Пример задачи теплопроводности

Покажем теперь на примере уравнения теплопроводности, как ставятся задачи математической физики. Одной из распространенных и, как показывает исследование, корректных задач является следующая (см. рис. 4.1). Найти функцию и М, t) = и (х, у, г, t), которая в открытой области т и при t > О удовлетворяет уравнению теплопроводности [c.125]

Весьма привлекательна идея сведения обыкновенного дифференциального уравнения к алгебраическому, уравнения в частных производных с двумя аргументами к обыкновенному, уравнения в частных производных с п аргументами к уравнению также с частными производными, но с п — 1 аргументами, поскольку уменьшение числа аргументов в уравнении, как правило, упрощает отыскание его решения. Добиться уменьшения числа аргументов любого из перечисленных дифференциальных уравнений (в случае их линейности) принципиально возможно с помощью интегрального преобразования. Разберемся в этом вопросе на примере обыкновенного линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами, содержащего единственный аргумент t, исключение которого трансформирует дифференциальное уравнение в алгебраическое. Операторный метод весьма эффективен и находит широкое применение, например, в некоторых задачах теплопроводности [15]. В данной главе для иллюстрации метода приведены решения задач о прогреве тел простой формы стержня полубесконечного и стержня конечных размеров, а также круглой пластины. [c.193]

Выше были приведены примеры решения уравнений теплопроводности (4.1), (4.49), (5.1). Из этих примеров видно, что решения эти весьма громоздки даже для одномерных и двухмерных уравнений теплопроводности и тел простой формы. На практике встречаются многомерные задачи теплопроводности тел сложной формы, для которых практически невозможно получить аналитические решения. [c.83]

Программа составлена на алгоритмическом языке ФОРТРАН-IV и предназначена для численного решения нестационарной одномерной задачи теплопроводности методом конечных разностей по явной схеме (см. пример 23.6). [c.465]

Программа составлена на алгоритмическом языке ФОРТРАН-IV и предназначена для численного решения нестационарной одномерной задачи теплопроводности методом конечных разностей по неявной схеме (см. пример 23.6), Решение системы линейных алгебраических уравнений вида [c.466]

Пусть по известному конечному тепловому состоянию тела необходимо восстановить начальное распределение температур, обратив ход времени. Это пример постановки обратной задачи теплопроводности. В более общем смысле обратными называют задачи, в которых искомые величины недоступны прямым наблюдениям и должны быть восстановлены по данным косвенных измерений (т. е. измерений других величин, связанных с искомыми некоторой сложной функциональной зависимостью). [c.29]

Схема переменных направлений является, по-видимому, лучшей для двумерных задач теплопроводности. Ее применение обеспечивает выполнение весьма важного для учебных задач требования получения разумных результатов при счете на грубых сетках и с большими шагами по времени. К сожалению, эта схема не обобщается на трехмерные задачи теплопроводности. Программа на алгоритмическом языке БЕЙСИК и примеры расчета по схеме переменных направлений приводятся в п. 5.3.1. [c.35]

В данном разделе на примере одной задачи теплопроводности рассмотрим типичные задачи численного анализа, возникающие при реализации точных аналитических решений, и методы их решения. С вопросами построения точных решений задач теории теплопроводности и конвективного теплообмена можно познакомиться по учебным пособиям (3, 13]. [c.51]

Сущность МКЭ рассмотрим на примере решения двумерной стационарной задачи теплопроводности в области D произвольной формы (рис. 4.1) [c.128]

Домашние задания заключаются в самостоятельном составлении алгоритмов и программ численного решения достаточно простых задач, отладке этих программ и проведении расчетов на ЭВМ. Например, в качестве домашнего задания можно предложить решение одномерной задачи теплопроводности, а необходимый набор вариантов можно обеспечить выбором декартовой, цилиндрической или сферической систем координат, комбинациями граничных условий и различных пространственно-временных и температурных зависимостей коэффициентов уравнений, видом разностной схемы. При самостоятельном составлении программ целесообразно использовать рекомендации и практические приемы, разобранные в книге на примере приведенных текстов учебных программ и фрагментов программ. [c.204]

Приведенные формулы (3-114) —(3-116) наиболее часто используются при численном интегрирований уравнений теплопроводности. Используем полученные формулы для преобразования дифференциального уравнения к конечно-разностной форме. Преобразование проведем гяа примере одномерной нестационарной задачи теплопроводности без- [c.111]

Предположим, что рассматривается система размерных дифференциальных уравнений совместно с размерными граничными условиями. Решение уравнений дало бы определенную формулу. Для примера можно взять решения задач теплопроводности, рассмотренные ранее. Подстановка конкретных числовых значений аргументов Я, б и в формулу q= XI8)At дала бы определенное числовое значение зависимой переменной q. Очевидно, при одних и тех же значениях Я, б и Д/ все процессы теплопроводности, описываемые этой формулой, будут тождественны — это будет один и тот же процесс. [c.159]

Когда значения режимных параметров (давления, температуры, скорости) слишком велики и труднодоступны для непосредственного воспроизведения. Примером могут служить модели из пластмассы, на которых иногда при сравнительно низких температурах удобнее изучать задачи теплопроводности и термоупругости, предсказывая закономерности этих процессов в изделиях из хорошо теплопроводных металлов при высоких температурах. [c.14]

Численные результаты. Для обоснования точности и вычислительной устойчивости приведенного выше подхода были рассмотрены задачи, для которых имеются решения в замкнутом виде, приведенные, например, в [11]. Так, влияние краевых условий и схемы дискретизации по пространству исследовалось на примере решения задачи (5.4), (5.2) о стационарном нагреве бесконечно длинного толстостенного цилиндра. Особенности использования МКЭ для решения нестационарных задач теплопроводности исследовались на примере о мгновенном нагреве поверхности длинного сплошного цилиндра до заданного значения температуры. [c.175]

Применительно к рассмотренному примеру задачи нестационарной теплопроводности (1.37) сопряженная функция Грина [сопряженная температура 0+] имеет простое физическое толкование. Именно сопряженная температура (л , Х, т, ti) в точке Хо в момент времени то при Р = Ь(х—Xi)6(t—ti), т. е. при измерении температуры в точке Х] в момент времени xi, как раз и есть эта температура в точке Xi в момент времени Ть если в точке Хо действовал тепловой источник единичной мощности в момент времени то. [c.21]

Можно привести много примеров использования соответствующих приближенных приемов [Л. 4, 22, 35 и т. д.]. Однако это не входит в поставленную задачу. Укажем лишь, что во всех перечисленных случаях авторам удалось получить простые по форме и очень эффективные приближенные решения различных задач теплопроводности. [c.7]

Излагая теорию, мы везде, где только представлялась возможность, описывали процесс с помощью критериальных величин. Это привело к своеобразной трактовке известных задач теплопроводности, которые нами включены в гл. II и III и которые обычно рассматриваются каждая особо в монографии же эти задачи решаются как примеры применения общей методики 7 гл. I, охватывающей однородные тела любой формы. [c.11]

Книга посвящена исследованию тепловых режимов деталей, узлов, установок и помещений с помощью электрических моделей-сеток сопротивлений и комбинированных электромоделей. Изложена методика электрического моделирования линейных и нелинейных задач нестационарного тепло- и массопереноса. Даны примеры решения на электромоделях не только прямых, но и обратных, инверсных и индуктивных задач теплопроводности. [c.448]

В работе [120] дана всесторонняя классификация методов решения нелинейных задач, приведены примеры применения того или иного метода, а также качественные и количественные показатели, которые помогают более или менее объективно провести выбор метода для исследования конкретной задачи. Поэтому, не останавливаясь на аналитических и численных методах, реализуемых на ЭЦВМ, кратко охарактеризуем возможности аналоговых вычислительных средств в плане решения нелинейных задач теплопроводности. [c.18]

Рис. 5.4. Пример решения обратной задачи теплопроводности для ребер выхлопного патрубка

Заметим, что при численном решении уравнения (5.92) с разрывным коэффициентом Г рекомендуется совмещать грани КО с поверхностями разрыва коэффициента Г. Пример рекомендуемого разбиения расчетной области на КО для задачи теплопроводности в неоднородном (составном) теле приводится на рис. 5.8. [c.159]

Сначала на примере одномерной задачи теории упругости прослеживается техника осреднения периодических структур. Затем подробно излагаются методы решения статической пространственной задачи теории упругости в перемещениях и в напряжениях для композитов, являющихся периодическими структурами. При этом описывается методика определения эффективных тензоров модулей упругости и упругих податливостей. Указывается схема построения задачи теплопроводности для композитов и определения эффективных тензоров теплопроводности, теплового расширения и удельной теплоемкости. Дается определение регулярной структуры, квазипериодической структуры и описывается метод решения статических пространственных задач теории упругости для композитов, у которых тензор модулей упругости не обладает свойством периодичности по координатам. Разрабатывается теория нулевого приближения , по которой можно, решая задачу только по теории эффективного модуля, найти приближенно микроперемещения и микронапряжения. Рассматриваются условия неидеального контакта, когда один компонент композита может, например, проскальзывать относительно другого. [c.91]

Проиллюстрируем применение полученных результатов на простейшем примере решения задачи теплопроводности определить стационарное температурное поле двухслойной пластины, на боковых поверхностях z==0, z=l которой поддерживаются постоянные температуры t и t соответственно. Учитывая, что между слоями осуществляется идеальный тепловой контакт, [c.56]

Теперь, ввиду особого значения теории вычетов для задач теплопроводности, на ряде примеров проиллюстрируем применение ее для вычисления специального класса контурных интегралов, связанных с обращением интегрального преобразования Лапласа, т. е. к вычислению [c.544]

В качестве примера рассмотрим задачу теплопроводности для тела, занимающего полупространство 0<ж< < , плотность или теплоемкость которого возрастает линейно с удалением от поверхности д = О, на которой происходит теплообмен по закону Ньютона. Требуется определить [c.548]

Метод сеток или, иначе, метод конечных разностей наиболее распространенный для приближенного решения дифференциальных уравнений в частных производных. Основная идея метода сеток заключается в том, что дифференциальное уравнение, начальные и граничные условия заменяются системой конечноразностных алгебраических уравнений, приближенно представляющих данную краевую задачу. Рассмотрим применение метода сеток к решению задач теплопроводности на примере двухмерной задачи. [c.24]

Аналитические решения задач теплопроводности с постоянным источником тепла представлены номограммами, с помощью которых сокращается вычислительная работа по определению теплофизических постоянных. Применение метода демонстрируется на примере тепловой обработки необожженного нормального шамотного кирпича марки Ш-3. [c.158]

Проверка аппроксимации сравнительно несложна и проводится единообразно во всех случаях на основе разложений в ряд Тейлора в пространстве достаточно гладких функций. В качестве примера рассмотрим одномерную стационарную задачу теплопроводности [c.34]

Для линейных задач теплопроводности, примером которых является задача (1.1), (1.4), (1.5), развита общая теория. Она позволяет не только установить корректность, но [c.12]

Проиллюстрируем вначале итерационный метод решения уравнения (2.108) т оследовательными приближениями на примере задачи теплопроводности, поддающейся точному решению. Для этого рассмотрим бесконечно длинный сплошной цилиндрический твэл радиусом R. Функция Грина в случае осесимметрич-иой задачи теплопроводности для такого твэла, как следует из 2.2.3, равна [c.61]

В заключение отметим, что по проблемам использования функций Грина в задачах математической физики имеется обширная литература. В частности, в работах [10, 60, 108] исследуются свойства функции Грина для интегрального уравнения Лапласа и Пуассона. Некоторые конкретные примеры функций Грина применительно к задачам теплопроводности с рассмотрением их физического Mbt jia и построением функций влияния различных тепловых источников приведены в монографиях [48, 27, 28]. Функции Грина для двух случаев, п )едставляющих практический интерес для смещенного нитевидного теплового источника и для точечного источника в теплопроводящем цилиндре бесконечной длины, даны в П. 4. [c.49]

В качестве примеров приведем некоторые форцулы и значения расчетных и истинных относительных погрешностей от пренебрежения теялоотдечей, полученных, соответственно, из решений задач М-1, 8 или аналогичных задач теплопроводности в уточненной постановке с учетом теплоотдачи. Применительно к решениям задачи Jt I и ей аналогичных для облучаемой поверхности полуограни-ченного тела (л 0) при ряд искомых величин удается выразить в законченной аналитической форме. Если i [c.574]

ПРИМЕРЫ ПРИМЕНЕНИЯ ПРОГРАММЫ ONDU T ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ [c.127]

Примеры, приведенные в этой главе, должны дать вам возможность использовать ONDU T для решения множества стационарных и нестационарных задач теплопроводности. Вы должны использовать эту возможность для решения сложных и интересных проблем и одновременно углублять ваше понимание физических явлений. [c.166]

Задачи теплопроводности — это только один из классов задач, которые могут быть решены с помощью программы ONDU T. Другой важный класс образуют задачи о полностью развитых течениях и теплопереносе в каналах. В следующей главе кратко рассмотрим математическую постановку такого рода задач. В гл. 10 будут представлены некоторые примеры применения программы ONDU T для решения задач о течениях в каналах. [c.166]

Тонкостенные элементы конструкций многих приборов, аппаратов и машин подвергаются локальному двустороннему или одностороннему тепловому воздействию. При этом коэффициент теплоотдачи с их боковых поверхностей с достаточной степенью точности может быть аппроксимирован кусочно-постоянной функцией координат В настоящей главе методом И. Ф Образцова и Г. Г. Онанова [117] строятся единые для всей области определения решения одномерных и двумерных стационарных задач теплопроводности и соответствующих статических задач термоупругости для пластинок и цилиндрических оболочек, коэффициенты теплоотдачи с боковых поверхностей которых —кусочно-постоянные функции одной переменной На примере одномерной задачи показывается, что при локальных тепловых воздействиях по областям, размеры которых одного порядка с толщиной тонкостенных элементов, оправданным является введение интегральных характеристик по областям нагрева, С помощью метода интегральных характеристик находится решение двумерной квазистационарной задачи теплопроводности и соответствующей задачи термоупругости для пластинки, подвергнутой двустороннему локальному нагреву движущейся прямоугольной областью, размеры которой соизмеримы с толщиной пластинки. Из проведенных численных исследований вытекает, что рост теплоотдачи с поверхностей вне области локального нагрева приводит к уменьшению температурных напряжений в пластинках. [c.138]

Обобщение конкретных количественных знаний, достигаемое благодаря применению безразмерных переменных, продемонстрировано на простых примерах, относящихся к задачам теплопроводности. Это особенно ценно в тех случаях, когда уравнения, описывающие некоторый физический процесс, известны, но их аналитическое решение трудно или вовсе невозхюжно. Такое положение, как мы увидим далее, имеет место в вопросах конвективного переноса тепла. Откладывая рассмотрение специальных подробностей, относящихся к этой форме теплооб .1ена, уже здесь воспользуемся имеющимся наглядным материалом для уточнения смысла и границ делаемых обобщений. При обсуждении вопроса будем иметь в виду краевые задачи математической физики, поскольку оии только и характерны для теории теплопроводности и ко1Ц екции. [c.57]

Основные черты процесса нелинейной теплопроводности и особенности, отличаюш,ие его от процесса линейной теплопроводности, лучше всего выяснить на примере задачи о распространении в неограниченной первоначально холодной среде тепла от мгновенного плоского источника энергии. Пусть в начальный момент i = О в плоскости х = О выделилась энергия g на 1 см поверхности (g в эрг1см ). В последуюш,ие моменты тепло растекается в обе стороны от плоскости а = 0. [c.510]

Проиллюстрируем конструкцию двойственной задачи на примере уравнения теплопроводности. Даже в этом простом случае она может оказаться полезной. Разумеется, эта же конструкция реализуется для весьма общих нелинейных задач. Рассмотрим однородную задачу Дирихле для однородного уравнения теплопроводности в односвязной области D, D Z R - В этом случае в соответствии с общей схемой 13 возникает система однотипных функционалов [c.179]

Ряд важных физических двумерных и трехмерных задач может бы1ь решен с использованием одномерных и двумерных элементов. Эти задачи обладают осевой или центральной симметрией. Задача о радиальном потоке тепла через концентрические цилиндры с различными коэффициентами теплопроводности является одним из примеров таких задач. В достаточно длинном цилиндре поток тепла распространяется как в радиальном, так и в осевом направлениях. Поток тепла не зависит от азимутального угла 0, если граничные условия не зависят от 0. Другим примером задачи с осевой симметрией является задача о плоском течении -воды к скважине. В этом случае характеристики течения не должны зависеть от угла 0. Многие трехмерные задачи теории поля обладают осевой симметрией. Большинство из рассмотренных здесь задач связано с переносом тепла, впрочем течение воды к скважине в пористой среде — пример важной задачи гидродинамики. [c.181]

Идея МКЭ и алгоритм решения задачи о напряженно-деформированном состоянии с помощью МКЭ демонстрируются в гл. 1 на примере элементарных задач об осевой деформации стержня. Далее МКЭ излагается в гл. 2—6 применительно к задачам теплопроводности и термоупругости, причем выбор рассматриваемых в книге типов конечных элементов обусловлен конфигурацией таких подлежащих исследованию деталей тепловых двигателей, как поршни и цилиндровые втулки дизелей различного назначения. Параллельно с изложением алгоритма МКЭ демонстрируются реализующие эти алгоритмы программные модули комплекса, созданного автором и предназначенного специально для расчета деталей тепловых двигателей. Программы и программные комплексы записаны на языке Фортран, так что книга предполагает знакомство читателя с этим алгоритмическим языком. В книге большое внимание уделено вопросам рационального использования всех ресурсов ЭВМ и эффективной организации всего процесса вычислений при решении больших по размеру прикладных задач приводятся программы вычисления матриц жесткости, инвариантные к виду конечного элемента. В 1л. 7—8 приводится компактная схема организации формирования глобальной матрицы системы уравнений МКЭ, подробно излагаются приемы организации исходных данных, опыт реализации с использованием периферийной памяти схем метода Холецкого и метода сопряженных градиентов для решения больших систем уравнений МКЭ, С помощью разработанных программных комплексов автором выполнены исследования температурных полей и напряженно-деформированного состояния ряда деталей тепловых двигателей. Результаты этих исследований приведены в гл. 9—10 книги. В. Н. Николаевым написан п. 5 гл. 9, гл. 10 — совместно с канд. техн. наук М. В. Се-менченко. [c.4]

На макроуровне используют математические модели, описывающие физическое состояние и процессы в сплошных средах. Для моделирования применяют аппарат уравнений математической физики. Примерами таких уравнений служат дифференциальные уравнения в частных производных—уравнения электродинамики, теплопроводности, упругости, газовой динамики. Эти уравнения описывают поля электрического потенциала и температуры в полупроводниковых кристаллах интегральных схем, напряженно-деформированное состояние деталей механических конструкций и т. п. К типичным фазовым переменным на микроуровне относятся электрические потенциалы, давления, температуры, концентрадии частиц, плотности токов, механические напряжения и деформации. Независимыми переменными являются время и пространственные координаты. В качестве операторов F и У в уравнениях (4.2) фигурируют дифференциальные и интегральные операторы. Уравнения (4.2), дополненные краевыми условиями, составляют ММ объектов на микроуровне. Анализ таких моделей сводится к решению краевых задач математической физики. [c.146]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...