Функция у. Примеры. Точные решения

Эффективность полученного решения зависит от того, насколько хорошо пробная функция аппроксимирует точное решение при значениях параметров а, р, у,..., полученных из условий (53.9). Общие особенности точного решения обычно удается выяснить исходя из общих особенностей задачи. Рассмотрим в качестве примера нахождение энергии и волновой функции основного состояния атома водорода вариационным методом. Пусть пробной функцией, учитывая сферическую симметрию задачи, будет [c.281]

Для ТОГО чтобы представить это уравнение как функцию прогибов W пластинки, сделаем допущение, что выражения (41) и (43), выведенные для случая чистого изгиба, сохраняют силу также и в случае поперечно нагруженной пластинки. Сделать такое допущение— значит пренебречь влиянием на изгиб перерезывающих сил и Qy и сжимающего напряжения о , вызванного нагрузкой q. Мы уже прибегали к этому приему в предыдущей главе и убедились, что погрешность в полученных таким путем прогибах мала, если только толщина пластинки мала в сравнении с другими ее размерами в ее плоскости. Дальнейшие соображения по этому вопросу будут приведены в 26 при исследовании нескольких примеров точных решений задач на изгиб пластинок. [c.98]

Для экспериментальных исследований создавались все более мощные сверхзвуковые трубы, в конце 40-х годов стал применяться новый тип труб — ударные трубы (первые эксперименты проведены в США в 1949 г.), получившие всеобщее признание в 50-х годах. Усовершенствование оптического метода позволило получать более четкие картины течений, проследить процесс появления скачков уплотнения, уточнить структуру течения. Экспериментальные исследования в значительной мере способствовали выяснению причин появления скачков уплотнения, условий устойчивости ударных волн, структуры ударной волны, характера взаимодействия скачков, характера потока за скачком. Эти вопросы подверглись и теоретическому изучению. В 1939 г. А. Е. Донов предложил аналитическое решение задачи о вихревом сверхзвуковом течении. Он исследовал такое течение около профиля, рассматривая некоторые комбинации дифференциальных уравнений характеристик, а также выражения для дифференциала функции тока. Затем А. Ферри (1946) с помощью метода последовательных приближений определил систему характеристик уравнения движения для вихревого сверхзвукового течения, составленного Л. Крокко в 1936 г. Пример точного решения плоской вихревой задачи газовой динамики привел И. А. Кибель (1947), это ре- [c.326]

Функция X примеры. Точные решения. Если движение безвихревое, то система двух уравнений в частных производных (9.5), (9.3) первого порядка с двумя функциями Vx и Vy может быть заменена одним уравнением второго порядка с одной функцией. В самом деле, при 2 — 0 существует потенциал скоростей Ф, так что [c.106]

I5] ФУНКЦИЯ у. ПРИМЕРЫ. ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ 107 [c.107]

ФУНКЦИЯ X- ПРИМЕРЫ. ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ [c.113]

Переход через скорость звука. Предельные линии. Примеры точных решений. Представим себе несжимаемую жидкость, обтекающую с определённой по величине и направлению скоростью на бесконечности, замкнутый контур. Еслн, не меняя направление скорости, мы увеличим величину её. то конфигурация линий тока останется неизменной — только нумерация функций тока изменится. Существует лишь одно семейство кривых, которые могут служить линиями тока при обтекании (под данным углом атаки) заданного контура несжимаемой жидкостью. Совсем иначе будет обстоять дело в сжимаемой жидкости. Если в несжимаемой жидкости мы могли написать [c.156]

Рассмотрим примеры точных решений задачи устойчивости пластинок. Интегрирование системы дифференциальных уравнений (5.43) и (5.44) в упруго-пластической области и (5.35), (5.40) в пластической при неопределённой границе между ними, определяемой соотношением (5.46), связано со значительными математическими трудностями. Как было указано выше, задача устойчивости упрощается, когда вариация сил, лежащих в серединной плоскости, всюду равна нулю. В этом случае относительная толщина пластического слоя С оказывается известной функцией координат, так как, согласно (5.26), = О и, следовательно, [c.296]

Понятие погрешности аппроксимации можно ввести и другим способом. Для этого в соотношении ah = Rh u)—R u) под и следует подразумевать не обязательно точное решение краевой задачи, а произвольную достаточно гладкую функцию из некоторого функционального класса LI. Тогда говорят о погрешности аппроксимации схемы по отношению к классу функций U. Покажем на примере того же уравнения (3.3), что порядок аппроксимации для точного решения может быть выше, чем для класса функций, обладающих такой же гладкостью. Пусть г=, т. е. x = h. Если и — точное решение уравнения (3.1), то, дифференцируя (3.1), получаем [c.77]

Трансцендентные функции операторов, так же как иррациональные комбинации, можно бывает представить в виде рядов и построить таким образом точное решение задачи. Некоторые примеры такого рода приведены в книге Работнова [11]. [c.601]

Приведенные примеры характерны использованием гиперболических функций для описания перемещений и усилий в упругих системах. Как видно, МГЭ позволяет получать точные решения задач статики при минимально возможной дискретизации расчетной схемы. Отметим, что, если фундаментальные функции отличны от полиномов, то МКЭ не дает точных решений задач [184]. Повышение точности расчетов по МКЭ достигается либо дроблением сетки КЭ (этот путь приводит к увеличению порядка разрешаюш,ей системы уравнений), либо применением точных матриц жесткости, что не всегда возможно. [c.69]

Изложенные в п. 13 методы исследования случайных процессов в нелинейных системах являются приближенными, поэтому нуждаются в оценке точности полученных результатов. Пример 1 в п. 13 был решен приближенными методами, и результаты решения сравнивались с точным решением, полученным с использованием Марковских процессов, что дало возможность оценить точность приближенных решений. Такая возможность оценки точности приближенного решения нелинейных задач имеется очень редко, поэтому всегда при получении приближенных решений, использующих методы упрощения исходных уравнений (статистическая линеаризация, разложение в ряды и т. д.), остается сомнение в эквивалентности решения реальному процессу. О недостатках методов статистической линеаризации и мо-ментных функций говорилось в п. 12. Рассмотрим трудности, возникающие при исследовании нелинейных статистических задач на следующем примере. [c.97]

Применение к результатам (III.26) коррекции по формуле (III.22) дает точное решение (111,25). Это связано с отсутствием погрешностей вычислений и с тем, что в данном примере определяются не функции меридиональной координаты (с возможным при контакте оболочек изменением границ зоны контакта в процессе итераций), а числа W . [c.54]

Эффективность метода может быть проиллюстрирована путем сравнения приближенного решения с точным на примере тех немногих задач, для которых точное решение удается найти. Так, в случае вертикального кругового цилиндра (см. 11) второе приближение метода (две базисные функции в аппроксимации скорости) позволяет найти нижнее критическое число Рэлея с точностью до долей процента во всем интервале изменения отношения теплопроводностей жидкости и массива. В случае же плоского горизонтального слоя еще более высокую точность дает первое приближение (см. 7). [c.31]

Мы рассмотрели основные законы движения заряженных частиц в электрическом и магнитном полях. Сначала мы определили лагранжиан частиц (уравнение (2.15)). Закон сохранения энергии позволил представить скорость частицы в виде функции потенциала (уравнение (2.31)). Затем были получены релятивистские уравнения движения (2.50) — (2.52) в обобщенной ортогональной криволинейной системе координат. Были рассмотрены частные случаи уравнений движения в декартовой (уравнения (2.53) — (2.55) и цилиндрической (2.60)—(2.62) системах координат. Уравнения движения были затем преобразованы в траекторные уравнения (2.76) —(2.77), (2.80), (2.81) и (2.84) — (2.85) соответственно. Мы ввели релятивистский потенциал (уравнение (2.89)) и показали, что он позволяет использовать нерелятивистские уравнения в магнитных полях даже в случае высоких энергий частиц. Затем был введен электронно-оптический показатель преломления (соотношение (2.92)) и установлены аналогии между геометрической оптикой, с одной стороны, и электронной и ионной оптикой, — с другой. Были определены траектории частиц в однородных электростатическом и магнитном полях посредством точного решения траекторных уравнений. В качестве практических примеров рассмотрены плоские конденсаторы, длинные магнитные линзы, электростатические и магнитные отклоняющие системы, простые анализаторы масс и скоростей. Наконец, были приведены законы подобия электронной и ионной оптики (соотношения (2.183) — (2.188) и (2.190)). [c.63]

Причем точное решение, как и следовало ожидать, дает более быстроменяющиеся функции в зоне краевого эффекта. На основе просчитанных примеров наиболее эффективным с точки зрения затрат машинного времени при определении напряженно-дефор-мированного состояния в зоне краевого эффекта многослойных цилиндрических оболочек, находящихся в однородном температурном стационарном поле, оказался разностный метод. [c.84]

Данные о термодинамических функциях смеси вода — пар содержатся в справочной литературе [171] в виде подробных таблиц и сложной системы многопараметрических интерполяционных формул. При решении гидродинамических задач предпочтительнее иметь дело с несколько менее точным, но единым аналитическим представлением термодинамических функций. Примеры таких представлений, справедливые для жидкости (1.47) — (1.49) и различных веществ (1.10), приведены в первой главе. Здесь введем еще одно уравнение, справедливое для кипящей воды [123] [c.34]

По современным воззрениям эти полюсы возникли случайно в силу весьма специальной природы обсуждавшегося частного примера экспоненциальный потенциал У(х) =А ехр(—тх) и 5-волны. В свою очередь экспоненциальный потенциал был взят потому, что он дает точное решение уравнения для 5-волн в виде функций Бесселя. Действительно, уравнение Шредингера имеет вид [c.91]

Точные решения. Несмотря на сильное нелинейное переплетение функций тока у и завихренности С в исходной разрешающей системе (2.3), (2.4), в ряде случаев удается найти ее точные аналитические решения при определенных начальных условиях. Эти решения, составляющие своеобразный золотой фонд гидромеханики, в настоящее время являются основой для конструирования эффективных численных алгоритмов для решения общей системы (2.3), (2.4) [263]. Приведем наиболее типичные примеры вихрь Рэнкина, установившееся движение завихренности и эллиптический вихрь Кирхгофа. [c.58]

В рассматриваемых примерах возвращающая сила F (s) является, вообще говоря, нелинейной функцией смещения 5. Поэтому точное решение уравнений (1.2), которые являются нелинейными, получить не удается. Далее мы рассмотрим некоторые примеры таких нелинейных колебаний. [c.7]

Это линейное дифференциальное уравнение параболического типа, дополненное условием нормировки, начальными и граничными условиями, полностью определяет решение для искомой функции p(i, г). Это решение определяет эволюцию системы на временах < > 1/Г, которая имеет релаксационный характер (к распределению Больцмана) с некоторым временем релаксации т ояп, зависящим уже не только от индивидуальных свойств среды и брауновских частиц, но и от формы сосуда, типа его фаниц, начального распределения и т.д. Некоторые простейшие примеры, допускающие точное решение этой задачи математической физики, отнесены в раздел задач. Рассмотрим здесь только одну — ту, которая соответствует случаю свободного одномерного брауновского движения, и убедимся на этом примере, что схема уравнение Фоккера—Планка плюс соответствующие дополнительные условия дает все требуемые для t > 1/Г результаты. [c.96]

В качестве численного примера использования смешанных функциональных интерполянтов получим конечноэлементное решение задачи о потенциальном течении в области, представляющей собой единичный квадрат, с источником в точке X = 0.437, у = —k (й > 0). Точным решением этой задачи является функция [c.188]

В такой форме эта задача не исследована даже для простейших функций Р, известны только отдельные при-меры точных и приближенных решений. Пример точного решения дает сферический вихрь Хилла. Здесь завихренность распределена внутри шара радиуса / по закону [c.337]

Для плоских установившихся движений газа Л. И. Седов предложил использовать в качестве независимых переменных давление р и функцию тока г , а в качестве искомой функции — угол 0 наклона вектора скорости к оси X. Для функции 0 р, г ) также получается уравнение, линейное относительно ее вторых производных. Л, И. Седов (1950) и М, П. Михайлова (1949) рассмотрели решение задачи Коши для этого уравнения с помощью рядов р1азличного вида и изучили его характеристики, Седов нашел точные решения уравнения для 0, в том числе решение, обобщающее решение Прандтля — Майера на некоторый класс вихревых течений, а также установил свойства монотонности изменения газодинамических параметров вдоль характерных линий в области течения эти свойства обобщают аналогичные предложения для безвихревых течений, установленные А, А. Никольским и Г, И, Тагановым (1946), Седову удалось найти частные примеры точного решения задачи сверхзвукового обтекания тела со смешанным течением за скачком, но для неоднородного набегающего потока. [c.161]

В качестве примера изложенного метода рассмотрим результаты восстановления (рис. 3.9) вектора нормальных усилий Рг(>") на торце полого кругового цилиндра с теми же геометрическими размерами поперечного сечения, что и в приведенном выше примере. Высота цилиндра -100 мм. Исходная информация бралась в виде радиальной компоненты вектора перемещений на наружной поверхности цилиндра. Внутренняя и наружная поверхности цилиндра свободны от нагрузок, нижний торец закреплен от осевых перемещений. Расчеты проводились вариационноразностным методом на регулярной сетке Аг = 10 мм, Дг = 5 мм. Вначале решалась прямая задача по заданному вектору нормальных усилий на горце р (г) находился вектор перемещений на внешней грани цилиндра затем обратная задача. На выбранной сетке строились матричные аналоги интегральных операторов уравнений (3.16) и (3.17), по которым находился матричный оператор уравнения (3.18). Методом последовательных приближений решалась разностная задача для уравнения (3.18). На рисунке приведены точное решение — пунктирная линия нерегуляризованное решение, соответствующее решению интегрального уравнения первого рода (3.9) и не имеющее ничего общего с искомым решением - кружки с крестиками решение уравнения (3.18), полученное методом последовательных приближений при различных начальных приближениях вектора р°(г) (осциллирующая функция — квадраты, сосредоточенная сила - треугольник. Из рисунка видно, что метод дает устойчивое приближение к искомой функции и мало чувствителен к выбору начального приближения. [c.78]

В случае же. необходимосхи более точных решений может потребоваться вывод аналитического выражения для q> (и) или / ( ). В качестве примера рассмотрим случай, когда функция U случайного аргумента X задана следующим выражением [c.123]

Проиллюстрируем вначале итерационный метод решения уравнения (2.108) т оследовательными приближениями на примере задачи теплопроводности, поддающейся точному решению. Для этого рассмотрим бесконечно длинный сплошной цилиндрический твэл радиусом R. Функция Грина в случае осесимметрич-иой задачи теплопроводности для такого твэла, как следует из 2.2.3, равна [c.61]

Замечание. Для стержней переменного сечения задачу о собственных колебаниях решают приближенными методами (см. гл. X). Точное решение в бесселевых функциях возможно для балок в форме клина или конуса. Примеры применения приближенных методов для определения собственных частот и собственных форм изгибных колебаний стержней можно найтн в [2, 35, 87, 100, 109]. [c.200]

Любые решения уравнений (3.8) могут быть, разумеется, умножены на любую портоянную (т. ё. выражения ля и, Uy, щ могут быть умножены на одну и ту жё постоянную), и при этом они не перестанут быть решениями. Аналогично решения могут быть наложены путем добавления выражения для функции и из одною решения к этой функции из другого решения, и точно также для щ и Пг. Новые формы решений могут быть получены -также воздействием одного и того же дифференциального оператора на выражение для и, и, и Wz с заменой переменных под- >становкой вместо функции ф функции х, у, г), для которой v p = 0, когда V i j = 0 (для примера W = хд /дх+yд /дy + + zd /dz и т. п.). [c.126]

Для получения более точного решения задачи о концентрации напряжений (деформаций) у вершины выреза представляется возможным ввести в правую часть соотношения Нейбера вместо единицы поправочную функцию F = Е[а(г а т). Такое решение рассмотрено [177] на примере поправочной функции Н.А. Махутова [c.209]

Таким образом, мы продемонстрировали применение метода Масштабирования на примере основных функций бесконечной и полубесконечной сред. Опыт получения асимптотик из точных решений позволил уточнить формы асимптотических уравнений., Решения этих асимптотических уравнений известны и были приведены в 4.6. [c.199]

Итак, метод масштабирования приводит к тем же функционал ным зависимостям решений, что и асимптотическая теория, осао. ванная на резольвентном методе. Получающиеся асиьштотическ уравнения могут быть также выведены из точных, а их решения т.е. асимптотические функции, — из точных формул. Однако, тод масштабирования требует значительно меньших сведений о решениях и быстрее приводит к выяснению структуры решений. Кроме того, он обладает большей общностью и может быть применен в случаях, когда точные методы не дают результата. Пример такого применения метода масштабирования будет приведен в следующей главе. [c.200]

Задачей, допускающей эффективное точное решение, является задача о расклинивании бесконечного тела неподвижным клином. Г. И. Баренблатт (1959) получил решение такой задачи для клина постоянной толщины. В отличие от этого случая, когда положение точек схода известно, для клина с закругленной передней кромкой требуется еще определение положения точек схода поверхности трещины с клина. Г. И. Баренблатт и Г. П. Черепанов (1960) исследовали вопрос распространения трещины перед клином с малым закруглением и клином, где форма закругления задается по степенному закону. Здесь проведено исследование случая куло-нова трения, действующего на щеках клина. И. А. Маркузон (1961) сделал дальнейший шаг в исследовании проблемы расклинивания хрупких тел. Он получил зависимость длины трещины от длины клина и исследовал влияние однородных сжимающих или растягивающих напряжений на бесконечности на длину свободной трещины в задаче о расклинивании бесконечного тела клином конечной длины. Задачи расклинивания рассматривались также в работе Г. П. Черепанова (1962) в качестве примера приложения полученного им решения одной линейной краевой задачи Римана для двух функций к смешанным задачам плоской теории упругости. [c.384]

Пример разлозкение функции Ханкеля Щ>. Смысл асимптотического разложения можно пояснить на конкретном примере. Рассмотрим поле, излучаемое в вакууме линейным током. Для этого случая известно точное решение [c.64]

Нелинейные уравнения, содержащие тригонометрические функции или другие специальные функции, например lgл или е , называются трансцендентными. Методы решения нелинейных уравнений такого типа делятся на прямые и итерационные. Первые позволяют найти решение непосредственно с помощью формул и всегда обеспечивают получение точного решения. Известным примером такого рода является формула корней квадратного уравнения. В итерационных методах задается процедура зешения в виде многократного применения некоторого алгоритма. Лолученное решение всегда является приближенным, хотя может быть сколь угодно близким к точному. Итерационные методы наиболее удобны для реализации на ЭВМ и поэтому подробно рассматриваются в этой главе. В каждом из излагаемых методов считается, что решаемая задача состоит в отыскании действительных корней (нулей) уравнения / (л ) = 0. Хотя подобные уравнения также могут иметь комплексные корни, способы их отыскания обычно рассматриваются только для алгебраических уравнений. [c.18]

Численный пример. Задача Дирихле для двусвязной области. Ищется гармоническая в кольце В, функция, принимающая на внутренней окружности радиуса Я (5)) = 1 нулевые значения, а на внешней окружности 2 радиуса к (З2) = 2 — значение 1п 2. Точное решение, как нетрудно проверить, есть 1пл(. о, х), где — [c.378]

Метод обобщенных рядов Фурье. Вводные замечания. Рассмотренные в предыдущих параграфах численные примеры показывают, что метод канонических функциональных уравнений может быть использован для получения приближенных решений граничных задач. Однако общего доказательства сходимости процесса приближения, применяемого в этом методе, мы не имеем, и теоремы 19 дают доказательство сходимости лишь в частных случаях. Теперь мы укажем другой способ приближенного решения граничных задач, в котором нам удалось доказать сходимость. Этот метод позволит получить решения в виде р.чдов по некоторым полным системам ортогональных функций и конечные их отрезки представляют приближения к точным решениям, [c.394]

Программа АУАС1А вычисляет динамические перемещения демпфированной линейной системы при действии возмущающей силы в виде ступенчатой функции Qi и сравнивает полученные результаты с точным решением. Данные, приведенные в конце текста программы, соответствуют тому, что было задано в примере 1 из п. 2.6, а результаты расчетов вошли в табл. 2.1а. Эту программу можно переделать в программы АУАС1В, АУАС1С и т. д., относящиеся к иным типам возмущающих сил, путем переделки процедур, в которых вычисляются ускорение и точное значение перемещения на каждом шаге по времени. [c.456]

Другой пример. Для устранения прострельных волн предлагают производить в ПК интегрирование только по той части поверхности, освещенной первичным полем, которая видна из точки наблюдения. Конечно, такое решение не содержит прострельных волн. Однако этот прием плох. При его использовании от координат точки наблюдения зависят не только подынтегральное выражение (функции V и ду1д в ф-ле (5.1), но и пределы интегрирования. Поэтому решение не удовлетворяет волновому уравнению (напомним, что рещения в ПК и ФТД всегда являются точными решениями, а их приближенный характер проявляется в том, что они не удовлетворяют граничным условиям) и даже может оказаться разрывной функцией координат. Рассмотрим, напрнмер, дифракцию на пилообразной поверхности (рис. 5.6). При пересечении точкой наблюдения прямой ВС в направлении, указанном [c.146]

Перейдем к примерам профилей к z) из соотношения (3.11), для которых точные решения можно получить в терминах вырожденных гипергео-метрических функций. Мы рассмотрим последовательно три вида замен fiz). [c.52]

Вычисление этого ряда на практике, естественно, весьма трудоемко, хотя из-за сильного затухания он сходится значительно быстрее, чем ряд для возмущающей функции (5.71). В разд. 5.2.4 мы увидим, что для данного примера проще и легче найти точное решение со вершенно иным путем. [c.211]

Вернемся теперь к основной задаче вариационного принципа найти такую функцию из допустимого класса функций, что некоторый определенный интеграл по замкнутой области Я, зависящий от функции и ее производных, принимает максимальное или минимальное значение. Это есть обобщение элементарной теории вычисления максимумов и минимумов, которая состоит в нахождении точки замкнутой области, в которой функция имеет максимальное или минимальное значение в некоторой окрестности в этой области. Определенный интеграл в вариационном принципе есть пример функционала и зависит от всего поведения функции в целом, а не от числа переменных. Область определения функционала есть пространство допустимых функций. Главная трудность вариационного подхода состоит в том, что задачи, которые могут быть естественно сформулированы как вариационные, могут нё иметь рещений. Математически это выражается незамкну-тостью пространства допустимых функций. Поэтому в вариационном принципе нельзя предполагать существование максимума или минимума. В этой книге мы, однако, имеем дело с приближенными решениями вариационных задач. Они получаются при рассмотрении некоторого замкнутого подмножества пространства допустимых функций для получения верхней и нижней оценок точного решения вариационной задачи. [c.33]

Функции t Vi g выбираются так, чтобы выполнялись начальные или граничные ус.гговия. Мы отложим рассмотрение конкретных примеров, поскольку для плоских волн поддаются решению полные нелинейные уравнения и некоторые линеаризованные результаты можно рассматривать как приближение этих точных решений. Двух- и трехмерные решения волнового уравнения будут рассматриваться в гл. 7. [c.160]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...