Метод статистической линеаризации

МЕТОДЫ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ЛИНЕАРИЗАЦИИ [c.147]

При статистическом анализе нелинейных динамических систем обычно возникает задача приближенной замены нелинейных функций, входящих в систему дифференциальных уравнений, более простыми. Так, например, статистическая линеаризация позволяет во многих практиче ских случаях находить линейные эквиваленты для нелинейных преобразований и применять для нелинейных систем хорошо разработанные методы, которые подробно рассмотрены в I главе и в [33, 69, 85]. Если нелинейные функции не могут быть описаны математически, то задача сводится к выбору подходящей аппроксимации совместно с методами статистической линеаризации [29]. Таким образом, может быть решена задача идентификации нелинейных систем. Отличительная черта рассматриваемых приближенных методов состоит в том, что анализируются соотношения между статистическими характеристиками процессов, а не между самими процессами. Это приводит к тому, что 10 147 [c.147]

Стремление к разработке методов анализа, более точных, чем метод статистической линеаризации, приводит к необходимости отказа от нормальности закона распределения вектора фазовых [c.150]

В ряде случаев более целесообразным может оказаться применение метода, основанного на предположении, что закон распределения вероятностей известен лишь для части вектора фазовых координат, а предположение о нормальном законе совместного распределения вероятностей вводится только для тех координат, которые поступают на входы нелинейностей,. а не всего фазового вектора выходных координат системы. Ряд других приближенных способов статистического анализа нелинейных динамических систем, в основе которых лежит модификация метода статистической линеаризации, можно найти в работах [ 13, 25, 65, 74, 85, 103]. [c.151]

Рассмотрим один из наиболее распространенных вариантов метода статистической линеаризации И. Е. Казакова [33, 34, 54, 69, 85]. Допустим, что уравнение динамической системы (3.1) имеет вид [c.151]

Из приведенных выше результатов следует, что одна из основных трудностей реализации метода статистической линеаризации связана с вычислением функций Fo = М [F (j )]. Результаты вычислений для наиболее типовых вариантов функций Fq можно найти в работе [ЗЗ]. [c.156]

Так как метод статистической линеаризации по своей сущности является приближенным, то для практического применения этого метода важно иметь оценку точности получаемых решений. Как правило, эта оценка (если ее вообще стремились получить) следовала после проведения метода статистических испытаний (Монте-Карло). В работах [34, 38, 85] сделаны попытки оценить границы применимости метода статистической линеаризации. [c.156]

Из изложенного выше следует, что методы статистической линеаризации позволяют свести систему нелинейных дифферен-156 [c.156]

Результаты, полученные в работах [81, 86], показали, что нормальный закон распределения вероятностей процессов как динамических воздействий на систему вида (3.28) является наиболее неблагоприятным для последней. Именно поэтому принимается гипотеза о нормальном законе распределения вероятностей. Это обстоятельство позволяет более достоверно судить о надежности динамических систем (3.28) при использовании в соответствующих исследованиях методов корреляционной теории случайных процессов (например, метода статистической линеаризации в задаче о выбросах колебаний нелинейных систем). [c.158]

НЕЛИНЕЙНО-УПРУГАЯ СИСТЕМА С ЖИДКИМ ЗАПОЛНЕНИЕМ (ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА СТАТИСТИЧЕСКОЙ ЛИНЕАРИЗАЦИИ) [c.166]

В практике статистического анализа нелинейных динамических систем большое распространение нашли методы статистической линеаризации [33, 69, 85], позволяющие в ряде случаев существенно упростить задачу исследования. Рассмотрим применение такого подхода к исследуемому классу динамических систем. Предположим, что в уравнении (6.2) s = 0 ц, = 0 -ую = 0 Q = N = = М = Q, что соответствует последнему из рассмотренных выше частных случаев [c.244]

Согласно методам статистической линеаризации представим нелинейную функцию (6.38) в виде [c.244]

Расхождение в результатах объясняется различием критериев устойчивости решений стохастических дифференциальных уравнений и выбором методики исследования. Отметим, что данная методика дает возможность исследовать приближенными методами движение систем в переходных режимах как при стационарных, так и нестационарных возмущениях, а в сочетании с методом статистической линеаризации перенести изложенные выше результаты на случай существенно нелинейных параметрических систем. В работе [54] исследование подобных систем приведено с использованием асимптотического метода и нестационарных уравнений ФПК. Из у.равнений (6.58), (6.59) следует, что наличие флюктуаций при линейных членах f н f приводит к увеличению дисперсии движения системы. Из рис. 70 видно, что наличие флюктуаций в нелинейных членах также приводит к изменению дисперсии системы по сравнению с системой с постоянными параметрами. Однако, как нетрудно показать из анализа выражения (6.54), увеличение дисперсии флюктуаций в нелинейных членах приводит к уменьшению дисперсии. В работе [27 ] рассмотрена проблема снижения резонансных амплитуд за счет введения флюктуаций при линейном члене /. При этом введение флюктуаций предполагалось кратковременным. Выражение (6.54) показывает новые возможности при решении подобных проблем в сочетании с принципом управления по возмущению (компенсация возмущений). [c.249]

В связи с близостью уравнения (1) й линейному для его решения вое. пользуемся одним из вариантов метода статистической линеаризации [21-Уравнение (1) представим в форме [c.70]

В тех случаях, когда степень нелинейности Пу , t, s) значительна и при анализе технологического процесса путем применения линейной модели требуемая точность не может быть достигнута, используется метод линеаризации, который дает возможность применить приведенные выше методы линейных преобразований случайных функций для нелинейных объектов. Таким образом, линеаризация дает возможность применить хорошо разработанные методы анализа точности линейных систем к исследованию нелинейных объектов. Ниже рассматривается один из методов линеаризации — метод статистической линеаризации, который применяется при статистическом исследовании технологических процессов. [c.359]

Сущность метода статистической линеаризации заключается в том, что производится замена нелинейно связанных случайных функций статистически эквивалентной линейной зависимостью. Чаще всего для практических целей статистическая эквивалентность понимается для таких связей, которые имеют одинаковые моменты первого и второго порядка при том же законе распределения аргумента. Так, в простейшем случае для двух случайных величин — входной X и выходной Y, связанных зависимостью Y — / (X) при статистической линеаризации ставится задача заменить случайную величину Y такой случайной величиной Z, являющейся линейной функцией X [c.359]

По дисперсионному методу статистической линеаризации весовая функция g (t, s) определяется из следующего интегрального уравнения [c.360]

При исследовании нелинейных случайных колебаний рельсовых экипажей можно пользоваться методами статистической линеаризации, эквивалентных передаточных функций, методом малого параметра и др. Вычисление эквивалентных линеаризованных характеристик выполняют методом последовательных приближений. В ряде случаев применяют более точные, но требующие большого объема вычислений Методы, например интерполяционный или метод статистических испытаний, а также статистическое моделирование на АВМ (см. выше). [c.421]

Допустим, что девиатор деформации е — стационарная случайная функция времени. Положим для простоты, что математическое ожидание равно нулю. Пусть требуется выяснить поведение материала при таком законе деформирования. Прямое использование уравнений (5) — (Ю) для этой цели наталкивается на значительные трудности в силу нелинейности этих уравнений. Поэтому целесообразно применить приближенные методы. Одним из наиболее простых и эффективных методов анализа нелинейных систем является метод статистической линеаризации [192]. Ниже этот метод используется в задаче анализа поведения упругопластического материала при случайном законе деформирования. [c.152]

Единственной нелинейной функцией в уравнениях параграфа 1 является тензорная функция йе /ой. В соответствии с методом статистической линеаризации аппроксимируем эту нелинейность линейной функцией [c.152]

В это выражение входят математическое ожидание v и его средний квадрат. Для их вычисления достаточно знать одномерный закон распределения Vf , но этот закон до решения задачи в целом остается неизвестным. В методе статистической линеаризации вид этого закона обычно задают. Поскольку п/, — неотрицательная случайная величина, приемлемой аппроксимацией ее одномерного закона распределения является распределение Рэлея [c.153]

Пусть g t) стационарный нормальный случайный процесс с заданным математическим ожиданием и спектральной плотностью Sg (ш) Тогда приближенное решение уравнения (37 ) может разыскиваться в виде стационарного случайного процесса, также обладающего нормальным распределением [159]. При этом можно пользоваться методом статистической линеаризации нелинейной функции / (х), В соответствии с этим методом функция / (х) заменяется линейной функцией. [c.244]

Принцип максимума надежности одинаково применим как к линейным, так и нелинейным системам. Для приближенного решения нелинейных задач можно использовать, например, метод статистической линеаризации. При этом используется гипотеза о том, что выходной процесс близок по своим свойствам к нормальному процессу Нелинейные стохастические уравнения приближенно заменяются некоторыми линейными уравнениями с коэффициентами, зависящими от математических ожиданий и моментов второго порядка от исследуемых процессов. После того как стохастическая задача решена и взаимно однозначное соответствие между параметрами нелинейной и эквивалентной линейной задачи установлено, минимизация числа выбросов может быть произведена по параметрам любой из этих задач. [c.61]

Другой приближенный способ решения — метод статистической линеаризации — является обобщением на стохастические нелинейные задачи метода гармонической линеаризации, применяемого в детерминистической теории колебаний. Нелинейные функции в исходном уравнении заменяются линейными выражениями f и) ku, которые в некотором смысле дают наилучшее приближение. В качестве критериев обычно используют условия равенства дисперсий (f) = k (м ) или минимума среднего квадратического отклонения линейной функции [c.80]

На первый взгляд предлагаемые обобщения детерминистических методов на стохастические нелинейные задачи являются вполне естественными, однако это не совсем так. Как в методе малого параметра, так и в методе статистической линеаризации уравнения (3.4) и (3.5), полученные в результате преобразований, [c.80]

Сравнение приведенного в п. 14 приближенного решения с использованием метода статистической линеаризации с точным решением показывает, что отличие конечных результатов в зависимости от параметров систем может быть значительным. [c.81]

Метод статистической линеаризации [c.81]

Для исследования колебаний нелинейных систем при случайном воздействии часто используют метод статистической линеаризации, изложенный, например, в работах [10, 51]. Задача статистической линеаризации заключается в замене нелинейной случайной функции F (х, х) линейной, т. е. [c.82]

Введение в формулу (3.7) совместной плотности вероятности / (х, х) является наиболее слабым местом метода статистической линеаризации, так как эта функция неизвестна. Поэтому приходится ввести допущение, что функция / (х, х) близка к двумерному нормальному закону распределения независимых случайных функций, т. е. считать [c.82]

Из полученных выражений для Д и /а следует, что закон распределения у1 [первой производной решения уравнения (3.I6)J является нормальным, а закон распределения координаты У2 не является нормальным, как это предполагалось в методе статистической линеаризации. Только при д, = О fa переходит в нормальный закон. Зная законы распределения и /2. находим дисперсии [c.87]

Из ур.авнения (3.34) получаем выражение для дисперсии, точно совпадающее с уравнением (3.25), полученным по методу статистической линеаризации, что и можно было ожидать, так как относительно х уравнение (3.16) линейно. Выражение (3.25) дает возможность определить al численно для любого i в отличие от выражения (3.21), справедливого только для малых (д,. Получим приближенное значение а , полагая [c.87]

Множитель, входящий в формулу (3.37), представляет собой дисперсию решения при j, = О, т. е. дисперсию решения линейного уравнения. На рис. 3.2 приведены кривые изменения безразмерных коэффициентов и в Зависимости от безразмерного параметра jaj. Из рисунка следует, что в интервале изменения безразмерного параметра (О— 0,15) безразмерные коэффициенты hi и /i2 мало отличаются друг от друга, т. е. значения дисперсий о1, подсчитанные по методу статистической линеаризации и с использованием теории Марковских процессов, практически совпадают. При значениях Xi >0,15 погрешность при определении по методу статистической линеаризации может быть весьма большой. Так, например, при iJ,i = 0,4 ошибка в определении достигает приблизительно 25%. [c.88]

Получим приближенное решение уравнения (3.43), воспользовавшись методом статистической линеаризации, допустив [c.91]

Метод статистической линеаризации при исследовании детерминистических систем [c.92]

Среди приближенных методов нгшбэльшее распространение получили методы статистической линеаризации, эквивалентной передаточной функции и совместной статистической и гармонической линеаризации [15]. Но эти методы дают удовлетворительнее результаты лишь при нормальном законе распределения случайного i игнала на входе нелинейного элемента, что ограничивает возможности применения указанных методов. [c.91]

Из этого следует, что статистическая линеаризация оперирует с отрезком ряда (3.4) и, следовательно, в общем случае не может дать в принципе точного решения ни при каком законе распределения аргумента. Хотя методы статистической линеаризации не получили до настоящего времени строгого теоретического обоснования , во многих практических случаях они дают по сравнению с точными методами вполне удовлетворительную точность [9, 11, 34, 54, 59]. В работах [33, 54, 59] показано, что существует широкий класс нелинейных динамических систем, для которых приближенный метод расчета, основанный на применении только статистической линеаризации, соответствует физической картине явлений. Широко распространенный метод статистической линеаризации нелинейных динамических систем основан на двух предположениях 1) анализируемая нелинейная система близка к линейной, что дает возможность заменять бызынерционные нелинейные преобразования линейными 2) известен с точностью до параметров закон распределения вероятностей процессов на входе в нелинейный элемент, что дает возможность определить линейное преобразование, эквивалентное нелинейному по статистическим характеристикам. Эти предположения эквивалентны предположению о нормальности закона распределения вероятностей всего вектора фазовых координат нелинейной системы. [c.150]

В связи с этим обстоятельством в ряде случаев целесообразно использовать другие подходы к оценке точности результатов, полученных методами статистической линеаризации. В работе [85] предложен метод обобщенной статистической эквивалентной передаточной функции, основанный на разложении в ряд по ортогональным полиномам Чебышева—Эрмита случайных функций и позволяющий определить (в общем случае приближенно) высшие моменты этих функций в нелинейной системе. В этом методе искомые коэффициенты линеаризации вычисляются с помощью дополнительных коэффициентов, характеризующих разложение произвольных законов распределения вероятностей в ортонормиро-ванный ряд. В первом приближении закон распределения сигнала на входе нелинейного элемента предполагается нормальным. Исходя из принятой гипотезы вычисляют моментные характеристики нелинейного преобразования и пересчитывают их для входа нелинейного элемента. По этим моментам восстанавливают плотность вероятностей входного сигнала нелинейного элемента. Если плотность вероятностей отлична от нормальной, то расчет повторяют уже с учетом того, что закон распределения не является нормальным. Вычисления продолжают до тех пор, пока не будет достигнута требуемая точность. [c.157]

Весьма эффективными для исследования нелинейных механических систем являются методы статистической линеаризации И. Е. Казакова и асимптотический метод. Метод И. Е. Казакова основан на линеаризации исходных дифференциа[льных уравнений движения рассматриваемой системы, позволяющей использовать затем в линейном приближении корреляционную теорию. [c.165]

Метод статистической линеаризации. В теории нелинейных систем часто приходится встречаться с дифференциальными уравнениями, содержащими нелинейные функции, которые не линеаризуются обычными способами (например, разрывные функции). Для приближенного опредатения вероятностных характеристик решений дифференциальных уравнений можно применить метод статистической линеаризации. Этот метод основан на замене нелинейных функций такими линейными, которые в известном смысле статистически равноценны данным нелинейным функциям. Пусть две случайные величины X и У связаны функциональной зависимостью [c.137]

Правая часть представляет собой сумму двух первых слагаемых ряда Фурье функции ф(а sin О - Метод статистической линеаризации в этом случае,-очевидно, дает такой же результат, что и метод гармонической линеаризации в теории нелинейных колебаний. Поэтому метод гармонической линеаризации можно рассматривать как метод нанлуч-шего приближения в смысле минимума среднего квадратического отклонения (среднее берется по времени за период). [c.138]

Метод эквивалентной линеаризации n[o kho считать обобще7ГИем асимптотического метода Крылова — Боголюбова, применяемого для исследования систем со слабой нелинейностью, и метода статистической линеаризации. [c.138]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...