Теорема единственности

Обратимся теперь к исследованию поведения траекторий в трехмерном фазовом пространстве. Поведение соответствующей динамической системы описывается системой трех нелинейных дифференциальных уравнений первого порядка. Будем по-прежнему предполагать, что для их решений в сторону возрастания времени соблюдаются теоремы единственности и непрерывной зависимости от начальных условий. Введем понятие поверхности без контакта. По определению поверхностью без контакта называется гладкая поверхность, во всех своих точках пересекаемая фазовыми траекториями без касания. Секущей поверхностью будем называть поверхность без контакта, [c.75]

Таким образом, нулевым граничным условиям могут соответствовать только нулевые решения. Этим доказывается теорема единственности решения. Заметим, что перемещения определяются при этом не единственным образом, а с точностью до перемещения тела как жесткого целого. [c.120]

Теорема единственности. А. А. Ильюшиным была доказана теорема [7] при заданных объемных силах Ri, поверхностных силах Qi на части граничной поверхности Sq и перемещениях щ на части граничной поверхности Su, напряженное и деформированное состояние тела, т. е. <т,/> гц, ш. определяются единственным образом, если нагружение простое. [c.271]

Таким образом, теоремы единственности решения указанных задач доказаны. Необходимо отметить, что из равенства нулю компонентов малой деформации, как это вытекает из формулы (3.26), не следует Цг=0. Поэтому при решении первой основной граничной задачи мы можем получить для проекции перемещения щ различные значения, отличающиеся друг от друга только жестким перемещением всего тела, не влияющим на напряженное или деформированное состояние тела. Во второй и третьей основных граничных задачах указанного различия не будет, ибо на всей поверхности во второй задаче или на части поверхности в третьей задаче будут заданы перемещения. [c.86]

В этом параграфе мы доказали, что система (5.1), (5.2) при заданных внешних силах однозначно определяет напряженное или деформированное состояние тела. В приведенном доказательстве теоремы единственности решения упомянутых граничных задач, которое дано Кирхгофом, тело может быть принято как односвязным, так и многосвязным. [c.86]

Как и в предыдущем параграфе, докажем теоремы единственности решений указанных здесь задач, не останавливаясь на доказательствах теорем существования. [c.86]

Если область 5 бесконечна, то в случае первой основной задачи должны быть заданы напряжения на бесконечности, т. е. Re Г и Г в случае же второй основной задачи и основной смешанной задачи— величины Vi, Vi, Г, Г. Допуская, что решение указанных задач существует, его единственность для конечной области можно доказать аналогично доказательству, приведенному в случае соответствующих пространственных задач на доказательстве теоремы единственности для бесконечной области мы не останавливаемся при надобности читатель сможет ознакомиться с ним в монографии Н. И. Мусхелишвили Некоторые основные задачи математической теории упругости . [c.130]

Зафиксируем конкретные значения критериев (5-92) и сформулируем в безразмерных величинах условия однозначности (начальные и граничные условия) для безразмерных уравнений Навье — Стокса. Тогда, решив их, в силу теоремы единственности получим единственное решение, куда в качестве параметров войдут зафиксированные нами значения чисел Fr, Re, Eu, Sh. Это решение определит целый класс физически реальных процессов, размерные параметры которых в сходственных точках будут отличаться только числовыми множителями, а безразмерные будут одинаковыми. Иначе говоря, мы получим класс механически подобных потоков. Следовательно, сформулированные выше условия в данном случае оказываются не только необхо- [c.132]

Отметим также, что формула (5.10) получена для точек г, близких к Zo, но по теореме единственности [15] сохраняет силу всюду в области аналитичности функции w (2). [c.181]

Исследование интегральных уравнений (7.8) и (7.9) удается провести, сочетая основные положения общей теории интегральных уравнений с упомянутыми выше свойствами гармонических функций и теоремами единственности краевых задач. [c.100]

Перейдем к рассмотрению вопроса о единственности решения для областей, ограниченных кусочно-гладкими поверхностями. Выше предполагалось, что оператор Ламе от смещений является интегрируемой функцией и в этом случае только и доказывается теорема единственности. При формальном же математическом подходе получаемое решение может и не обладать этим свойством, что и приводит к неединственности решения. Тогда конечность энергии упругих деформаций постулируется, в результате чего решение оказывается единственным. Приведем некоторые соображения физического характера, объясняющие сказанное. [c.252]

Выше была дана постановка различных гранично-начальных задач теории упругости, высказаны соображения о разрешимости и получены теоремы единственности. Остается открытым лишь вопрос о корректности поставленных задач. Дело в том, что вся вводимая в постановку за чачи информация — форма граничной поверхности, конкретные значения краевых и начальных условий — есть величины, определяемые, в конечном счете, из эксперимента. Поэтому построение решения имеет смысл осуществлять только в том случае, если малое (в определенном смысле) изменение исходных данных приведет к малому изменению решения. [c.253]

Чисто математический подход к задачам теории упругости приводит к необходимости рассматривать решения для таких абстрактных (но часто употребляемых в математической физике) областей, которые имеют неограниченную протяженность (как-то пространство с полостями, где ограничивающие поверхности являются замкнутыми), а также для областей, ограниченных простирающимися в бесконечность поверхностями (например, полупространство). Уже обращалось внимание на специфические особенности, возникающие при решении задач для этих областей (например, в 1 говорилось о теореме единственности для подобных областей). [c.303]

Для плоской задачи теории упругости оказываются справедливыми теоремы единственности, установленные ранее в гл. III для общего случая пространственной задачи. [c.376]

Соотношение (3.50 представляет собой однородное краевое условие второй основной задачи для области 0 . Из теоремы единственности следует, что функции Ф г ) = 1аг и V г ) = = —Р, где а — действительная, а р — комплексная постоянные. Поскольку эти функции представимы интегралами типа Коши, [c.379]

Однородное уравнение (3.4) имеет нетривиальное решение Фо(г) = 2 + р (а и р — по-прежнему действительная и комплексная постоянные), поскольку оно соответствует нулевому напряженному состоянию. Из теоремы единственности решения краевой задачи будет следовать, что иных собственных функций нет. Напомним, что сама вторая краевая задача теории упругости для конечной области разрешима, когда равны нулю главный вектор и вектор-момент внешних сил. Первое условие автоматически приводит к однозначности функции f t), а второе же условие— к равенству [c.380]

Из теоремы единственности следует, что [c.384]

Практически полностью повторив рассуждения, использованные выше при анализе пространственных задач (уточняя лишь теоремы единственности), можно показать, что уравнения задач 1+ и 11+ всегда разрешимы. Разумеется, в случае задачи 11+ [c.591]

По обобщенной теореме Ляпунова — Таубера получаем, что предельное значение извне оператора напряжений также равно нулю. Тогда по теореме единственности (с использованием условий излучения) следует, что потенциал р) равен нулю и в области 0-. Следовательно, (о(с/) = 0, что противоречит предположению о линейной независимости функций у/(Р). [c.594]

Теорема единственности решения [c.244]

Интеграл по области от положительно определенной функции равен нулю только тогда, когда эта функция равна нулю во всех точках, а это возможно лишь тогда, когда всюду вц, а следовательно, и Oij равны нулю. Таким образом, нулевым граничным условиям могут соответствовать только нулевые решения. Этим и доказывается теорема единственности. [c.246]

Фигурирующая под интегралом квадратичная форма положительно определенна для любой разумной модели материала, для которой справедлива теорема единственности ( 8.4). Можно показать, что если функция U всюду строго выпукла, т. е. если эта квадратичная форма положительна всюду, функционал имеет абсолютный максимум для истинного поля перемещений. Если it есть некоторое поле перемещений, не представляющее собою решение рассматриваемой задачи теории упругости, а гл — истинное поле перемещений, то [c.259]

В гл. 4 была рассмотрена в элементарном изложении теория устойчивости упругих стержней. Особенность этих задач состояла в том, что уравнения равновесия составлялись для деформированного состояния стержня, т. е. по существу речь шла о геометрически нелинейных задачах. Вариационные уравнения, описанные в 8.7, эквивалентны геометрически линейным уравнениям теории упругости, для которых доказана теорема единственности. Поэтому никакие задачи устойчивости с помощью этих вариационных уравнений решать нельзя. Здесь мы постараемся распространить вариационные уравнения на геометрически нелинейные задачи. Существо дела состоит в том, что уравнения статики должны составляться не в исходной системе координат, например декартовой, а в той криволинейной системе координат, в которую превращается исходная вследствие деформации. Прямой путь получения таких уравнений довольно сложен, поэтому нам будет удобно вернуться к выводу 7.4, где напряжения определялись по существу как обобщенные силы, для которых компоненты тензора деформации служили обобщенными неремещениями. Пусть тело, ограниченное поверхностью [c.390]

Постановка задачи теории идеальной пластичности. Теорема единственности [c.487]

Специфическая особенность идеального жесткопластического тела состоит в том, что в нем, вообще говоря, чередуются пластические и жесткие области, в пластических областях неопределенно распределение скоростей, в жестких — распределение напряжений. Поэтому теорема единственности носит ограниченный характер она утверждает только единственность распределения напряжений в пластических областях, не фиксируя их границы. [c.489]

Применяя оценки (15.5.4) и (15.5.6), можно получить интервал, в котором заключено истинное значение предельной нагрузки Q. Если верхняя оценка и нижняя оценка совпадают, то мы получаем точное решение задачи о несущей способности, что следует из доказанной выше теоремы единственности. Элементарные примеры применения статического и кинематического методов оценки несущей способности уже были приведены в гл. 5, далее будут рассмотрены примеры более сложные. [c.493]

Постановка задач теории упругости. Уравнение Клапейрона. Теорема единственности решения задач теории упругости. Принцип Сен-Венана [c.341]

Поэтому функция 0 t), удовлетворяющая тому же начальному условию, что и б( ), вследствие теоремы единственности интеграла совпадает с 6(i). На основании определения (25) функции 0(<) получаем тождество [c.39]

Наконец, обе функции ф(г ) и v t), определенные таким образом, удовлетворяют системе (28 ) при t = t они принимают заданные значения 9 = — а, v = v и обе остаются правильными при возрастании t от до бесконечности. Так как, далее, во всем этом интервале существует условие v w Q, обеспечивающее возможность применения теоремы единственности (помимо теоремы существования интеграла для системы (28") (п. 17), то таким образом движение снаряда охарактеризовано однозначно. В частности, мы получили при этом следующие результаты 1) касательная к траектории (ориентированная в сторону движения) вращается всегда в одном и том же направлении, стремясь стать в вертикальное положение при t— o 2) скорость допускает отличный от нуля минимум. [c.105]

Мы не можем судить о достаточности перечисленных условий теорема единственности, которая могла бы показать эту достаточность для системы уравнений, характеризующих процесс нагрева и охлаждения тормоза (так же, как и для многих других случаев практических расчетов), еще не доказана. Строгая математическая формулировка условий однозначности отличается большой сложностью и выполнена лишь для немногих, наиболее простых систем дифференциальных уравнений. Поэтому примем без доказательства, что для системы уравнений, определяющих нагрев тормоза, приведенные условия однозначности обеспечивают единственность решения. Решение замкнутых систем [c.608]

Далее можно утверждать, что периодическое решение системы дифференциальных уравнений (18.7) совпадает с периодическим решением системы дифференциальных уравнений движения машинного агрегата (16.21), что следует из теоремы единственности. При этом периодическое решение системы дифференциальных уравнений движения машинного агрегата получается из общего решения линеаризованной системы, если принять за начальные данные векторы Yo, 7oi определяемые из вектора где Хо — решение системы уравнения (19.27) при помощи зависимостей (19.19). [c.130]

Систематическое развитие теории фильтрации в СССР начато работой Н. И. Павловского [5] (1922 г.). В ней строго, с доказательством теоремы единственности решения, изучается плоская задача о движении грунтовых вод под плотинами, происходящем под влиянием разности напоров Н ъ верхнем и нижнем бьефах, причем область движения состоит из прямолинейных отрезков. [c.273]

Теорема единственности утверждает, что условия 1) — 4) единственным образом определяют функцию энтропии (2). [c.339]

Перейдем теперь к рассмотрению спектральных свойств уравнений (2.2) и (2.3), а равным образом и (2.5). Положим Я = 1 и допустим, что эти уравнения имеют нетривиальные собственные функции (ввиду равенства нулю индекса, число этих функций одинаково). Обозначим через фо собственную функцию уравнения (2.3), а через У(р, фо) — потенциал, имеющий функцию фо своей плотностью. Этот потенциал является реще-нием задачи И при нулевых значениях напряжений на поверхности. Уместно при этом отметить, что в любом случае смещения, представимые потенциалом простого слоя, убывают на бесконечности как l/R, а напряжения — как 1// . Поэтому можно воспользоваться теоремой единственности внешней задачи теории упругости. Тогда получаем, что потенциал V тождественно равен нулю в области 0 . С другой стороны, потенциал простого слоя является функцией, непрерывной всюду, включая поверхность 5. Поэтому потенциал V р, фо) будет тождественно равен нулю в области 0+, поскольку он обращается в нуль на поверхности 5. Возвращаясь же к формуле (1.24), получаем, что функция фо тождественно равна нулю. Следовательно, точка Я = I не является собственным значением для уравнений (2.3), (2.4) и (2.5). Поэтому перечисленные уравнения разрешимы при произвольной правой части, а получаемые решения единственны, [c.559]

Кунрадзе В. Д. Теоремы единственности в краевых задачах теории упругости. — Труды Тбилисского ун-та, 2. Изд. АН Груз. ССР, 1936. [c.680]

Необходимо подчеркнуть, что теорема единственности доказана нами для геометрически линейной постановки задачи теории упругости. Если условие (8.4.8) не выполнено, единственности может не существовать. Это может означать одно из двух о либо принятая модель сплошной среды некорректна, либо материал неустойчив. При- Рис. 8.4.1 мером такого неустойчивого материала служит материал с падающей диаграммой растяжения, подобной изображенной на рис. 8.4.1. Видно непосредственно, что одному п тому же значению напряжения на этой диаграмме соответствуют два разных значения деформации. Вопрос о действительном существовании таких неустойчивых упругих материалов остается открытым диаграммы вида изображенной на рис. 8.4.1 наблюдаются при описании пластического поведения и представляют зависшюсть условного напряжения, т. е. растягивающей силы от деформации. Пример неустойчивости такого рода был рассмотрен в 4.13. Для геометрически нелинейных систем теорема единственности несправедлива нарушение единственности соответствует потере устойчивости упругого тела. Рассмотрению подобного рода задач в элементарной постановке была посвящена вся четвертая глава. [c.247]

Теоретическая гидродинамика (1964) -- [ c.102 , c.224 , c.606 ]

Струи, следы и каверны (1964) -- [ c.120 ]

Динамические задачи термоупругости (1970) -- [ c.47 ]

Технический справочник железнодорожника Том 1 (1951) -- [ c.214 ]

Метод конечных элементов Основы (1984) -- [ c.119 ]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...