Поверхность кусочно-гладкая

С дифференциальными уравнениями лишь кусочно-гладкими. Появление поверхностей разрыва правых частей дифференциальных уравнений влечет возможность появления так называемых скользящих движений и других особенностей, требующих дополнительного изучения [41]. [c.268]

Пусть Oi °,. .., Г —устойчивые состояния равновесия и периодические движения. О ",. .., Тт" —неустойчивые и ..., — седловые. Окружим каждое из них малыми окрестностями с кусочно-гладкими граничными поверхностями, составленными либо из поверхностей без контакта, либо кусков интегральных поверхностей. Возможные виды таких поверхностей в трехмерном случае изображены на рис. 7.26,а, б, в. Обозначим границы этих окрестностей для устойчивых и неустойчивых состояний равновесия и периодических движений соответственно через Oi,. ..,а и а,,. .., От. У седлового состояния равновесия [c.274]

Теорема 7.2. Исследование фазовых траекторий динамической системы, о которой шла речь в теореме 7.1, сводится к рассмотрению кусочно-гладкого точечного отображения поверхностей без контакта а, неустойчивых состояний равновесия и периодических движений в поверхности без контакта а]" устойчивых состояний равновесия и периодических движений (рис. 7.28). [c.280]

Условия на поверхностях сильного разрыва в многокомпонентных средах можно получить из общих законов сохранения в интегральной форме. Следуя Л. И. Седову и Г. А. Тирскому, рассмотрим в сплошной среде некоторую кусочно-гладкую поверхность разрыва S, которая, вообще говоря, может быть подвижной. Пусть эта поверхность заключена в объеме V, совпадающем в данный момент времени с субстанциональным объемом V, но движущемся вместе с поверхностью S со скоростью D, нормальной к поверхности S. В локальной системе координат, связанной с точкой на [c.25]

Отметим также, что при рассмотрении задач для областей, ограниченных кусочно-гладкими поверхностями, а также задач, когда характер условий может меняться скачком, формально получаемое решение может оказаться неоднозначным и тогда в постановку задачи необходимо вводить условие ограниченности энергии упругого деформирования (для обеспечения единственности решения). Подробнее этот вопрос будет рассматриваться в дальнейшем. [c.245]

В сформулированных выше задачах для кусочно-гладких поверхностей и для смешанных задач формально получаемые решения могут оказаться не единственными, и поэтому в их формулировку включается условие ограниченности энергии деформирования, обеспечивающее единственность решения (об этом [c.247]

Предположим, что поверхность, ограничивающая жесткое тело (или упругое тело), является кусочно-гладкой. Тогда площадка контакта может увеличиваться в размерах лишь в пределах гладкого участка вплоть до угловых линий. Следовательно, при достаточной величине сжимающего усилия площадка контакта становится известной, что и приводит к сформулированной выше смешанной задаче. Естественно, что напряжения в точках площадки контакта, располагающихся на угловых линиях могут быть неограниченными. [c.248]

Перейдем к вопросу о единственности решений и начнем с рассмотрения статических задач. Будем предполагать, что оператор Ламе от смещений является интегрируемой функцией. Тогда для этих смещений в области О, ограниченной, вообще говоря, кусочно-гладкой поверхностью 5, справедливо третье неравенство Бетти (4.26) гл. И. Пусть 1 (р) и 2(р) — два различных регулярных решения, удовлетворяющие одним и тем же краевым условиям первой, второй или сразу в общем случае смешанной задач. Тогда интеграл в правой части (4.26) гл. II для разности смещений окажется равным нулю. Поскольку же подынтегральное выражение в левой части является положительно определенной формой, то из равенства нулю интеграла будет следовать, что подынтегральное выражение есть тождественный нуль. Следовательно, напряжения будут обращаться в нуль, что приводит к смещениям тела как жесткого целого. Однако в случае первой и смешанной задач необходимо исключить это смещение, поскольку тогда нарушаются условия на той части границы, где заданы смещения. [c.251]

Перейдем к рассмотрению вопроса о единственности решения для областей, ограниченных кусочно-гладкими поверхностями. Выше предполагалось, что оператор Ламе от смещений является интегрируемой функцией и в этом случае только и доказывается теорема единственности. При формальном же математическом подходе получаемое решение может и не обладать этим свойством, что и приводит к неединственности решения. Тогда конечность энергии упругих деформаций постулируется, в результате чего решение оказывается единственным. Приведем некоторые соображения физического характера, объясняющие сказанное. [c.252]

Изложенное выше относится к реализации решения интегральных уравнений, соответствующих основным задачам теории упругости, когда граничная поверхность является достаточно гладкой. Обратимся к случаю, когда поверхность является кусочно-гладкой, т. е. состоит из совокупности разомкнутых гладких поверхностей, имеющих общие границы вдоль определенных линий, которые в свою очередь могут иметь угловые точки. Внутри каждой из таких поверхностей задано краевое условие того или иного типа, краевые же условия на угловых линиях или в угловых точках следует рассматривать как предельные со стороны той или иной поверхности. Предполагается, что в нерегулярных точках не приложены сосредоточенные воздействия ). [c.581]

Будем предполагать, что смещение и и его первые и вторые производные непрерывны вплоть до граничной поверхности, которая может быть и кусочно-гладкой. Очевидны равенства [c.623]

Коснемся вопроса о том, при каких условиях обобщенное решение оказывается решением в классическом смысле (т. е. имеет нужное количество производных, удовлетворяет дифференциальному уравнению и краевым условиям). Оказывается [69,159], что если правая часть является кусочно-непрерывной функцией, то уравнения Ламе удовлетворяются. Краевые же условия выполняются, если граничная поверхность достаточно гладкая, а правые части уравнений равновесия достаточное число раз непрерывно дифференцируемы. В общем же случае однородные краевые условия удовлетворяются в следующем смысле. Существует такая последовательность функций ы (входящих в энергетическое пространство), что выполняется равенство [c.626]

Вообще, число эле(ментов, которые могут переходить в пластические состояния, ве обязательно конечно, В балке, несущей распределенную нагрузку, момент может достигать предельного значения в любом сечении. Мысленно заменим гладкую балку стержнем с надрезами на расстоянии Д, как показано на рис. 5.8.2. В таком стержне пластические шарниры будут возникать только в надрезанных сечениях, число их всегда конечно, поэтому поверхность текучести представляет собою многогранник. По доказанному, для такой балки будет справедлив ассоциированный закон течения. Перейдем теперь к пределу при А 0 мы получим исходную балку, для которой поверхность текучести будет кусочно гладкой поверхностью, и распределение скоростей будет подчиняться ассоциированному закону. [c.169]

Так же как и в предыдуш ей задаче, примем для простоты, что в области вихревого потока вектор о> является кусочно гладкой функцией точек пространства. На поверхностях S разрыва вектора ю в соответствии с (25.19 ) примем, что нормальные составляющие (в на S непрерывны. Далее примем, что при удалении в бесконечность вектор (о обращается в нуль, причем, начиная с некоторого достаточно большого радиуса R = YV " г , выполняется неравенство [c.275]

Пусть кусочно-гладкая граница Зй области й состоит из трех поверхностей 8п, 5о, 5, т. е. 5Й = и 5о и На тело защемлено, а на 8 тело взаимодействует с жестким криволинейным штампом без трения. Поверхность 5 является системой бесконечно тонких разрезов в теле й (см. рис. 1.4.1). Одну произвольно выбранную поверхность разрезов обозначим через 5" , другую — через 8 . Поверхности 15" , считаем геометрически совпадающими с 8. [c.41]

Пусть в точках М(Х,Ц,2.) некоторой двусторонней гладкой /или кусочно-гладкой/ поверхности йО, ограниченной кусочно-гладки [c.15]

Практически это единственная модель, в которой R, описываются гладкими функциями. В динамике точки мы уже имели дело с сухим трением, при котором уравнения движения получались кусочно-гладкими. В динамике твердого тела соответственно принимается, что поверхность характеризуется коэффициентом трения скольжения k (для простоты — постоянным) так, что [c.72]

Полагаем, что задана единая точка приведения О и концы векторов г и г° переменного мотора изменяются в областях В п В° трехмерного пространства. Пусть 5 — некоторая поверхность (гладкая или кусочно-гладкая), являющаяся частью границы области В, по условию односвязной. [c.80]

Здесь под г будем понимать радиус-вектор (пространственную координату) точки изучаемой области V, ограниченной замкнутой кусочно-гладкой поверхностью S под т — временную координату изучаемого процесса. Символом / (г, т) обозначим любую действительную скалярную или векторную функцию координат г и време [c.8]

Формула Остроградского — Гаусса. Пусть l/ zR — объем, ограниченный кусочно-гладкой поверхностью S, и А= Р(л , у, г), Q(x, у. г), R(x, у, г) — дифференцируемое поле. Тогда [c.106]

Формула Остроградского—Гаусса. Пусть F с R — объем, ограниченный кусочно-гладкой поверхностью 5,иА= P x,y,z),Q (х, y,z),R (х, y,z) — дифференцируемое поле. Тогда [c.103]

Из находящегося в равновесии тела объемом V мысленно выделим произвольную область V, ограниченную кусочно-гладкой поверхностью S и не имеющую общих точек с поверхностью тела S. Под действием распределенных поверхностных р (N), N S и объемных (Л4), М V сил выделенная часть тела также находится в равновесии, т. е. главный вектор R и главный момент М этих сил должны быть равны нулю. Условия JHi = О приведут к уже установленному соотношению сгг = сг -г [11]. Проекция / на любую ось декартовой системы координат тоже должна быть равна нулю, т. е. [c.13]

Типы допустимых граничных условий также тесно связаны с доказательствами теорем существования и единственности решения [74, 200]. При доказательстве этих теорем обычно формулируется ряд предположений о свойствах гладкости границы (кусочно-гладкая поверхность). При этом четко отмечается, что граничная поверхность упругого тела есть нечто отличное от самой среды. Последнее обстоятельство, конечно, не является специфическим, относящимся только к упругости, а должно подчеркиваться во всех случаях, когда речь идет о математической формулировке соответствующей физической задачи. [c.25]

Пусть в некоторой области пространства, занимающей объем V и ограниченной кусочно-гладкой замкнутой поверхностью О, задано непрерывно дифференцируемое тензорное поле Р любого [c.23]

Для непрерывно дифференцируемого вблизи кусочно-гладкой поверхности О, опирающейся на замкнутый контур Г, тензорного поля Р (произвольного ранга) справедлива формула Стокса. [c.23]

Пусть дана некоторая кусочно-гладкая поверхность 2, фиксированная в пространстве (см. рис. 3). Для элемента [c.107]

ОБЪЕМНОЕ ТЕЧЕНИЕ- Рассмотрим установившееся объемное течение пластической среды (рис. 128). Область течения D в дальнейшем будем называть трубкой тока , а кусочно-гладкую поверхность 5, ограничивающую область D, — поверхностью трубки тока . [c.327]

Если поверхность раздела кромок стыкуемых труб любая кусочно-гладкая, то, аппроксимируя эту поверхность кусками касательных плоскостей и переходя к пределу, получим [c.215]

Введем теперь классы кусочно-гладких поверхностей. [c.25]

Будем говорить, что поверхность S сг/ " размерности является кусочно-гладкой класса (или принадлежит классу [c.25]

Гу = Эбу - кусочно-гладкая поверхность [c.131]

Прикладные способы решения задач динамической оптимизации обтекания. Пусть в текущее выражение для мощности сил сопротивления управляющие воздействия в явном виде не входят. Тогда текущее значение мощности сил сопротивления должно однозначно определяться реализовавшейся частью фазовой траектории системы. В этой ситуации задачи динамической оптимизации первого типа редуцируются к классическим вспомогательным задачам стандартно [10]. В таких задачах динамические ограничения состоят из уравнения для работы сил сопротивления и кинематических связей механической системы. Роль управлений берут па себя импульсы — производные обобщенных координат. Так построенная вспомогательная задача по форме принадлежит к числу задач классического вариационного исчисления и для ее исследования может быть применен аппарат, изложенный в подразделе 4.2. Так оно и есть в тех случаях, когда система состоит из тел с гладкой поверхностью. Если в ее состав входят тела с кусочно-гладкой поверхностью (например, цилиндрические тела), то в пространстве обобщенных координат и скоростей исходной задачи появляются многообразия, на которых проекция этих тел на плоскость, перпендикулярную вектору скорости их центра масс, а следовательно, и гамильтониан теряет свойство дифференцируемости. Оптимальные управляющие силы и моменты находятся из уравнений динамики рассматриваемых систем. [c.41]

Поток вектора черта поверхность. Пусть 5 - двухсторонняя кусочно-гладкая поверхность. [c.89]

У рассматриваемой нами системы всякая фазовая точка может находиться вне выделенных нами окрестностей не дольше некоторого конечного времени т. Поэтому фазовые траектории, лежащие вне выделенных малых окрестностей, порождают на их граничных поверхностях некоторые точечные отображения. При этом каждая поверхность а,, oj-, или oi2 отображается в какие-то другие поверхности о], ш/, (0/1 или (0/2. Отображение, преобразующее, например, точки поверхности о/ в сод, будем обозначать через Т(а/- (О д). Таких различных отображений будет конечное число, причем каждое из этих отображений кусочно-гладкое. Это последнее утверждение следует из существования верхней границы т длительности движения фазовой точки от одной поверхности до другой и из компактности гладких кусков поверхностей без контакта, ограничивающих выделенные нами окрестности состояний равновесия и периодических движений. [c.276]

Андрианов Н, Ф., Перлин П. И. Решение второй основной про-странстненнон задачи для тел, ограниченных кусочно-гладкими поверхностями. — В кн. Прикладные пробле.мы прочности и пластичности. Bi.ui. 4. — Горький Изд. ГГУ, 1976. [c.678]

Следует отметить, что конец магистральной трещины в реальных металлических материалах только схематически и очень условно можно аппроксимировать гладкой или кусочно-гладкой линией, следующей из упругого или упругонластического решения. Степень соответствия результатов решения, полученных из континуальных теорий, с реальной ситуацией, зависит от степени локальности рассмотрения объекта. Углубление в детали строения поверхности трещины и ее конца неизбежно приведет к отказу от результатов решения континуальных теорий. Для этого достаточно взглянуть на ряд фотографий трещин, обнаруживаемых в элементах различных конструкций и возникших по разным причинам в эксплуатационных условиях (например, рис. 25.10, 25.11). Однако это не означает, что решение континуальных теорий неверны. Нет, они верны, но для своего масштаба, для соответствующей степени локальности рассмотрения объекта. Например, если принимать во внимание структуру материала, то область справедливости континуальных теорий может быть отражена с помощью диаграммы структурной неоднородности Я. Б. Фридмана [290]. [c.216]

Пусть на двустороннюю гладкую или кусотоо-гладкую поверхность, ограниченную кусочно-гладким контуром, действует жидкость. [c.25]

Поверхностная б-функцжя. Пусть S — кусочно гладкая поверхность и р — непрерывная ф-ция на iS. О, ф. рбд определяется равенством [c.376]

Связная область V в трехмерном евклидовом пространстве называется поверхностно-односвязной, если, каков бы ни был простой замкнутый кусочно-гладкий контур I в области V, существует кусочно-гладкая самонепересекающаяся поверхность S, ограниченная контуром I и целиком лежащая в V, в противном случае V называется поверхностно-неодносвязной или поверхностномногосвязной. Пример поверхностно-многосвязной области — тор. [c.216]

Содержание данного параграфа является, по существу, деталь -ной расшифровкой общих положений, изложенных в ГЗ. В качестве объекта исследования выбрана тонкая упругая пластинка,. Предпола -гается, что односвязная область 6, занимаемая ее срединной поверхностью, ограничена, выпуклым кусочно-гладким контуром. Ъ рамках классической модели Кирхгофа операторы в уравнении (ГЗ.Г) имеют вид [c.79]

Развитие кусочно-линейного подхода в теории пластичности потребовало распространения закона течения на сингулярные, т. е. кусочно-гладкие, поверхности текучести. Это сделано в работе В. Койтера Оказалось, что представления об угловых точках на поверхности текучести могут быть получены на основе некоторой Модели скольжения кристалла (Б. Будянский и С. Батдорф, А. К. Малмейстер). [c.265]

Решение краевой задачи (1.57)-(1.59), (1.68) не зависит от геометрии поверхности Гг, элементарного макрообъема v, поэтому можно исследовать любое тело с кусочно-гладкой поверхностью, находящееся в условиях макроскопически однородного деформационного, электрического и теплового нагружения. [c.23]

Прежде всего отметим, что в отличие от плоского случая эта задача неопределенна. Действительно, пусть Го — плоскость г = О, тогда естественным решением задачи будет плоскость Г г = Н и поступательное движение жидкости в слое между Го и Г с потенциалом Ф = УхХ. Но это решение неединственно. Об одном типе нарушения единственности мы уже говорили выше в примере с тонким ножом, плоскость лезвия которого идет по направлению поступательного потока такой нож ничего не меняет в потоке, поэтому наряду с плоскостью решением поставленной задачи будут и кусочно гладкие поверхности, составленные из плоскости г — Н и, например, кусков плоскостей, параллельных оси л (очевидно, что такие куски не меняют и средней глубины водоема). [c.229]

Поверхность текучести (1.1) в пространстве компонент напряжений может быть гладкой (имеющей единственную нормаль в каждой точке) и кусочно гладкой, имеющей ребра или угловые точки, в которых нормаль определяется неединственным образом. Кусочно-гладкие поверхности текучести математически описываются определенным числом гладких функций текучести [c.24]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...