Метод обобщенных рядов Фурье

Видоизменение, которое будет описано ниже, и которое назовем методом обобщенных рядов Фурье, свободно от этих черт неэффективности и позволяет, непосредственно из данных задачи, конструировать необходимую базисную систему и коэффициенты разложения. [c.500]

Методом обобщенных рядов Фурье теорема существования для задачи [c.544]

Решение краевых задач теории упругости для кусочно-неоднородных сред методом обобщенных рядов Фурье. Труды Грузинского политехи, ин-та 4 (97) (1964), 11 — 19. [c.648]

Функциональные уравнения, которые в предыдущих главах использовались для доказательства теорем существования, могут быть также применены для построения приближенных (численных) решений [15]. Для этой цели мы воспользуемся приемом, основанным на замене интегральных (функциональных) уравнений системами линейных алгебраических уравнений, эквивалентными, в некотором смысле, исходным уравнениям, ( 1 — 19) и методом разложения в обобщенные ряды Фурье по некоторым полным системам функций ( 20 — 37). [c.319]

Эта книга возникла из записей, которые я сделал в течение последних 10 лет для лекций по физической оптике, физике дифракции и электронной микроскопии, предназначенных студентам старших курсов и аспирантам. Она отражает мой особый интерес к дифракции электронов и дифракции от разупорядоченных и несовершенных кристаллов в ней используется подход, особенно удобный для рассмотрения именно этих вопросов. Такой метод использует фурье-преобразование с самого начала, а не как обобщение методов рядов Фурье, он не только более удовлетворителен по лежащим в его основе концепциям и теориям, но и позволяет с единых позиций рассматривать все различные разделы физики дифракции, будь то дифракция электронов, рентгеновских лучей или нейтронов. [c.9]

Значение подобных сравнений, разумеется, относительно, и полное решение вопроса о достоинствах нового метода как расчетного, может быть получено только установлением точных формул для оценок приближения. Такими формулами мы еще не располагаем, и в настоящее время об обобщенном методе Фурье в этом смысле можно сказать лишь то, что известно вообще о представлении решений граничных задач рядами по полным системам функций, ортонормированных в некоторых функциональных пространствах. Эти вопросы требуют дальнейшего изучения и могут привести к важным дополнениям метода. [c.500]

Обычно принято считать, что метод Фурье, связанный с разделением переменных, допускает эффективную реализацию только для некоторых конкретных областей. На самом деле, как мы видели, при достаточно общих предположениях относительно области и других данных задачи, решение всегда выражается в виде ряда Фурье, с явно задаваемыми коэффициентами. В связи с этим, этот метод мы назвали методом обобщенных рядов Фурье. В действительности, в идейном отношении он близок к так. называемому методу уравнений Фишера—Рисса, получившему широкое развитие, применительно к уравнениям эллиптического типа, в работах современных итальянских математиков (Пиконе, Америо, Фикера и др.), (см. Miranda [11). Основное отличие нашего метода от метода уравнений Фишера—Рисса состоит в том, что в первом содержится общий процесс построения необходимой полной совокупности частных решений, играющей здесь главную роль (см. Купрадзе [171). [c.544]

Первое изложение метода обобщенных рядов Фурье было дано в совместных работах Купрадзе и Алексидзе [11, [21 и более подробно в книге Купрадзе [131. [c.544]

Метод обобщенных рядов Фурье. Вводные замечания. Рассмотренные в предыдущих параграфах численные примеры показывают, что метод канонических функциональных уравнений может быть использован для получения приближенных решений граничных задач. Однако общего доказательства сходимости процесса приближения, применяемого в этом методе, мы не имеем, и теоремы 19 дают доказательство сходимости лишь в частных случаях. Теперь мы укажем другой способ приближенного решения граничных задач, в котором нам удалось доказать сходимость. Этот метод позволит получить решения в виде р.чдов по некоторым полным системам ортогональных функций и конечные их отрезки представляют приближения к точным решениям, [c.394]

Идея представления решений граничных задач рядами по ортогональным функциям есть одна из основных идей математической физики и различные ее реализации применялись неоднократно. Достаточно подробный обзор соответствующих результатов и их применений можно найти, например, в известной книге Л. В. Канторовича и В. Й. Крылова Приближенные методы высшего анализа (Гостехиздат, 1949, М.—Л.). Главное затруднение, с которым приходится иметь дело при пользовании этим способом, состоит в указании систем функции, по которым следует разлагать искомое решение, для того чтобы обеспечить сходимость к точному значению. Кроме того, во многих случаях необходимо иметь функцию Грина и ей подобные другие функции, чтобы завершить доказательство сходимости. Дополнительные трудности возникают при рассмотрении задач с многосвязными областями. Способ обобщенных рядов Фурье, который мы изложим ниже, как нам кажется, свободен от этих недостатков. В 21—38 он будет применен к граничным задачам для одного уравнения и для систем уравнений. Эти результаты (за исключением тех, которые относятся к смешанным задачам) получены в совместной работе автора и М. А. Алексидзе [15] и излагаются здесь с некоторыми изменениями и дополнениями. [c.395]

Способ разложения граничных функций. Как мы видели, строя по методу функциональных уравнений приближенное решение задачи (D), мы сначала получае1М обобщенный ряд Фурье для граничных значений вектора напряжений а в задаче Т) — ряд Фурье для граничных значений вектора смещений и лишь затем находим значения смещения и напряжений в произвольной точке внутри области. Аналогичную картину имеем и при решении смешанных задач (см. 32—37). На практике встречаются задачи, в которых основной интерес представляют именно эти промежуточные величины, и тогда, очевидно, метод функциональных уравнений особенно удобен. [c.464]

В основе метода обобщенных определителей Хилла [9 лежит представление одного из решений общего уравнения (3) в форме (14). Пусть матрица-функция G (/) в уравнении (3) разложена в ряд Фурье по времени [c.128]

Алгоритм метода обобщенных определителей Хилла. Для системы с п степенями свободы при сохранении в рядах Фурье (54) и (55) первых Ра р гармоник соответственно размерность матрицы К равна 2п (2/io + 1) (2р + 1). В связи с высокой размерностью могут встретиться затруднения при проверке условий устойчивости. Если система обладает полной и достаточно сильной диссипацией, то следует отдать предпочтение критерию Зубова. Если диссипация отсутствует или она не является полной, то в области устойчивости все или часть характеристических показателей — чисто мнимые. Критерии Рауса — Гурвица и Зубова в этих случаях непригодны. Устойчивость проверяют непосредственным вычислением комплексных корней уравнения (56). [c.130]

Идея метода состоит в том, чтобы искать вектор-функцию х(0 виде ряда Фурье с векторными коэффициентами и затем свести задачу к некоторому уравнению относительно характеристического показателя А. Это уравнение оказывается условием равенства нулю определителя некоторой блочной матрицы - обобщением определителя Хилла в теории уравнений Матье -Хилла. [c.493]

Классический метод решения задач теплопроводности заключается в нахождении решения в виде ряда частных решений дифференциального уравнения и некоторых граничных условий, причем коэффициенты ряда определяются из теории рядов Фурье или аналогичных им рядов. Этот метод вполне пригоден для задач с ограниченными областями. Однако при рассмотрении неограниченных областей соответствующий метод с использованием интегралов Фурье следует считать чисто формальным вследствие трудностей, связанных со сходимостью. (Весьма важные функции, например единица, не имеют преобразования Фурье.) Тем не менее эта формальная теория действительно дает правильные результаты, которые могут быть проверены а posteriori ее можно сделать строгой путем обобщения [1] теории преобразования Фурье на комплексную плоскость. Кроме того, все чаще используется не интеграл Фурье, а эквивалентный метод преобразования Фурье <см. 3 гл. И). [c.445]

Хотя ряды при решении нелинейных краевых задач используются чрезвычайно широко, далеко не всегда они обладают перечисленными свойствами. Так, ряды Тейлора зачастую сходятся медленно и при этом в небольших областях, применение рядов Фурье для нелинейных уравнений приводит, как правило, к бесконечным системам нелинейных уравнений для определения коэффициентов, которые необходимо обрезать и решать затем приближенно. В то же время наличие точных методов нахождения коэффициентов рядов позволяет даже при небольшой области сходимости и медленной скорости сходимости ряда применять современную технику аналитических продолжений (например, аппроксиманты Падэ), ускорения сходимости, определять характер особенностей. Разумеется, каждый конкретный ряд позволяет получить аналитическое решение в какой-либо области в предположении, что в ней отсутствуют разрывы. Тем не менее, при построении обобщенных решений, в частности уравнений гиперболического типа, выделяя линии разрывов решений или каких-либо их производных, можно с помощью операций сшивок рядов получать конструктивные описания решений и в этих случаях. [c.238]

Задачи такого типа впервые возникли при изучении изоспек-тральных деформаций для ряда нелинейных задач математической физики. В случае обратимости соответствующих преобразований в рамках данного подхода был развит метод обратной задачи рассеяния (см., например, [1, 33, 85, 87, 115]), позволивший для некоторых нелинейных волновых уравнений типа Кортевега — де Фриза (КдФ) и его модификаций, уравнений Кадомцева — Петвиашвили, нелинейного уравнения Шредингера, уравнений синус-Гордона и др., получить специальный подкласс солитоноподобных решений. Этот метод по сути дела является нелинейным обобщением анализа Фурье и может рассматриваться как нелокальная линеаризация исходных нелинейных волновых уравнений, ассоциируемых с заданной линейной задачей на собственные значения посредством условия интегрируемости пары дифференциальных уравнений в частных производных. В дальнейшем уравнения, обладающие решениями такого сорта, полученными в рамках метода обратной задачи или эквивалентных ему, будем условно называть вполне интегрируемыми. Термин точной интегрируемости сохраним для систем, решения которых выражаются в квадратурах и определяются [c.8]

Таким образом, при каждом цикле колебаний амплитуда увеличивается на 2Qllk, в результате чего суммарное перемещение системы стремится к бесконечности. На рис. 1.45, в показана кривая, демонстрирующая это нарастание перемещения после нескольких первых циклов колебаний. Из сказанного можно сделать вывод, что в любой период функции возмущающей силы при совпадении частот возмущающей силы и системы будут возникать большие амплитуды вынужденных колебаний, если эта сила совершает при каждом цикле положительную работу. Таким образом, использование интеграла Дюамеля для определения перемещения системы во времени при действии обобщенной периодической возмущающей силы представляет собой метод, отличный от приведенного в п. 1.11, где динамические нагрузки были представлены в виде рядов Фурье. [c.98]

Расчеты периодических колебаний в существенно нелинейных неконсервативных системах можно проводить 1) методом гармонической линеаризации (гл. 12), если есть основание полагать, что искомые колебания близки к синусоидальным х(/) у4р+у48тш/ 2) на основе теории бифуркации рождения предельного цикла, если в пространстве параметров системы рабочие значения параметров располагаются вблизи границы области устойчивости (гл. 11) >. В остальных случаях приходится прибегать либо к обобщению метода гармонической линеаризации, представляя искомое решение отрезком ряда Фурье из П слагаемых, либо к непосредственному использованию численных методов. [c.147]

Метод размерностей основан на принципе Фурье, показавшем, что члены уравнений, описывающих физические явления, всегда имеют одинаковую размерность. С помощью этого метода с учетом ряда ограничений [42, 45, 46] получают обобщенные переменные (ОП) 7r=pi/p p5pJ, содержащие значительно больше информации, чем обычные бинарные зависимости вида Л= Ф(Р ),/2 = Ф(рг), -Jn = критерии подобия имеют тожественные значения. Тогда эти критерии в симплексной форме можно представить в следующей форме [c.185]

Краевая задача (41) называется задачей Трикоми (для уравнения Чаплыгина (22.47)). В послевоенных работах Ф. И. Франкля и его последователей эта задача получила исчерпывающее решение, причем оказалось, что для нее, как и для задач об истечении дозвуковых струй, эффективен метод Фурье (разделение переменных с последующи.м представлением решения в виде рядов по частным решениям). Напротив, задача (39) при < ц, принадлежащая к классу так называемых обобщенных задач Трикоми, оказывается очень трудной, хотя и решалась приближе1п10 численными методами рядом авторов. Здесь необходимы дальнейшие аналитические исследования, В частности, представляет большой интерес асимптотическое поведение трансзвукового течения, когда щ г со стороны > с. [c.306]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...