Уравнение Фоккера—Планка

Уравнение Фоккера—Планка [c.53]

Как легко убедиться, уравнение Фоккера—Планка (4.46) описывает релаксацию конфигурационного распределения брауновских частиц к распределению Больцмана. Полагая в стационарном случае дw дt=0, из (4.46) получаем У/ = 0. Если границы системы непроницаемы для частиц (по крайней мере те, достижению которых не препятствует внешний потенциал), то отсюда следует, что в системе отсутствуют потоки [c.54]

В наиболее простом случае свободной брауновской частицы уравнение Фоккера—Планка сводится к обычному уравнению диффузии [c.54]

Пусть теперь на частицу дополнительно воздействует постоянная внешняя сила (например, сила тяжести Fg=—тд). Уравнение Фоккера—Планка в этом случае имеет вид [c.55]

Вывод уравнения Фоккера—Планка из уравнения Лиувилля [c.55]

Обсудим кратко и, естественно, в упрощенном виде сложную проблему вывода уравнения Фоккера—Планка из основного уравнения статистической физики — уравнения Лиувилля [c.55]

Ввиду принципиальной важности микроскопического обоснования уравнения Фоккера—Планка рассмотрим другой, более строгий, его вывод из уравнения Лиувилля >. [c.58]

Следует отметить, что область применимости уравнения Фоккера—Планка не ограничивается теорией брауновского движения или разреженного газа тяжелых молекул в среде легких молекул. [c.60]

Это уравнение может быть выведено и широко используется для описания однокомпонентных систем с дальнодействующим (например, кулоновским) взаимодействием. Физически это связано с тем, что каждая молекула ( частица ) вследствие дальнодействия взаимодействует одновременно с большим числом других молекул ( среда ), причем по той же причине доминирующую роль в их взаимодействии играют так называемые дальние столкновения (большие прицельные расстояния), при которых скорость рассеиваемых молекул почти не меняется и углы столкновения малы. На основе последнего предположения можно вывести уравнение Фоккера—Планка, например из кинетического уравнения Больцмана (несмотря на то, что первое предположение без второго не соответствует самому уравнению Больцмана (приближение парных столкновений)). [c.60]

В предыдущей главе мы вывели уравнение Фоккера—Планка, исходя из физических предположений. Покажем, что это уравнение является следствием уравнения Смолуховского (при выполнении ряда перечисленных ниже условий). [c.68]

Выведем с учетом приведенных выше условий из уравнения Смолуховского (5.27) уравнение Фоккера—Планка. Для этого умножим уравнение (5.27) на 1/А( и достаточно гладкую финитную вспомогательную функцию а х), представив ее в виде ряда Тэйлора, и проинтегрируем уравнение по х [c.68]

Полученное уравнение Фоккера—Планка для условной плотности вероятности — линейное уравнение второго порядка в частных производных параболического типа (в математической литературе это уравнение называют также прямым уравнением Колмогорова). [c.70]

Заметим, что совпадение уравнения Фоккера—Планка для Р2 х<1, и х, t) и Р х, t) является очевидным следствием линейности соотношения (5.43) между этими функциями и самого уравнения. [c.71]

Оператор Фоккера—Планка, стоящий в правой части уравнения, описывает необратимость поведения частицы, связанную с трением (первый член) и диффузией в импульсном пространстве (второй член). Нетрудно убедиться, что стационарное решение, релаксацию к которому описывает уравнение Фоккера—Планка, соответствует распределению Максвелла—Больцмана [c.73]

Хотя описание брауновского движения с помощью уравнения Фоккера—Планка (5.55), (5.44) эквивалентно описанию, основанному на уравнении Ланжевена (4.1), однако в первом случае расчетная схема является более удобной и компактной. Решение уравнений (5.44) или (5.55) с начальными условиями позволяет определить все необходимые средние значения в виде интегралов. [c.73]

Аналогичным образом изменяется вывод уравнения Фоккера— Планка ( 20). Отличие состоит в том, что под интегралом разложение производится в л-мерный ряд Тэйлора, и соответственно условия типа (5.31) — (5.33) записываются для п моментов первого порядка (коэффициенты Лй(л , )), п п+ )12 моментов второго порядка (коэффициенты Бй ( , t)) и т. д. [c.85]

Окончательно вместо (5.39) получаем многомерное уравнение Фоккера—Планка [c.85]

Приравнивая <а<=Л1<(0, <р)/уи находим уравнение Фоккера— Планка для вращательного брауновского движения (для Рг или [c.87]

В качестве простейшего примера рассмотрим вращательное брауновское движение свободной частицы. Полярную координатную ось направим вдоль оси частицы при =0 6(0)=0. Вследствие аксиальной симметрии задачи плотность вероятности Р зависит только от полярного угла 0. Уравнение Фоккера—Планка (5.132) принимает вид [c.88]

Получим сначала в представлении углов Эйлера 01=0, 02=ф. вз=ф и проекций угловой скорости ы/ на главные оси инерции частицы Ьу, уравнение Фоккера—Планка для двухосной частицы из уравнения эволюции [c.233]

Теперь, для определения оз, учтем уравнение движения (5.124), в котором, чтобы получить уравнение Фоккера—Планка, описывающее релаксацию к распределению Максвелла (5.125), достаточно формально заменить случайный момент ц величиной [c.234]

Уравнение Фоккера—Планка для одноосной частицы имеет вид [c.235]

Аналитические методы статистического анализа нелинейных динамических систем условно можно подразделить на следующие 1) исследование на основе уравнений Фоккера—Планка—Колмогорова (ФПК) [42 и др. 1 2) характеристические функции на основе уравнений В. С. Пугачева [25, 68, 69] 3) статистическая линеаризация многомерных нелинейных функций И. Е. Казакова [33, 34, 54] 4) метод моментов [33, 74, 69] 5) семиинварианты (кумулянты) [251 6) метод малого параметра, усреднения и асимптотический метод [27, 50] 7) канонические разложения [85] 8) метод Винера [85 ] с использованием рядов Вольтерра и ортогональных спектров [85] и др. [c.144]

МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ И УРАВНЕНИЕ ФОККЕРА—ПЛАНКА—КОЛМОГОРОВА (ФПК) [c.157]

Если процессы являются марковскими, то функцию распределения вероятностей W Xi,. . ., х,г, t) определяем из уравнения Фоккера—Планка—Колмогорова [c.161]

Составление уравнения Фоккера—Планка—Колмогорова для определения одномерной плотности вероятности амплитуды. Для применения стохастических методов и замены обобщенного уравнения ФПК обычным уравнением ФПК необходимо, чтобы время корреляции флюктуаций возмущений т ор было значительно меньше релаксации Грел амплитуды и фазы процесса колебания на выходе системы < Грел или, что то же самое, время корреляции должно быть мало по сравнению с длительностью переходных процессов в системе. [c.186]

Решение уравнения Фоккера—Планка—Колмогорова. Определим стационарное распределение. Тогда = 0, и из уравнения (4.97) получим [c.188]

Уравнение Фоккера - Планка. [c.455]

При выводе уравнения Фоккера—Планка из уравнения Лан-жевена в гл. IV мы отбросили инерциальный член. Теперь нетрудно понять, почему это было сделано. Дело в том, что с инерцией связана память частицы о движении x t) в прошлом. Поэтому при учете инерции случайный процесс л (/) не является марковским (см. также сноску на с. 236). [c.72]

Обсудим кратко выведенные выше уравнения Фоккера—Планка (вращательной ди( )())узии), некоторые их решения и отличия вращательного брауновского движения от трансляционного. [c.237]

По поводу этого уравнения авторы работы делают следующее заключение Полученное нами уравнение является одномерным обобщенным уравнением Фоккера—Планка в случае переменных структурных чисел Оно справедливо, если время корреляции т ор много меньше постоянных времени системы и если не учитывать интервалы времени порядка времени корреляции, другими словами, если можно считать случайную функцию х (i) марковским случайным процессом. Вывод уравнения, приведенный здесь, интересен тем, что в нем не используется понятие процесса Маркова. Общепринятый аппарат процессов Маркова заменен аппаратом обобщенных корреляционных функций, позволяющим проводить исследования в общем случае, переходящем при определенных условиях в случай процессов Маркова. Оценка членов уравнения (3.51) для s > 3 произведена Р. Л. Стратоно-вичем в работе [81 ], где показано, что если время корреляции процесса внешних возмущений мало по сравнению с временем переходного процесса в системе, то можно использовать обычное уравнение ФПК, параметры которого зависят от интегральных характеристик корреляционных функций внешних возмущений, так как при t > т ор важными являются не корреляционные функции, а их интегральные характеристики. [c.164]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...