Решение методом конечных разностей

Построим решение методом конечных разностей при граничных условиях при л = О = 0 при х = I w — 0. В разностной форме с помощью зависимости (3.49) уравнение прогиба стержня можно представить в виде [c.78]

На рис.2.1 - 2.2 приведены графики распределения изгибного напряжения при z hjl и прогиба w в сечении пластины j = 0. Сплошными линиями нанесено решение, полученное в настоящей работе методом граничных элементов при разбиении контура пластины на 100 элементов, крестиками - решение методом конечных разностей [36]. В пределах точности графиков результаты решений совпадают. [c.43]

Заделанная по контуру пластина, составленная из прямо-угольников находится под действием равномерно распределенного давления интенсивности р (рис.3.7). На рис.3.7 приведена зависимость максимальный прогиб - нагрузка , полученная при разбиений контура пластины на 62 элемента (сплошная линия) и результаты работы [52] (штриховая линия - экспериментальные данные, точки - решение методом конечных разностей). На сторонах входяш,его угла пластины введено по 21 элементу. Это связано [c.84]

РЕШЕНИЕ МЕТОДОМ КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ [c.13]

Точное решение Метод конечных разностей (55 уравнений) число интервалов п [c.76]

В табл. 2 дано сравнение значений максимального касательного напряжения (в середине стороны квадрата) и крутящего момента с результатами аналитического решения [9] и решения методом конечных разностей [10]. Снова видно, [c.78]

ЧТО уже при четырех неизвестных в методе ГИУ получаются очень хорошие результаты, такие же, как и при решении методом конечных разностей, использующем 55 неизвестных. [c.78]

Найти точное аналитическое решение краевых задач (23)-(27), (28)-(32), (33)-(35) не представляется возможным. Будем искать приближенное решение методом конечных разностей [15]. В результате получаем бесконечную систему однородных алгебраических уравнений, линейных относительно параметров Л , В пт. [c.308]

Уравнение (5.1) с приведенными граничными условиями имеет единственное решение. Оно является отправной точкой при получении численного решения методом конечных разностей. Другой метод решения задач переноса тепла основан на вариационном подходе. В вариационном исчислении ) устанавливается, что для минимизации функционала [c.68]

При решении методом конечных элементов внутренняя полость заменялась материалом с модулем G, на трн порядка меньшим модулей материалов стержня ). Эти результаты хорошо согласуются с точным решением методом конечных разностей [11]. [c.329]

Как следует из схемы, представленной на рис. В.1, информация о НДС является ключевой для анализа прочности и долговечности элементов конструкций. Поэтому правильность оценки работоспособности той или иной конструкции в первую очередь зависит от полноты информации о ее НДС. Аналитические методы позволяют определить НДС в основном только для тел простой формы и с несложным характером нагружения. При этом реологические уравнения деформирования материала используются в упрощенном виде [124, 195, 229]. Анализ НДС реальных конструкций со сложной геометрической формой, механической разнородностью, нагружаемых по сложному термо-силовому закону, возможен только при использовании численных методов, ориентированных на современные ЭВМ. Наибольшее распространение по решению задач о НДС элементов конструкций получили следующие численные методы метод конечных разностей (МКР) [136, 138], метод граничных элементов (МГЭ) [14, 297, 406, 407] и МКЭ [32, 34, 39, 55, 142, 154, 159, 160, 186, 187, 245]. МКР позволяет анализировать НДС конструкции при сложных нагружениях. Трудности применения МКР возникают при составлении конечно-разностных соотношений в многосвязных областях при произвольном расположении аппроксимирующих узлов. Поэтому для расчета НДС в конструкциях со сложной геометрией МКР малоприменим. В отличие от МКР МГЭ позволяет проводить анализ НДС в телах сложной формы, но, к сожалению, возможности МГЭ ограничиваются простой реологией деформирования материала (в основном упругостью) [14]. При решении МГЭ упругопластических задач вычисления становятся очень громоздкими и преимущество метода — снижение мерности задачи на единицу, — практически полностью нивелируется [14]. МКЭ лишен недостатков, присущих МКР и МГЭ он универсален по отношению к геометрии исследуемой области и реологии деформирования материала. Поэтому при создании универсальных методов расчета НДС, не ориентированных на конкретный класс конструкций или вид нагружения, МКЭ обладает несомненным преимуществом по отношению как к аналитическим, так и к альтернативным численным методам. [c.11]

Средние установившиеся температуры определяют по уравнению теплового баланса тепловыделение за единицу времени приравнивают теплоотдаче. При расчете теплоотдачи пользуются ее усредненными коэффициентами. Для решения более сложных тепловых задач (установления температурных полей в деталях машин, определения неустановившихся температур) используют методы, рассматриваемые в теории теплопередачи, в том числе методы подобия, комбинирования нз точных решений для элементов простых форм, методы конечных разностей и конечных элементов. [c.18]

Метод конечных разностей исторически начал развиваться раньше МКЭ и является старейшим методом решения краевых задач. [c.41]

Это уравнение решается в общем виде по типу решения уравнения Фурье, но его решение с учетом зависимости коэффициента диффузии от температуры может быть реализовано или методом конечных разностей (сеток), или с помощью интегрального преобразования Лапласа и в обоих случаях требует машинного счета на ЭВМ. Проще всего оно решается для установившегося режима диффузии, т. е. при наличии постоянного градиента концентраций и постоянства температуры. В этом случае решение принимает вид [c.306]

Изложенный подход к цифровому моделированию составляет основу так называемого метода конечных разностей, который отличается простотой алгоритма числовых расчетов поля, но требует большого машиносчетного времени для решения практических задач с удовлетворительной точностью. Основными недостатками этого метода являются необходимость экспериментального выбора коэффициента с и требование дифференцирования Х/м (Jf, у) До второй производной включительно. Эти недостатки не присущи методу конечных элементов [34], который в последние годы составляет конкуренцию методу конечных разностей при решении полевых задач. [c.112]

Большинство глав книги сопровождается решением примеров и задачами для самостоятельной работы. В учебнике даны краткие сведения о численных методах решения задач (метод конечных разностей, метод конечных элементов). [c.4]

Решение плоской задачи методом конечных разностей [c.144]

Одним из эффективных численных методов решения задач теории упругости и пластичности является метод конечных разностей. Идея этого метода состоит в замене основных дифференциальных уравнений задачи уравнениями в конечных разностях. При этом задача сводится к решению системы алгебраических уравнений. [c.144]

В случае одномерной задачи дискретный метод совпадает с методом конечных разностей и решение задачи сводится к алгебраическим уравнениям. [c.352]

Метод конечных разностей применим для решения уравнений гиперболического, эллиптического и параболического типов. При этом расчетная область разбивается на счетные ячейки. Производные от функций заменяются конечными разностями с помощью тех или иных соотношений. Этим методом решаются стационарные и нестационарные задачи для дозвуковых, сверхзвуковых и смешанных течений. Предложено большое количество разностных схем для решения конкретных задач, применимых к уравнениям разного типа. [c.267]

Эти методы можно разделить па две группы. Первая составляет методы приближенного решения краевых задач для дифференциальных уравнений, к которым сводятся те или иные задачи прикладной теории упругости. Из числа этих методов прежде всего рассмотрим метод конечных разностей (МКР) и особенности его применения в плоской задаче и в задачах изгиба пластин. Далее излагаются метод Бубнова — Галеркина и метод Канторовича — Власова. [c.228]

Расчет гибких пластин и оболочек сводится к решению нелинейной системы дифференциальных уравнений, записанных относительно прогиба и функции напряжений. С помощью вариационных методов, метода конечных разностей и т. д. указанные уравнения заменяются [c.285]

Предположим, что для решения задачи изгиба применяется метод конечных разностей. Расчет упругой пластины в этом случае сводится в итоге к решению системы линейных алгебраических уравнений [c.336]

При решении плоской задачи теории упругости методом конечных разностей бигармоническое уравнение при разных значениях шагов сетки и Ну имеет вид [c.108]

Один из эффективных путей решения сложных задач плоской теории упругости заключается в сочетании метода конечных разностей с классическим методом сил, применяемым в строительной механике. При этом существенное упрощение задачи достигается за счет использования чисел влияния для первой основной задачи [29], [17]. [c.113]

Сформулированный выше путь решения задач обладает достаточной четкостью и ясностью и может быть применен к решению разнообразных задач как при рассмотрении односвязных, так и многоконтурных областей, однако существенным его недостатком является громоздкость вычислений, связанных с определением перемещений. В связи с этим наряду с применением метода конечных разностей в последние годы для решения задач теории упругости получили развитие и другие методы расчета, рассмотрению которых будут посвящены две последующие главы. [c.114]

Метод конечных разностей, широко используемый для решения плоских задач теории упругости, становится достаточно громоздким в случае областей со сложным контуром. Бурно развивающийся в настоящее время метод конечного элемента, хотя и может быть распространен на пространственные объекты, не лишен недочетов, так как связан с решением систем алгебраических уравнений высокого порядка. В значительной мере отмеченных недостатков лишен метод расширения заданной системы, однако он не пользуется еще должным вниманием. [c.149]

Достоинством метода расширения заданной системы является возможность существенного понижения порядка систем алгебраических уравнений при решении сложных задач, по сравнению с методами конечных разностей и конечного элемента, так как при использовании метода расширения заданной системы отпадает необходимость в составлении уравнений относительно точек, расположенных внутри и вне рассматриваемой области. [c.149]

Универсальным численным методом решения дифференциальных уравнений и их систем является разностный метод, называемый еще методом конечных разностей или методом сеток. Сущность этого метода заключается в том, что в области изменения переменных величин вводят некоторую сетку, а все производные, входящие в дифференциальные уравнения и краевые условия, заменяют алгебраическими комбинациями от значений функции в узлах сетки. Рещая полученную в результате такой замены систему [c.58]

Наряду с классическими вариационными методами решения задач плоской теории упругости широко используют численный метод конечных разностей и метод конечных элементов, реализуемые с помощью ЭВМ. [c.328]

Хотя предложенный метод является приближенным для N < оо, в принципе погрешность можно сделать сколь угоднО малой при достаточно большом числе N и достаточно близких друг к другу значениях Хг. Это следует из свойства полноты системы интегрируемых с квадратом функций, в рядах Дирихле [87]. На практике, однако, точность обращения ограничивается гладкостью изображений по Лапласу. Ошибки за счет округления, неизбежные при любых численных представлениях, и погрешности при интерполяции, например при 1юлучении ассоциированного упругого решения методами конечных разностей или конечных элементов, определяют нижнюю границу погрешности для квадратичного отклонения [19, 84, 87]. Оказывается, что для принятых численных значений изображений Лапласа при сближении Хг квадратичная ошибка сначала уменьшается, а затем увеличивается. Этот рост отражает перемену знака возрастающих членов в функции Д/с(0- [c.146]

Алексидзе M. A., Пертая К. В. [1966]. Универсальные программы решения методом конечных разностей плоской внутренней задачи для уравнений Лапласа и Пуассона. — Тбилиси Мецниереба. [c.538]

Математические модели называют функциональными, если они отражают процессы, протекающие в объекте при его функционировании, или структурными, если они отражают топологические или геометрические свойства объекта. Типичными функциональными моделями на микроуровне являются дифференциальные уравнения в частных производных с заданными краевыми условиями. Для их решения в САПР применяют методы конечных разностей или конечных элементов. Функциональные модели на макроуровне представляют собой обыкновенные дуфференциальные уравнения. Наибольшее распространение для их решения получили неявные или комбинированные методы численного интегрирования. Для моделирования на метауровне наравне с обыкновенными дифференциальными уравнениями используют модели массового обслуживания и логические уравнения. [c.80]

Стокса для гидравлики уравнения теилопроводностн для термодинамики и т. д.), но точное решение ее удается получить лишь для частных случаев, поэтому первая задача, возникающая при моделировании, состоит в построении приближенной дискретной модели. Для этого используются методы конечных разностей и интегральных граничных уравнений, одним из вариантов последнего является метод граничных элементов. Так как получаемая при дискретизации пространства аипрокси-мирующая система алгебраических уравнений имеет высокий порядок, то при моделировании достаточно сложных технических объектов приходится принимать ряд допущений и упрощений и переходить к моделированию на макроуровне. [c.6]

Получепиое решение (3) проверено, как с помощью численного метода конечных разностей. таК н по формуле (2), причем, время расчета тепловых историй по (3 было На порядок меньше чем по (2). [c.123]

Если пластинка не имеет двух противоположных шарнирно опертых краев, то прогиб не может быть представлен рядом (а), и точное решение сильно осложняется. В последнем случае часто применяют приближенные методы — вариационные методы Рит-ца — Тимошенко, Бубнова — Галеркина, Треффца, Власова — Канторовича, метод конечных разностей и т. д. [c.185]

Рассмотрим особенности применения метода конечных разностей в плоской задаче на примере использования функции напряжений (см. 4.4). В этом случае задача сводится к решению уравнения совместности деформаций в виде бигармо1гического уравнения [c.235]

При решении задачи методом конечных разностей искомая функция Ф определяется на некотором достаточно большом конечном множестве точек области F, которые называются расчетными точками и являютсй узлами сетки (обычно прямоугольной или" квадратной), покрывающей область F. [c.184]

Ряд примеров решения плоской задачи методом конечных разностей с использованием ЭВМ можно найти в книге [56]. Ограничившись сделанными замечаниями о методе конечных разностей применительно к плоской задаче, кратко дстановимся на другом численном методе — методе конечных элементов (МКЭ). [c.328]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...