Метод двух упругих решений

Известны различные модификации метода упругих решений. Остановимся на двух из них методе упругих решений в форме дополнительных нагрузок и методе упругих решений в форме переменных параметров упругости. [c.310]

Под элементами балочного тина понимаются тела, у которых один из размеров (длина) много больше двух других. Выше ( 3) уже отмечалось, что для расчета таких элементов в настоящее время применяются, главным образом, методы сопротивления материалов. Однако это не исключает необходимости разработки способов расчета их методами теории упругости, что, с одной стороны, позволит уточнить пределы применимости элементарных решений, а с другой — дает возможность рассматривать конструкции, для расчета которых элементарные методы не применимы (например, балки-стенки). [c.48]

Рисунки 4.23, 4.24 демонстрируют практическую сходимость метода упругих решений. За искомое решение принято 12-е приближение, которое отличается от предыдущих двух менее чем на 1 % — как для прогибов w, так и для сдвигов ф. Номер кривых на иллюстрациях соответствует номеру п итерации, п = О — упругому решению. [c.174]

В другой работе Я. С. Уфлянда [257] рассматривается задача о кручении упругого слоя двумя соосными штампами различных радиусов. Методом парных уравнений решение этой задачи сводится к системе из двух интегральных уравнений Фредгольма второго рода, ядра которых снова выражаются через логарифмическую производную гамма-функции. [c.250]

Итак, определение критических нагрузок статическим методом состоит из двух этапов решения задачи нелинейной статики (1.2) (находим состояние перед варьированием) и выявление по нетривиальной разрешимости однородной задачи (1.4). Для реализации такого подхода необходима полная нелинейная статическая теория и соответствующие ей уравнения в вариациях. Выше необходимый аппарат представлен для двух моделей упругих тел трехмерной безмоментной (гл. 3) и одномерной стержневой (гл. 8). Наиболее важны задачи устойчивости стержней — и они наименее трудоемки. [c.255]

Таким образом, задача о сложном нагружении по теории (течения сводится к последовательному решению задач упругости с некоторыми фиктивными внешними силами, и поэтому данный етод является методом упругих решений в теории течения. Как обычно, вычисления проводятся до тех пор, пока разность внутренних полей для двух последовательных упругих задач не будет достаточно малой. [c.79]

Наиболее обширным и практически важным классом задач теории упругости является так называемая плоская задача, в ко торой все напряжения, деформации и перемещения зависят только от двух координат, например Хи Х2. Эти задачи сводятся, по существу, к идентичной математической задаче, что позволяет использовать при их решении одинаковые математические методы. К плоским задачам сводятся расчеты на прочность и жесткость таких конструктивных элементов, как тонкие пластины и оболочки, вытянутые тела, подвергающиеся действию поперечной нагрузки, которая не изменяется по их длине, и т. д. [c.130]

Помимо двух основных рассмотренных методов решения задач теории упругости в напряжениях и в перемещениях часто используется смешанная форма решения, когда разрешающие уравнения составляются частично относительно перемещений, а частично относительно напряжений. Такой прием рассмотрим ниже в задаче расчета оболочек (см. гл. 7). [c.46]

Решение такой нелинейной задачи строится по методу последовательных приближений. В начальном приближении принимаются равными Е, л и из решения задачи линейной теории упругости находятся е ° у%,. . е, . Из зависимости Ф (е ) находится величина а затем < >, G . Далее решается задача линейной неоднородной теории упругости. По найденным из нее компонентам деформированного состояния определяются ei, ali Е ( Как и в рассмотренном примере для одноосного напряженного состояния, процесс последовательных приближений продолжается до тех пор, пока значения компонент тензоров напряжений или деформаций в двух соседних приближениях не будут отличаться друг от друга на величину, меньшую величины допустимой погрешности. [c.316]

Точная теория изгиба пластинок, исходящая из основных уравнений теории упругости, весьма сложна. Ее методами пока решены только некоторые простейшие задачи. В связи с этим возникла необходимость в приближенной теории расчета пластинок, которая, основываясь на ряде допущений, давала бы близкие к точным, но более простые решения важнейших практических задач. Такая теория создана работами многих ученых в первой половине XIX в. Приближенная теория изгиба пластинок, которая называется технической теорией пластинок, базируется на следующих двух основных гипотезах (гипотезах Кирхгофа) [c.498]

Метод этот при большом числе участков балки приводит к решению системы уравнений с большим числом неизвестных постоянных. Эти постоянные определяются из условий равенства прогибов и углов поворота на границах соседних участков и из условий поведения балки на опорах. Однако, соблюдая некоторые условия и приемы составления и интегрирования уравнений изгибающих моментов по участкам, можно всегда сократить число неизвестных до двух. Это сильно упрощает задачу нахождения упругой линии балки, имеющей несколько участков. [c.251]

Из методических соображений, прежде чем перейти к исследованию устойчивости цилиндрической оболочки, детально рассмотрена родственная задача устойчивости упругого кругового кольца. Затем дан вывод основного линеаризованного уравнения круговой цилиндрической оболочки, находящейся в неоднородном безмоментном докритическом состоянии, и получено выражение для подсчета изменения полной потенциальной энергии такой оболочки. Приведены решения только двух задач устойчивости оболочки при равномерном внешнем давлении и равномерном осевом сжатии. Многочисленные решения других задач устойчивости оболочек получены приближенными методами [7,9, 19,22,27]. [c.220]

Другим способом, позволяющим увеличивать поперечные деформации, является замораживание моделей, которое проводится также, как при решении задач на объемных моделях (разд. 7.2). В различных точках образца измеряют толщину до нагружения образца и после замораживания в нем деформаций. Можно также сначала провести измерения на замороженном образце, а затем на отожженном ( размороженном ) со снятыми деформациями. Разность двух измерений позволяет найти значения e . определяющие (oj -(- Оа)- Так как для пластмасс, обычно применяемых для изготовления моделей, величина модуля упругости при температуре замораживания составляет около 200 fre/см , получаемые значения изменения толщины достаточно велики, чтобы их можно было измерить точно. Результаты применения этого метода [c.220]

Основываясь на этом положении, был разработан численный метод определения параметров пружины с наименьшими габаритными размерами, обеспечивающими замыкание высшей пары во всех положениях механизма при любом законе изменения отрывающей силы. Решение изложенным методом начинается с проверки пружин, рассчитанных на основании формул (1) и (2) с целью выяснить, есть ли пружина, обеспечивающая замыкание во всех положениях. Параметры пружины, обеспечивающей надежный контакт, и принимаются за искомые величины. Если ни одна из пружин не может обеспечить контакт во всех положениях, то характеристикой пружины принимается в графической интерпретации задачи касательная в двух точках к кривой, изображающей отрывающую силу в функции положения. Основным в этом численном методе и является определение такой прямой. В алгоритме проектирования механизма с коромыслом параметры пружины определяются на основании углов поворота коромысла и отрывающего момента. Минимальный запас момента от сил упругости пружины над отрывающим моментом принимался равным 30%. [c.240]

Формула Рэлея. Как уже указывалось, задавая определенную форму колебаний системы с распределенными массой и упругостью, мы приписываем ей тем самым одну степень свободы. Для определения собственной частоты колебаний такой схематизированной системы также весьма удобен энергетический способ (называемый в этом случае методом Рэлея). Разумеется, что при этом результаты будут зависеть от выбора формы колебаний, и решение уже не будет обладать той однозначностью, как это имело место в двух предыдущих примерах. [c.32]

Чем отличается распределение Сх по высоте балки, лежащей па двух опорах и нагруженной распределенной по ее длине нагрузкой, полученное методами теории упругости, от элементарнога решения, полученного методами сопротивления материалов [c.87]

Значения Гт и й, определяемые выражениями (2.13) и (2.16), являются приближенными, заниженными, что следует из более точного решения на основе модели В. В. Панасюка —Д. Даг-дейла, представленной на рис. 2.4. При напряжениях а в вершине трещины протяженностью 2/ образуются участки длиной Гт пластической деформации, в пределах которых местные напряжения будут а=стт- Упругопластическое решение задачи для рассматриваемой пластины получается на основе решения двух упругих задач для двух пластин с длиной трещины 2/т. Упругие решения методом функции комплексного переменного для первой пластины с трещиной 2/т, равномерно растянутой напряжениями сг, и для второй пластины с трещиной протяженностью 2/т, нагруженной на участках Гт напряжениями сгт, при наложении позволяют получить более точное значение для г [c.31]

Расчет слоистых пластин на основе уравнений трехмерной теории упругости связан с большими математическими трудностями, и число, работ, выполненных в этом направлении, сравнительно невелико. Среди,ранних работ такого рода следует отметить статью Шайла [126], который рассмотрел статическое нагружение круглой пластины из двух изотропных слоев. Он использовал метод двух функций напряжений и предполагал, что распределение модуля упругости и коэффициента Пуассона по толщине описывается произвольными (в том числе и разрывными) Фзшкциями нормальной координаты. Впоследствии Шайл [127] предложил другой метод решения этой задачи, основанный на [c.195]

Рассмотренный метод был применен в [15] к элементарной задаче расчета напряженного состояния моноволокна, заключенного в полимерную матрицу. На рис. 5.5 для гипотетической ситуации (температура, соответствующая отсутстви ю напрял<ений, равна 200 °С и 7 g = 50° — ниже, чем у типичных смол) показаны приведенные радиальные напряжения на поверхности раздела волокно — матрица, образовавшиеся в процессе охлаждения с постоянной скоростью (по абсциссе отложено безразмерное время). Сплошные линии для двух разных конечных температур Тр получены интегрированием уравнения (5.25). На этом же рисунке показаны напряжения, развивающиеся после охлал<дения ниже Tg. Скачок напряжений в этом диапазоне температур получен при подстановке начального модуля смолы, находящейся в стеклообразном состоянии, в упругое решение. Когда Tpостаточных напряжений должно пройти много времени. [c.193]

Метод осреднения применяется к решению квазистатически Е задач линейной теории вязкоупругости для композитов. Особое внимание уделяется теории нулевого приближения. Для слоистых-вязкоупругих композитов тензоры эффективных ядер релаксации и ползучести находятся в явном виде. Выясняются особенности строения этих тензоров в случае структурной анизотропии. Вводится понятие канонических вязкоупругих операторов и описывается схема экспериментального определения их ядер. Дается описание метода численной реализации упругого решения и на" двух конкретных задачах показывается его применение. Даются постановки связанной задачи термовязкоупругости для физичес- ки линейных композитов и квазилинейной теории вязкоупругости, для композитов. [c.268]

Вопросы, связанные с исследованием нестационарных процессов деформирования неоднородных конструкций, материалы которых проявляют реологические свойства, пока мало изучены. Здесь можно отметить несколько работ, посвященных решению некоторых частных задач. Гровер и Капур (A.S. Grover, A.D. Kapur) [388, 389] исследовали нестационарный отклик трехслойной прямоугольной пластины, подверженной воздействию импульсной нагрузки в форме полуволны синуса. Свойства вязкоупругого заполнителя учтены посредством использования механической модели, состоящей из двух упругих и двух вязких элементов. Авторами статьи [469] рассмотрено динамическое поведение симметричной трехслойной оболочки, состоящей из композитных несущих слоев и вязкоупругого заполнителя. Предусмотрена возможность воздействия на оболочку случайного равномерного давления или случайной сосредоточенной нагрузки. Решение получено методом Бубнова-Галеркина. [c.17]

Н. Kamegaya и К. Funatsu [40] для исследования соударения двух упругих тел использовали вариационную постановку задачи в сочетании с методами конечных элементов и штрафных функций. Программные средства для решения задач об ударе предложены R. Asada [ЗГ. [c.391]

Методика численного решения. Рассмотрим методику итерационного численного решения системы уравнений (21), (23) и (31). Каждая итерация состоит из решения уравнения (21) для некоторого размера концевой области трещины с проверкой условий (23) и (31). При выполнении последних двух условий получаем размер концевой области трещины и величину критической внешней нагрузки в состоянии предельного равновесия. При увеличении длины трещины итерационный процесс повторяется. Основным этапом численной схемы является решение уравнения (21), которое также выполняется по итерационной схеме, подобной методу упругих решений, если закон деформирования связей является нелинейным. Уравнения (21) представляют собой систему нелинейных сингулярных интегро-дифференциальных уравнений с ядрами типа Коши. Для их решения используем коллокационную схему с кусочно-квадратичной аппроксимацией неизвестных функций. [c.230]

В случаях а), б) я в) замкнутое решение достигается также при бо- лее общем предположении, когда упругие постоянные верхней и нижней полуплоскости различпы (Г. П. Черепанов, [264]). Аналогичным методом получается замкнутое решение задач а), б) и в) для двух различных анизотропных полуплоскостей, сцепленных вдоль некоторых участков общей границы. [c.266]

Для решения динамических контактных задач с односторонними, ограничениями для упругих тел с трещинами нами разработан специальный алгоритм типа Удзавы. Этот алгоритм состоит из двух частей решения соответствующих задач без односторонних ограничений и проектирование полученного решения на подпространство, в котором эти ограничения выполняются автоматически. Первая часть алгоритма, т. е. решение задачи без ограничений, включает в себя выполнение прямого и обратного преобразований Лапласа, или, в случае гармонического нагружения, вычисление коэффициентов Фурье и суммирование рядов Фурье, а также решение граничных интегральных уравнений в пространстве преобразований Лапласа или коэффициентов Фурье. Из-за сложности рассматриваемых здесь контактных, задач (эти задачи нелинейны) аналитически выполнить прямое и обратное преобразования Лапласа или вычислить коэффициенты Фурье не представляется возможным. Поэтому для этой цели применялись численные методы. Вопросы, возникающие при этом, обсуждаются в шестой главе. [c.130]

Полученные выше точные решения позволяют в большом числе случаев подтвердить тот факт, что приближённое определение несущей способности вариационным методом даёт весьма близкие к истинным значения предельных нагрузок, особенно в тех случаях, когда в качестве формы изгиба берётся прогиб да (х, у), определяемый упругим решением соответствующей задачи. Определение же несущей способности по приближённому методу сводится всего лишь в вычислению по заданному ш(х, у) квадратичной формы и вычислению двух квадратур, входящих в формулу (4.232). Необходимо отметить, что граничные условия закрепления пластинок имеют весьмц существенное влияние на величину предельной нагрузки, [c.245]

Мы видим, что линейное дифференциальное уравнение второго порядка (8.1) и нелинейные уравнения первого порядка (10.4) и (10.7) эквивалентны зная решение одного из них, можно построить решения двух других. В ряде задач именно уравнение Риккати оказьшается наиболее удобным средством построения приближенных аналитических и численных решений. В качестве примеров использования последнего в численных расчетах звуковых полей в жидкости можно указать работы [362, 446]. Матричный аналог уравнения (10.8) применяется при расчетах полей упругих волн в твердых телах с кусочно-непрерывной стратификацией параметров [154, 249]. Далеко идущим обобщением изложенного выше перехода от (8.1) к уравнению Риккати является метод погружения, сводящий решение краевых задай для волнавого уравнения к интегрированию нелинейных дифференциальных уравнений первого порядка. Особенно эффективным этот метод оказался при исследовании статистических задач [133, 142]. 200 [c.200]

Способ 1. Он основан на использовании нелинейной упругости с характеристиЕ ой, представленной на рис. 2.24, а. Здесь х — перемещение двух тел друг относительно друга, С — коэффициент жесткости взаимосвязи между ними. Параметрами такой модели будут l — коэффициент жесткости взаимосвязи до достижения ограничения Х[ — перемещение, при котором наступает контакт в упоре Сг — коэффициент жесткости при полном контакте, который наступает при перемещении Xi. Допустимо х —х% но это условие может привести к плохой сходимости решения системы нелинейных уравнений при применении неявных методов интегрирования (см. книгу 5). [c.103]

Мы рассмотрим здесь ангармонические эффекты третьего порядка, происходящие от кубических по деформации членов в упругой энергии. В общем виде соответствующие уравнения движения оказываются очень громоздкими. Выяснить же характер возникающих эффектов можно с помощью следующих рассуждений. Кубические члены в упругой энергии дают квадратичные члены в тензоре напряжений, а потому и в уравнениях движения. Представим себе, что в этих уравнениях все линейные члены перенесены в левые, а все квадратичные — в правые стороны равенств. Решая эти уравнения методом последовательных приближений, мы должны в первом приближении вовсе отбросить квадратичные члены. Тогда останутся обычные линейные уравнения, решение Uo которых может быть представлено в виде наложения монохроматических бегущих воли вида onst-е определенными соотношениями между (О и к. Переходя к следующему, вгорому, приближению, надо положить и = и,, + Uj, причем в правой стороне уравнений (в квадратичных членах) надо сохранить только члены с Uq. Поскольку Uq удовлетворяет, по определению, однородным линейным уравнениям без правых частей, то в левой стороне равенств члены с Uq взаимно сокращаются. В результате мы получим для компонент вектора Uj систему неоднородных линейных уравнений, в правой части которых стоят заданные функции координат и времени. Эти функции, получающиеся подстановкой Uq в правые стороны исходных уравнений, представляют собой сумму членов, каждый из которых пропорционален множителю вида [(к,-к,) г-(й)1-(о,)/] или где tt i, (02 и к , — частоты и волновые векторы каких-либо двух монохроматических волн первого приближения. [c.145]

Вариационная формулировка задачи теории упругости используется главным образом в двух с.пучаях. В первом на основе уравнения бЭ = О строятся численные методы решения этой задачи (метод Ритца, метод конечных элементов и т. п.). Все эти методы относят к классу прямых методов решения задач теории упругости, не требующих в явной форме использования дифференциальных уравнений. [c.57]

К решению динамических задач теории упругости метод Винера— Хопфа (см. I гл. I, и. 4) впервые был применен при исследовании стационарной задачи дифракции на полубесконеч-ном разрезе со свободными краями, а также при изучении напряженного состояния, возникающего при мгновенном образовании полубескоиечной трещины. В этих задачах имеют место смешанные граничные условия, заданные на двух полубесконечных интервалах, при одном граничном условии, сквозном по всему бесконечному интервалу. Ниже на примере решения плоской задачи о вдавливании гладкого штампа [59] проиллюстрируем применение этого метода в динамической теории упругости. Для простоты ограничимся случаем полубесконечного штампа. [c.483]

Копейкин Ю. Д. Прямое решение двух- и трехмерных задач теории упругости и пластичности методом потенциала. — Численные методы механики енлошион среды, 1974, 5, № 2. [c.679]

Для тел более общей формы описанная здесь в общих чертах процедура решения приводит к зависимостям между разностью перемещений и на двух концах каждой нормальной линии и разностью перемещений v на двух концах каждого волокна. В рассмотренном выше простом примере необходимо было найти значения двух разностей, и это можно было сделать с помощью простых алгебраических действий. Некоторые нетривиальные задачи, в которых разности перемещений нельзя -определить чисто алгебраическим путем, решены Ингландом [7]. Существование решений для тел достаточно произвольной формы было доказано в работе Пипкина и Санчеса [25] при помощи метода, который одновременно может быть использован для построения приближенных решений. Это частично подтверждает высказанное выше предположение о том, что краевые условия корректно поставленной задачи теории упругости приводят также к корректно поставленным задачам теории идеальных композитов. [c.297]

Волновая теория удара начала развиваться благодаря работам Бусинеску и Сен-Венана. Ими впервые была рассмотрена теоретическая задача о поперечном ударе двух твердых тел в предположении, что, полный период удара определяется временем, необходимым для прохождения через тело и обратного возвращения волны упругого сжатия. В предположении, что после удара груз движется вместе с балкой, с помощью метода Фурье было найдено решение в форме разложения динамического прогиба балки в ряд по фундаментальным функциям. Допущение, принятое в работе о совместном движении груза и балки после удара, не соответствует истине, так как скорость балки с момента соударения и до получения балкой наибольшего прогиба монотонно убывает до нуля, а скорость груза после удара монотонно возрастает. Кроме того, теория Сен-Венана и Бусинеску не учитывает местных пластических эффектов. [c.8]

Решение системы (L 111) можно вести непосреДствейно илй по методу Хевисайда [11 ]. Напишем эти решения для двух наиболее часто встречаюш,ихся случаев заделки балки. Будем считать, что на левом конце балка или шарнирно оперта или заш,емлена, а правый конец имеет нелинейную упругую опору того или другого вида. Напишем решения, удовлетворяюш,ие лишь граничным условиям на левом конце балки. Видно, что они будут содержать четыре произвольных постоянных, которые в дальнейшем будем определять, учитывая нелинейные граничные условия правого конца балки (снова делаем предположение, что и при нелинейных условиях следует поступать как в случае однородных граничных условий). Если левая опора балки является шарнирной, то граничные условия будут [c.48]

На фиг. 10.5 показано распределение напряжений в поперечном сечении, проходящем через вершину выточки. Там же приведены результаты теоретического решения для двух значений коэффициента Пуассона. Расхождение можно, по-видимому, объяснить тем, что срез имел толш,ипу около 3,9 мм. Величина и направление главных напряжений меняются в срезе таким образом, что среднее касательное напряжение оказывается меньше, чем в центральной плоскости. На этом же графике иллюстрируется еш,е одно обстоятельство, о котором некоторые специалисты по поляризационно-оптическому методу часто забывают, а именно возможность сильной зависимости напряжений в пространственных задачах от упругих констант. [c.281]

Задача о напряженном и деформированном состоянии зуба и впадин резьбы от нагрузки, приложенной к грани зуба, решена методом Н.И. Мус-хелишвили [34]. Известно, что решение задачи теории упругости для односвязной бесконечной области при заданных на границе напряжениях Х и У сводится к нахождению двух аналитических функций ifiii O и в единичном круге, удовлетворяющих на контуре граничному условию [c.160]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...