Вариационный подход

В этом параграфе вариационный подход к задаче механики и, в частности, полученная в 4 общая формула для вариации функционала будут использованы для того, чтобы установить связь между законами сохранения, которые были получены в предыдущих главах, и общими свойствами пространства и времени, которые находят свое выражение в инвариантности законов механики относительно преобразований систем отсчета. Установление этой связи позволит понять внутреннюю природу законов сохранения и причины, по которым эти законы существуют. Такое понимание особенно важно, ибо оно иногда позволяет предвидеть первые интегралы и тем самым облегчить исследование уравнений, описывающих движение. [c.286]

Второй характерный случай применения вариационного подхода — это получение дифференциальных уравнений и граничных условий рассматриваемой задачи как уравнений Эйлера соответствующего функционала. Такой путь оказывается оправданным для тел сложной формы и структуры (например, многослойные оболочки и др.), а также при переходе от одной системы координат к другой (от декартовой системы к полярной, криволинейной и другим системам). [c.57]

Следуя [55], построим регуляризующий алгоритм на основе вариационного подхода. Введем функционал [c.191]

Для рассматриваемой нестационарной задачи теплопроводности возможен вариационный подход, в соответствии с которым искомое поле температур f(r, т) должно удовлетворять граничным условиям (2.13) и минимизировать в каждый фиксированный момент времени т функционал [c.52]

Годунов С. К-, Прокопов Г. П. Вариационный подход к решению больших систем линейных уравнений, возникающих в сильно эллиптических задачах. Институт прикладной математики. Препринт, М., 1968. [c.158]

Истинные методы конечных элементов отличаются от подходов, в которых рассматривается разбиение масс, главным образом тем, что при разбиении конструкции жесткости элементов определяются посредством классических способов статических исследований самих элементов, а не в процессе идентификации конструкции [1.40—1.46]. На рис. 1.12, а показано несколько обычно используемых типов элементов. Каждый элемент определяется с помощью 6, 8, 16 или 20 точек или узлов, в которых задаются условия совместности для перемещений и нагрузок. Исходными переменными являются пространственные перемещения в этих узлах уравнения движения обычно записываются с помощью того или иного вариационного подхода. Энергия деформаций, вычисляемая для каждого элемента, выражается через все узловые перемещения каждому узлу приписывают некоторую массу, и кинетическую энергию выражают через узловые скорости. Поскольку разбивка на элементы производится с учетом геометрии конструкции, отпадает необходимость в процедуре задания жесткостей, а соответствующие члены уравнений вычисляются из непосредственного рассмотрения геометрии каждого элемента. Для адекватного представления сложной конструкции необходимо большое число узлов, поэтому главными вопросами в методе конечных элементов являются [c.38]

Способ разделения неоднородного тела на однородные части изотермическими или адиабатическими поверхностями (или их комбинацией), как это было сделано в рассмотренном случае при задании допустимых для функционалов (2.71) и (2.72) распределений температуры и вектора плотности теплового потока соответственно, нашел широкое применение при определении эффективной теплопроводности неоднородных материалов со сложной структурой [5]. Анализ получаемых при этом формул для X.j,3 и Хад введением соответственно изотермических и адиабатических поверхностей показывает, что всегда А. з А. д. Эквивалентность этого способа двойственным оценкам термического сопротивления неоднородного тела на основе вариационной формулировки стационарной задачи теплопроводности дает возможность строго обосновать правомерность такого результата. Кроме того, использование вариационного подхода при более близких к реальным неодномерных допустимых распределениях температуры и плотности теплового потока позволяет более точно определить эффективную теплопроводность неоднородных материалов и одновременно оценить максимально возможную погрешность получаемого результата. [c.60]

В большинстве случаев решение задач установившейся ползучести можно получить только численными методами. Основой для разработки эффективных приближенных методов, позволяющих получить решение, минуя интегрирование дифференциальных уравнений, является вариационный подход. [c.123]

Когда полная система собственных функций неизвестна (п<М ) и они вместе с собственными значениями определены приближенно, бесконечные суммы в (4.3.44) и (4.3.45) заменяют конечными, состоящими из М слагаемых, каждое из которых может быть вычислено с некоторой погрешностью. Тогда (4.3.44) и (4.3.46) дают лишь приближенно аналитическое решение рассматриваемой задачи стационарной теплопроводности. Среднюю квадратическую погрешность такого решения можно оценить на основе вариационного подхода [27]. [c.207]

На основе вариационного подхода также удается получить верхнюю и нижнюю границы для в виде [c.80]

Верхнюю и нижнюю оценки для модулей упругости и коэффициента линейного расширения многофазного сплава-смеси при произвольной форме зерен нетрудно получить на основе вариационного подхода, предполагая во всем объеме материала однородное деформированное или напряженное состояние. Этот путь приводит в данном случае к формулам, отражающим правило смешивания [21 ] [c.80]

В данной монографии систематически изложены прикладные методы нелинейной теории случайных колебаний, предложен вариационный подход к решению нелинейных стохастических задач, разработаны инженерные методики анализа поведения нелинейных систем при случайных воздействиях. [c.5]

В более общих случаях метод неопределенных множителей Лагранжа не позволяет получить решение задачи в замкнутой форме, так как относительно hju получается бесконечная система нелинейных алгебраических уравнений. Однако вариационная постановка задач статистической динамики позволяет развить эффективные приближенные методы расчета, необходимые для решения прикладных вопросов. Рассмотренные же здесь примеры иллюстрируют существо вариационного подхода и свидетельствуют о строгом совпадении результатов с известными точными распределениями. [c.48]

Трудности реализации метода редукции хорошо известны. Поэтому, за исключением простейших примеров типа (4.5), для инженерных приложений более целесообразно применение вариационных подходов, основанных на явной аппроксимации распределений. В этом случае отпадает необходимость использования теории марковских процессов. Кроме того, при проведении практических расчетов достаточно ограничиться моментными соотношениями первого и второго порядков, т. е. дополнительными условиями, которые соответствуют выполнению исходных уравнений движения в среднем и в среднем квадратическом. [c.90]

На основе вариационного подхода рассмотрен способ приведения конструктивно-анизотропных, в частности ребристых, оболочек, к задачам теории неоднородных анизотропных оболочек [0.2, П.1, П.2]. Обобщение распространено и на учет приобретенной анизотропии, которая создается даже в изотропных оболочках при работе в упруго-пластической стадии [П.З]. Благодаря такому обобщению формулировки гл. 4 распространяются на оболочки с конструктивной и приобретенной анизотропией. [c.217]

Естественно, что при решении соответствуюш,их граничных задач широко использовались также вариационные подходы [76, 191], методы конечных разностей [222] и конечных элементов [196]. [c.196]

Теория вариационных неравенств применена для решения контактных задач также в работе [257]. Вариационный подход к решению нелинейных контактных задач на основе теории Тимошенко и с учетом трансверсального обжатия предложен [c.14]

Обычно в вариационном подходе используют смещения. Соответствующие зависимости следуют из уравнений (9.8), (9.9) при заменах [c.114]

Первый состоит в использовании изложенного в 6 гл. 5 вариационного подхода. Применительно к рассматриваемой задаче вариационное уравнение Лагранжа (5.6.1) принимает вид [c.176]

В предлагаемом вариационном подходе к выводу уравнений нелинейной механики оболочек будут использованы специальные формулы интегрирования по частям, связанные как с отсчетной, так и с актуальной конфигурациями срединной поверхности [43]. Приведем краткий вьшод этих формул. [c.237]

ПРИМЕРЫ ПРИМЕНЕНИЯ ВАРИАЦИОННОГО ПОДХОДА [c.52]

ФУНКЦИОНАЛЬНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ КРИТИЧЕСКИХ УСЛОВИЙ. ВАРИАЦИОННЫЙ ПОДХОД [c.95]

ПРИМЕРЫ ПРИМЕНЕНИЯ ВАРИАЦИОННОГО ПОДХОДА. УСТОЙЧИВОСТЬ ПРИ СДВИГЕ. КРУТИЛЬНАЯ НЕУСТОЙЧИВОСТЬ [c.117]

Как показывают приведенные выше результаты, существует много методов описания упругих свойств композиционных материалов. Наиболее глубокие из них основываются на вариационных теоремах упругости и точных выражениях, полученных в фундаментальном труде Хилла. Вариационный подход дает значения верхней и нижней границы для эффективных упругих модулей, так что все остальные оценки должны лежать между ними. [c.92]

Философская оценка вариационного подхода в механике. Хотя в наши дни суш,ествует молчаливое соглашение о том, что в научных трактатах следует избегать философских дискуссий, для вариационных принципов механики может быть сделано исключение, отчасти потому, что эти принципы были открыты в век, настроенный в высшей степени философски, а отчасти из-за того, что вариационный метод неоднократно оказывался в центре философских споров и недоразумений. [c.21]

Анализируя различные подходы к решению геометрически и физически нелинейных задач теории оболочек, выбираем вариационный подход. При построении вариационного уравнения термоползучести используем допущения технической теории гибких оболочек, успещ-но применяемой в расчетах упругих пологих оболочек, и физические соотношения в форме связи тензоров скоростей изменения деформаций и напряжений с учетом ползучести материала. Вариационное уравнение смешанного типа, в котором независимому варьированию подвергаются скорости изменения прогиба и функции усилий в срединной поверхности, позволяет использовать для описания реологических свойств материала хорошо обоснованные теории ползучести типа течения и упрочнения. Задачи мгновенного деформирования решаем методом последовательных нагружений, а задачи ползучести — методом шагов по времени. [c.13]

Для ф = ф приходим к (4), для ф = Ах, А,, А — к ур-пию (1) в соответствующ11х обозначениях. Вариационный подход позволяет придать теории универсальную форму описания, распространяемую и на описания динамики любых взаимодействий, даёт возможность получать ур-ния для комбиниров. динамич. систем, напр. электромеханических. В частности, для систем с сосредоточенными параметрами, характеризуемых конечным числом степеней свободы, соответствующие ур-ния ваз. ур-ниями Лагранжа — Максвелла. [c.38]

Основные преимущества МКЭ проистекают из его сеточного (разбивка на конечные элементы) и вариационного (использование вариационных принципов) характера. Вариационный подход расширяет класс допустимых функций и, в частности, позволяет конструировать решение при помощи не очень гладких, но, что важно, локализованных функций. Вариационный подход позволяет также исключить из специального рассмотрения естественные граничные условия. Наконец, сеточный характер МКЭ облегчает известные трудности, связанные с выбором базисных функций в вариационньк методах. В классических вариационных методах, изложенных в гл. 1.4, этот выбор сильно усложняется их зависимостью от конфигурации рассматриваемой области. В МКЭ такой зависимости нет. Влияние сеточных методов на МКЭ приводит к тому, что разрешающие системы алгебраических уравнений оказываются хорошо обусловленными, с редко заполненными матрицами, и, что очень важно, формирование таких матриц оказывается сравнительно простым. [c.54]

Вариационный подход на основе уравнений медленного течения применялся к теории смазки, где предполагалось, что в идеализированной постановке процессы в подшипнике могут быть рассмотрены при помощи двумерной задачи о движении двух близко расположенных параллельных поверхностей, скользящих одна по другой и разделенных тонкой пленкой смазки. Неоднородное уравнение в частных производных второго порядка, которое впервые ввел Рейнольдс [25] и он же приближенно его решил, как уже отмечалось ранее, представляет основу для этих методов. Некоторые авторы получили численные и аналоговые решения двумерных уравнений Рейнольдса, а Хейз [14] представил общий метод, используя вариационный подход. [c.112]

Вариационный подход [76, 107] к ползущему вязкому течению в изотропной пористой среде приводит к получению нижней границы для падения давления. В слое сфер, расположенных на больших расстояниях, эффекты взаимодействия частиц исчезают, и в качестве нижней границы было вычислено значение константы-, равное 3,51, в цротивоположность коэффициенту 4,5 в предыдущих уравнениях, соответствующему закону Стокса. [c.419]

В табл. 2.5 и 2.6 приведены результаты вычислений при Т = 293 К по данным табл. 2.2 значений Ко, Ку, Кц и Go, Gy, G , а также уточненные на основе вариационного подхода [21, 54] оценки К, К" и G, G". Кроме того, представлены наибольшие из относителы1ых [c.77]

Важной особенностью спектральногоХметода я вляется возможность его обобщения на двумерные и трехмерные случайные поля, не поддающиеся описанию при помощи соотношений теории марковских процессов. Кроме того, гипотеза о гауссовском характере спектров исследуемых процессов снимается при вариационном методе решения нелинейных задач. Сочетание вариационного подхода со спектральным методом вывода моментных уравнений будет продемонстрировано ниже на конкретном примере. [c.98]

Для фактического определения произвольных постоянных в (1.12) используются различные подходы. В ряде работ [203, 234, 2881 применяется способ коллокации при выполнении граничных условий. В работах [244, 281, 282J применяется вариационный подход или способ разложения однородных решений в ряды по полным ортогональным системам [3, 91]. Во всех подходах получающиеся системы алгебраических уравнений требуют довольно громоздких вычислений их коэффициентов. Исключением при этом является краевая задача (1.3). При ее решении произвольные постоянные в (1.12) определяются явно с помощью соотношений обобщенной ортогональности [56, 140]. [c.162]

Отметим, что и являются именно параметрами, поскольку их введение не повышает порядок системы разрешающих уравнений. Ектественно, что и при вариационном подходе они не варьируются ( 9) — не являются энергетическими аргументами". [c.115]

Особенно показательным является случай заделанного стержня с силой в пролете (рис. 10). Принятие задания (5.12) приводит, как легко проверить, к бесконечному значению Р. Приводимые ниже попытки оцейки критического значения Р на основе вариационного подхода призваны продемонстрировать, как неощутимое в качественном ртношении изменение формы задания сможет сказаться на получаемой оценке. [c.55]

Ограничиваясь этим простым примером применения вариационного подхода, обратим внимание на то, что кроме удобного способа вычисления критических параметров этот подход оказывает значительную помощь при установлении некоторых общих закономерностей. Ниже будет показано, как с его помощью доказывается справедливость сокращения критерия би,фуркацйи процесса для упруго-пластических стержней (Б1) до критерия равноактивной бифуркации (Б 1). [c.97]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...