Траекторные уравнения

Подставляя эти выражения в уравнения (2.76) и (2.77), легко получить релятивистские траекторные уравнения в цилиндрической системе координат в следующем виде [c.37]

Рассмотрим подробнее релятивистские траекторные уравнения (2.76) и (2.77). Как мы знаем, скорость частицы v выражается уравнением (2.31) через потенциал и. Подставим теперь потенциал из уравнений (2.31) и (2.34) в выражение, содержащее скорость V и появляющееся в обеих частях траекторных уравнений, так же как и в соотношении для G (2.74). Учитывая, что абсолютная величина импульса частицы равна p = mv, причем масса определена уравнением (2.2), и используя обозначение [c.38]

К сожалению, каждый раз, когда компонента электрического поля Е появляется в релятивистских уравнениях траектории, она снова делится на V, так что в присутствии электрического поля простая замена потенциала его релятивистским аналогом не приводит к преобразованию нерелятивистских траекторных уравнений в релятивистские. Использование релятивистского потенциала не упрощает траекторных уравнений в этом случае, но простое выражение по-прежнему можно использовать. [c.39]

В качестве практического примера использования траекторных уравнений рассмотрим движение заряженных частиц в однородных электростатическом и магнитном полях внутри плоских конденсаторов, длинных соленоидов и между полюсами относительно сильных магнитов. Такие поля можно использовать для отклонения пучков, а также для определения скорости л относительного заряда частиц. [c.42]

Можно заметить, что решение релятивистских траекторных уравнений является достаточно сложным даже в этом элементарном случае. [c.44]

Эту простую параболическую зависимость легко получить непосредственно из нерелятивистских траекторных уравнений. В этом случае траектория подобна траектории брошенного камня (постоянное гравитационное поле). Отметим, что уравнения (2.110) и (2.112) приводят к бесконечным значениям х, если 2-компонента начальной скорости равна нулю. Это обстоятельство является следствием процедуры вывода уравнений траектории замена времени координатой г в предположении, что частица движется в направлении г. Если же начальная скорость в этом направлении отсутствует, то это предположение недействительно. Таким образом, полученные траекторные уравнения можно использовать только в том случае, когда [c.45]

Теперь можно использовать траекторные уравнения (2.80) и (2.81). Их нерелятивистскую форму можно в рассматриваемом случае записать в виде [c.53]

Мы рассмотрели основные законы движения заряженных частиц в электрическом и магнитном полях. Сначала мы определили лагранжиан частиц (уравнение (2.15)). Закон сохранения энергии позволил представить скорость частицы в виде функции потенциала (уравнение (2.31)). Затем были получены релятивистские уравнения движения (2.50) — (2.52) в обобщенной ортогональной криволинейной системе координат. Были рассмотрены частные случаи уравнений движения в декартовой (уравнения (2.53) — (2.55) и цилиндрической (2.60)—(2.62) системах координат. Уравнения движения были затем преобразованы в траекторные уравнения (2.76) —(2.77), (2.80), (2.81) и (2.84) — (2.85) соответственно. Мы ввели релятивистский потенциал (уравнение (2.89)) и показали, что он позволяет использовать нерелятивистские уравнения в магнитных полях даже в случае высоких энергий частиц. Затем был введен электронно-оптический показатель преломления (соотношение (2.92)) и установлены аналогии между геометрической оптикой, с одной стороны, и электронной и ионной оптикой, — с другой. Были определены траектории частиц в однородных электростатическом и магнитном полях посредством точного решения траекторных уравнений. В качестве практических примеров рассмотрены плоские конденсаторы, длинные магнитные линзы, электростатические и магнитные отклоняющие системы, простые анализаторы масс и скоростей. Наконец, были приведены законы подобия электронной и ионной оптики (соотношения (2.183) — (2.188) и (2.190)). [c.63]

Следует особо отметить, что учет эффектов пространственного заряда делает задачу определения поля очень сложной даже в простейших случаях. Для решения этой задачи необходимо знать распределение частиц по координатам и скоростям. Это требует одновременного решения уравнений Максвелла и траекторных уравнений. Как будет видно в гл. 12, это весьма трудно. Поэтому в большинстве случаев разработчик старается разделить задачу на две сначала определяются распределения полей без учета пространственного заряда, а эффекты, связанные с пространственным зарядом, учитываются позднее, в процессе расчета оптических характеристик. Этот подход обоснован тем, что пространственный заряд можно рассматривать как особый тип аберрации он не вносит существенных возмущений в распределение полей, но в тоже время заметно меняет оптические характеристики. [c.65]

Основное траекторное уравнение [c.181]

Выведем основное траекторное уравнение для заряженной частицы, движущейся в аксиально-симметричном поле. Дифференциальное уравнение для азимутальной координаты а полу- [c.181]

Подставляя уравнения (4.18) — (4.20) в (4.14), получаем окончательно релятивистское траекторное уравнение для аксиально-симметричных полей в общем виде [c.183]

В данной главе были рассмотрены основные свойства аксиально-симметричных полей, формирующих изображения. Мы начали главу теоремой Буша (4.9), которая определяет азимутальную компоненту скорости заряженной частицы в аксиально-симметричном поле. Затем мы вывели основное траекторное уравнение (4.21) и перешли к гауссовской диоптрике, записав уравнение параксиальных лучей (4.31). Это уравнение можно упростить, написав его в комплексном виде (4.40) или (4.50). Затем была доказана способность аксиально-симметричных полей формировать изображения. Мы ввели кардинальные элементы и выяснили отличия действительных параметров линзы от асимптотических. Наиболее важными соотношениями являются уравнение изображения (4.58), формула Гельмгольца— Лагранжа (4.65) и (4.76), формулы увеличения (4.77) и [c.246]

Подставляя теперь в уравнение (5.4) t=l и t=2 и используя (2,74), после ряда алгебраических преобразований получим релятивистские траекторные уравнения в обобщенных криволинейных координатах. [c.249]

В инженерной практике имеют дело не с векторами и УИ, а с их проекциями на оси какой-либо системы координат. Наиболее широко в аэродинамике используется скоростная ортогональная система координат (рис. 1.1.1). В этой системе обычно задают аэродинамические силы и моменты, так как многие исследования динамики полета и прежде всего траекторные задачи связаны с применением осей координат именно такой системы. В частности, уравнения движения центра масс летательного аппарата удобно записывать в проекциях на эти оси. В скоростной системе продольная (скоростная ) ось Оха (ГОСТ 20058—74) направлена всегда по вектору V скорости движения центра масс аппарата, а вертикальная ось (ось подъемной силы) Оуа расположена в плоскости симметрии. Ее положительное направление будет таким, как показано на рис. 1.1.1. Боковая ось ОХа этой системы направлена вдоль размаха правого крыла так, что образуется правая система координат. В обращенном движении продольная ось совпадает с направлением скорости потока, а ось расположена вдоль размаха левого крыла так, чтобы сохранилась та же правая система координат. Такую систему координат обычно называют поточной. [c.10]

Расчет параметров электронного пучка, формируемого в конкретной электронно-оп-тической системе пушки, в отличие от идеальных условий представляет собой сложную задачу, решаемую обычно методами траекторно-го анализа [5]. Траекторный анализ базируется на численном решении системы уравнения, включающей уравнения поля (уравнения Пуассона), непрерывности и движения [c.329]

Скалярный вид основного уравнения инерциальной навигации определяется, прежде всего, выбранным навигационным базисом, т. е. базисом, в котором определяются основные навигационные параметры координаты и проекции скорости. В свою очередь, выбор навигационного базиса определяется типом летательного аппарата, особенностями его траекторного движения, характером решаемых задач. [c.80]

Таким образом, имеем систему дифференциальных уравнений (3.30) и (3.56) для нахождения движения ракеты в функции времени. Уточним, что по причине нелинейности этих уравнений общий анализ оптимального полета в активном режиме в гравитационном поле затруднителен. Поэтому определение точных траекторных решений с некоторыми заданными начальными и конечными условиями требует привлечения приближенных численных методов. [c.101]

Первый столбец заключает пары 1-го рода, или одно подвижные, что соответствует относительному движению звеньев с одним независимым параметром. В простейшем случае это будет прямолинейно-поступательное движение и вращение вокруг постоянной оси они реализуются известными поступательной и вращательной парами и стоят в первой строке (обозначены буквами Я и В). Вторая строка содержит комбинации двух параметров, связанных одним уравнением. Случай [ В) реализуется также известной винтовой парой, если это уравнение линейное. Случай П В) реализуется парой качения с элементами в виде круглого цилиндра и плоскости, если это уравнение линейное. Случай ВВ) реализуется также парой качения, но с элементами в виде двух круглых конусов, оси которых перпендикулярны при линейном уравнении. Случай (ЯЯ)1, показанный на фиг. 27, может быть реализован криволинейно-поступательной (траекторной) парой, элементами которой на одном звене будут два одинаковых криволинейных паза, а на другом —два шаровых наконечника, ходящие в них кроме того, звенья должны иметь скользящие плоскости, параллельные плоскости, в которой лежат обе направляющие траектории. Вместо двух траекторий на одном звене и двух точек на другом для пары (ЯЯ), можно взять две пары огибающих и огибаемых, подобранных согласно данному [c.47]

Среди комбинаций третьей строки могут быть такие, которые определяются одним уравнением, связывающим два параметра, а третий останется свободным. Например, может быть с.чучай (ПП) В, который означает, что начало координат описывает некоторую плоскую траекторию, уравнение которой даётся зависимостью (Я/7) , а вращение спстемы происходит вокруг оси, имеющей в ней постоянное положение. Такой случай реализуется одинаковыми траекторными пазами в параллельных плоскостях и шипами второго звена, ходящими в этих пазах. Возможна также комбинация (ВВ) В, означающая одно независимое вращение, ось которого описывает в пространстве определённый конус согласно зависимости BB) . Она может быть реализована шаровой парой с прорезью по сферической кривой, уравнение которой определяется по заданной зависимости (88)1- [c.51]

Правые части уравнений системы (1.30) зависят только от двух угловых переменных ап, fn- Третий угол — угол скоростного крена (угол прецессии) 7 характеризует положение плоскости пространственного угла атаки относительно траекторной системы координат OX Y Zk- Эту угловую координату следует принимать во внимание, когда решается задача о рассеивании точек падении тела на поверхность планеты. Далее дифференциальное уравнение для угла скоростного крена рассматривать не будем. [c.36]

Проанализируем движение относительно центра масс осесимметричного тела на начальном атмосферном участке полёта для случая, когда угол атаки мал, на основе исследования системы уравнений, записанной для малых углов атаки (1.39). Рассмотрим движение тела без учёта асимметрии, пренебрегая демпфированием. Тогда, используя асимптотический метод ВКБ [32], можно получить следующее решение для комплексного угла атаки в траекторной системе координат [c.46]

Динамическая (или траекторная) часть задачи сводится к минимизации интеграла от квадрата реактивного ускорения с дифференциальными связями — уравнениями движения [c.277]

В гл. 2 рассмотрены уравнения движения заряженных частиц в электрическом и магнитном полях, а также траекторные [c.9]

Дифференцирование. Для того чтобы использовать распределение потенциала при траекторных расчетах, необходимо уметь вычислять все компоненты электростатического и магнитного полей. Поскольку поля связаны с потенциалом уравнениями (1.17), (1.22) и (1.13), либо уравнениями (1.12) и (1.6), задача сводится к численному дифференцированию распределения потенциала по всем координатам. В следующих двух главах мы увидим также, что и производные потенциала более высокого порядка могут понадобиться как для расчета хода лучей, так и для вычисления коэффициентов аберрации. Может показаться, что вычисление этих производных — простая задача. Многократно используя формулы (3.281) — (3.283) и (3.286), можно вычислить производные любого порядка простым вычитанием друг из друга потенциалов в соседних узлах. Однако, если вспомнить, что говорилось об этом в разд. 3.3.1.2, становится понятным, что такой процедуры следует избегать, если мы заботимся о точности. Действительно, при вычислении производной высокого порядка мы несколько раз вычитаем друг из друга разности между разностями потенциала, что неизбежно приводит к уменьшению точности по мере увеличения порядка производной. [c.170]

Система дифференциальных уравнений (6.2) — (6.4) еще ие является полной, и ие только потому, что описывает движение ракеты в одной плоскости. Как раз для целей баллистических расчетов. модель плоской траектории позволяет в достаточной мерс точно определить все интересующие нас траекторные параметры. Дело совсем в другом. [c.245]

Величины Пх, и являются чисто траекторными параметрами и оп-ределяются в результате численного интегрирования уравнений движения. [c.346]

После такого упрощения достаточно однородного электростатического поля Е для описания воздействия плоского конденсатора на заряженную частицу. Направим ось х декартовой системы координат вдоль поля и используем координату z в качестве независимой переменной (рис. 5). Подставляя Ех==Е и Ey=Ez = Bx = By = Bz Q в релятивистские траекторные уравнения (2.81), получаем у"=0, а это означает, что у =уо = = onst. Проекцией траектории на плоскость yz является прямая, определяемая начальным наклоном уо. Если начальная скорость не имеет составляющей по оси у, то проекция траектории на указанную плоскость отсутствует, поскольку отсутствует сила, действующая вдоль оси у. В этом случае траектория целиком лежит в плоскости xz. В общем случае у уо, п уравнение (2.80) дает следующее выражение для проекций траектории на плоскость xz [c.43]

Пусть X = хо(/) —уравнение такой траектории, одно из решений уравнений (31,1). Рассмотрим деформацию сферического элемента объема при его перемещении вдоль этой траекторни. Она определяется уравнениями (31,1), линеаризованными ю разности = х — Xq(/) — отклонению траекторий, соседних с данной. Эти уравнения, написанные в компонентах, имеют вид [c.168]

Вычислительные аспекты. Решение задач современной астродинамики и космической техники немыслимо без расчетов, проводимых с помощью электронных вычислительных машин. К сожалению, теория и применение программирования для ЭВМ и диагностических методов зачастую игнорируются специалистами, формулируюш ими задачу для решения, хотя машинное время, затрачиваемое на решение сложной задачи, и точность решения обычно крайне чувствительны к самой постановке задачи. Опыт, накопленный в ходе решения траекторных задач на ЭВМ, указывает на то, что годографическая формулировка задачи значительно больше способствует эффективному решению при данной совокупности методов программирования, чем обычная обш епринятая постановка. Некоторые из основных причин такого положения можно, по крайней мере в общих чертах, понять на примере сравнения следующих альтернативных уравнений движения в двумерном пространстве, записанных соответственно в обычном и в годографическом виде [c.66]

Из сравнительного рассмотрения приведенных уравнений вытекает, что как порядок дифференциальных членов, так и степень, с которой они входят в годографические уравнения, всюду первые, в то время как в обычные уравнения входят как вторые производные, так и квадраты и произведения первых производных. Такое различие может оказать существенное влияние на трудность программирования, особенно когда речь идет о больших и сложных программах. Простота функциональных зависимостей в годографической записи достигается благодаря отказу от непосредственного использования пространства векторов положения. Все связи, налагаемые пространством векторов положения, удовлетворяются в векторном пространстве высшего порядка. Окончательный вид траектории в пространстве векторов положения всегда можно определить с помош,ью годографических преобразований. Для реализации этих преобразований на ЭВМ достаточно разработать стандартный алгоритм — тогда не нужно будет изменять программу для каждой новой траекторной задачи. [c.67]

Программное наведение УАСП. Представим математическую модель траекторного движения УАСП векторным дифференциальным уравнением вида [c.141]

Третья строка содержит комбинации трёх параметров, связанных двумя уравнениями. Случай (ППП) может быть реализован аналогично случаю (ПП ) с помощью трёхтраекторной пары с условием, что три точки другого звена не лежат на одной прямой. Случай ПП В) реализуется парой качения в плоскости или двухтраектор-ной парой в плоскости же, но, вообще говоря, с разными траекториями двух разных точек. Случай ВВВ) реализуется парой качения конусов, что может быть приведено в паре качения на сфере (фиг. 29) или двух-траекторной паре на сфере же. Других случаев третьей строки, а равно случаев четвёртой строки и пятой не рассматриваем, так как они в практике до сих пор не встречались и представляют возможные комбинации, над конструктивной реализацией которых следует подумать. [c.48]

Не рассматривая всех комбинаций четвёртой и пятой строк, остановимся на одном случае четвёртой строки, именно — на случае ПППВ)2. Если в уравнения не входит В, т. е. если его изобразить как (ППП)2, то мы можем построить траектории двух точек, которые и определят движение оси независимого вращения. Реализовать такую пару можно с помощью двух траекторных пазов и шаровых шипов второго звена, ходящих в них. [c.51]

В шестой строке стоит самая общая комбинация (ПППВВВ)л. На основе этих четырёх уравнений можно построить пару следующим образом. Исключая из уравнений параметры В, получим одно уравнение, определяющее траек-торную поверхность подвижного начала. Помещая это начало в других точках, мы таким же образом можем составить четыре уравнения траекторных поверхностей для четырёх точек, которые могут заменить уравнения. Это задание вполне определяет движение кинематически для всех случаев без исключения. Например, для цилиндрической пары достаточно задать четыре соосных цилиндра для четырех точек, не лежащих в одной плоскости. При этом по заданным действующим силам и движению могут быть определены статически все четыре реакции связи. Таким образом, рассматриваемые пары 2-го рода имеют четыре условия связи. Здесь можно повторить то, что было сказано в отношении пар 1-го рода определение действительных реакций требует знания или, по крайней мере, некоторого правдоподобного предположения относительно деформаций, следовательно, и здесь в действительности имеются пассивные связи. [c.51]

Движение точки определяется уравнениями а =40< у = Ъ , где X, у ъ ж, I — в сек. Определить радиус д кривизны траекторни при =3 сек. [c.46]

В ряде случаев имеет смысл упростить полные уравнения движения тела, для этого введём некоторые несущественные, с точки зрения анализа вращательного движения, допущения. В задачах о спуске в атмосферу Земли неуправляемых летательных аппаратов баллистического или полубаллистического типа можно полагать, что дальность и продолжительность атмосферного участка невелики по сравнению с орбитальным участком, в связи с чем Землю можно рассматривать как невращающийся шар с центральным полем притяжения. Если не ставится специальной задачи, то, как правило, ветровые возмущения также не учитываются. При указанных допущениях для описания поступательного движения тела целесообразно воспользоваться траекторной OXkYkZk и нормальной OXgYgZg системами координат (рис. 1.5), связь между которыми осуществляется с помощью двух углов угла наклона траектории -д и угла курса фа- Уравнения движения центра масс тела можно представить в виде [1 [c.26]

Динамические уравнения вращательного движения (1.19) следует дополнить тремя кинематическими уравнениями. Будем рассматривать три системы координат нормальную OXgYgZg, траекторную OX Y Zj. и связанную OXYZ (рис. 1.1 и рис. 1.5). Траекторная система вращается относительно нормальной с угловой скоростью [c.27]

Существенные упрощения в системе (1.33) можно получить, если перейти к комплексным переменным. Запишем две формы уравнений движений в комплексном виде. В первом случае комплексный угол атаки определяет связь между траекторной системой координат OX Y Z и системой координат, связанной с пространственным углом атаки, OXnYnZn, [c.40]

Системы уравнений (1.36) и (1.39) включает в себя комплексный угол атаки 8, который, согласно замене (1.34), зависит от пространственного угла атаки ап и угла скоростного крена 7а, то есть определяет связь между траекторной системой координат OXkYkZk и системой координат, связанной с пространственным углом атаки, OXnYnZn (рис. 1.1). Системы уравнений (1.36) и (1.39) удобно использовать при решении задач о рассеивании точек падения тел на поверхность планеты [45. [c.42]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...