Метод упругих решений Ильюшина

Для обеспечения сходимости рассмотренного метода последовательных приближений необходимо, чтобы параметр wi, связанный с функцией /i соотношением (1.70), и функция нелинейности /2 были малыми по сравнению с единицей. Если дополнительно принять /1 = /2, то указанный процесс построения приближений в изображениях ничем не будет отличаться от процесса построения приближений в рассмотренном ранее методе упругих решений Ильюшина в теории малых упругопластических деформаций (п. 1.7). В последнем случае известны доказательства сходимости метода, поэтому можно говорить о сходимости и в рассматриваемом случае. [c.64]

Рассмотрим методику решения поставленной краевой задачи. Напомним, что силовые уравнения равновесия (4.11) и граничные условия (4.12) были получены независимо от физических уравнений состояния. Поэтому мы можем воспользоваться ими и в рассматриваемом случае. Если во внутренних силовых факторах (4.8), входящих в уравнения (4.11), выразить напряжения через деформации, используя соотношения (4.47), а затем деформации через три линейно независимые функции и х), ф х), w x) с помош ью формул (4.2) и (4.3), то в результате получим систему нелинейных дифференциальных уравнений. О точном ее решении в данном случае говорить не приходится. Поэтому воспользуемся методом упругих решений Ильюшина (см. 1.7), который распространим на исследуемые слоистые системы. [c.169]

Для решения системы (4.69) используем метод последовательных приближений базирующийся на методе упругих решений Ильюшина (см. п. 1.10). Предположим, что в (4.69), (4.70) [c.180]

Как и ранее, при решении задачи используем метод последовательных приближений, основанный на методе упругих решений Ильюшина. Для этого входящие в уравнения равновесия и граничные условия внутренние силовые факторы выразим через три линейно независимые функции и х i), ф х, t) и w x, t). В результате получим систему из трех нелинейных дифференциальных уравнений. В итерационном виде она совпадает с (4.71) [c.189]

Точное решение системы нелинейных дифференциальных уравнений (4.124) получить не представляется возможным. Поэтому опять используем метод упругих решений Ильюшина для исследуемого трехслойного стержня со сжимаемым заполнителем (см. 1.7). [c.225]

Метод упругих решений [Ильюшин, 1948] состоит в следующем. Полагая (о=0 (нулевое приближение), имеем обычную ли- [c.74]

Решение задач теории пластичности связано с решением системы нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных (10.24). . . (10.28), что представляет собой чрезвычайно сложную задачу, которая в аналитическом виде решается, как правило, в исключительных случаях. Поэтому решение задачи теории пластичности чаще всего строится с помощью приближенных методов. Одним из них является метод последовательных приближений, предложенный А. А. Ильюшиным и называемый в теории пластичности методом упругих решений. Суть его заключается в рассмотрении последовательности линейных задач теории упругости, решения которых с увеличением порядкового номера сходятся к решению задачи теории пластичности. [c.310]

Точно так же возможно применение методов теории упругости к решению задачи теории пластичности, а именно прямого, обратного и полуобратного. Очень эффективным является приближенный метод, предложенный А. А. Ильюшиным — метод упругих решений. [c.271]

Наиболее эффективным из приближенных методов в теории пластичности следует считать метод последовательных приближений А. А. Ильюшина, именуемый методом упругих решений [3] в нем для первого приближения принимается решение аналогичной задачи теории упругости (со сходственными граничными и другими условиями), благодаря чему в первом приближении выясняются границы между упругими и пластическими зонами как по длине стержня (пластинки и др.), так и по высоте сечения. Это позволяет в первом приближении вычислить для каждой точки такого сечения значение числа ш, входящего в основной физический закон пластичности (4.13). Зная величину ш, можно в порядке первого уточнения исправить ранее вычисленные компоненты напряжения, внести поправки в первоначальные основные уравнения теории упругости, что определит новые границы между упругой и пластическими зонами, [c.193]

Показать использование выражения (а) в задаче 286, применив метод последовательных приближений (метод упругих решений по А. А. Ильюшину). [c.220]

Для отыскания решения нелинейной системы уравнений равновесия (10.40) А. А. Ильюшиным был предложен метод упругих решений ). [c.289]

В отечественной литературе метод, основанный на той же идее, что и метод начальных напряжений (и деформаций), известен под названием метода упругих решении (см. Ильюшин А. А., Пластичность, М. — Л., ГИТТЛ, 1948). — Прим. ред. [c.216]

Решение многих упруго-пластических и пластических задач сопряжено со значительными трудностями, что обусловило широкое применение в теории пластичности различных приближенных методов, из которых наиболее распространенными являются вариационные и последовательных приближений. В методах последовательных приближений упруго-пластическая задача сводится к последовательному решению упругих задач, в связи с чем они называются методами упругих решений. Наиболее общий вариант этого метода разработан А. А. Ильюшиным [38]. В дальнейшем он был развит в работах И. А. Биргера. [c.46]

Метод упругих решений. Этот метод разработан А. А. Ильюшиным. [c.511]

Идея линеаризации уравнений теории пластичности принадлежит А.А.Ильюшину, который предложил метод решения задач теории малых упругопластических деформаций - метод упругих решений [37]. Метод заключается в том, что пластическое тело заменяется упругим, имеющим такие же, как и пластическое, перемещения и деформации. Такая замена возможна при условии, что в теле возникают дополнительные напряжения, приводящие к дополнительным объемным и поверхностным силам. Эти первоначально неизвестные силы определяются путем последовательных приближений. [c.231]

В работе [9] рассмотрена упругопластическая задача для тонкой пластины с бесконечным рядом одинаковых круговых отверстий. При помощи метода упругих решений А.А. Ильюшина В.М. Панферов рассмотрел задачу с эллиптическим отверстием [10]. [c.83]

Если подставить определяющие соотношения (5.4) — (5.7) в уравнения равновесия (2.11) и граничные условия (2.12), то получим формулировку задачи А для упруго-пластического тела. Для решения этой задачи А. А. Ильюшин предложил так называемый метод упругих решений и указал условия его сходимости [c.36]

Достаточно эффективным методом приближенного решения задач теории деформаций является метод упругих решений, предложенный Ильюшиным, в котором как первое приближение принимается решение, полученное в предположении идеальной упругости материала. Особенно полно исследован случай, когда зависимость напряжений от деформаций является степенной. Теория деформации и метод упругих решений получили значительное распространение в Советском Союзе. [c.264]

В настоящее время круг задач о напряженной посадке, решаемых методами теории упругости, значительно расширился. Можно получить решения задач посадки для многосвязных областей, в отверстия которых частично или полностью запрессованы диски, ограниченные различными кривыми. Для некоторых практически важных задач можно получить решение, когда сопрягаемые детали неоднородны и анизотропны. В случае необходимости можно учесть при решении задач посадки и смещение центров дисков относительно центров отверстий и овальность отверстий и дисков. Наконец, используя метод упругих решений, предложенный А. А. Ильюшиным, можно рассмотреть упруго-пластические задачи посадки. [c.4]

Теоремы 5-7 остаются справедливыми и для случая деформационной теории пластичности без разгрузок, если только выполняются известные условия А. А. Ильюшина, обеспечивающие сходимость метода упругих решений [11]). [c.105]

Данный метод является одним из методов упругих решений. Он предложен А. А. Ильюшиным [67], а затем в несколько иной, модификации рассмотрен И. А. Биргером [9, 11]. [c.137]

Решения реализуются при помощи. различных вариантов метода последовательных приближений (А. А. Ильюшин, 1948 И. А. Биргер, 1951, и др.) или численно. В первом случае нелинейные члены переносятся в правые части уравнений или включаются в коэффициенты упругости , затем в той или иной форме применяется метод последовательных приближений. На каждом этапе приближения необходимо решить линейную задачу теории упругости, но с дополнительными объемными силами ( метод упругих решений ) или с измененными коэффициентами упругости ( метод переменных параметров упругости ). Процессы эти весьма трудоемки, и в неодномерных задачах редко удается построить более чем одно-два приближения. Сходимость большей части используемых процессов ее изучена. Сходимость метода упругих решений при определенных условиях установлена в работах А. И. Кошелева (1955) и С. Г. Петровой [c.116]

Для упрочняющихся тел А. А. Ильюшин (1948) предложил метод упругих решений, сводящий решение граничной задачи для нелинейно упругого тела к бесконечной последовательности соответствующих задач для линейно упругих тел с дополнительными объемными силами. Значительные результаты получены А. А. Ильюшиным (1944—1950) в теории несущей способности пластин и оболочек из упруго-пластического материала и, в частности, при потере устойчивости. [c.392]

Расчеты, выполненные в предположении установившейся ползучести, эквивалентны расчетам при нелинейных зависимостях между напряи ениями и деформациями. В частности, в случае использования степенной зависимости скорости пластической деформации от напряжения (11) решения этих задач эквивалентны исследованию пластического состояния деталей при степенном упрочнении. Поэтому все методы расчета при нелинейных зависимостях между напряжениями и деформациями, как, например, метод упругих решений А. А. Ильюшина [24], метод переменных параметров упругости И. А. Биргера [6] могут быть использованы и для расчетов на установившуюся ползучесть. В случае применения степенной зависимости скорости пластической деформации от напряжения, решения задач о пластическом состоянии деталей при степенном упрочнении, ряд пз которых [c.255]

Метод последовательных приближений для решения задач теории малых упругопластических деформаций — метод упругих решений — был предложен А. А. Ильюшиным [57]. В отличие от указанного алгоритма А. А. Ильюшин не предполагал разложения функции o j по степеням параметра б. [c.113]

Более строгий подход к решению поставленной задачи может быть осуществлен применением метода упруго-пластических решений А. А. Ильюшина [34]. [c.173]

Кроме аналитических методов при решении задач теории упругости для композитов могут успешно применяться численные методы. Один из таких методов был описан в 8 предыдущей главы. В этой главе на некоторых модельных задачах волокнистых композитов показана эффективность применения других методов метода конечных элементов метода, основанного на использовании матрицы А. А. Ильюшина. [c.195]

При использовании даже метода разрывных решений не всегда удается с помощью одного-двух варьируемых коэффициентов добиться требуемой степени точности при подробном изучении распределения деформаций в объеме тела. Для этого приходится увеличивать число коэффициентов. Упрощение решения нелинейной системы (3.43) можно получить, применяя метод последовательных приближений, предложенный Л. М. Качановым [72] и исследованный С. Н. Розе [137], или метод упругих или гидродинамических решений, предложенный А. А. Ильюшиным в работе [58] и развитый позже для вариационных методов [64]. [c.98]

Решение задач вязкоупругопластичности связано с решением системы нелинейных интегро-дифференциальных уравнений в частных производных типа (1.68), (1.69). Это представляет собой не менее сложную математическую проблему, чем задачи теории пластичности. 17оэтому воспользуемся здесь методом последовательных приближений, который базируется на методе упругих решений Ильюшина, рассмотренном ранее. [c.62]

Замкнутая система нелинейных интегродифференциальных уравнений (8.1)-(8.3), (8.6)-(8.8), (8.10) описывает поведение трехслойной вязкоупругопластической оболочки при квазиста-тическом нагружении. О ее точном решении системы говорить не приходится. Для решения конкретных краевых задач предлагается использовать комбинации известных методов линейных приближений, изложенных в 1.10 для однородных сред и основанных на известном методе упругих решений Ильюшина. [c.465]

Решение задач термовязкоупругопластичпости связано с решением системы нелинейных иптегро-дифференциальных уравнений в частных производных (10.10), что представляет собой чрезвычайно сложную математическую задачу, об аналитическом решении которой говорить не приходится. Поэтому воспользуемся здесь методом последовательных приближений, который базируется на методе упругих решений Ильюшина. [c.234]

При решении задачи теории пластичности можно использовать те же способы, что и в теории упругости решение в напряжениях, в перемещениях и смешанный способ. Точно так же возможно применение методов теории упругости, а именно прямого, обратного и полуобрат-ного. Однако решение задачи теории пластичности имеет свои специфические особенности вследствие нелинейности. Эффективным является приближенный метод, предложенный А. А. Ильюшиным, — метод упругих решений (разновидность метода последовательных приближений). [c.229]

Аналогично рассмотренному методу упругих решений в теории малых упругопластическнх деформаций суш,ествует приближенный метод решения задач теории пластического тече ия — метод вязких решений, разработанный А. А. Ильюшиным и П. М. Огибаловым. [c.231]

Методы, основанные на теории малых упруго-пластических деформаций, получили широкое распространение. Например, метод упругих решений А, А. Ильюшина, по которому напряжения и деформации в упруго-пластическом теле находят, как в упругом теле с дополнительными объемными и поверхностными нагрузками, величина которых определяется в конечном итоге видом кривой деформирования 19). Поскольку эти нагрузки зависят от напряженно-деформированного состояния тела и, следовательно, заранее не могут быть определены, используют процесс последовательных приближений и решают серию упругих задач с меняющимися от приблил<ения к приближению поверхностными и объемными нагрузками. [c.17]

В деформационной теории пластичности для анализа напряжений широко используется метод упругих решений, разработанный А. А. Ильюшиным [103]. Названный метод в каждом приближении состоит в решении задачи неоднородной теории упругости. С этой целью уравнения поля для процесса нагружения выражаются в перемещениях . В нулевом приближении принимается решение линейной термоупругой задачи для неоднородного тела с заданными граничными условиями при данной интенсивности поверхностной нагрузки. Если известны деформации, согласно (4.12) можно вычислить эквивалентные деформации. Далее, когда в какой-либо точке возникает текучесть, секущий модуль в Х4.9) ф 2[х при (О == (о(ёу, 0) О, Соотношение напряжений — деформации для рассматриваемого материала дается, например, выражением (4.16), следовательно, можно определить секущий модуль. Это позволяет найти из закона Гука соответствующее напряжение, скажем Wij, Если дулевое приближение является точным, будет справедливо равенство ац = ц. Если же это приближение не является точным, то ищется следующее приближение, при котором значение рассматривается как ис-трчник фиктивных массовых сил /П/ и поверхностных нагрузок д ], определяемых как рт,- = Wi/, /, qi s где / — внеш- [c.135]

В статьях Ф. С. Чурикова [121], Ю. Н. Работнова [85] и О. В. Соснина [104], [105] задача неустановившейся ползучести диска постоянной толщины решена по гипотезе упрочнения в формулировках (14), (15) и (14), (16). В работе [121] основные уравнения решены методом упругих решений А. А. Ильюшина. В статье [85] постулируется существование потенциала текучести Сен-Венана. Это дает возможность получить решение задачи в замкнутом виде. В работе [105] выражения для напряжений берутся в той же форме, что и в книге Л. М. Качанова [32], но неизвестная функция времени определяется из условия минимума квадратичной ошибки, вследствие невыполнения условий совместности деформаций. [c.266]

Приближенные методы расчета при нелинейных зависимостях между напряжениями и деформациями, например, метод упругих решений А. А. Ильюшина [50], метод переменных параметров у пругости И. А. Биргера [8, 9] могут быть использованы и для расчетов на установившуюся ползучесть. [c.218]

Применение теории упрочнения к решению этой задачи рассмотрено в статье Ф. С. Чурикова [178]. При этом использован метод упругих решений А. А. Ильюшина [50]. В той же работе [c.235]

ПОСТОЯННОЙ толщины, нагруженного внутренними наружными давлениями по теории упрочнения, решена Ф. С. Чуриковым [179]. В решении использован метод упругих решений А. А. Ильюшина [50], в котором за нулевое приближение принято упругое решение задачи. [c.240]

Применение теории упрочнения в решении задачи неустановившейся ползучести диска дано в статьях Ф. С. Чурикова [179], Ю. Н. Работнова [126] и О. В. Соснина [150, 151, 153]. Этот воп-эос изложен также в книге Ю. Н. Работнова [132]. В работе 179] основные уравнения для диска постоянной толщины решены методом упругих решений А. А. Ильюшина. В статье [c.245]

А. А. Ильюшин [7] для решения задач теории малых упругопластических деформаций при активном нагружении предложил метод последовательных приближений, названный им методом упругих рашений. Согласно этому методу в каждом приближении необходимо решать задачу линейной теории упругости. Предположим, что последнюю мы решать умеем, т. е. умеем находить 15 функций 0,7, е,/, Ui из системы 15 уравнений [c.273]

Однако при проектировании современных машин часто приходится pa мafpивaть деформацию деталей за пределами упругости. В этом случае законы и уравнения теории упругости не могут быть применены, так как принятые ранее допущения об упругости материала не выполняются. Такие задачи решаются методами теории пластичности. Решение многих задач методами математической теории пластичности из-за сложностей чисто математического характера практически получить невозможно. Поэтому, наряду с развитием математической теории пластичности, занимающейся изысканием методов точного решения задач механики твердого тела, деформируемого за пределами упругости, разрабатываются упрощенные методы. Такие методы решения задач с помощью введения дополнительных гипотез и допущений излагаются в прикладной теории пластичности. Основные законы и уравнения математической и прикладной теории пластичности изложены в трудах Н. И. Безухова, А. А. Ильюшина, С. Г. Михлина, А. Надаи, Г. А. Смирнова-Аляева, В. В. Соколовского, Р. Хилла, В. Прагера, Н. Н. Малинина, Д. Д. Ивлева, Л. С. Лейбензона и др. [c.11]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...