Простейшие задачи теории упругости

Простейшие задачи теории упругости [c.90]

К простейшим задачам теории упругости мы будем относить те шз них, в которых в любой точке тела компоненты напряжений, а следовательно, и деформаций постоянны или линейно зависят от координат. Очевидно, в простейших задачах соотношения Бельтра-WH — Митчелла или уравнения сплошности деформаций удовлетворяются тождественно. Эти задачи решаются полуобратным методом. [c.90]

ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ [c.83]

Задачи, в которых компоненты тензора напряжений aij (л ), а следовательно на основании (4.5) и компоненты тензора де( рмации tj (Xh), определяющие напряженно-деформированное состояние упругого тела, являются линейными функциями координат Xi, его точек или постоянными величинами, называются простейшими задачами теории упругости. [c.83]

Приведенный выше пример показывает, что решение простых задач теории упругости методом одной гармонической функции связано с более громоздкими вычислениями по сравнению с методом комплексного переменного. Этот недостаток может быть в значительной мере компенсирован при решении сложных задач, решение которых не выражается через элементарные функции, для областей, где легко определяется регулярная часть функции Грина уравнения Лапласа. Как видно из примера, итерационный ряд (6) достаточно быстро сходится. [c.11]

Так, более подробно разобраны понятия тензоров напряжений и деформаций и их разложение на шаровой тензор и девиатор, добавлен закон Гука в тензорной форме. В новой, V главе рассматриваются простейшие задачи теории упругости чистый изгиб прямого призматического стержня и кручение круглого стержня постоянного сечения. В главе VI добавлен расчет балки-стенки. Далее добавлены следую-ш,ие параграфы Понятие о действии сосредоточенной силы на упругое полупространство , Понятие о расчете гибких пластинок , Понятие о расчете гибких пологих оболочек . Переработан раздел о математическом аппарате теории пластичности, добавлено понятие о теории пластического течения, дано понятие о несущей способности балок и плит на основе модели жесткопластического материала. Вновь написаны главы ХП1 и XIV об основных- зависимостях теории ползучести и даны простейшие задачи теории ползучести. [c.3]

ДЛЯ случая чистого изгиба показано пунктиром на рис. 20.17 (в зоне действия растягивающих напряжений ширина сечения уменьшается, а в зоне действия сжимающих напряжений — увеличивается). Отметим, что задача определения перемещений точек поперечного сечения и искажения формы контура прямоугольного сечения балки при чистом изгибе относится к простейшим задачам теории упругости. [c.433]

Глава V. Простейшие задачи теории упругости [c.64]

Простейшие задачи теории упругости............................................. 243 [c.8]

В этом разделе рассмотрим простейшие задачи теории упругости, которые решаются сравнительно просто. При этом будем использовать следующие уравнения теории упругости [c.243]

Сначала мы применим этот метод, чтобы лучше понять его смысл, к самой простой задаче теории упругих тел — к равномерному растяжению призмы с произвольным основанием, растягиваемой в продольном и сжимаемой в боковом направлениях. Мы применим его также к изгибу призмы, чтобы на основании некоторых новых результатов оправдать в определенных границах полученные решения. Последние могут оставаться приближенными, хотя они и выведены без допущения о разделении твердых тел на волокна и на слои, ведущие себя особым образом. [c.19]

ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ В ТРЕХ ИЗМЕРЕНИЯХ. [c.243]

Задачи рассматриваемого рода называются простейшими задачами теории упругости. Мы сейчас рассмотрим три такие задачи. [c.107]

Простейшие задачи теории упругости решаются нлн полуобратным методом Сеи-Венана, нли как обратные задачи в тех случаях, когда решение фактически сводится к проверке решений задач, известных из сопротивления материалов. [c.82]

Приведены решения простейших задач теории пластичности. Изучается развитие пластических зон и образование пластических шарниров в балках. Описана процедура применения метода упругих решений и теоремы о разгрузке. Рассмотрена задача об упругопластической деформации толстостенной трубы под действием внутреннего давления. [c.275]

Для того чтобы разобраться в рассуждениях и определениях, относящихся к задачам теории упругости в наиболее общей постановке, иллюстрируем основные идеи на примере более простых задач —для уравнения Лапласа и Пуассона в плоских и трехмерных областях. [c.86]

Простейшие четырехугольные элементы — параллелограммы только для этих элементов оказывается возможным выбор искомых перемещений и построение аппроксимаций, для которых в процессе реализации описанного выше алгоритма не встречаются иррациональные функции. Подробнее об этом будет сказано в следующей главе сейчас укажем только вид аппроксимирующих функций для перемещений в плоской задаче теории упругости. Для этого введем косоугольную систему координат, показанную на рис. 3.4. В этой системе имеем аппроксимации [c.144]

Аналогичные рассуждения могут быть проведены и для случая разбиения Q на четырехугольные подобласти, при использовании аппроксимаций степени выше первой, для трехмерных задач теории упругости. В задаче изгиба тонких пластин необходимо различать базисные функции, соответствующие прогибу и производным от прогиба, в связи с чем простая система уравнений (4.8) для определения базисных функций заменяется достаточно громоздкой системой подробнее об этом будет сказано позже. [c.160]

Все задачи теории упругости основываются на решении приведенных систем уравнений. Если заданы все внешние сильи приложенные к телу, и требуется определить напряжения, деформации и перемещения, такую задачу называют прямой. Она. решается интегрированием системы уравнений (1.6), (1.9), (1.11),. (1.16). Если заданы перемещения, деформации или напряжения и требуется определить все остальные величины, входящие в систему основных зависимостей теории упругости, в том числе и силы, задачу называют обратной. Эта задача решается особенно просто, если заданы перемещения и требуется определить все остальное. В этом случае деформации находят из зависимостей (1.9) простым дифференцированием. Условия совместности деформаций (1.11), (1.12) будут при этом всегда удовлетворены. Для определения напряжений в теле используют зависимости (1.21) и (1.10), на поверхности тела — уравнения (1.3). [c.21]

Представим, что для определенной простой формы упругого тела при некоторых ограничениях-его нагружения, задаваясь различными вариантами, например, функций Oij (х ), определили реализующие их внешние силы. Располагая набором таких решений обратной задачи, путем их комбинирования можно подобрать функции otj (х ), которые будут соответствовать заданным конкретным нагрузкам, приложенным к рассматриваемому телу. Таким приемом можно решить, например, некоторые задачи для прямоугольных полос, различно нагруженных по контуру (см. гл. IX, 9). Однако в более общем случае упругого тела приходится решать прямую задачу теории упругости. [c.73]

Опыты, в которых в качестве направляющей применялся желоб, позволили производить соударение тонких и длинных стержней со скоростями 1—5 м/с, что достаточно просто обеспечивает условия, близкие к допущениям теории Сен-Венана, и получить для скоростей стержней после удара значения, согласующиеся с теорией. Все это можно противопоставить результатам Фойгта и Гамбургера и считать, что разногласий между теорией Сен-Венана и надлежащим образом поставленным экспериментом не существует. Для теории удара это имеет принципиальное значение, поскольку теория продольного соударения стержней Сен-Венана представляет в теоретическом отношении безукоризненно строгое аналитическое решение задачи теории упругости при вполне четких и обоснованных допущениях. [c.224]

В то же время известны общие универсальные математические методы, позволяющие, в частности, находить решения некоторых классов задач теории упругости. Справедливость их применения в процессе получения решения базируется на существовании специальных неравенств. Естественно, что методически более оправданным является обстоятельное построение этих неравенств для упрощенных задач (обыкновенные дифференциальные уравнения, уравнения Лапласа), рассматриваемых (вместе с общей теорией) в математической главе. С учетом этого при изложении задач теории упругости оказалось целесообразным отметить лишь специфику построения соответствующих неравенств, ограничившись при этом простейшими областями (ввиду сложности построения оценок в общем случае). Такой подход реализован, например, при рассмотрении вариационных методов. [c.7]

Остановимся на одном способе построения представлений решений, вообще говоря, пространственных задач теории упругости посредством более простых решений, например плоских [52]. Описываемый прием называется методом наложений. Наряду с фиксированной декартовой системой координат (х, у, z) введем в рассмотрение подвижную систему координат (X, Y,z), получаемую из системы х,у,г) поворотом на некоторый угол % вокруг оси г [c.297]

Поскольку функции ф (г) и ф (г) аналитичны в области ОТ, то задача их определения (в предположении, что йз( ) условно задана) сводится к решению задачи теории упругости для этой области. Краевое условие получить достаточно просто, исходя из равенств (5.7) и (5.8), однако его явное выражение весьма громоздко, в связи с чем запишем краевое условие лишь в символической форме [c.407]

Проверим, совместимы ли компоненты напряжений с основными уравнениями теории упругости. Ввиду того, что рассматриваемая задача также 5Гвляется простейшей задачей теории упругости, компоненты тензора напряжений (5.65) тождественно удовлетворяют соотношениям Бельтрами — Митчелла. Компоненты тензора напряжений (5.65) также удовлетворяют уравнениям упругого равновесия. [c.96]

Для точек первого типа (точки А) вопрос об особенностях в на-пряженно-деформированном состоянии можно решить на основе рассмотрения некоторых простых задач теории упругости о плоской деформации полупространства. Соответствующие разрывам нормальных и касательных нагрузок ситуации в этом случае схематически показаны на рис. 3. Полное решение таких задач хорошо известно [127]. Из их анализа следует, что в случае наличия скачка в нормальной нагрузке (см. рис. 3, а) логарифмическая особенность появляется при подходе к точке О в выражении для угла поворота относительно оси Oz, т. е. [c.32]

Ниже мы рассмотрим задачу о кручении однородного упругого стержня произвольного поперечного сечения под действием крутящего момента, создаваемого заданными распределениями касательных напряжений на свободных торцах стержня. Один из возможных подходов состоит в трактовке этой задачи как плоской задачи двумерной теории упругости (каковой она, очевидно, и является) и в использовании алгоритмов, которые будут приведены в гл. 4. Однако Сен-Венан показал, что задача о кручении стержня как одна из простейших задач теории упругости может быть сведена к одному гармоническому уравнению в отличие от обычно получающихся в (двумерной) теории упругости более сложных бигар-монических уравнений. [c.90]

Простейшей задачей теории упругости является задача о растяжении стержня осевой силой, приложенной к концу. Эта задача была рассмотрена еще Фойгтом ([38], стр. 631) и более подробно А. Л. Рабиновичем [85]. Рассмотрим цилиндрический или призматический стержень, изготовленный из однородного материала, обладающего анизотропией (прямолинейной) самого общего вида. Пусть один конец его закреплен, а к другому приложены усилия, приводящиеся к равнодействующей Р, направленной вдоль оси стержня. Поместим начало координат в центре тяжести закрепленного сечения, ось z направим по оси стержня, а оси х и направим произвольно (рис. 17). Обозначим через I и S длину и площадь поперечного сечения недеформированного стержня и через aij — упру- [c.77]

Для решения трехмерных статических задач теории упругости мы не располагаем таким эффективным аналитическим аппаратом, как в плоской теории упругости. Здесь мы рассмотрим такие частные решения ура1внения равновесия в случае отсутствия массовых сил, для которых вблизи определенных точек перемещение неограниченно возрастает. Эти точки должны лежать вне тела или содержаться в особых полостях внутри него. Следует отметить, что наиболее простой тип изолированной особой точки представляет С0160Ю точка приложения сосредоточенной силы. [c.223]

Следует отметить, что, систематизируя курс теории упругости по математическим методам, авторы не ставили перед собой цель добиться единообразия в изложении материала различных глав. В тех случаях, когда имеется полноценная теория, она излагалась с небольшим количеством иллюстрирующих примеров (таковы, например, главы, связанные с теорией аналитических функций и потенциалов). В других же случаях, наоборот, в основном приводились решения конкретных задач. Пр ичиной этого (например, в главе Метод разделения переменных ) явилось то обстоятельство, что достаточно полная ясность этого сранительно простого метода достигается раньше (уже в гл. I), а интерес представляют отдельные специфические задачи теории упругости, в которых удается получить важные и конструктивные результаты. В главе VI Интегральные представления и интегральные преобразования создается такая же ситуация,но в силу совершенно других причин. Ввиду отсутствия универсальных методов решения задач такого класса изложение математического аппарата возможно лишь на отдельных примерах. При их подборе авторы руководствовались не только указанными выше общими критериями, но и обращали внимание на новизну и оригинальность математических результатов, степень важности предлагаемых задач для тех или иных, родственных теории упругости наук (в частности, механики разрушения), воз- [c.8]

Перейдем теперь к рассмотрению спектральных свойств уравнений (2.2) и (2.3), а равным образом и (2.5). Положим Я = 1 и допустим, что эти уравнения имеют нетривиальные собственные функции (ввиду равенства нулю индекса, число этих функций одинаково). Обозначим через фо собственную функцию уравнения (2.3), а через У(р, фо) — потенциал, имеющий функцию фо своей плотностью. Этот потенциал является реще-нием задачи И при нулевых значениях напряжений на поверхности. Уместно при этом отметить, что в любом случае смещения, представимые потенциалом простого слоя, убывают на бесконечности как l/R, а напряжения — как 1// . Поэтому можно воспользоваться теоремой единственности внешней задачи теории упругости. Тогда получаем, что потенциал V тождественно равен нулю в области 0 . С другой стороны, потенциал простого слоя является функцией, непрерывной всюду, включая поверхность 5. Поэтому потенциал V р, фо) будет тождественно равен нулю в области 0+, поскольку он обращается в нуль на поверхности 5. Возвращаясь же к формуле (1.24), получаем, что функция фо тождественно равна нулю. Следовательно, точка Я = I не является собственным значением для уравнений (2.3), (2.4) и (2.5). Поэтому перечисленные уравнения разрешимы при произвольной правой части, а получаемые решения единственны, [c.559]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...