Решение плоской задачи теории упругости в функциях комплексной переменной

Решение плоской задачи теории упругости в функциях комплексной переменной [c.277]

Из формул (6.67), (6.77), (6.78) видно, что решение плоской задачи теории упругости сводится к отысканию пары функций комплексного переменного p(z) и i 3(2), аналитических в данной области 5, при этом на ее границе L эти функции ф(г) и г )(2) должны удовлетворять определенным условиям, отвечающим какой-либо из сформулированных задач. [c.130]

Основная идея изложенного в гл. 10 метода комплексной переменной для решения плоской задачи теории упругости состояла в том, чтобы представить искомые напряжения и перемещения через функции комплексной переменной, т. е. по существу через гармонические функции действительных переменных Ха.. Для этих функций формулируются те или иные краевые задачи, методы решения которых и составляют содержание соответствующего раздела теории упругости. Большая часть эффективных методов решения пространственных задач теории упругости представляет собою развитие той же идеи. Здесь мы приведем и будем в дальнейшем использовать одно такое представление решения задачи теории упругости через четыре гармонические функции. Это представление было открыто Папковичем в 1932 г. и независимо Нейбером в 1933 г. Будем отправляться от уравнений Ламе при отсутствии объемных сил [c.359]

Метод решения плоской задачи теории упругости, основанный на применении теории функций комплексного переменного, был предложен Г. В. Колосовым (1867—1936). Впоследствии этот метод был развит и обобщен Н. И. Мусхелишвили. [c.6]

Существенное продвижение в решении плоской задачи теории упругости связано с трудами советских ученых Г. В, Колосова и Н. И. Мусхелишвили, которые впервые применили метод, основанный на использовании функций комплексного переменного. [c.11]

Исследованиями в области теории упругости занимался в начале XX в. и С. А. Чаплыгин. К 1900 г. относятся его рукописи Деформация в двух измерениях и Дав-ление жесткого штампа на упругое основание , которые впервые были напечатаны лишь в 1950 г. В этих статьях Чаплыгин разработал метод решения плоской задачи теории упругости, основанный на применении теории функций комплексного переменного. Аналогичный метод решения плоской задачи теории упругости был разработан Г. В. Колосовым, который в 1909 г. опубликовал весьма важную работу Об одном приложении теории функций комплексного переменного к плоской задаче математической теории упругости , где установлены формулы, выражающие компоненты тензора напряжений и вектора смещения через две функции комплексного переменного, [c.264]

Метод решения плоской задачи теории упругости, основанный на применении теории функций комплексного переменного, был предложен Г. В. Колосовым (1867—1936). Впоследствии этот метод был развит и обобщен Ы. И. Мусхелишвили (1891—1976). Ряд задач по устойчивости стержней и пластинок, вибрациям стержней и дисков, по теории удара и сжатия упругих тел решил А. Н. Динник (1876—1950). Большое практическое значение имеют работы Л, С. Лейбензона (1879—1951) по устойчивости упругого равновесия длинных закрученных стержней, по устойчивости сферических и цилиндрических оболочек. Важное практическое значение имеют капитальные работы [c.7]

Функция % z) входит лишь в выражение момента т ее знание чаще всего излишне. Поэтому часто оказывается ненужным и разыскание функции напряжений напряженное состояние и перемещения в плоской задаче целиком определяются двумя функциями комплексного переменного ф(г), о] (г) и их производными. Систематическое применение этих функций к решению краевых задач плоской теории упругости принадлежит [c.480]

Винтовая дислокация, рассмотренная в 9.2, и краевая дислокация, построенная в 10.3 как пример решения некоторой плоской задачи теории упругости путем представления решения через функции комплексной переменной, служат примерами дислокаций, для которых линия дислокации — прямая. Те же результаты могут быть получены и путем применения общих формул 14.3 это и будет сделано в настоящем параграфе. [c.461]

В теории упругости выдающиеся результаты были получены при разработке общих методов интегрирования дифференциальных уравнений равновесия упругого тела, приближенных методов их решения и в исследовании многочисленных частных задач. Это было продолжением и расширением исследований русских механиков дореволюционного периода. Но сложились также новые школы и направления. Систематически велись исследования по плоской задаче теории упругости с помощью методов теории функций комплексного переменного, большая группа ученых работала по теории пластинок и оболочек, приобретавшей все большее значение для техники. Меньше внимания уделялось контактным задачам, но гг они стали постоянным предметом исследований. Впервые после трудов Остроградского значительные результаты были получены в теории распространения упругих волн, которая разрабатывалась в связи с запросами сейсмологии. К этому списку надо добавить исследование устойчивости упругих систем, теорию стержневых систем, графические методы. Тут мы находимся на стыке теории упругости п таких прикладных дисциплин, как строительная механика и сопротивление материалов. [c.291]

Плодотворное использование теории функций комплексного переменного для исследования плоской задачи теории упругости, а также в теории кручения и изгиба упругих стержней. В дальнейшем эти методы оказались полезными для теории пластинок и оболочек и осесимметричных, а также контактных задач теории упругости. Они нашли успешное применение для решения некоторых упруго-пластических задач, задач вязкоупругости и др. [c.245]

О других применениях общих представлений решения. Некоторые обобщения. Изложенные в настоящей и предыдущей (а также следующей) главах методы решения граничных задач плоской теории упругости основаны на общем представлении решения соответствующих дифференциальных уравнений при помощи функций комплексного переменного. Таким общим представлениям решений дифференциальных уравнений в частных производных при помощи произвольных функций придавалось на заре развития математической физики преувеличенное значение, аналогичное тому, которое в свое время придавалось интегрированию обыкновенных дифференциальных уравнений при помощи квадратур. Но вскоре выяснилось, что нахождение общего решения далеко не исчерпывает вопроса и что для решения соответствующих граничных задач такие общие решения зачастую почти ничего не дают. [c.381]

Порядок изложения материала несколько видоизменен автором. Сначала во всей полноте рассматривается плоская задача теории упруго-ти. Особое внимание уделено решению задачи в полярных координатах. Новая отдельная глава посвящена решению плоской задачи при помощи функции комплексного переменного. [c.6]

Методы теории аналитических функций являются очень ценными и приводят к многочисленным решениям двумерных (плоских) задач теории упругости (см. 6.2 и 8.4). [См. монографию Колосова Г. В. Применение комплексной переменной к теории упругости. — Л. — М. ОНТИ, 1935 и монографию [АЗО]. — Прим. ред.] [c.168]

Как уже отмечалось, решение задачи о растяжении пластинки с эллиптическим вырезом (рис. 13) было впервые получено Г. В. Колосовым в 1909 г. в его диссертации Об одном приложении теории функций комплексного переменного к плоской задаче математической теории упругости . Найденные формулы очень сложны, мы их приводить не будем, отметим только крайне важный для нас результат наибольшие напряжения наблюдаются в вершинах А эллипса, где [c.65]

К о л о с о в Г. В., Диссертация, СПб., 1900. Это решение было опубликовало в книге. Колосов Г. В., Об одном приложении теории функций комплексного переменного в плоской задаче математической теории упругости, Юрьев, 1909. (Прим. перев.) [c.487]

Задаваясь любой функцией комплексного переменного Z z), но формулам (1.3), (1.5) можно получить некоторое решение задачи плоской теории упругости. В этом и состоит так называемый полуобратный метод Вестергарда. [c.370]

Для решения задачи 4.7 с помощью дислокационной аналогии, изложенной на основе теории функций комплексного переменного в 4. 5, рассмотрим плоскую задачу изотермической теории упругости для двусвязной области, ограниченной концентрическими [c.125]

I. Некоторые гармонические функции, связанные с упругими смещениями. В плоской теории упругости существует тесная связь между решениями граничных задач (первой и второй) и теорией аналитических функций комплексной переменной. Эта связь основана на известных представлениях Колосова—Мусхелишвили (см. Мусхелишвили [1]) для составляющих смещений и напряжений, с помощью двух пар аналитических функций эти представления имеют следующий вид [c.595]

Наиболее эффективные способы решения граничных задач плоской теории упругости, использующие аппарат теории функций комплексного переменного, основываются на возможности построения в простой аналитической форме (в виде полинома или рациональной функции) функции, реализующей точно или приближенно конформное отображение данной области на единичный круг. По этой причине методы теории функций оказываются все еще мало приспособленными к эффективному решению задач для многосвязных областей. [c.575]

В работах Г. П. Черепанова (1963, 1964) также применяются методы теории функций комплексного переменного, но предположение о том, что на неизвестной границе раздела упругой и пластической зон напряжения являются соответствующими вторыми производными от бигармонической функции, уже снято. Считается, что указанные напряжения — известные функции координат. Развитый метод решения применен к анализу упругопластической задачи о двухосном растяжении тонкой пластинки с круговым вырезом (плоское напряженное состояние) при условии пластичности Треска — Сен-Венана в случае, когда [c.113]

Введение. Рассмотрим теперь решение краевых задач в динамической теории упругости. Решения подобных задач были получены лишь в последнее время. Основные методы получения решения подобных задач базируются на теории функций комплексного переменного и теории интегральных преобразований. Метод комплексного переменного применим только для двумерных задач, а метод интегральных преобразований, применимый и к трехмерным задачам, в случае двумерных задач приводит к более простым результатам. По этим причинам мы ограничимся случаем плоской деформации, для которой уравнения движения имеют вид [c.202]

В предыдущих параграфах (58—63) было выяснено важное значение гармонических функций от трех переменных х, у, г при построении решений основных уравнений теории упругости. Обращаясь к плоской задаче, заметим, что здесь мы будем иметь дело с гармоническими функциями на плоскости, которые весьма тесно связаны с аналитическими функциями комплексной переменной [c.277]

Для важного класса плоских (двумерных) задач теории упругости перемещения, деформации и напряжения зависят только от двух координат на плоскости. Основные уравнения, а также общие методы решения, обсуждавшиеся в гл. 5, получаются как частный случай из соотношений для трехмерной сплошной среды. Это подробно обсуждается в гл. 8. Применение функций напряжений в плоской теории упругости имеет большое практическое значение. Весьма плодотворным является при этом введение комплексной переменной и использование методов теории аналитических функций, приводящих к эффективному методу решения. В основном он был построен Г. В. Колосовым [30] и позднее развит Н. И. Мусхелишвили (см. [31, 32], а также [А7, АЗО]). [c.119]

В упоминавшейся выше (см. 5) работе В. И. Моссаковского [91] при решении задач для полупространства вводились плоские гармонические функции, которые выражались через аналитические функции комплексного переменного, и указанные задачи теории упругости при- [c.224]

Плоские контактные задачи теории упругости. Развитие изложенного выше математического аппарата, связанного с постановкой и решением смешанных задач теории функции комплексного переменного, послужило достаточной основой для получения решений огромного класса плоских и пространственных контактных задач теории упругости. Мы остановимся здесь лишь на наиболее существенных достижениях, относящихся к плоским контактным задачам теории упругости, опубликованным до 1969 г. При этом задачи для слоистой и неоднородной полуплоскости и линейно-деформируемого основания не рассматриваются. Частично излагаемый ниже материал содержится в обзорах Д. И. Шермана [379], Г. Я. Попова и Н. А. Ростовцева [286]. [c.13]

По-видимому, впервые плоская контактная задача была поставлена и решена в 1900 г. выдающимся нашим современником С. А. Чаплыгиным [358]. Он рассмотрел общую задачу давления цилиндра на упругую почву , и в предположении малости смещений дал корректную постановку контактной задачи с граничными условиями на невозмущенном уровне почвы . Введя в рассмотрение две аналитических функции комплексного переменного, он свел проблему к простейшей краевой задаче теории аналитических функций и получил ее решение в частном случае штампа с прямолинейным основанием длины 2а. Для давления под штампом С. А. Чаплыгиным получено выражение, совпадающее с (1.51). Однако эта работа не была опубликована автором и была найдена в архивных документах С. А, Чаплыгина. Поэтому в литературе задачу для штампа с плоским основанием принято называть задачей [c.13]

В смешанных задачах теории упругости, где имеются линии и точки раздела граничных условий, нельзя рассчитывать на существование гладких решений даже при весьма гладких исходных данных задачи. Возможно поэтому методы теории потенциала использовались здесь значительно реже. В плоской задаче эффективным средством анализа смешанных трехмерных краевых задач оказались методы теории функций комплексного переменного [176, 177, 208, 226, 227, 377]. Более приспособленными для исследования существенно смешанных задач оказались функциональные методы. Они дают возможность вначале доказать разрешимость основных задач в классе слабых решений, а затем установить степень гладкости решения в зависимости от исходных данных и внутренней структуры решения. [c.88]

На базе уравнений задачи в напряжениях, сведенных к уравнению совместности в виде (19.11), развиты мощные аналитические методы решения плоских задач теории упругости с использованием функций комплексного переменного. Однако эти методы выходят за пределы данного круга и здесь не излагаются. Получение аналитических решений в замкнутом виде для более или менее сложных областей и видов нагрузок представляет большие трудности. Для сравнительно простых случаев решение может быть построено путем подбора функций Ф, заведомо удовлетворяющих уравнению совместности (19.11). Последующая р омбинация этих частных решений может дать с заданным уровнем приближения решение поставленной задачи. Такая задача рассмотрена в 19.4. Эффективные методы решения плоских задач теории упругости дают метод конечных разностей и метод конечных элементов, которые рассмотрены в последующих параграфах. [c.444]

Теория функций комплексного переменного ггаппа применение для решения плоской задачи теории упругих температурных напряжений при стационарном распределении температуры В этом случае функция напряжений является бигармонической [см.(4.4.24)]. Последовательность решения задачи определения температурных напряжений этим методом можно найти в [43, 68, 76]. [c.215]

Исследование напряженного состояния пластинки, ослабленной эллиптическим отверстием, осуществлено Г. В. Колосовым [76, 771- Им заложены основы решения плоской задачи теории упругости с помощью теории функций комплексного переменного. Этим было предопределено развитие математической теории упругости па десятилетия вперед. В дальнейшем метод функции комплексного переменного и конформных отображений применительно к задачам теории упругости был развит в трудах Н. И. Мусхели-швили (113). [c.7]

Впервые этот метод применил Г. В. Колосов Он показал, что интеграл бигармопического уравнения для функции напряжений, а также граничные условия в напряжениях или смещениях могут быть выражены через функции комплексного переменного. Ряд важных результатов получил Н. И. Мусхелишвили С помощью функций комплексного переменного можно легко получить решение плоской задачи теории упругости для внутренности круга. Если же задана некоторая односвязная область, отличная от круга, то в этом случае надо воспользоваться конформным отображением области на круг. Кроме того, использование интеграла тина Коши позволяет свести плоскую задачу теории упругости к интегральному уравнению Фредгольма второго рода, для решения которого существуют хорошо разработанные приближенные методы. В некоторых случаях (например, для [c.252]

В настоящем столетии теория упругости значительно обогатилась трудами А. Ляв, С. П. Тимошенко и др., а также работами советской школы исследователей. Г. В. Колосов и Н. И. Мус-хелишвили предложили решение плоской задачи теории упругости при помощи теории функций комплексного переменного. [c.15]

Решение плоской задачи теории упругости выражается через кусочно-го-ломорфные функции Ф(г) и 2(7) комплексного переменного г =х по известным формулам [15]. Функции Ф(г) и 2(7) находятся из решения краевой задачи, которая в рассматриваемом случае имеет вид [c.161]

Важную роль в развитии теории упругости сыграли работы русских ученых. Фундаментальные результаты в развитии принципа возможных перемещений, теории удара, а также интегрирования уравнений динамики принадлежат Остроградскому ). Генерал от артиллерии Гадолин ) исследовал напряжения в многослойных цилиндрах, построив тем самым основы проектирования стволов артиллерийских орудий. Журавский изложил современную теорию изгиба балок. Он широко применял методы сопротивления материалов при проектировании многочисленных мостов железных дорог. Существенное продвижение в решении плоской задачи теории упругости связано с трудами Колосова ) и Мусхелишвили ), которые впервые применили метод, основанный на использовании функций комплексного переменного. Бубновым ) решен ряд задач об изгибе пластин. [c.12]

Решение плоской задачи теории упругости зависит от двух координат и может быть выражено через две произвольные (с точки зрения выполнения уравнений равновесия и условий неразрывности) двухмерные гармонические функции, определяющиеся путем подчинения решения двум краевым условиям на плоском граничном контуре. То обстоятельство, что ортогональные преобразования координат на плоскости и теория двухмерных гармонических функций тесно связаны с теорией функций комплексного переменного, позволило разработать общий метод решения плоской задачи, основанный на аппарате теории аналитических функций (Г. В. Колосов [10], Н. И. Мусхелишвили [20] и его школа). Этот путь в принципе позволяет подойти к решению любой плоской задачи, но наиболее эффективен для односвязных и (в меньшей мере) для двухсвязных областей. Основная идея, которой при этом руководствуются, состоит в отображении рассматриваемой области на одну из канонических областей (на полуплоскость, круг единичного радиуса или круговое кольцо) с последующим использованием аппарата интегралов типа Коши для нахождения двух неизвестных функций по заданному краевому условию. Если ограничиться только односвязными областями (каковые по существу главным образом и рассматриваются [20], [27]), то можно обойтись и без аппарата интегралов типа Коши, оперируя лишь самыми элементарными представлениями теории аналитических фунщий. В нашей книге, носящей общий характер, мы даем только этот наиболее простой и в то же время достаточно эффективный способ, отсылая читателя за более полным и общим изло- [c.292]

Весьма эффективные методы решения плоских задач теории упругости связаны с применением теории функций комплексного переменного. Эти методы были впервые введены Г. В. Колосошм (1909), а их математическая обширная разработка и применения принадлежат главным образом Н. И. Мусхелишзили ). [c.659]

Эта задача была впервые решена Б. Киршем (Kirs h В., Z. Ver. deut. Ing., Juli, 16, 1898, S. 597). Решение соответствующей задачи в случае эллиптического отверстия принадлежит Инглису и Вольфу. [Решение задачи об эллиптическом отверстии получено впервые в сочинении Г. В. Колосова Об одном приложении теории функций комплексного переменного к плоской задаче теории упругости , Юрьев, 1909.—Прим. ред.] [c.326]

Напряженное состояние компонентов. В первом приближении можно принимать, что в слоистых пластиках однонаправленно армированные слои работают в условиях плоского напряженного состояния. Таким образом, задача определения напрЕжений в однонаправленно армированном пластике сводится к решению соответствующей плоской задачи теории упругости. Такую задачу можно решить, например, методом комплексного переменного [2 j или при помощи функции напряжений или функции перемещений 117 . [c.129]

Из приведенных выше соотношений и (1.4) следует комплексное представление решений плоской задачи теории З пругостн, что лежит в основе развитых Г. В. Колосовым и Н. И. Мусхелишвилн методов приложения теории функций комплексного переменного в теории упругости. [c.6]

В предыдущем параграфе решение уравнений плоской теории упругости свелось к граничной задаче для бигармонического уравнения, которому удовлетворяет функция Эри. К решению уравнений плоской теории упругости могут быть с успехом применены также методы теории функций комплексного переменного. Впервые применение этих методов было дано в фундаментальных исследовани- ях Г. В. Колосова и Н. И. Мусхелишвили. Комплексное представление общего решения уравнений плоской теории упругости оказалось весьма плодотворным для эффективного решения основных задач плоской теории упругости. [c.118]

Решение указанных задач сводится в простейших случаях к совокупности задач Дирихле или смешанных задач Келдыша — Седова теории аналитических функций комплексного переменного. Процедура нахождения решения оказывается принципиально не более сложной, чем для аналогичных задач статики и стационарной динамики. Вначале выводятся общие представления решения через аналитические функции комплексного переменного для произвольного индекса автомодельности и дано описание общего метода решения. Затем метод демонстрируется на некоторых конкретных задачах из указанного класса. Рассмотрение ограничено плоскими задачами для однородного и изотропного тел, однако метод нетрудно обобщить на случай анизотропного кусочно-однородного тела, когда верхняя и нижняя полуплоскости имеют различные упругие постоянные. [c.113]

Рассмотренная в 4.7 и 4.8 задача о тепловых напряжениях в длинном полом цилиндре (или в круглом диске с центральным отверстием), обусловленных плоским неосесимметричным стационарным температурным полем, стала предметом исследований многих авторов. Впервые решение этой задачи с помощью метода, основанного на исследовании вспомогательной задачи о дислокациях цилиндра и на применении теории функций комплексного переменного, получил Н. И. Мусхелишвили [44, 45] ( 4.8). Позже метод, использующий теорию функций комплексного переменного, был применен для исследования указанной задачи Гейтвудом [8]. Решение аналогичной задачи дано Меланом и Паркусом без использования функций комплексного переменного в их методе применяется комбинация термоупругого потенциала перемещений и функции напряжений [42]. Приведенный в 4.7 метод решения заимствован из книги [5]. Решение упомянутых выше задач выполнено в предположении, что упругие характеристики и коэффициент линейного теплового расширения материала постоянны. [c.94]

Эффективное решение многих задач указанного типа оказывается возможным при помощи методов, использующих теорию функций комплексного переменного, разработанных в монографиях И. И. Мусхелишвили (1966, 1968), Г. И. Положего (1949), Г. И. Савина (1951, 1968), Ф. Д. Гахова (1963), С. М. Белоносова (1962). Г. П. Черепановым (1962) указан класс задач плоской теории упругости, в котором соответствующие краевые задачи для аналитических функций могут быть решены в замкнутом виде. [c.381]

Изложенные выше исследования, охватывающие смешанные задачи теории функции комплексного переменного и их приложения к плоским контактным задачам теории упругости, позволяют сделать вывод о том, что к началу 50-х годов разработка методов решения таких задач для однородной области была в основном закончена. Дальнейшие исследования в этом направлении были связаны как с постановкой физически новых задач, так и с решениями смешанных задач для областей гораздо более сложной геометрии, что, в свою очередь, привело к разработке таких математических методов решения этих задач, как интегральные преобразования и парные интегральные уравнения, парные тригонометрические ряды, интегральные и иитегро-дифференциальные уравнения и системы уравнений и др. [c.17]

Следует вспомнить, что для пространственных задач линейной теории упругости (исключая случаи полупространства и шара) неизвестен способ эффективного представления решения второй краевой задачи при произвольном задании массовых и поверхностных сил. Это исключает возможность разыскания напряженного состояния уже для эффектов второго порядка, определимы лишь некоторые его интегральные характеристики. Доступнее плоские задачи, так как применимость приемов решения задачи линейной теории упругости методами теории функций комплексного переменного не ограничена спецификой задания массовых и поверхностных сил для обширного класса областей. Это позволило получить решения нелинейных задач не только для эффектов второго порядка, но довести их для ряда примеров до величин четвертого порядка (в многочисленных работах Ю. И. Койфмана и др.). Здесь же следует отметить исследование в рамках нелинейной плоской задачи поведения материала в окрестности конца прямолинейной трещины (J. К. Knowles, Е. Sternberg, 1975). [c.134]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...