методом, например, таких, как определение усилий в сечениях элементов машин и конструкций, оценка усталостной прочности и т. ц., имеется необходимость в определении величин напряжений не только на новерхности элемента, но и по его сечениям. Фундаментальным методом разделения напряжений в точках объема модели элемента является метод В. М. Краснова. Этим методом нормальные напряжения в точке находят по их разностям, полученным из поляризационно-оптических исследований модели, и одному из нормальных, напряжений, которое определяют интегрированием соответствующего уравнения равновесия при известных из измерений на модели величинах касательных напряжений. Метод В. ]У1. Краснова является унидерсальным, но требует выполнения большого объема экспериментальных исследований. Поэтому в частных случаях, когда на основании предварительного рассмотрения напряженного состояния элемента известны качественные (и некоторые количественные) зависимости напряжений от граничных условий задачи, применение этого метода не всегда целесообразно. В таких случаях разделение напряжений в точках объема модели выполняется или способами, в которых используются определяемые экспериментальным путем величины (поперечные деформации, сум ма нормальных напряжений), или способами, основанными на других зависимостях теории упругости [c.53]

Отдельно выделились такие вопросы, как изучение плоского неголо-номного движения (задача Чаплыгина) и частный ее случай — задача Каратеодори о движении саней. Интересна и важна практически задача о движении упругих объектов при неголономных связях, решенная М. В. Келдышем в его известной работе. Шимми переднего колеса трехколесного шасси (Труды ЦАГИ, 1945, № 564). Исследованием упругих систем с неголономными связями занимается коллектив украинских ученых во главе с Н. А. Кильчевским, а также итальянские ученые Синьори-ни и другие (см. А. И. Лурье Теория упругости , 1970). Методы неголономной механики в гидромеханике играют роль в научном направлении, развиваемом Л. И. Седовым и его учениками (см. Л. И. Седов и М. Э. Эг-лит, ДАН АН СССР, 1962, № 142). Явления неголо номности в теоретической и прикладной гироскопии исследованы в фундаментальном труде [c.9]

Важную роль в развитии теории упругости сыграли работы русских ученых. Фундаментальные результаты в развитии принципа возможных перемещений, теории удара, а также интегрирования уравнений динамики принадлежат Остроградскому ). Генерал от артиллерии Гадолин ) исследовал напряжения в многослойных цилиндрах, построив тем самым основы проектирования стволов артиллерийских орудий. Журавский изложил современную теорию изгиба балок. Он широко применял методы сопротивления материалов при проектировании многочисленных мостов железных дорог. Существенное продвижение в решении плоской задачи теории упругости связано с трудами Колосова ) и Мусхелишвили ), которые впервые применили метод, основанный на использовании функций комплексного переменного. Бубновым ) решен ряд задач об изгибе пластин. [c.12]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...