Решение дифференциальных уравнений упругости в функциях напряжений

В общем случае (1.11) — линейное дифференциальное уравнение второго порядка с переменными коэффициентами. С учетом граничных условий для функции и (г) на контурах г = Ь и г а оно легко может быть решено численным методом при использовании ЭВМ. Для диска постоянной толщины при постоянных параметрах упругости и в некоторых других случаях это уравнение имеет замкнутое решение. Дифференциальные уравнения растяжения диска в напряжениях представляют собой систему двух уравнений относительно и — уравнения совместности деформаций (1.10) и уравнения равновесия (1.3). [c.10]

Сформулированная выше граничная задача для определения функций , , 7 j , ст, ст, т у сводится к задаче Римана-Гиль-берта методом, изложенным в [23] и использованным при решении плоской задачи с трением для упругих тел в 3.2. Затем истинные напряжения и перемещения в вязкоупругом теле определяются из решений дифференциальных уравнений (3.47). Не [c.156]

Решение двумерных задач при помощи функции напряжения. Как было показано в предыдущем пункте, решение двумерных задач теории упругости сводится к интегрированию системы уравнений, образованной дифференциальными уравнениями равновесия и уравнением совместности деформаций. Ограничиваясь случаем, когда на тело действует только сила тяжести, получим следующие уравнения [c.581]

Если принять за основные функции неизвестные перемещения, то решение задачи теории упругости можно свести к интегрированию системы трех дифференциальных уравнений в перемещениях. Действительно, заменяя в дифференциальных уравнениях равновесия (движения) (2.22) компоненты напряжений через компоненты деформаций согласно обобщенному закону Гука (2.24), а затем с помощью геометрических уравнений Коши (2.23) представляя компоненты деформаций через компоненты перемещений, получаем три дифференциальных уравнения равновесия в перемещениях [c.74]

Для получения точного решения зада ш теории упругости надо найти такие функции, которые помимо удовлетворения дифференциальным уравнениям задачи, например бигармоническому уравнению (4.29), так же строго удовлетворяли бы условиям равновесия в каждой точке поверхности тела. Часто это сделать не удается. Тогда вместо строгого выполнения граничного условия в каждой точке поверхности составляют приближенное условие в отношении главного вектора и главного момента сил, возникающих на определенной части поверхности тела. Например, если известно, что на данной грани пластины напряжения отсутствуют, то вместо требования [c.86]

В первой и во второй частях книги получены 29 уравнений, содержащие только упомянутые 29 величин, которые характеризуют напряженно-деформированное состояние. Следовательно, получена замкнутая система уравнений теории пластичности. Она представляет собой математическую модель упруго-пластической деформации. Напряженно-деформированное состояние в любом процессе обработки металла давлением (при прокатке, волочении, прессовании и др.) удовлетворяет этой системе уравнений. Поэтому ее недостаточно для достижения указанной цели теории пластичности. При интегрировании системы дифференциальных уравнений появляются новые постоянные и функции координат и времени, для определения которых нужны дополнительные уравнения, конкретизирующие процесс. Это уравнения, описывающие начальное состояние тела в момент времени f (начальные условия), и уравнения, отображающие взаимодействие деформируемого тела с окружающей средой (граничные условия). Совокупность начальных и граничных условий называется краевыми условиями. Они определяют пространственно-временную область, в пределах которой происходит исследуемый процесс обработки металла давлением, и вместе с замкнутой системой уравнений теории пластичности образуют краевую задачу. Ее решение, т. е. результат интегрирования замкнутой системы уравнений при заданных начальных и граничных условиях, представляет собой математическую модель рассматриваемого процесса (прокатки, волочения, прессования и т. д.) в виде 29 функций координат [c.233]

Решение этой системы можно искать либо в перемещениях , либо в напряжениях . В первом случае за основные неизвестные функции принимают перемещения и, х, у, г), tiy х, у, г), (х, у, г), а систему уравнений теории упругости сводят к трем уравнениям относительно этих функций. Для этого напряжения в дифференциальных уравнениях равновесия (1.1) выражают по закону Гука (1.14) через деформации, а последние по формулам Коши (1.7) — через перемещения. В результате получают уравнения Ляме [c.19]

Существует аналогия, находящая свое выражение в том факте, что бигармоническое дифференциальное уравнение для функции напряжений Эйри совпадает с уравнением поперечного прогиба пластинки, изогнутой силами и парами, распределенными по кон-туру. Этой аналогией пользуются в решении двумерных задач теории упругости ). [c.476]

Рассмотрим методику решения поставленной краевой задачи. Напомним, что силовые уравнения равновесия (4.11) и граничные условия (4.12) были получены независимо от физических уравнений состояния. Поэтому мы можем воспользоваться ими и в рассматриваемом случае. Если во внутренних силовых факторах (4.8), входящих в уравнения (4.11), выразить напряжения через деформации, используя соотношения (4.47), а затем деформации через три линейно независимые функции и х), ф х), w x) с помош ью формул (4.2) и (4.3), то в результате получим систему нелинейных дифференциальных уравнений. О точном ее решении в данном случае говорить не приходится. Поэтому воспользуемся методом упругих решений Ильюшина (см. 1.7), который распространим на исследуемые слоистые системы. [c.169]

Если массовые силы отсутствуют или постоянны, то при решении плоских статических задач теории упругости (задач о плоской деформации или обобщенном плоском напряженном состоянии) часто пользуются функцией напряжений Эри (если массовые силы отличны от нуля, то их вклад в решение может быть учтен дополнительно при помощи принципа суперпозиции путем нахождения частных интегралов системы линейных дифференциальных уравнений). [c.210]

Избранные решения бигармонического дифференциального уравнения. Определение компонент напряжений при плоской деформации в упругом или чисто вязком материалах, компонент скоростей в вязком веществе и прогибов плоской слабо изогнутой упругой или вязкой пластинки (см. гл. 9) приводит к нахождению интегралов бигармонического дифференциального уравнения АА/ = 0 при заданных граничных условиях. Функция f может представлять функцию напряжений, или функцию Эри Р, функцию тока ар или функцию прогибов ш плоской пластинки. Естественно, что в этой книге нельзя дать подробное перечисление и обзор большого числа существующих точных решений, полученных в этой области за последние 50—60 лет. Данная глава посвящена краткому ознакомлению читателя с теорией получения некоторых интегралов уравнения АА/=0 для избранной группы двумерных задач, имеющих отношение к задачам о действии сосредоточенного давления в упругом и вязком телах и к некоторым геофизическим приложениям. [c.237]

Внедрению теории течения в расчеты на ползучесть весьма способствовали разработанные Л. М. Качановым [63] вариационные методы. При помощи принципа минимума дополнительной мощности выведено дифференциальное уравнение для функции времени x t), которая позволяет по решениям в пределах упругости a J и в условиях установившейся ползучести о приближенно определить распределение напряжений [59, 63] [c.221]

Уточненными будем называть теории, которые отличаются от обычных классических наличием в дифференциальных уравнениях дополнительных членов, расширяющих в некотором смысле области применения классических теории. Классические теории стержней основаны на гипотезе плоских сечений, пластин — на гипотезах Кирхгофа и оболочек — на гипотезах Кирхгофа—Лява. По существу, в этих теориях применяются простейшие — линейные по поперечной координате аппроксимации и не учитываются упругие поперечные взаимодействия. Классическая теория продольных колебании стержней и теория обобщенного плоского напряженного состояния пластин также являются простейшими аппроксимациями, основанными на предположениях о постоянстве характерных функций по сечению (толщине) и малости поперечных эффектов. Появление уточненных теорий обусловлено тем, что классические теории при решении ряда задач современной техники приводили к заметным погрешностям. Можно сказать, что это является следствием физического и математического несовершенства классических динамических теорий. Эти теории предсказывают, например, бесконечные скорости распространения фронтов возмущений и не улавливают элементарных упругих толщинных эффектов. [c.5]

В решении, задачи по теории течения удобно принять, что напряжения в трубе являются функциями двух переменных радиуса г и радиуса границы, разделяющей упругую и пластическую области г . Дифференциальное уравнение равновесия элемента трубы (6.5) имеет вид [c.152]

Существенное внимание уделяется общим методам решения проблем теории упругости. При рассмотрении дифференциальных уравнений Навье в перемещениях вводятся векторный и скалярный потенциалы, потенциал Ламе, вектор Буссинеска, вектор Папковича. Анализируя дифференциальные уравнения в напряжениях Бельтрами — Мичелла, автор вводит функции напряжений Максвелла и Мореры. Подробно показано применение обратного и полуобратного методов Сен-Венана. [c.6]

Приближенное решение для ламинарного течения в призматических трубах произвольного сечения с достаточной для практических расчетов точностью может быть получено на основании применения рассматриваемой в теории упругости так называемой гидродинамической аналогии при кручении. Эта аналогия впервые была установлена Буссинеском, показавшим, что дифференциальные уравнения и условия на контуре, служащие для определения функции напряжений ф при кручении призматических стержней, тождественны с уравнениями для определения скоростей различных слоев вязкой жидкости при ее движении по трубе того же поперечного сечения, что и скручиваемый [стержень. [c.152]

Значительные возможности в использовании методов строительной механики в расчетах напряженных состояний осесимметричных несущих элементов ВВЭР открьшаются в связи с расширением применения вычислительной техники в практике проектирования. Матричная запись и решение соответствующих дифференциальных уравнений на ЭВМ позволили в компактной и единообразной форме при сравнительно небольших затратах машинного времени (измеряемого десятками секунд) получать распределение напряжений в таких сложных зонах корпусов реакторов, как фланцевое соединение главного разъема [9, 10, 12]. В таком расчете представляется возможным учесть ступенчатое изменение толщин, несовпадение средних радиусов оболочек, условия взаимодействия между элементами. Увеличение числа сопрягаемых элементов и уменьшение их высоты (до долей толщин) позволяет заменить сложный профиль в зоне сопряжения ступенчатым и получить напряжения, характеризующие концентрацию напряжений. Вводя в такие расчеты интегральные функции пластичности или переменные параметры упругости, можно получить данные о перераспределении напряжений в упругопластической области [12, 15]. [c.35]

Поскольку уравнение (3.12) описьтает некорректную задачу, при ее решении важное значение имеет априорная информация об искомой вектор-функции Pk(x). В рассматгиваемых задачах такая информация имеется. Так как напряженно-деформированное состояние тела описывается системой дифференциальных уравнений линейной теории упругости, то, как известно, напряжения (деформации) в объеме тела, в том числе и на поверхности L (сечение), должны быть функциями, принадлежащими классу С , т . функциями, непрерывными вместе со своими первыми и вторыми производными. Соответственно вектор напряжений Рк х) -= °ki x)nj(p ) при достаточно гладком разрезе, обеспечивающем rij(x) [c.69]

В плоской задаче теории упругости неизвестными являются восемь функций Tpi составляющие напряжений а,., Оу, т. три составляющие дефор1аций г-р. , Vii, и лве составляющие перемещений и и V. Уравнений для решения задачи также Bo e i два дифференциальных уравнения равновесия (ft.2). три геометрических соотношения Коши (6,4) и три формулы. закона Гука (6.7) или (6,8), [c.60]

Полученные Ю. А. Крутковым (1949) формулы (1.6.10), (1.6.13) представляют одну из форм общего решения задачи линейной теории упругости ими определяются по тензору функций напряжений, удовлетворяющему дифференциальному уравнению (1.6.9), тензор напряжения Т и вектор перемещения и. Они оказались зависящими лишь от первого инварианта Ф и дивергенции 6 тензора Ф. Поэтому нет нужды в знании всех компонент этого тензора, а достаточно лишь связать 6 и Ф соотношением, являющимся следствием (1.6.9). [c.135]

Интегральные представления комплексных потенциалов Ф (г) и Y (г) (1.145) являются общим решением двумерной бигармони-ческой задачи, содержащим две произвольные комплексные функции g (/) и q (/) (или четыре действительные функции), что позволяет с их помощью изучать самые разные краевые задачи для областей с разрезали . В частности, удовлетворив с помощью представления (1.145) и формул (1.26), (1.30), (1.42) граничным условиям плоской задачи теории упругости для бесконечной плоскости с разрезами, когда на одном берегу разреза заданы смещения, а на другом — напряжения, найдем сингулярные интегральные уравнения второго рода. При использовании условий неидеального контакта упругих тел, когда напряжения и смещения берегов разреза связаны линейными зависимостями (см. [40, 172, 175, 261]), легко получить сингулярные интегро-дифференциальные уравнения типа Прандтля для тел с тонкостенными упругими включениями 238]. Интегральные представления могут быть использованы при решении различных смешанных задач для тел с разрезами, задач о полосах пластичности, моделируемых скачками перемещений [23], и др. [c.38]

В решении задач теории упругости используются также и электрические аналогии. Одна из таких аналогий была предложена Л. Якобсеном в применении к кручению вала переменного диаметра. Он показал ), что, изменяя надлежащим образом толщину пластинки, имеющей тот же самый контур, что и осевое сечение вала, можно получить дифференциальное уравнение потенциальной функции, которое будет совпадать с уравнением функции напряжений для исследуемого вала. На основе этой аналогии стало возможным решение важного вопроса о концентрации напряжений у галтели, соединяющей две части вала различных диаметров. Дальнейшим сдвигом в этой области мы обязаны А. Туму и В. Бауцу ), применившим вместо пластинки переменной толщины электролитическую ванну переменной глубины. [c.476]

В работах Г. И. Баренблатта, В. М. Ентова и Р. Л. Салганика (1966, 1967) показано, что постоянная в теории равновесных трещин величина критического коэффициента интенсивности напряжений при учете кинетики разрушения становится функцией скорости распространения трепщны. При этом считается, что все эффекты при достаточно больпшх напряжениях (вязкоупругость, микронапряжения и т. д.) сосредоточены в малой концевой области, а материал вне трещины считается по-прежнему упругим. Вид функциональной зависимости этого критического коэффициента можно определить для той или иной конкретной модели связей из составленной авторами системы основных уравнений. В качестве примера был рассмотрен случай гриффитовой трещины, близкой к равновесной, где связь критического коэффициента интенсивности напряжений со скоростью продвижения конца трепщны выбиралась для случаев чисто флуктуационного и чисто реологического механизмов. При исследовании условий разрушения и вопросов, связанных с длительной прочностью, авторы показали, что обобщением известного статического условия разрушения является возможность определить разрушение в рассматриваемом случае как несуществование решения системы дифференциальных уравнений, определяющих длину трещины (при заданном пути ее распространения). В этих работах было показано также, что критический коэффициент интенсивности напряжений зависит от характера нагружения, причем должен существовать значительный диапазон скоростей нагружения, в котором критический коэффициент, отвечающий моменту разрушения, практически постоянен. [c.426]

В работе В. А, Пальмова [55], а затем в работе К- Е, Егорова [27] рассмотрена задача о контакте круглой пластинки с упругим слоем в условиях осевой симметрии, Использоваппый в этих работах метод (применительно к основанию (1,3) при отсутствии осевой симметрии) заключается в формулировке задачи в виде парного уравнения (2,31) и дифференциального уравнения из (2,24). Содержащиеся в (2,31) неизвестные прогибы пластинки исключаются следующим образом. Подставляется контактное напряжение, взятое в форме второго интеграла из (2.31), в правую часть дифференциального уравнения из (2.24) и находится его >ешение, удовлетворяющее условиям свободного края для пластинки. 7оследующая подстановка, полученного решения в (2.31) приводит к парному уравнению, содержащему, как обычно, только одну неизвестную функцию р (0- Методом подстановки в форме Лебедева — Кука (1, 5, 3) это парное уравнение сводится к интегральному уравнению Фредгольма второго рода. [c.297]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...