Решения уравнений теории упругости, соответствующие особым точкам

Решения уравнений теории упругости, соответствующие особым точкам [c.76]

Решение задач, относяш ихся к исследованию устойчивости различных форм равновесия упругих систем, представляет некоторые особенности, и поэтому мы считаем целесообразным выделение вопросов устойчивости в особую главу. При изучении деформаций тел, у которых все размеры одного порядка, мы привели теорему Кирхгофа которая говорит, что заданной системе внешних сил может соответствовать лишь одно решение уравнений теории упругости, т. е. одна форма равновесия. Такая форма равновесия как единственная, очевидно, будет устойчивой, и если какие-либо внешние причины вызовут отклонение тела от этой формы, то по устранении этих причин тело вернется в свое первоначальное состояние. [c.257]

Выражения для перемещения а, создаваемого сосредоточенными особенностями того или иного типа (сосредоточенная сила, двойная сила, центр расширения, центр вращения), можно рассматривать как некоторые частные решения уравнений теории упругости для безграничной среды, из которой удалена точка приложения особенности (решение должно быть в рассматриваемой области конечным и непрерывным и иметь в ней такие же производные любого порядка по всем координатам). Можно построить сколь угодно большое число новых выражений вектора и, рассматривая наложение действий этих элементарных особенностей, распределённых по некоторым линиям, поверхностям и объёмам. Эти выражения будут служить решениями уравнений теории упругости для частей упругой среды, не содержащих указанных особых геометрических мест. Комбинируя решения друг с другом, можно в некоторых случаях их использовать при решении краевой задачи для ограниченного упругого тела, когда требуется удовлетворить заданным силовым или геометрическим условиям на его поверхности. Конечно, практически можно использовать лишь наиболее простые замкнутые выражения, поэтому из всего многообразия решений, которые можно построить указанным образом, следует выбрать такие, которые соответствуют простейшим распределениям простейших точечных особенностей. Как показывают формулы (3.5) — (3.8), таковыми следует признать центр расширения и центр вращения, когда вектор перемещения выражен через градиент [c.86]

Неоднозначность решений уравнения колебаний. Когда граничная задача математической физики относится к области, содержащей бесконечно удаленную точку, необходимо особо рассмотреть вопрос О поведении решения на бесконечности исследовать асимптотический характер решения в зависимости от пространственных координат. В условиях задачи обычно нет непосредственных указаний относительно этого характера, и он должен быть определен из косвенных соображений в соответствии с физическим содержанием вопроса, причем забота о том, чтобы принятый на бесконечности характер решения обеспечивал единственность искомого решения, является важнейшей. Ясно, что условие, обеспечивающее единственность, само, вообще говоря, не является единственным, и задача состоит в выборе этого условия наиболее целесообразным образом, и прежде всего так, чтобы решения с заданным характером на бесконечности существовали. Формулы Грина и им подобные, в частности в теории упругости формулы Бетти, служат средством, позволяющим делать этот, выбор однако после того, как из физических соображений или на основании указаний, которые черпаются из формул Грина, мы остановились на том или ином асимптотическом характере решения, необходимо доказать, что такое решение действительно существует и является единственным. Подобный выбор асимптотического характера решения граничных задач для уравнения мембраны (скалярное уравнение колебаний), основанный на применении формулы Грина, был сделан впервые в 1898 г. А. Зоммерфельдом и вошел в литературу под названием условия излучения-, доказательство суи<е-ствования и единственности решений основных граничных задач колебаний, удовлетворяющих условию излучения Зоммерфельда, было дано автором в 1933—1934 гг. [136, в, д]. [c.58]

Волны рэлеевского типа могут существовать и на сферической поверхности. Задача о гармонических волнах такого типа на поверхности идеально упругой сферы радиуса Я рассматривалась в работе [25]. Под волнами рэлеевского типа понималось точное решение уравнений теории упругости, удовлетворяющее условию отсутствия напряжений на поверхности сферы и имеющее характер установившихся монохроматических поверхностных волн. В полюсах сферы 0 = 0 и 0 = я (г, ф, 0 — сферические координаты) располагались источник и СГОК волн, соответствующие особым точкам решений уравнений. Предполагалось, что источник и сток вполне эквивалентны один другому и волны распространяются от полюсов с равными амплитудами в +0 и —0 направлениях, так что наложение их позволяет образовать стоячие волны, регулярные во всех точках сферы. [c.50]

Введение деформации, имеющей особые точки. Мы можем иссле> вать такие решения уравнений плоской деформации, которые в определенных точках принимают бесконечные значения. Хзкие точки не могут находиться в области, занятой материальной средой, а должны лежать в полостях внутри тела. В этих случаях необходимо соблюсти условие однозначности смещения, вращения и деформации. Когда такие точки лежат вне тела или на его границе, то эти условия, вообще, не требуют ника-J кого особого исследования. Смещение выражается некоторой функцией переменной дс-j-iy, так что особые точки смещения тождественны с o oi быми точками этой функции. Не вдаваясь в исчерпывающее исследования возможных особенностей и их значения для теории упругости, мы рассмот] рим напряженные состояния, которые соответствуют некоторым особым точкам простого типа. [c.219]

Исследование деформации упругих систем, как известно, заключается в составлении дифе-ренциального уравнения, характеризующего рассматриваемую деформацию, и затем в разыскании решения этого уравнения, удовлетворяющего известным граничным условиям рассматриваемой задачи. В то время как составление диференциальных ур-ий производится без особых затруднений помощью приложения к частным случаям общих выводов теории упругости, решение этих уравнений часто оказывается сопряженным с затруднениями чисто математич. характера, к-рые или не могут быть разрешены или приводят к результатам, мало пригодным для практич. использования вследствие слон -ности или отсутствия необходимой наглядности. Решение таким путем новых задач, могущих встретиться в инженерной практике, далеко выходя из рамок обычных расчетов и принимая характер научно-исследовательской работы, оказывается обычно невыполнимым в обстановке практической деятельности инженера. Применение метода потенциальной энергии, как известно, дает возможность более просто получить приближенное решение задачи, избегнув необходимости интегрирования соответствующего ей диференциального уравнения. Однако те же результаты, но гораздо проще, можно получить, и не прибегая к методу потенциальной энергии, а применив метод непосредственного интегрирования диференциального ур-ия помощью бесконечных рядов. Сущность этого метода заключается в том, что заранее задаемся подходящим видом искомой функции, входящей в диференциальное ур-ие рассматриваемой задачи, после чего, подставляя ее в это ур-ие, определяем входящие в нее неизвестные параметры. Под подходящим видом ф-ии в данном случае разумеется такой вид ее, при к-ром полностью удовлетворяются вытекающие для нее из условий задачи граничные условия и к-рый по возможности точно отвечает действительному виду этой ф-ии чем ближе к действительности окажется выбранный вид подходящей ф-ии, тем ббльшую точность будет иметь полученное решение. Т. к. любая из интересующих нас ф-ий м. б. представлена с любой точностью соответствующим тригонометрич. рядом Фурье, то, задаваясь подходящей ф-ией в виде такого ряда, будем получать в таком же общем виде и искомые решения задачи, к-рые затем м. б. вычислены с любой степенью точности. Получающееся таким путем общее решение очевидно представляет собой выраженную в виде ряда Фурье ф-ию, отве- [c.97]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...