Сходимость метода упругих решений

Сходимость метода упругих решений была доказана в работе (75] при помощи построения сходящейся мажорантной последовательности для значений дополнительных нагрузок. При этом на функцию -ai(ei) были наложены ограничения [c.74]

На первом временном шаге решается упругая или упругопластическая задача. При наличии пластических деформаций должно быть осуществлено несколько итераций для сходимости метода упругих решений. В каждой итерации процесс формирования систем линейных уравнений для каждой гармоники совмещен с прямым ходом метода квадратного корня. Это позволяет существенно уменьшить количество обменов с внешней памятью. Число удерживаемых гармоник задается в исходных данных, которые должны обеспечить точность аппроксимации упругопластического решения, а в дальнейшем — и решение задачи ползучести. Для этого число гармоник должно примерно в 2 раза превышать то, которое необходимо для описания упругого решения. [c.171]

Для сходимости метода упругих решений необходимо, чтобы параметр связанный с функцией (р и) соотношением (1.37), был малым по сравнению с единицей. При этом должно выпол- [c.46]

Сходимость этого метода исследовалась различными авторами. Достаточно подробная библиография по этому вопросу содержится в [188, 235]. На практике при решении конкретных задач обнаружено, что скорость сходимости метода упругих решений весьма высока, так что достаточно нескольких приближений, чтобы получить необходимую точность. [c.46]

Доказательство сходимости метода упругих решений для несжимаемой нелинейной вязкоупругой среды дано в работе [233. Другой метод последовательных приближений получим, если [c.64]

Рисунки 4.23, 4.24 демонстрируют практическую сходимость метода упругих решений. За искомое решение принято 12-е приближение, которое отличается от предыдущих двух менее чем на 1 % — как для прогибов w, так и для сдвигов ф. Номер кривых на иллюстрациях соответствует номеру п итерации, п = О — упругому решению. [c.174]

На практике при решении конкретных задач обнаружено, что скорость сходимости метода упругих решений весьма высока, так что достаточно нескольких приближений, чтобы получить необходимую точность. [c.227]

При численном исследовании изгиба предварительно облученного трехслойного стержня сходимость метода упругих решений убыстряется за счет увеличения жесткости материалов слоев и уменьшения в них областей пластичности и физической нелинейности (рисунки 4.91, 4.92). На первом из них показано распределение областей пластичности и физической нелинейности [c.230]

Численное исследование продемонстрировало практическую сходимость метода упругих решений для задач термопластичности неоднородных конструкций. Максимальное отличие перемещений в 5-м приближении, которые приняты за искомое решение, от предыдущих составляет менее 1 %. [c.340]

Числовые результаты и здесь показали практическую сходимость метода упругих решений. Максимальное отличие результатов в 6-м приближении (для пакета металл-полимер-металл) которые приняты за искомое решение, от предыдущего составляет около 3%, а от 7-го менее 0,5% (рис. 6.14 а сдвиг в заполнителе, б — прогиб пластины в момент времени t = 30 мин). Здесь номер кривой соответствует шагу итерации. [c.347]

Теоремы 5-7 остаются справедливыми и для случая деформационной теории пластичности без разгрузок, если только выполняются известные условия А. А. Ильюшина, обеспечивающие сходимость метода упругих решений [11]). [c.105]

Решения реализуются при помощи. различных вариантов метода последовательных приближений (А. А. Ильюшин, 1948 И. А. Биргер, 1951, и др.) или численно. В первом случае нелинейные члены переносятся в правые части уравнений или включаются в коэффициенты упругости , затем в той или иной форме применяется метод последовательных приближений. На каждом этапе приближения необходимо решить линейную задачу теории упругости, но с дополнительными объемными силами ( метод упругих решений ) или с измененными коэффициентами упругости ( метод переменных параметров упругости ). Процессы эти весьма трудоемки, и в неодномерных задачах редко удается построить более чем одно-два приближения. Сходимость большей части используемых процессов ее изучена. Сходимость метода упругих решений при определенных условиях установлена в работах А. И. Кошелева (1955) и С. Г. Петровой [c.116]

Доказательства сходимости последовательных приближений, получаемых методом упругих решений в общем случае пространственной задачи, пока не дано, хотя условия (2.71) её обеспечивают во всех рассматриваемых ниже случаях. Более того, вычисления показывают очень быструю сходимость приближений, так что, даже в случае действия на тело сосредоточенных сил, третье приближение даёт вполне удовлетворительные результаты. Строгое доказательство сходимости метода упругих решений применительно к пластинкам и оболочкам при условии (2.71) дано Панферовым ( 1. Попутно им доказывается существование и единственность решения, а также конечность числа и ограниченность размеров областей пластических деформаций в телах бесконечных размеров. [c.125]

Относительно процесса последовательных приближений по рассмотренной модификации метода упругих решений можно заметить, что в теории пластичности доказана его сходимость к точному решению для задач, в которых граничные условия формулируются только в перемещениях (и = v = w 0) или в напряжениях при [c.313]

Накопленный опыт применения метода упругих решений в форме метода переменных параметров упругости при решении задач теории пластичности говорит о том, что он обеспечивает сходимость последовательных приближений к точному решению, однако до настоящего времени строгого доказательства этого утверждения нет. [c.316]

Цилиндрическая оболочка постоянной толщины под действием кольцевой перерезывающей нагрузки. Этот пример рассмотрен в работе [3] с применением метода упругих решений и в работе [4] сведением дифференциального уравнения изгиба оболочки к интегральному. Случай нагружения является для расчета невыгодным, так как за счет резкого изменения сил и моментов по длине сходимость процесса ухудшается [4]. Вследствие симметрии рассматривается одна половина оболочки. Поскольку упругопластический расчет оказывается существенно сложнее упругого, в обоих решениях использованы упрощающие приемы. Примененные методы требуют задания краевых условий в перемещениях для участка длиной /т, ограниченного областью упругопластических деформаций. Поэтому из интервала интегрирования исключено нагруженное сечение с при- [c.209]

Как показано в различных исследованиях, сходимость метода переменных параметров упругости, определяемая количеством итераций, необходимых для получения решения с требуемой точностью, как правило, выше, чем метода упругих решений. Однако, решение на каждом этапе итерационного процесса в методе переменных параметров упругости получается более сложным, так как требует решения задачи теории упругости неоднородных тел. Таким образом, ответ на вопрос [c.515]

Так же как и для метода упругих решений, доказательство сходимости метода переменных параметров построим на основе [c.76]

Если подставить определяющие соотношения (5.4) — (5.7) в уравнения равновесия (2.11) и граничные условия (2.12), то получим формулировку задачи А для упруго-пластического тела. Для решения этой задачи А. А. Ильюшин предложил так называемый метод упругих решений и указал условия его сходимости [c.36]

Непосредственное применение известного метода упругих решений приводит к замедлению сходимости процесса последовательных приближений и требует вычисления 5—6 приближений [c.188]

Для обеспечения сходимости рассмотренного метода последовательных приближений необходимо, чтобы параметр wi, связанный с функцией /i соотношением (1.70), и функция нелинейности /2 были малыми по сравнению с единицей. Если дополнительно принять /1 = /2, то указанный процесс построения приближений в изображениях ничем не будет отличаться от процесса построения приближений в рассмотренном ранее методе упругих решений Ильюшина в теории малых упругопластических деформаций (п. 1.7). В последнем случае известны доказательства сходимости метода, поэтому можно говорить о сходимости и в рассматриваемом случае. [c.64]

Численные исследования показали достаточно быструю сходимость примененного модифицированного метода упругих решений. [c.481]

Аналогичный характер сходимо- т/мм сти процессов последовательных приближений наблюдается и в слу- чае неоднородного напряженного состояния. На рис. 6.3 показаны зависимости угла поворота на торце оболочки от числа приближений для рассматриваемых методов. Как и в предыдущем примере, решение по методу переменных параметров сходится примерно вдвое быстрее, чем по методу упругих решений. Аналогичный характер сходимости имеет место и в случае реальной диаграммы растяжения. [c.147]

Таким образом, шаг по ведущему параметру о= = 0,01 и пятое приближение для функций Дш и Аф дают вполне приемлемые результаты. После предварительного анализа сходимости метода указанные шаг и пятое приближение использовались для решения задач мгновенного упругого деформирования сферических и конических оболочек с малой стрелой подъема над плоскостью. [c.54]

Итерационный метод уточнения решения уравнений нелинейных колебаний. Для уточнения расчета резонансных режимов, а также нерезонансных режимов от нескольких гармоник момента двигателя может быть применен метод последовательных приближений Ньютона—Канторовича [15]. Для расчетов силовых передач использование этого метода первого порядка наряду с записью уравнений движения в интегральной форме можно признать оптимальным по следующим причинам достигается максимально компактная запись нелинейных уравнений, число которых равно числу нелинейных соединений сходимость метода может быть достигнута при любых параметрах системы за счет выбора начального приближения. Метод Ньютоне— Канторовича обладает максимальной скоростью сходимости для кусочно-линейных функций, какими н являются типичные упругие характеристики силовых передач. [c.342]

Вопрос о сходимости метода упругих решений (равно как к метода переменных параметров, раздел 4) в статье не рассматривается. Заметим, что сходимость метода упругих решений для основных пространственных задач теории малых упруго-пластиче-ских деформаций (в случае упрочнения) доказана И, И. Ворови-чем и Ю. П. Красовским [6]. [c.41]

Рисунки 4.87-4.90 иллюстрируют процесс сходимости метода упругих решений (на примере перемещений w-[ W2, щ, uq) при исследовании изгиба упругопластического трехслойного стержня. На всех рисункс1х номер кривой соответствует номеру итерации. Первое приближение является решением задачи теории упругости, 2-е приближение отличается от него в среднем на 14,5%. При каждой последующей итерации разница между приближениями уменьшается и 5-е приближение, которое принято за искомое решение, отличается от 4-го на 0,45 %. Дальнейшая проверка практической сходимости метода показала устойчивое стремление к нулю разности между последующим и предыдущим приближениями. [c.230]

Числовые результаты. При расчетах принималось, что несущие слои пластины выполнены из сплава Д16Т, заполнитель— фторопласт. Соответствующие материальные функции и параметры этих материалов приведены в таблицах 1.1, 1.3. Численное исследование решения (6.55), (6.56) продемонстрировало практическую сходимость метода упругих решений. Максимальное отличие результатов в 5-м приближении, которые приняты за искомое решение, от предыдущих — менее 1 %. Следовательно, применение метода упругих решений для исследования трехслойных упругопластических пластин позволяет получать результаты с достаточной для инженерной практики точностью. [c.336]

Сходимость этого метода исследовалась различными авторами. Достаточно подробная библиография по этому вопросу содержится в [19], [39]. Па практике при решении конкретных задач обнаружено, что скорость сходимости метода упругих решений весьма высока, так что достаточно несколько приближений, чтобы получить необходимую точность. Папример, нри решении задачи о переменном упругопластическом изгибе круглой трехслойпой пластины (см. 8.4) понадобилось пять итераций. [c.166]

Числовое исследование продемонстрировало практическую сходимость метода упругих решений. Максимальное отличие результатов в 5-м приближении, которые приняты за искомое решение, от предыдущих менее 1 %. На рис. 8.5 показан прогиб симметричной по толщине трехслойпой пластины при переменном нагружении (одии штрих прямое нагружение, два штриха — обратное). [c.209]

Запись уравнений в форме (5.237) позволяет сформулировать метод последовательных приближений для их реигения, известный под названием метода упругих решений. В нулевом приближении правую часть (5.237) полагают тождественно равной нулю, при это.м получается краевая задача линейной теории упругости. В перво.м и последующих приближениях правая часть вычисляется по результатам предыдущего приближения таким образом, на каждом uiare приходится рен/ать одну и ту же систему уравнений с различными правыми частями. Условия (5.235) обеспечивают сходимость метода последовательных приближений к решению (вообще говоря, обобщенному) краевой задачи для уравнений [c.271]

Для решения задачи определения напряженного состояния в области пластичности применяют метод упругих решений, основанный на теории малых упругопластических деформаций [23]. Метод сводится к повторению последовательности упругих решений с переменными параметрами упругости или с дополнительными нагрузками [6]. Для этого программа решения неоднородноупругой задачи дополняется группой команд вычисления переменных параметров упругости (или дополнительных нагрузок) и используется повторно [1]. Сходимость приближений для материалов с упрочнением — устойчивая. При решении [c.609]

Поскольку схема метода одного параметра (3.28) ан 1.погична схеме (3.16) для метода упругих решений, то для доказательства сходимости этого метода достаточно показать, что выбор параметра а по формуле (3.29) обеспечивает минимизируюш,ую последовательность функционалов. Для этого рассмотрим функционал задачи, соответствуюш,ий решению й +1 = ttn + an+iA +i [c.80]

Впервые доказательство сходимости метода упругих рещеиий бьшо выполнено И.И.Воро-вичем и Ю.П.Красовским [15] и базируется на оценке расстояний двух последовательных приближений от точного решения задачи. Это расстояние определяется в энергетической норме [c.233]

Темис Ю.М. Сходимость метода переменных параметров упругости при численном решении задач пластичности методом конечных атементов // Прикладные проблемы прочности и пласпишости. Статика и динамика деформи- [c.271]

Проблема заключается в следующем. Поиск действительных значений инвариантов деформаций по полученным в очередном приближении значениям инвариантов напряжений в соответствии с методом дополнительных деформаций на стадии разупрочнения приводит к расхождению итерационной процедуры. Согласно же методу переменных параметров упругости, как и методу дополнительных напряжений, в каждом упругом решении положительному приращению инвариантов тензора деформаций соответствует положительное приращение инвариантов тензора напряжений, т.е. и на закритической стадии деформирования материал воспринимгьется как упрочняющийся, что не способствует сходимости. [c.241]

Вариационные принципы теории упругости позволяют свести проблему определения напряженно-деформированного состояния тела к эадкче отыскания минимума того или иного функционала. На этом основаны различные прикладные методы расчета, в которых удается получить приближенное решение задачи, не прибегая к интегрированию системы дифференциальных уравнений теории упругости. Вариационные принципы составляют теоретический фундамент н метода конечных элементов, позволяя, в частности, обосновать его сходимость к точному решению. [c.27]

Сходимость полученного по методу Ритца решения ( 6.1) к об щему интегралу уравнений упругости будет тем лучше, чем боль ше членов взято в разложениях (6.1) и чем искуснее выбраны апроксимирующне функции. Поэтому особо успешно метод Ритца будет применен, когда, например, удачным подбором функций [c.78]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...