Ортогональные функции

Если функцию формы F В, t) представить в виде ряда по полиномам Лежандра, из соотношения (2. 6. 8) будет следовать, что только член, пропорциональный P (6) os t, даст отличный от нуля вклад в амплитуду в. Соотношение (2. 6. 9) означает, что функция F (0, t) всегда ортогональна функции (0) sin i и, следовательно, зависимость фазы колебаний от времени имеет вид os t. [c.53]

ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ СИГНАЛОВ. Вычисление спектральных составляющих существенно облегчается при выборе в качестве базиса системы ортогональных функций. [c.55]

ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ. Условием попарной ортогональности функций, заданных в промежутке являются следующие условия [c.55]

Подставив это выражение в формулу (47,5) и производя интегрирование (учитывая при этом взаимную ортогональность функций sin 0 и sin п0 с и 1), получим [c.265]

Это уравнение пр 4 заданных граничных условиях имеет отличные от нуля решения лишь при определенных %п, составляющих набор его собственных значений. Все эти значения вещественны и положительны, а соответствующие функции Тп х, у, г) составляют полную систему взаимно ортогональных функций. Пусть распределение температуры в начальный момент времени дается функцией To x,y,z). Разлагая ее по системе функций J,, [c.291]

Для рассматриваемого примера уравнения для определения f< > оказались независимыми (в силу ортогональности функций поэтому рассмотрим [c.297]

Для определения входящих в него постоянных векторов используем условие (3.8) й свойство ортогональности функций Бесселя [5]. В результате [c.87]

Ортогональность функций на отрезке 155 [c.313]

Преобразование Фурье позволяет представить любую функцию, описывающую физически реализуемый процесс, через ее проекции на базис, образованный некоторой системой ортогональных функций. При аналитических исследованиях в качестве такого базиса, как правило, используют гармонические функции. [c.75]

Используем свойство ортогональности функции Бесселя [23], которое заключается в следующем [c.247]

Метод Бубнова —Галеркина основан на свойстве ортогональных функций. В курсе математического анализа дается следующее определение ортогональных функций если имеется семейство непрерывных функций [c.159]

С учетом свойств системы ортогональных функций все слагаемые уравнения (2.Ц) при 1 ] равны нулю, поэтому при г = ] уравнение (2.33) можно представить в виде [c.86]

Система функций называется полной, если не существует еще функции, ортогональной к данным функциям. Предположим, что некоторую функцию / (х) можно разложить в ряд по полной системе ортогональных функций /i(j ), [c.110]

Для нахождения в первом же приближении собственной функции фя возмущенного состояния разлагаем функцию являющуюся решением уравнения (13), по ортогональным функциям ф°,. .. невозмущенного [c.150]

Собственными функциями являются ортогональные функции Эрмита [c.695]

Вернемся после этого отступления к осциллятору и выясним вопрос, что изменится, если у нашего осциллятора будет не одна, а две или более степени свободы (пространственный осциллятор, твердое тело). Если каждой координате соответствуют различные механические собственные частоты (значения l a), то все останется по-прежнему. При этом достаточно представить у) В виде произведения функций от каждой из координат, чтобы вся проблема распалась на столько же задач рассмотренного типа, сколько имеется координат. Собственные функции будут произведением ортогональных функций Эрмита, собственные значения всей задачи будут суммами собственных значений, полученных для каждого измерения, во всех возможных сочетаниях. Ни одно собственное значение (всей системы) не будет кратным, если считать, что никакие из значений не находятся в рациональном отношении. [c.697]

Отыскание главных координат. Выше говорилось, что функции 1, jf, у и (О называют главными координатами, если они ортогональны. Ортогональность функций 1, X, у достигается, если в качестве системы координатных осей Оху принимается система главных центральных осей инерции (см. Дополнение). Остается найти такую функцию ш, которая ортогональна каждой из функций 1, X, у, т. е. удовлетворяет условиям равенства нулю интегралов (14.32)i,, ,д. С этой целью отнесем поперечное сечение тонкостенного стержня к системе главных центральных осей инерции X, у и установим зависимость между секторными площадями, соответствующими двум полюсам А н В при одной и той же произвольной точке начала отсчета секторной площади. Напомним (см. рис. 14.9), что дифференциал секторной площади выражается формулой d u=hds. Если полюс располагается в точке А (рис. 14.1.5), имеем [c.400]

Специфика обсуждаемой ситуации состоит в том, что раскладываемая в ряд функция нам неизвестна, вследствие чего интегралы, находящиеся в числителях коэ( х )ициентов %, Оз, а , не могут быть вычислены, и для их определения, т. е. для определения N. Му, М , В приходится прибегать к иному аппарату — N, Му, М находятся из условий равновесия (если система статически неопределима, то после раскрытия этой неопределимости) или все они, а также В определяются по формулам (14.46). Можно было бы расширить систему ортогональных функций, но для практического ее использования потребовался бы способ отыскания соответствующих им числителей в формулах для коэффициентов о/. [c.406]

Произведем проверку ортогональности функций са и х, ы и у, для чего, пользуясь правилом Верещагина, вычисляем интегралы ха йР и уа 1Р. [c.433]

Равенство нулю интегралов свидетельствует об ортогональности функций а и X, а и I/. [c.433]

Практическая реализация метода. В качестве ортогональных функций ф((г) в разложениях (1.6), (1.7), (1.И), (1.12), [c.35]

Учитывая ортогональность функций sln J- л и , nk x, по- [c.74]

Тогда условие ортогональности функций х) будет [c.148]

Для решения поставленной задачи, таким образом, необходимо выбрать систему ортогональных функций в зависимости от закона плотности распределения вероятностей случайной величины х. Требуемые системы ортогональных функций можно получить в виде решений уравнений [c.149]

Учитывая ортогональность функций л и (6.20), получим [c.239]

Относительно свойств ортогональности функций Бесселя, см. стр. 242 и 267. [c.138]

Коэффициенты разложения ряда в силу ортогональности функций sin т х можно определить по формуле [7 ] [c.234]

Используя граничное условие (2. 9. 6) и свойства ортогональности функций Гегенбауэра, после несложных преобразований получим выражения для коэффициентов [c.80]

Учитывая свойство ортогональности функций Уолша, коэффициенты 2(у) и Ь(р) заменяются на один коэффищ ент вида [c.87]

Для определения бесконечного множества неизвестных коэффициентов А используем систему уравнений, получаемую путем подстановки в (XV.176) и (XV.178) /ф и (Оф osO, разложенных в ряд по системе ортогональных функций ( os i ). Приравнивая далее коэффициенты при Р т ( os ) друг другу [члены с Р 2т + 1) X X ( os d) в этих уравнениях отсутствуют], получим искомые коэффициенты Л . Практически это достигается разложением [c.451]

Это есть формула преобразования секторной площади при изменении секторного полюса. Можно поставить задачу, зная сод — секторную площадь, соответствующую произвольному полюсу В и произвольной точке начала отсчета секторных площадей, — найти такое положение полюса А и такое положение М —точки начала отсчета секторных площадей, при которых секторная площадь Мд представляет собой функцию аргумента (з)— (з), ортогональную функциям 1, х(з) и у(х), т. е. удовлетворяющую условиям равенства нулю интегралов в (14.32)4 7 д. С этой целью подставим (14.39) в (14.32)4,7,9 вместо оз и приравняем результат подстановки нулю, в итоге чего получим [c.401]

Подставив выражения (1.6) и (1.7) в систему (1.4) и учитывая ортогональность функций ф.(т), приходим снова к алгебраической системе (1.5), имеющей единственное решение, если ее определитель отличен от нуля. Выбрав функции ф "(т) физиче-ческн реализуемыми, получим физически реализуемый фильтр с переходной функцией Т[1.7). [c.29]

С возрастанием v величина члена быстро уменьшается. На осносе вычисленных значений можно выразить прогиб у, что к является решением задачи. Следует иметь в виду, что описанный метод не ограничивается только применением собственных функций он пригоден и при применении других ортогональных функций, которые удовлетворяют заданным граничным условиям. Его можно рассматривать как метод, дающий лишь приближенные результаты, поскольку для выражения прогибов применяются функции, удовлетворяющие граничным условиям, но не удовлетворяющие дифференциальному уравнению движения. При вычислении второй производной функции лучше всего применить описанный выше способ Рейснера. В заключение следует вкратце упомянуть [c.99]

Ядра уравнений определяем гауссовскими плотностями вероятностей и которые быстро убывают при Xi , ос и поэтому разлагаются в ряд по ортогональным функциям Чебышева—Эрмита. Коэффициенты этого разложения выражаются через математические ожидания (Mj, М ) и корреляционную матрицу iDij (t, т)]. [c.293]

Аналогичную систем ортогональных функций можно востронть, если в точке х = с поставлено граничное условие 2-й или 3-й краевой задачи при х = с [c.242]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...