Приближенные методы решения задач теории упругости

В учебнике излагаются теория напряжений в деформаций, основные соотношения, принципы и теоремы теории упругости, постановка и методы решения задач теории упругости, плоская задача теории упругости в декартовых и полярных координатах, теория изгиба и устойчивости тонких пластин (прямоугольных и круглых в плане), приближенные методы решения задач теории упругости (вариационные методы, метод сеток, метод конечных элементов), основы теории тонких упругих (безмоментных и пологих) оболочек, основы теории пластичности. Большое внимание уделено приложениям, ра-вобрано большое количество задач. В конце каждой главы приведены вопросы для самопроверки в задачи для тренировки, к части из которых даны решения. [c.2]

Используя принцип виртуальной работы, можно предложить приближенный метод решения задач теории упругости 15). Излагаемый ниже подход будет называться обобщенным методом Галеркина ). На первом этапе применения этого метода принимаются следующие приближенные выражения для компонент перемещения )i [c.31]

Заканчивая рассмотрение вопроса аналогий, кратко обсудим другой приближенный метод решения задач теории упругости. Э от метод основан на замене дифференциальных уравнений этих задач уравнениями в конечных разностях и решении этих уравнений численно методом последовательных приближений. Впервые этот метод был использован К. Рунге ), который таким образом решил сложную задачу кручения. В дальнейшем больших успехов достиг Л. Ричардсон, применивший этот метод к решению двумерных задач теории упругости и рассмотревший в качестве примера напряжения в дамбах от действия сил тяжести и давления воды ). В по- [c.670]

Возможна иная формулировка метода конечных элементов, следующая из представления о том, что для любого точного или приближенного метода решения задачи теории упругости должны быть удовлетворены уравнения равновесия и условия совместности. В изложенном выше методе перемещений распределение перемещений предполагается таким, что совместность их обеспечивается, поэтому при приближенном решении уравнения равновесия удовлетворяются неточно. [c.140]

Некоторые приближенные методы решения задач теории упругости, основывающиеся на начале возможных перемещений [c.138]

В такой форме рассматриваемый приближенный метод решения задач теории упругости и строительной механики был предложен И. Г. Бубновым [2], который, однако, не связывал его с началом возможных перемещений. Последнее было сделано несколько позднее Б. Г. Галеркиным [3]. Уравнения (13.9) и (13.10) являются обобщением этого метода на тот случай, когда подчинение Ид, г о. о, и. , т то условиям (13.12) И (13.14) не приводит к уничтожению в выражениях (13.9) интегралов, распространенных по поверхности тела, и, следовательно, оказывается бесполезным. [c.142]

При подготовке этой книги ставилась цель дать инженерам в доступной форме необходимые основные сведения по теории упругости. Кроме того, имелось в виду дать сводку решений частных задач, представляющих практический интерес, и описать приближенные и экспериментальные методы решения задач теории упругости. [c.16]

Изложенное выше послужило основанием к тому, что в последние годы в практике научных исследований и инженерных расчетов в области прочности все чаще прибегают к использованию приближенных численных методов решения задач теории упругости н пластичности. [c.16]

При составлении этой книги имелось в виду изложить в простой форме необходимые для инженеров основные знания по теории упругости. Кроме того, предполагалось привести в этой книге решения тех специальных задач, которые могут иметь практическое значение, и описать приближенные способы и опытные методы решения задач теории упругости. [c.4]

В развитии теории устойчивости пластин значительным этапом явились работы С. П. Тимошенко [30] — [32]. Применение энергетического критерия устойчивости позволило успешно рассмотреть ряд задач, непосредственно относящихся к устойчивости стенок в металлических конструкциях. Некоторые задачи, возникшие из практики судостроения, рассмотрены в работах И. Г. Бубнова [7]. Им был предложен [8] весьма общий приближенный метод решения задач устойчивости упругих систем. Независимо от И. Г. Бубнова, несколько позже, аналогичный метод был предложен и применен к решению ряда задач устойчивости стержней и пластин Б. Г. Галеркиным [10]. [c.964]

Во всех предыдущих вариантах метода конечных элементов предполагалось, что приближенное решение принадлежит некоторому подпространству исходного функционального пространства например, при построении конечных элементов Лагранжа для решения задач теории упругости требовалось, чтобы объединения Я-интерполяций были непрерывны при переходе через границы конечных элементов. [c.208]

Пе всегда удается получить точное решение задачи теории упругости, даже если это возможно — не всегда имеет смысл им пользоваться. Часто оказывается, что та точность, с которой известны граничные условия задачи, делает практически бессмысленным стремление к большой точности самого решения. Поэтому наряду с точными методами математической теории упругости развиваются упрощенные приближенные теории, подобные, например, технической теории изгиба, рассмотренной нами ранее. Вариационные принципы теории упругости позволяют указать путь для построения таких приближенных теорий рациональным образом. [c.266]

Заметим, что вариационные принципы наследственной теории упругости допускают и иную трактовку. Вследствие принципа Вольтерра можно применять любой метод для решения задачи обычной теории упругости, и лишь в окончательном результате упругие константы следует заменить операторами. Отсюда следует, в частности, что для нахождения точного или приближенного решения задачи теории упругости может быть применен любой из известных вариационных методов, если в результате решения в окончательном результате появится некоторая комбинация упругих констант, ее можно заменить такой же комбинацией из операторов и расшифровать по известным правилам. [c.606]

ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ПРИКЛАДНОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ [c.189]

Большой интерес к вариационным формулировкам задач деформирования многослойных оболочечных конструкций объясняется в первую очередь тем, что на основе исходных гипотез, применяя формальные математические приемы, можно избежать трудоемкого этапа составления уравнений равновесия статическим методом и приближенно свести трехмерную задачу теории упругости к одномерной или двумерной задаче. При этом соответствующие разрешающие уравнения и граничные условия строго соответствуют исходным допущениям и определяются единственным образом. Кроме того, вариационные формулировки являются основой для эффективных приближенных методов расчета, которые позволяют получить на выбранном классе аппроксимирующих функций наилучшие в энергетическом смысле приближенные решения. [c.71]

В силу больших математических трудностей получение точных аналитических решений многих задач теории упругости в форме, доступной для практических целей, затруднительно или невозможно. В этом случае можно использовать вариационные методы, которые позволяют получать приближенные решения задач теории упругости в аналитической форме. При этом приближенно удовлетворяются дифференциальные уравнения или граничные условия, а в отдельных случаях—и те и другие. В основе вариационных методов лежат вариационные принципы, например, принцип возможных перемещений Лагранжа. [c.449]

Идея линеаризации уравнений теории пластичности принадлежит А.А.Ильюшину, который предложил метод решения задач теории малых упругопластических деформаций - метод упругих решений [37]. Метод заключается в том, что пластическое тело заменяется упругим, имеющим такие же, как и пластическое, перемещения и деформации. Такая замена возможна при условии, что в теле возникают дополнительные напряжения, приводящие к дополнительным объемным и поверхностным силам. Эти первоначально неизвестные силы определяются путем последовательных приближений. [c.231]

В-четвертых, когда точное решение задачи теории упругости не может быть найдено, вариационный метод зачастую обеспечивает формулировку для приближенного решения задачи, которая дает приближенное решение с заданной степенью точности. Здесь вариационный метод обеспечивает не только приближенное решение определяющих уравнений, но и условия приближенного выполнения граничных условий. Поскольку точное решение задачи теории упругости возможно лишь в очень редких случаях, то для практических целей следует удовлетвориться приближенными решениями. Теории балок, пластин, оболочек и многокомпонентных конструкций являются типичными примерами приближенных формулировок, демонстрирующими мощь принципа виртуальной работы и связанных с ним вариационных методов. [c.20]

Применение аналитических методов решения в деталях сложной формы становится затруднительным, и на первый план выступают различные варианты приближенного и численного решений задач теории упругости для расчета коэффициента К (см., например [199, 233]). [c.108]

Применение сформулированного метода упругих решений позволяет последовательно на каждом шаге приближения рассматриваемую задачу (4.126), (4.127) об изгибе упругопластического трехслойного стержня сводить к линейной задаче теории упругости с дополнительными внешними нагрузками (4.128). Первым приближением будет служить полученное ранее аналитическое решение задачи теории упругости (4.96). [c.227]

Определение тепловых перемещений и напряжений в теле путем непосредственного интегрирования соответствующих дифференциальных уравнений и удовлетворения неоднородных граничных условий, вообще говоря, является сложной задачей. Поэтому большой интерес представляют вариационные принципы термоупругости, рассматриваемые в 2.4, с помощью которых могут быть разработаны приближенные методы решения задач термоупругости, аналогичные известным вариационным методам изотермической теории упругости [23] [c.37]

Определение тепловых напряжений и перемещений в теле непосредственным интегрированием соответствующих дифференциальных уравнений при произвольных граничных условиях является сложной задачей. Поэтому большой интерес представляют вариационные принципы термоупругости ( 2.4), с помощью которых могут быть разработаны приближенные методы решения задач термоупругости, аналогичные известным вариационным методам решения задач изотермической теории упругости [34] методы, основанные на обобщенном на случай задачи термоупругости вариационном уравнении Лагранжа и выражениях, аппроксимирующих возможные перемещения, и методы, основанные на обобщенном на случай задачи термоупругости принципе минимума энергии деформации и выражениях, аппроксимирующих возможные напряжения. [c.38]

В соответствии с приближенным методом, указанным в 89, в качестве первого приближения удобно взять решение задачи теории упругости для внешности периодической системы разрезов. Решение этой последней задачи в работе Г. И. Баренблатта и Г. П. Черепанова [1] получено двумя методами предельным переходом при и оо из решения задачи о плоскости с одинаковыми и одинаково загруженными п разрезами, которое получается методом, изложенным в 120, и непосредственно, путем [c.623]

При решении упругопластических задач в качестве нулевого приближения используется решение задач в упругой области, поэтому в данном параграфе приводятся основные уравнения линейной теории упругости и методы их решения. [c.73]

Прямой метод, заключающийся в непосредственном интегрировании уравнений теории упругости совместно с заданными граничными условиями на поверхности. Приведенные в работах [6, 65, 145, 153—157] точные решения исходных уравнений линей ной теории упругости из-за больших математических трудностей получены для ограниченного класса задач. Поэтому при решении задач теории упругости приходится использовать приближенные решения. [c.79]

Различие методов решения задач с дополнительными нагрузками и дополнительными деформациями показано на рис. 45 [9, 11]. Получив в результате решения задачи теории упругости точку В, дальнейшее движение по методу дополнительных нагрузок осуществляем в направлении /, в то время как по методу дополнительных деформаций — в направлении 2. Критерием сходимости указанных методов, безусловно, служит близость напряжений в предыдущем и последующем приближениях. [c.146]

Общие методы решения задач теории пластичности. Для решения нелинейных уравнений теории упруго-пластических деформаций применяют различные варианты метода последовательных приближений. Решение задач теории пластичности сводится при этом к решению последовательности линейных задач, каждая из которых может быть интерпретирована как некоторая задача теории упругости. [c.74]

Используя принцип дополнительной виртуальной работы, можно предложить приближенный метод решения задач теории упругости. Такой подход аналогичен сформулированному в 1.5 и может быть назван обобщенным методом Галеркииа. Для простоты будем рассматривать двумерную задачу теории упругости для односвязного тела ). Боковая поверхность тела цилиндрическая, причем образующая цилиндра параллельна оси z, а деформация тела считается не зависящей от координаты г. Также предполагается, что компоненты напряжений т , т уг равны нулю. Остальные компоненты а , Оу и считаются функциями только от X и у и связаны с деформациями при помощи соотношений [c.36]

Во многих случаях в книге применяется также энергетический метод решения задач теории упругости. При этом интегрирование дифференциальных уравнений заменяется исследованием условия минимума некоторых интегралов. При помощи метода Ритца эта задача вариационного исчисления сводится к простой задаче отыскания минимума функции. Таким способом удается получить приближенные решения во многих практически важных случаях. [c.17]

Аналогично рассмотренному методу упругих решений в теории малых упругопластическнх деформаций суш,ествует приближенный метод решения задач теории пластического тече ия — метод вязких решений, разработанный А. А. Ильюшиным и П. М. Огибаловым. [c.231]

Появление современных быстродействующих ЭВМ существен-во расширило границы применения строгих математаческих методов в механике деформируемого тела. Это прежде всего приближенные численные методы решения задач теории упругости, пластичности и ползучести, рассматриваемые в настоящей главе. [c.40]

Рисунки 4.87-4.90 иллюстрируют процесс сходимости метода упругих решений (на примере перемещений w-[ W2, щ, uq) при исследовании изгиба упругопластического трехслойного стержня. На всех рисункс1х номер кривой соответствует номеру итерации. Первое приближение является решением задачи теории упругости, 2-е приближение отличается от него в среднем на 14,5%. При каждой последующей итерации разница между приближениями уменьшается и 5-е приближение, которое принято за искомое решение, отличается от 4-го на 0,45 %. Дальнейшая проверка практической сходимости метода показала устойчивое стремление к нулю разности между последующим и предыдущим приближениями. [c.230]

В первых пяти главах учебника рассматриваются общие вопросы теории упругости (теория напряжений и деформаций, основные соотношения и теоремы, постановка и лгетоды решения задач теории упругости, плоская задача в декартовых координатах, плоская задача в полярных координатах). В шестой и седьмой главах излагаются основные уравнения теории тонких пластин (гибких и жестких) и некоторые задачи изгиба и устойчивости пластин. Восьмая глава учебника посвящена рассмотрению приближенных методов решения задач прикладной теории упругости (вариационных, конечных разностей, конечных элементов). В девятой главе рассматриваются основы расчета тонких упругих оболочек, причем основное внимание уделено вопросам расчета безмоментных и пологих оболочек. В десятой главе изучаются основы теории пластичности. Здесь рассмотрена и теория расчета конструкций по предельнол1у состоянию. [c.6]

Прикладная теория упругости отличается от математической тем, что для решения задач помимо закона Гука применяются некоторые дополнительные гипотезы деформационного характера (гипотеза плоских сечений для стержней, прямых нормалей для тонких пластин и оболочек и т. и.). При решении задач прикладной теории упругости наряду с точными методами решения соответствующих уравнений могут применяться и приближенные методы. Между прикладной теорией упругости, тесно связанной с запросами практики, и сопротивлением материалов нет четкой границы. Некоторые, наиболее цростые задачи, относящиеся к этому разделу, рассматриваются также и в курсах сопротивления материалов. [c.8]

Широко известно, что одним из первых математиков, принимавших участие в становлении МКЭ, был Курант. Он представил приближенный метод решения задачи кручения Сен-Венана с помощью принципа минимума дополнительной энергии, используя линейную аппроксимацию функции напряжений внутри каждого из совокупности треугольных элементов [1]. С другой стороны, наиболее важными и исторически первыми среди пионерских работ по МКЭ в задачах расчета конструкций считаются статьи Тёрнера, Клафа, Мартина и Топпа [2] и Аргириса и Келси [3]. После появления этих статей вариационный метод стал интенсивно использоваться в математических формулировках МКЭ. И обратно, быстрое развитие МКЭ сообщило мощный стимул к разработке вариационных методов за последнее десятилетие появились новые вариационные принципы, такие, как вариационные принципы со смягченными условиями непрерывности [4—8], принцип Геррмана для несжимаемых или почти несжимаемых материалов [9, 10] и для задач изгиба пластин [11, 12] и т. д. Цель части В состоит в том, чтобы дать краткий обзор достижений в области вариационных принципов, которые служат основой МКЭ в теории упругости и теории пластичности. С практическим использованием этих принципов при формулировке МКЭ читатель может ознакомиться по работам [5—7]. [c.340]

Метол Ритца приближенного решения задач теории упругости заключается в прямой минимизации полной энергии си стемы V. Следуя этому методу, перемещения будем искать в следующем виде [c.43]

При применении техники осреднения во всех задачах, рассмотренных в предыдущих параграфах, параметр а играл формальную роль. Его введение облегчало проведение выкладок, но никакой информации в решение задачи не вносило. Его присутствие только напоминало нам метод работает, когда число ячеек достаточно велико. В дальнейшем мы проверим это положение на конкретных задачах, а сейчас заметим, что при практическом решении задач теории упругости число членов рядов асимптотического разложения должно быть конечным. При этом чем больше число ячеек периодичности (или квазипериодичности), тем лучше выбранное приближение описывает решение исходной задачи. [c.128]

Среди приближенных методов решения задач математической физики особую роль играет теория возмуш,ений, позволяющая построить асимптотические разложения при малых и больших значениях тех или иных характерных параметров. Применению такого подхода к контактным задачам теории упругости для изотропной полосы и изотропного слоя был посвящен специальный параграф в монографии [7]. При этом в качестве малых и больших параметров принимались, как правило, относительные геометрические размеры штампа (отношение ширины штампа к ширине полосы (слоя) или обратная величина). Между тем, в случае анизотропного и, в частности, ортотропного материала появляется еще одна возможность. Обычно некоторые жесткости композитов, моделируемых анизотропными однородными средами, отличаются по порядку величины, и, следовательно, их отношения могут рассматриваться как малые параметры. В последние десятилетия был развит асимптотический метод, основанный на построении разложения по таким параметрам. Этот метод отражен, помимо статей [1, 3, 5], в монографиях [4] и [6]. Первое его применение к контактным задачам содержится в статье Л. И. Маневича и А. В. Павленко [5], где рассмотрено вдавливание в упругую ортотропную полосу жестких штампов при наличии сил трения. В этой работе было показано, что использование малого параметра, характеризующего отношение жесткостей ортотропной среды, позволяет свести смешанную краевую задачу плоской теории упругости к последовательно решаемым задачам теории потенциала. Статья С. Г. Коблика и Л. И. Маневича [3] посвящена контактной задаче для ортотропной полосы при наличии области контакта зон сцепления и скольжения. В этой сложной задаче предложенный метод оказался особенно эффективным бьши получены явные аналитические выражения для нормальных и касательных напряжений в обеих областях, а также для заранее неизвестной границы между этими областями. В работе Н. И. Воробьевой, [c.55]

Рассмотренный метод приближенного решения задач теории упругости был предложен В. Ритцем. Из вышеизложенного следует, что этот метод применим как в том случае, когда внешние силы имеют потенциал, так и в том случае, когда они его не имеют. Более того, он может быть использован и для неупругих тел при условии, что в равенстве (13.1) напряжения могут рассматриваться как известные [c.140]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...