Классы функций

Наиболее применяемым в настоящее время из методов минимизации является метод наискорейшего спуска. В большой степени широкому распространению метода способствуют его сравнительная простота и возможность применения для минимизации весьма широкого класса функций. При определении направления поиска выбирают наибыстрейшее убывание целевой функции F(X), т. е. [c.286]

Как и ранее, в соответствии с (3.3.13) и (3.3.12), решение этой задачи будем искать в классе функций, удовлетворяющих линейным граничным условиям на бесконечности [c.155]

Решение задачи (2.463) — (2.464) будет единственным, если оно разыскивается в классе функций, также ортогональных единице, т. е. [c.117]

Определим пространство V = (Я (0))" формулой, отличающейся от (2.499) лишь тем, что элементы е Я не удовлетворяют никаким граничным условиям. Величина j t , определенная формулой (2.499), будет лишь полунормой на V, так как = 0 и из этого следует, что v R, где R — множество смещений Q как жесткого целого. Поэтому для исследования разрешимости исследуемой задачи целесообразно ввести пространство V = VlR, элементы которого — классы функций г> = г>- -р, где э е У, ар пробегает все R (V называется смежным к V по подпространству R). Норма в V определяется равенством [c.125]

В (2.40) гамильтониан системы Я известен, и для вычисления энергии необходимо знать волновую функцию ij3. Точный вид этой функции не может быть найден прямым решением уравнения Шредингера, поэтому обычно подбирают приближенные значения молекулярной волновой функции исходя из общих физических условий задачи. Лучшей приближенной волновой функцией из данного класса функций будет та, которая отвечает минимальному значению энергии системы, определяемой по формуле (2.40). [c.78]

Прежде чем перейти к изучению поведения интеграла типа Коши на линии интегрирования, рассмотрим вопрос о классах функций. Пусть f(i) — некоторая функция, причем аргумент t и функция f(t) могут быть как действительными, так и комплексными. Если f(i) является функцией из класса непрерывных функций, то, по определению, приращение аргумента 2—1 и функции If( 2) —/( i)l одновременно стремится к нулю. При этом вопрос [c.137]

Мы остановимся на наиболее интересном классе функций, для которых модуль непрерывности представим в виде степенной функции от приращения аргумента, т. е. [c.137]

Сущность метода состоит в том, что при координатных функциях принимаемого приближенного решения берутся не постоянные параметры, а неопределенные функции одной из независимых переменных, например Xi. Тогда функционал J [и (j i, х , Jtg)] на классе функций [c.111]

Для изучения гармонических функций используются три специальных класса функций так называемые потенциалы простого слоя (о котором уже говорилось), двойного слоя и объемный потенциал. [c.92]

Докажем, что функция м = 3 — x минимизирует функционал (12.9) в классе функций, непрерывных и непрерывно дифференцируемых на отрезке [О, 1]. Обратимся к функции м-фт) имеем [c.137]

Изложенное позволяет предложить следующий способ определения вида краевых условий — главных или естественных, когда задача имеет вариационную трактовку. Для этого следует, построив соответствующий функционал, выяснить, имеет ли он смысл для более щирокого класса функций, и тогда известными методами вариационного исчисления определить экстремальную функцию. Если эта функция будет удовлетворять первоначально заданным условиям, то тогда они — естественные. [c.138]

Принципиальным для МКЭ является вопрос, на каком классе функций можно разыскивать минимум функционала (13.2). Исходное уравнение (13.1) содержало вторые производные, и, следовательно, логично разыскивать искомые функции в классе функций 1. Интегрирование по частям при формировании функционала оставило в выражении (13.2) только первые производные, поэтому получается большая свобода, так как можно рассматривать класс функций 2- Но можно пойти еще дальше— использовать всего лишь кусочно-полиномиальные и даже кусочно-линейные функции. В самом деле, ведь кусочно-линейные функции являются пределом последовательности гладких функций. Это понятие предела, естественно, использовано в таком смысле [c.162]

Можно показать, что если г гт п >0, р 0, то здесь допустима вариационная формулировка. В то же время аппроксимация на конечных элементах должна быть более сложной, чем та, которая использовалась ранее, так как здесь уже в функционал входят вторые производные и искать решение нужно уже по крайней мере в классе функций с непрерывной первой производной. Попытка строить решение из кусочно-линейных -функ [c.169]

Например, при решении задач теории упругости вариационными методами осуществляется переход к задаче об определении в некотором классе функций минимума соответствующего функционала. Доказывается, что решение этой задачи всегда существует и соответствующее ему поле смещений удовлетворяет дифференциальным уравнениям, однако краевые условия выполняются уже в некотором обобщенном смысле. Аналогичная ситуация возникает и при решении задач теории упругости методом потенциалов. При определенных ограничениях на форму поверхности и краевые условия доказывается, что получаемое посредством соответствующих интегральных уравнений решение краевой задачи может и не удовлетворять условиям, требуемым классической постановкой. Лишь при более строгих ограничениях (в чем, по сути дела, нет необходимости) решение оказывается регулярным. [c.243]

Понятие погрешности аппроксимации можно ввести и другим способом. Для этого в соотношении ah = Rh u)—R u) под и следует подразумевать не обязательно точное решение краевой задачи, а произвольную достаточно гладкую функцию из некоторого функционального класса LI. Тогда говорят о погрешности аппроксимации схемы по отношению к классу функций U. Покажем на примере того же уравнения (3.3), что порядок аппроксимации для точного решения может быть выше, чем для класса функций, обладающих такой же гладкостью. Пусть г=, т. е. x = h. Если и — точное решение уравнения (3.1), то, дифференцируя (3.1), получаем [c.77]

Примеры аппроксимаций. Заменяя в дифференциальном уравнении частные производные теми или иными разностными отношениями, мы аппроксимируем его на некотором шаблоне. Это наиболее простой способ аппроксимации. Для описания точности аппроксимации отдельных производных естественно использовать введенное выше понятие погрешности аппроксимации по отношению к классу функций. Аппроксимация производных уже рассматривалась в 1.3. Там же были приведены главные члены погрешности аппроксимации. Односторонние двухточечные аппроксимации первой производной (1.22) имеют первый порядок точности, а симметричные (центральные) [c.77]

Формула (III.3.8) называется формулой обращения особого интеграла. Решение интегрального уравнения (111.3.5) будем искать в классе функций, обращающихся в нуль в носике тела х 0) и в бесконечность — в точке замыкания каверны (х /). Представим в нашем случае [c.130]

Можно потребовать, чтобы полученная функция была ортогональна хотя бы к ограниченному классу функций, например функций ф , составляющих ряд (д), т. е. чтобы [c.161]

Минимум функционала (26.13) разыскивается в классе функций и, V, удовлетворяющих на границе области условиям [c.222]

Каждое устройство, предназначенное для использования в системе, содержит три класса функции [c.191]

Дифференциальное уравнение определяет широкий класс функций. [c.292]

Аналитическое построение геометрии, не зависящее от какой-либо специальной системы отсчета, является лишь одним из достоинств римановой геометрии. Более фундаментальным открытием Римана является то, что определение (1.5.7) линейного элемента образует не только новый, но и гораздо более общий базис для построения геометрии, чем старый базис евклидовых постулатов. Только в том случае, когда g,k принадлежат к некоторому определенному классу функций, получается геометрия евклидова типа. В общем же случае возникает новый тип геометрии, характеризуемый следующими двумя фундаментальными свойствами [c.42]

Эффективным способом получать новые первые интегралы теорема Пуассона не является, так как скобка Пуассона редко выводит за пределы заданного класса функций. Примером будут [c.135]

Очевидно, что класс функций -Bi(x) и i i(a), для которых верна теорема, определяется условием (3.15) функция спектральной плотности мощности определена для тех случайных процессов, функции автокорреляции которых достаточно быстро убывают при стремлении задержки времени к бесконечности. Исключением являются периодические процессы, функции автокорреляции которых также являются периодическими функциями и поэтому не убывают при больших задержках т. Для них понятие спектральной плотности мощности определено благодаря использованию б-функции Дирака [329]. Заметим также, что для сигналов с конечной полной энергией спектральная плотность мощности равна нулю. Это является следствием соотношения [c.89]

Как уже указывалось, решение для ф будем искать в классе функций, имеющих при аналитическом продолжении до бесконеч- [c.142]

Здесь f(f) —функция точек гладкой кривой L t, U — любые две точки кривой L Л и а — положительные числа. А называется постоянной Гель дера, а а — показателем Гельдера, 0<а 1. Условие (6.134) называется условием Гельдера (условие Я), и функция f t), удовлетворяющая условию Н, называется функцией из класса Я. Очевидно, при а>1 из условия (6.134) вытекало бы, что всюду f ( )=0, а отсюда f( )= onst. При а=1 условие Гельдера совпадает с условием Липшица. Если при достаточно близких друг к другу ti и 2 условие Я выполняется для некоторого показателя ai, то оно будет, очевидно, выполняться и для всякого показателя a[c.137]

С помощью метода Канторовича удается получить приближенное. решение значительно более точное, чем по методу Ритца с теми же координатными функциятми и с тем же числом членов ряда (5.103). Это достигается благодаря тому, что класс функций (5.103) значительно шире класса функций (5.89) о постоянными коэффициентами Oft и, следовательно, среди функций (5.103) можно подобрать функции, лучше аппроксимирующие решение вариационной задачи, чем среди функций (5.89), [c.111]

Линейные операторы. Правила, с помощью которых одним функциям ставягся в соответствие другие функции, могут быть самыми разнообразными, т. е. операторы могут иметь самые разнообразные свойства. В квантовой механике для того, чтобы удовлетворить принципу суперпозиции состояний, используются лишь линейные операторы. Оператор А называется линейным, если для любых функций м, и 2 из рассматриваемого класса функций и для любых постоянных чисел и выполняется равенство [c.105]

Основное свойство 8-функции, которое легко доказывается с помощью leopeMbi о среднем, состоит в том, что для широкого класса функций/() ) выполняется равенство [c.109]

Если интервал а,Ь) бесконечен, т.е. а = - 00, й = 00, то требования к функциям для удовлетворения условия (22.41) необходимо уточнить. Если при. V - - 00 и х- (Ю функции стремятся к нулю, то соблюдение условий (22.41) очевидно. Однако представляется вероятным, что имеется и другой класс функций, которые в определенном смысле удовлетворяют условию (22.41), хотя и не стремятся к нулю при X -> со. Возьмем в качестве примера функции при всевозможных вещественных значениях параметра к. Они являются осциллирующими функциями при X -> -> 00 и не стремятся к определенному пределу. Не стремится к определенному пределу и произведение при к ф к хотя при к = к предельные значения равны 1 и условие (22.41) соблюдается. При к ф ф к предельное значение произведения функций при X 00 определяется как среднее значение по бесконечному интервалу, начинающемуся со сколь угодно большого значения х, и если при этом значении произведение стремится к нулю, то в соответствующем векторном пространстве оператор эрмитов. Для функций е это условие имеет вид [c.147]

Из полученной оценки следует, что постановка задачи Конт в рассматриваемом случае некорректна, а построенное однородное нестационарное решение (4.1.37) неустойчиво. Тем не менее в классе функций, фурье-гармоиики которых стремятся к пулю при к оо быстрее, чем е" ", имеет место условная корректность задачи Коши (см. М. М. Лаврентьев и др., 1980 С. К. Годунов, 1971). Необходимым условием выполнения указанного ограничения является бесконечная днфференцируемость наложенного возмущения. Указанному условию удовлетворяют локализованные п достаточно гладкие возмущения вида Рп х) ехр —(Ы) (при любых d>0), где / (х) — произвольный полиио.м п-ш степени. Отметим, что требование достаточно быстрого убывания амплитуд фурье-гармоник при к ->- оо в классе функций, для которого имеет место условная корректность задачи Коши, обеспечивает малость доли ультракоротких волн в спектре возмущения. [c.315]

Таким образом, из проведеииого анализа видно, что хотя система уравнений (4.1.22) (аналогично н снстема (4.1.1)) имеет мнимые характеристлки и, следовательно, не является гиперболической, существует класс функций, в котором задача Гшши для этих систем условно корректна . [c.316]

Изучение интегралов типа Кощи чаще всего проводят в классе функций плотностей, удовлетворяющих условию Гель-дера— Липшица (Г. — Л.) ), когда модуль непрерывности оз(т) является степенной функцией [c.13]

Система уравнений Бельтрами — Митчела — это система 12-го порядка. Произведя дифференцирование при их выводе, мы искусственно повысили порядок исходной системы. В результате оказывается, что возможные решения системы (8.5.8) порождают класс функций более широкий, чем возможные решения задачи теории упругости. Решения системы (8.5.8) не обязательно удот влетворяют уравнениям равновесия. Это ясно хотя бы из следующего примера. Пусть напряжения — произвольные линейные функции координат Оц = Поскольку уравнения (8.5.8) [c.250]

Формальность сопряжения заключается в рассмотрении лишь символа дифференцирования без задания области его определения, включающей в себя область изменения независимых переменн.ых, класс функций и граничные условия для функций, на которые действует оператор. [c.451]

При аналитическом представлении искомой функции в виде ряда (2.68) или выражения (2.73) метод Рэлея — Ритца всегда приводит к завышенному значению критической нагрузки. Это происходит вследствие того, что ограничивая выражением (2.73) или рядом (2.68) класс функций, среди которых ищем решение задачи, как бы накладываем на исследуемую систему дополнительные связи. В результате таких дополнительных связей жесткость системы может возрасти, что и приведет к завышенному значению критической нагрузки. Значение критической нагрузки, получен- [c.70]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...