Доказательство сходимости

На втором этапе, как правило, приходится заменять исходное уравнение или систему уравнений некоторыми другими уравнениями, которые позволяют построить численные методы их решения. При разработке численного метода исследователь сталкивается с целым рядом проблем. Во-первых, вычислительный алгоритм должен быть устойчивым, т. е. малые ошибки, допущенные на каком-либо этапе вычисления (например, при округлении числовых данных), при дальнейших вычислениях не должны иметь тенденции к существенному возрастанию. Во-вторых, численный метод должен обеспечивать сходимость к искомому решению. Дать строгое доказательство сходимости и устойчивости разработанного численного метода оказывается возможным далеко не всегда. В этой связи исследователь вынужден часто разрабатывать и использовать численный метод без строгого математического, обоснования его применимости. [c.53]

Прежде всего подчеркнем, что нелинейная теория волновых течений энергично развивается в последние годы благодаря широкому использованию численных методов [29, 30, 43]. При использовании аналитических методов решения обычно представляются в виде бесконечных рядов, доказательство сходимости которых требует большой вычислительной работы [36]. Важные тенденции в поведении волн конечной амплитуды могут быть выявлены с помощью различных приближенных методов. В частности, если в описании гравитационных волн ограничиться третьими степенями амплитуды, то уравнение поверхности жидкости бесконечной глубины имеет вид [c.142]

Решение систем уравнений. Рассмотрим теперь, как применяются итерационные методы для решения систем уравнений. Ограничимся кратким изложением алгоритмов, опуская доказательства сходимости и оценки погрешности. [c.29]

Хотя и не имеется строгого доказательства сходимости процесса последовательных приближений в общем виде для трехмерной задачи теории пластичности, однако для некоторых классов задач (пластины, оболочки) такое доказательство существует. [c.290]

В плоскости эквивалентных напряжений и деформаций Оо, е (см, рис. 5.1. ]) точки упругого расчета стремятся к кривой деформирования. Не останавливаясь на доказательстве сходимости процесса, отметим, что обычно необходимая точность достигается после нескольких приближений. Условия (91) гарантируют сходимость и точность решения. [c.129]

В технических задачах доказательство сходимости, как правило, несущественно — ее наличие или отсутствие видно уже после первых шагов. Важно иметь возможность проверки правильности полученного результата. [c.129]

Можно доказать методом, аналогичным доказательству сходимости метода последовательных приближений Пикара, что последовательность функций 7 (t) при /%— оо сходится к решению системы уравнений движения машинного агрегата 192] [c.134]

Ниже приводятся основные положения доказательства сходимости последовательности в случае, когда система уравнений движения машинного агрегата имеет предельный цикл. [c.137]

Указанное предположение не является обязательным. Доказательство сходимости более объемное, чем приводимое, можно осуществить в общем случае [86]. [c.137]

Если вал лежит на двух подшипниках по концам, то для качала расчета вполне достаточно предположить, что (1)У, = 1, (1)У2 = I, 1 )Уя=1 и т. д. В этом случае можно также вследствие ортогональности основных форм колебаний уменьшить количество степеней свободы на одну и расчет повторить для новой системы уравнений. Приведем простое доказательство сходимости указанного метода, например для матрицы (2.66). С этой целью перепишем матрицу (2.66), придав ей форму, которая намечает 62 [c.62]

Третью группу составляют работы, в которых решение строится методом малого параметра. В общем виде такой подход с доказательством сходимости рассмотрен в [1,93]. Различные конкретные задачи решались таким путем в [8, 63, 102, 148, 218, 219, 220, 237]. Допущение о малости параметров, входящих в функцию, описывающую неоднородность тела, существенно использовано в [30, 92, 161] для построения асимптотических решений. [c.43]

Аналогичное доказательство сходимости можно провести для случая р( + > < 0. Таким образом, и при использовании подстановки (VI.27) задача может быть решена методом последовательных приближений. [c.82]

Таким образом, доказана сходимость как процесса простой итерации, так и процесса Зейделя. Отметим, что в процессе доказательства сходимости шаг сетки не вошел в оценку. Из этого можно сделать вывод о том, что доказательство верно в одинаковой степени для всех h, т. е. разностная схема корректна, и, следовательно, нет необходимости проверять устойчивость по граничным условиям [18]. [c.86]

Приведем доказательство сходимости последовательных приближений для этого случая. Введем обозначения [c.91]

Таким образом, доказана сходимость последовательных приближений к точному решению для граничных узлов. Поскольку, как уже отмечено, для функции р справедлив принцип максимума ( I ptt I < Hft), доказательство сходимости для граничных узлов должно быть тем более справедливым для внутренних узлов. Как [c.92]

Перейдем к доказательству сходимости оригинала е 2ц а 7 . [c.30]

Доказательство сходимости основано на оценке выражения [c.30]

В работе [20] рассмотрено также доказательство сходимости МКЭ при решении нелинейной задачи в случае использования несовместных конечных элементов. [c.68]

При доказательстве сходимости методов используются результаты работы [21]. [c.73]

Так же как и для метода упругих решений, доказательство сходимости метода переменных параметров построим на основе [c.76]

При исследовании волн конечной амплитуды решение сложной гидродинамической задачи с нелинейными граничными условиями обычно представляется в виде бесконечных рядов, доказательство сходимости и построение которых требуют большой вычислительной работы. Приближенные и точные методы решения задачи о волнах конечной амплитуды рассмотрены в [75]. [c.87]

Введение бесконечно большого числа переменных // , и неизбежность в практических расчетах урезания сумм, входящих в правую часть уравнения (84), без доказательства сходимости такого процесса, придает, конечно, всему методу эвристический характер. [c.470]

Таким образом, для доказательства сходимости конечно- элементной модели достаточно положить узловые перемещения равными их значениям в точном решении и показать, что яри уменьшении размеров конечных элементов полная энергия такой системы будет стремиться к своему точному значению. [c.205]

Вместе с тем в последнем случае существенно облегчается доказательство сходимости последовательности приближенных решений к точному решению. [c.270]

Подробные оценки, относящиеся к доказательству сходимости канонических преобразований, можно найти в [8, 86]. [c.247]

Для доказательства сходимости ряда (7) с а из (12) сделаем предположение о величине коэффициентов [c.271]

Для обеспечения сходимости рассмотренного метода последовательных приближений необходимо, чтобы параметр wi, связанный с функцией /i соотношением (1.70), и функция нелинейности /2 были малыми по сравнению с единицей. Если дополнительно принять /1 = /2, то указанный процесс построения приближений в изображениях ничем не будет отличаться от процесса построения приближений в рассмотренном ранее методе упругих решений Ильюшина в теории малых упругопластических деформаций (п. 1.7). В последнем случае известны доказательства сходимости метода, поэтому можно говорить о сходимости и в рассматриваемом случае. [c.64]

Таким образом, предложенный в предыдущей главе метод конечных элементов совпадает, по существу, с методом Ритца. Из общих результатов 2 приложения II следует, что для доказательства сходимости метода при /i = max/г , О достаточно проверить полноту системы функций (4.3) в F последняя проблема сводится к исследованию возможности аппроксимации функции из V кусочно-полиномиальными функциями. [c.158]

На основании результатов 11.2 доказательство сходимости метода конечных элементов сводится к оценке погрешности интерполяции функций из пространства V, в котором отыскивается решение базисными функциями метода конечных элементов. В настоящем параграфе будет приведено очень краткое описание схемы получения оценок погрешности для отдельного конечного элемента. В следующих ниже формулировках используется поня- [c.186]

Специалист заметит в книге некоторые случаи математической нестрогости, допускаемые ради краткости изложения, и особенно отсутствие доказательств сходимости процессов последовательных приближений, неоднократно рекомендуемых для проведения вычислений. Отсутствие этих доказательств автор не считает поводом к отказу от изложения соответствующих методов, учитывая многочисленные теперь случаи, когда практика расчетов опережает строгое обоснование соответствующих методов. [c.8]

Существует целый класс так называемых несовместных конечных элементов, которые образуются на основе функций ф , удовлетворяющих второму и третьему требованиям, т. е. линейной независимости и полноты, и не удовлетворяющих nepBOMv требованию принадлежности к энергетическому пространству Нд. В связи с этим оценки (1.13) —(1.17) непригодны для таких элементов и для доказательства сходимости здесь требуются новые приемы. Впервые доказательство сходимости для конкретного несовместного конечного элемента было получено в работе [83]. Рассматривался прямоугольный элемент плиты (элемент Клафа) с тремя степенями свободы в узле. При доказательстве существенно использовалась геометрия области (прямоугольнан плита) и граничные условия (защемление по контуру). Более общие приемы доказательства сходимости несовместных элементов были получены в работах [45, 69]. Здесь доказательство сходимости сводилось к проверке устойчивости системы (1.5) и выполнения условий кусочного тестирования. [c.11]

Следовательно, сейчас уже имеется достаточно надежный аппарат для теоретического обоснования несовместных конечных элементов, использование которых до недавнего времени считалось некорректным. Доказательство сходимости МКЭ в несовместном случае не использует традиционные приемы вариационно-разностных методов и является новой математической задачей. Таким образом, если МКЭ в совместном случае можно классифицировать как модификацию метода Ритца, то обоснованное применение несовместных конечных элементов позволяет классифицировать МКЭ как самостоятельный метод не только с точки зрения процедурной реализации, но и с точки зрения теоретического обоснования. [c.13]

Поскольку схема метода одного параметра (3.28) ан 1.погична схеме (3.16) для метода упругих решений, то для доказательства сходимости этого метода достаточно показать, что выбор параметра а по формуле (3.29) обеспечивает минимизируюш,ую последовательность функционалов. Для этого рассмотрим функционал задачи, соответствуюш,ий решению й +1 = ttn + an+iA +i [c.80]

Впервые доказательство сходимости метода упругих рещеиий бьшо выполнено И.И.Воро-вичем и Ю.П.Красовским [15] и базируется на оценке расстояний двух последовательных приближений от точного решения задачи. Это расстояние определяется в энергетической норме [c.233]

Такую схему можно построить на основе метода отражений , впервые примененного Смолуховским [29] к системе из п сфер. Этот метод используется и в данной главе, хотя необходимо отметить, что до сих пор нет строгого доказательства сходимости итерационного процесса к искомому решению. Поэтому в настоящее время приходится Удовольствоваться ограниченными эмпирическими свидетельствами в пользу метода. Так, метод дает согласие точным результатом Стимсона и Джеффри для осесимметричной задачи о двух сферах в некоторых других случаях имеется согласие с существующими экспериментальными данными. [c.272]

Таким образом, видно, что метод Релея — Ритца в теории упругости при малых перемещениях ведет к формулировкам, эквивалентным тем, которые получены с помощью приближенных методов 1.5 и 1.7. Однако каждый метод имеет свои преимущества и недостатки в применении к задачам, отличным от задач теории упругости. Эти приближенные методы справедливы независимо от соотношений напряжения — деформации и потенциалов внешних сил, но обычно трудно доказать, что приближенное решение сходится к точному при увеличении п. С другой стороны, соотношения напряжения — деформации, объемные силы и поверхностные силы должны обеспечивать существование функций состояния Л, Л Ф и Ч при использовании вариационных формулировок метода Релея — Ритца. Однако доказательство сходимости решений здесь менее сложно, особенно когда найдено минимальное или максимальное значение функционалов. [c.62]

Графики основных параметров напряженно-деформированного состояния (прогиба, угла поворота, изгибающего момента, перере-зьшающей силы) при > q , построенные по аналитическому решению и на основе метода обобщенной реакции, практически совпадают [20]. При этом существенным является тот факт, что графики прогиба, угла поворота и изгибающего момента хорошо согласуются с соответствующими графиками, построенными с использованием аналитического решения на основе кирхгофовской теории пластин. Дело в том, что в соответствии с приведенным в [42] доказательством сходимости метода обобщенной реакции равномерная сходимость гарантировалась лишь для прогиба и угла поворота кирхгофовской пластины. [c.274]

В обгцем виде поставленная задача математически приводится к регаению некоторого интегрального уравнения первого рода. В задачах теории крыла это ядро интегрального уравнения имеет особую точку, благодаря чему интеграл является несобственным, что чрезвычайно усложняет задачу. В рассматриваемой заботе М.А. Лаврентьев указал процесс, который приводит к регаению, и доказал сходимость этого процесса. Сугцность метода представляет обычный в теории интегральных сравнений прием замены их системою линейных уравнений. Доказательство сходимости полученного приближенного процесса приведено автором со всею нужною математической точностью. Регаение получается в виде доста- [c.171]

ПО Видимому, в случае, когда функции (2.1) аналитические, доказательство сходимо сти ряда (1.10) и рядов для производных можно свести к какому-то аналогу теоремы Коши—Ковалевской. Однако, поскольку мы имеем дело не с обычной задачей Коши для уравнения (1.4), а с задачей, когда начальные данные заданы на характеристичен ской поверхности - = О и дополнительные условия заданы на некоторой нехаракте ристической поверхности в пространстве (р. О, т = (3 t) (р = /3, t) [c.308]

Для случая линейных гиперболических систем разработан [3] метод решения задачи Коши при помощи сходящихся разложений на бегущие волны, когда члены рядов имеют в качестве множителей обобщенные функции, содержащие при увеличении номера члена ряда все более слабые особенности, а коэффициенты при обобщенных функциях определяются из обыкновен ных дифференциальных уравнений. Доказательство сходимости таких рядов сведено к теореме существования Коши-Ковалевской [4]. Однако не видно, как можно перенести эти результаты на случай нелинейных уравнений гиперболического типа. [c.317]

Сходимость ряда (1.6) и рядов для соответствующих производных можно доказывать для фиксированных функций (f), которые определяются для конкретных задач аналитическим краевым условием, заданным на нехарактеристической поверхности уравнения (1.4). Доказательство сходимости сводится к специальным аналогам теоремы Коши—Ковалевской. Теоремы такого типа для случая линейных уравнений доказаны в [3 - 5. [c.330]

Указанный путь развития метода дискретных вихрей можно рассматривать как эвристический. Он опирается на качественный анализ и югическое обобщение ряда фактов и закономерностей, установленнь[х расчетно-экспериментальным путем или точно доказанных в частных случаях. Благодаря развитию ЭВМ и численных методов аэродинамики стала возможной постановка численного эксперимента, особенно эффективного в тех случаях, когда он сочетается с аналитическими подходами и физическими экспериментом. При этом, конечно, важно иметь строгие доказательства сходимости и корректности таких подходов, что пока удалось сделать только частично [2.7,2.9]. [c.55]

Совершенно ясно, что, для того чтобы произвести вычисления до конца, необходимо заполнить все клетки, что фактически и было выполнено. Написанные значения мы будем считать первым приближением для рассматриваемой задачи. Чтобы получить второе приближение, производим вычисления согласно схеме, приведенной на рис. 8. Полученный результат для первого столбца (данные остальных столбцов опущены ради сокращения) приведен на рис. 10. Для получения третьего, четвертого и т. д. приближет1я необходимо повторить каждый раз указанные вычисления. Операцию нужно производить до тех пор, пока два соседние приближения не будут отличаться друг от друга. Доказательство сходимости процесса, которое мы здесь не приводим, читатель может найти в книге Скарбюро. [c.590]

Окислы, как правило, имеют малую область гомогенности этим можно объяснить, что при решении диффузионных задач определение распределения концентрации по толщине окисной пленки не представляло интереса. Тем не менее в [2] диффузионная кинетика po Tia оксида исследовалась для линейного закона распределения концентрации по толщине слоя. В [20, 49] решение диффузионной задачи, ошсьюа-ющей рост оксида, бьшо выполнено для граничных условий, близких к условиям роста диффузионных покрытий при этом использовались ряды. Несмотря на преимущества применения рядов для решения подобных задач, возникают и осложнения, связанные с необходимостью исследования сходимости рядов. В связи с этим иногда могут быть поставлены под сомнения и полученные рещения, если не найден путь доказательства сходимости. При решении задачи о росте диффузионного покрытия в предположении, что его толщина со временем изменяется по параболическому закону, могут использоваться представления, развитые в [46]. Рассмотрим однофазное покрытие. Предположим, что оно возникает в результате подачи вещества В на подложку из материала А при температуре Г, необходимо найти концентрацию Сд вещества А на поверхности покрытия, а также распределение концентрации вещества А по толщине покрытия. Если специально не оговаривается, то предполагается, что коэффициент диффузии вещества В в А пренебрежимо мал по сравнению с коэффициентом диффузии вещества А в В. [c.120]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...