Аппроксимации погрешность

Погрешность аппроксимации характеризует различие между уравнениями для точного и для разностного решений. Но малые значения еще не гарантируют, что сами решения Ti и и также будут мало отличаться, т. е. что погрешность tv будет мала. Возможны ситуации, когда при выполнении условия аппроксимации погрешность численного решения к неограниченно возрастает по мере продвижения по оси т с фиксированным Ат, т. е. при увеличении номера временного слоя /. Для анализа этого вопроса исследуем поведение погрешности численного решения простейшего линейного уравнения теплового баланса [c.30]

Проверим точность аппроксимации погрешности схемы полиномом Чебышева Рз (х). [c.177]

Непрерывные функции времени можно с любой необходимой степенью точности представлять рядами их значений в дискретные моменты времени. Вообще говоря, чем плотнее множество таких моментов, тем точнее соответствующая аппроксимация погрешность стремится к нулю только тогда, когда частота отсчетов неограниченно возрастает. Однако это верно не во всех случаях. В частности, те функции, для которых частоты спектральных составляющих ограничены сверху величиной И Гц, что может быть обусловлено, например, их прохождением через устройство с ограниченной полосой пропускания, однозначно определяются своими значениями в точках, взятых с частотой 211 Гц. Этот результат известен как теорема отсчетов (в отечественной литературе его называют теоремой Котельникова, по имени выдающегося советского ученого, указавшего на фундаментальную важность этой теоремы в теории связи — прим. перев.). [c.132]

Аналогично для определения порядка аппроксимации вычисляют погрешность между точным 1-<фп и приближенным Lhn значениями производной в п-м узле [c.47]

При этом порядок погрешности относительно шага совпадает с порядком аппроксимации дифференциального Ьф разностным Ц оператором в п-м узле. [c.47]

Графо-аналитические алгоритмы расчета коэффициентов магнитной цепи можно аппроксимировать статистическими уравнениями, полученными методами планирования эксперимента. Некоторые уравнения аппроксимации, пределы изменения факторов и максимальные погрешности аппроксимации приведены в табл. 4.1 [8]. [c.99]

Начальное решение примера получено с помощью алгоритма оптимизации релейного управления для основной задачи терминального управления. При этом изменение Т осуществлялось варьированием Д/ при постоянном значении т = вО. Найденная функция опт(ДО показана на рис. 7,7, а пунктирной кривой /. Дальнейшее уточнение решения достигнуто с помощью алгоритма оптимизации релейного управления для вспомогательной задачи терминального управления (кривая 2 на рис. 7.7, а). Уточненное оптимальное управление и соответствующий переходный процесс показаны на рис. 7.7, б, в. Анализ кривых показывает, что пренебрегая погрешностями аппроксимации управления, можно отметить три стабильных интервала постоянства в управлении, т, е. два переключения, что в данном случае соответствует теореме об (п—1) переключениях. [c.219]

ПОГРЕШНОСТИ ПРИ АППРОКСИМАЦИИ ФУНКЦИИ. Основными погрешностями при разложении периодических функций x t) в ряд Фурье являются погрешности, обусловленные тем, что берется не бесконечное, а ограниченное, конечное число гармоник. [c.61]

В табл. 2.3.1 также проведено сравнение экспериментальных данных 1 работ [17, 19 с формулой (2.3.14), найденной аппроксимацией численного решения. Как видно из таблицы, погрешность в расчетах не превышает 11%, что вполне приемлемо для инженерных расчетов. [c.70]

Разные аппроксимации производных позволяют конструировать разностные схемы с различными свойствами. Оценим погрешность разностной аппроксимации первой производной в точке Xi. Для этого разложим в ряд Тейлора функцию и в окрестности точки Х . Для правой разностной производной имеем [c.270]

Оценка погрешности показывает, что при таком представлении имеем второй порядок аппроксимации [c.271]

Кроме ошибок аппроксимации, существует другой источник ошибок численного решения, связанный с погрешностью вычислений. В зависимости от вычислительного алгоритма могут уменьшаться и возрастать ошибки округления. В случае возрастания говорят, что вычислительный метод неустойчив, в случае убывания — устойчив. Для решения задач используют устойчивые методы. Один и тот же алгоритм может быть устойчив при выполнении некоторых условий и неустойчив при их нарушении. Условие неустойчивости является внутренним свойством разностной схемы и не связано с исходной дифференциальной задачей. Исследование устойчивости обычно проводится для линейных задач с постоянными коэффициентами, и результаты исследования, полученные для линейных систем, переносят на нелинейные уравнения газовой динамики, но при этом надо иметь в виду, что [c.271]

Сопоставляя с точным значением критической силы (2), видим, что при нашей довольно грубой аппроксимации (аппроксимацией называется приближенное воспроизведение функции) мы получили погрешность, составляющую примерно 20%. Конечно, для такой простой задачи это многовато. Но следует заметить, что в сложных случаях такой точностью мы довольствуемся достаточно часто. [c.145]

Теперь погрешности соответственно составляют —0,18% и +4,3% Из приведенных числовых примеров явствует, что при возрастании числа неизвестных коэффициентов точность решения повышается. Если точное решение задачи неизвестно, то единственный путь, который позволяет получить ориентировочное представление о точности решения, состоит в последовательном увеличении числа неизвестных коэффициентов и сравнении окончательных результатов. Если результаты быстро сходятся, то можно аппроксимацию считать удачной. [c.219]

Чем выше порядок аппроксимации, тем меньше при той же сетке погрешность, обусловленная заменой дифференциального оператора разностным, или тем более крупная сетка может быть использована при обеспечении той же точности. Однако при этом существенно усложняется и разностная схема, поэтому разностные схемы высокого порядка (р>2) используют редко. [c.60]

Порядок аппроксимации определяет таким образом и точность численного решения исходного дифференциального уравнения. Тем не менее для оценки качества разностной схемы с точки зрения возможности обеспечения на ее основе той или иной точности определения искомой величины служит и специальная характеристика, называемая порядком точности разностной схемы. Разностная схема имеет порядок точности р, если погрешность результатов численного решения исходного уравнения пропорциональна шагу сетки в степени р. [c.60]

Неизвестные коэффициенты а, Ь, с, д находят исходя из условия обеспечения наименьшей для выбранного шаблона погрешности аппроксимации. [c.63]

В отличие от явных неявные разностные схемы являются безусловно устойчивыми, т. е. устойчивыми при произвольном соотношении шагов по времени и пространственным переменным. В этой связи при использовании неявных схем есть возможность проводить расчеты при больших значениях шага Ат. В этом преимущество неявных схем. Следует в то же время иметь в виду, что чрезмерное увеличение шага Ат приводит к существенному возрастанию погрешностей аппроксимации, поэтому фактором, ограничивающим размеры шага Ат при использовании неявных схем, является требуемая точность вычислений. [c.65]

Погрешность определения температурного поля с помощью R- e-ток, так же как и с помощью С-сеток, в основном обусловлена заменой дифференциального уравнения теплопроводности его конечно-разностной аппроксимацией, неточностью параметров электрической модели, неточностью задания условий однозначности и неточностью измерений. [c.88]

Дифференцирование и интегрирование. При численном дифференцировании таблицы экспериментальных данных возможность получения приемлемых результатов часто ограничена, так как последние очень чувствительны к погрешностям эксперимента. Удовлетворительные результаты в этом случае могут быть получены лишь после выполнения каким-либо, способом операции сглаживания результатов эксперимента, например, графическим путем или с помощью их аппроксимации методом наименьших квадратов-функцией с относительно небольшим числом свободных параметров (п< Ы). Последний способ удобен еще и потому, что позволяет проводить дифференцирование полученной функции аналитически. [c.100]

Установим теперь погрешность самого решения в зависимости от шагов сетки hui. Раньше была установлена погрешность замены дифференциального уравнения разностным и погрешность разностной аппроксимации краевого условия. [c.177]

Предположим, что решение имеет ограниченные производные до четвертого порядка. Тогда (используя (14.11)) получим оценку (аналогичную (14.13)) для погрешности аппроксимации в виде [c.181]

Оценка погрешности аппроксимации начальных условий по первому способу такова [c.181]

Прежде чем сформулировать соответствующее определение, введем ряд обозначений. Пусть R(u)=0 — вся совокупность уравнений, входящих в краевую задачу, т. е. основное дифференциальное уравнение и краевые условия. Уравнения сеточной краевой задачи запишем в аналогичном в иде Rh(Uh)=0. Погрешностью аппроксимации схемы на точном решении называется сеточная функция ah = Rh u), возникающая при подстановке точного решения краевой задачи в уравнение схемы. [c.76]

Понятие погрешности аппроксимации можно ввести и другим способом. Для этого в соотношении ah = Rh u)—R u) под и следует подразумевать не обязательно точное решение краевой задачи, а произвольную достаточно гладкую функцию из некоторого функционального класса LI. Тогда говорят о погрешности аппроксимации схемы по отношению к классу функций U. Покажем на примере того же уравнения (3.3), что порядок аппроксимации для точного решения может быть выше, чем для класса функций, обладающих такой же гладкостью. Пусть г=, т. е. x = h. Если и — точное решение уравнения (3.1), то, дифференцируя (3.1), получаем [c.77]

Примеры аппроксимаций. Заменяя в дифференциальном уравнении частные производные теми или иными разностными отношениями, мы аппроксимируем его на некотором шаблоне. Это наиболее простой способ аппроксимации. Для описания точности аппроксимации отдельных производных естественно использовать введенное выше понятие погрешности аппроксимации по отношению к классу функций. Аппроксимация производных уже рассматривалась в 1.3. Там же были приведены главные члены погрешности аппроксимации. Односторонние двухточечные аппроксимации первой производной (1.22) имеют первый порядок точности, а симметричные (центральные) [c.77]

Очевидно, погрешность аппроксимации схем (3.19) — (3.22) равна 0(т)+0(/1), а схем (3.19) —(3,21), (3.23) — 0(т)+0(/i2). [c.81]

Погрешность этой аппроксимации 0 i + h ) при а р и 0(т + +/г ) при а= р=1/2. В последнем случае разностная схема [c.81]

Замечание. Схему предиктор — корректор в записи (3.52) можно интерпретировать следующим образом. Первые два слагаемых в (3.52) совпадают с левой частью схемы (3.51). Главный член погрешности этой неустойчивой аппроксимации равен [c.89]

При решении нелинейных задач и задач с изменяющимися граничными условиями неизбежны погрешности, вызванные практической реализацией в модели нелинейности и изменений граничных условий. В этом случае, помимо погрешности аппроксимации, существенное значение приобретают инструментальные погреш-ностн. Наименьшая погрешность апироксимации имеет место при применении следящего устройства и соответствующего увеличения времени процесса в модели. При применении ступенчатой аппроксимации погрешность всегда может быть уменьшена до заданной величины путем увеличения числа ступеней. Однако прм этом следует иметь в виду, что увеличение числа ступеней, с одной стороны, уменьшает погрешность аппроксимации, а с другой — увеличивает инструментальные погрешности. Экспериментальные данные показывают, что погрешности аппроксимации по результатам моделирования не превышают 1—2%. [c.360]

Вытекающую из (6.1) задачу ддя U (л ) можно решать приближенно методом Галеркина. Но при небольшом числе координатных функций в аппроксимации погрешность опредедения велика. [c.265]

Коэффициент потерь давления, определяемый наличием в камере движущихся частиц т, находился в зависимости от отношения о/ т и истинной объемной концентрации р. Опытные данные получены при га = 3-г-5 f = 0,37--0,73, aб/aц=l- 9, Re= (6,9 9) 10 p=(l,26- 20) 10 , do/< T = 9,14-12,25. Аппроксимация этих результатов) со ореднеивадрэтичной погрешностью 18,6% дает [c.133]

В карту подготовки информации записывают номера всех опорных точек, их координаты и приращения координат. При этом в целях упрощения для промежуточных опорных точек координаты проставляют относительно центра дуги Ц, а не от начала отсчета координат. Остальная работа по подготовке геометрической информации выполняется в том же порядке, что и для прямолинейных перемещений. Шаг аппроксимации должен быть выбран настолько малым, чтобы математическая погрешность (стрела прогиба дуги) не превысила заданную величину (допуск). Дальнейшее уменьшение шага бесполезно, так как возрастает длина и трудоемкость управляющей программы. При шаге Лер > > 3° шероховатость обработанной поверхности может быть нпдна невооруженным глазом. [c.251]

Рассмотрим в качестве примера применение стандартной градуировочной таблицы термопар типа Я. Сама таблица задана в форме полинома [38] (см. приложение V) седьмой степени в интервале температур от —50 до 630 °С и четвертой степени в интервале от 630 до 1064 °С. Вопрос об упрощении математической аппроксимации этой и других справочных таблиц будет рассмотрен ниже. На рис. 6.16 показаны отклонения показаний значительного числа современных термопар от стандартной таблицы Отклонения были измерены [27] в точках затвердевания цинка ( 419 °С), серебра ( 960 °С) и золота ( 1064°С), точность была оценена величиной 0,2°С. Очевидно, что квадратичной формулы вполне достаточно для описания отклонений в пределах погрешности измерений. Сопостав- [c.299]

I) (I) — стаидэртная аппроксимация функции распределения соответственно случайной и систематической ногрен]ности измерения /д (I) /о (ь) — соответственно функции распределения (плотности вероятности) систематической н случайной составляющих погрешности измерения, задаваемые таблицами, графиками или формулами. Наименьшие разряды числовых значенн результата измерений и числовых показателен точности должны быть одинаковы. Значащих цифр численных показателей точности измерений должно быть не более двух. [c.134]

Здесь а = aim, %) — свободный параметр, который следует выбирать, обеспечивая хшпимальпую относительную погрешность аппроксимации С,( , р) при всех р О [c.355]

Замена исходного дифференциального уравнения разностным приводит к появлению погрешности численного метода, связанной с погрешностью аппроксимации. Для характеристики качества аппроксимации используется понятие ее порядка. Аппроксимация имеет порядок р, если ее погрешность, обусловленная заменой дифференциального уравнения разностным, пропорциональна шагу сетки в степени р. Можно показать, что разностная схема (3.10) имеет первый порядок аппроксимации О (Ах), а (3.12)—второй порядок аппроксимации 0(Дх2). Здесь буква О представляет сокращение слова Order, что в переводе означает порядок . [c.60]

Условие б (Т означает, что математическая погрешность аппроксимации много больше погрешности опытных данных, поэтому следует увеличить число свободных параметров. При б <Со часть свободных параметров недостоверна и надо уменьшить я. Если при выбранном исходя из указанных соображений значении я выполняется условие я<сУ, то вид аппроксимирующей функции выбран удачно. При я У следует подобрать более подходящий вид дппроксимиругощей функции. [c.99]

Рассмотрим схему (3.3), (3.4). Предположим, что точное решение имеет непрерывные равномерно ограниченные вторые производные по t х я x rh, r= onsL Начальное условие ы (О, х)=ф(л ) аппроксимируется с помощью (3.4) точно. Следовательно, погрешность аппроксимации схемы определяется только невязкой в уравнении (3.3). По формуле Тейлора имеем [c.76]

Главный член погрешности аппроксимации есть 0,Бхд и1д1 — —[h l(2х)]д и/дх , и схема имеет первый порядок точности по h и t, если x=rh. [c.79]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...