Брауновское движение

Законы некоторых неравновесных процессов можно установить и на основе использования простых вероятностных предположений о случайном поведении соответствующей системы. Поэтому наш курс начинается с описания процессов временной эволюции малой подсистемы в термостате в случае слабого взаимодействия между ними (импульсы частиц при каждом соударении испытывают малые изменения). Типичными примерами таких стохастических (вероятностных) процессов являются брауновское движение, замедление нейтронов, флуктуации в радиотехнических устройствах. [c.36]

Такое построение курса обусловлено также тем, что метод неравновесных функций распределения комплексов частиц является перенесением в статистическую физику идей стохастической теории брауновского движения. В дополнение к феноменологической теории строгий микроскопический метод Боголюбова позволяет выразить описывающие систему параметры через молекулярные характеристики. [c.36]

В 1827 г, английский ботаник Роберт Браун (Броун) наблюдал быстрое хаотическое движение мелких частиц цветочной пыльцы в воде, а затем надежно установил столь же энергичное движение в жидкости и макроскопических неорганических частичек. Это указывало на то, что брауновское (броуновское) движение не связано с движением живых микроорганизмов, хотя сам Браун, основываясь на универсальности явления, полагал, что он открыл первичные молекулы живой материи. В течение последующих семидесяти лет прошлого века было поставлено много других экспериментов и высказано большое число теоретических гипотез о сущности наблюдаемого эффекта. Брауновское движение неизменно обнаруживалось и после того, как образец выдерживался в течение недели в темноте, и после нагревания в течение многих часов. Становилось ясным, что явление имеет фундаментальный характер. [c.37]

В 1888 г. Гуи установил, что брауновское движение происходит тем интенсивнее, чем меньше вязкость жидкости, и что внешнее электромагнитное поле не оказывает влияния на это движение. Он точно так же объяснял брауновское движение влиянием молекулярного теплового движения. [c.37]

Следует заметить, что в последующем само понятие браунов-ского движения значительно расширилось. Специальный раздел теории вероятностей, имеющий дело с соответствующим типом случайных процессов (см. гл. V), использует для их обозначения термин брауновское движение , т. е. в этом смысле брауновским движением называют любые случайные процессы такого типа независимо от их физической (или даже химической, биологической, экономической и т. д.) природы. [c.38]

Движение взвещенных частиц входит в щирокий класс явлений брауновского движения, включающий, например, такие интересные и внешне несхожие между собой эффекты, как тепловой шум в электрической цепи, движение стрелки измерительного прибора и даже конформации молекул полимера. [c.38]

Брауновским движением в первоначальном узком смысле называют непрерывное нерегулярное хаотическое движение мелких частиц, взвешенных в жидкости (или газе), возникающее вследствие взаимодействия частиц с молекулами жидкости. [c.38]

Брауновское движение, таким образом, является одним из первых прямых экспериментальных доказательств существования молекул и хаотического теплового движения. [c.38]

Другой способ описания брауновского движения — феноменологический, — с которого мы и начнем ниже, заключается в введении в динамические уравнения дополнительных источников случайных сил, описывающих взаимодействие со средой, и решении получаемых, таким образом, стохастических дифференциальных уравнений. Феноменологическое описание брауновского движения наиболее строго может быть реализовано методами теории вероятностей и связано с изучением специального класса случайных процессов (см. гл. V). [c.40]

Такая подробная характеристика взаимодействия частицы со средой представляет самостоятельный интерес ( ). Для нас же сейчас достаточна грубая оценка сверху времени т/. Дело в том, что это время ограничивает снизу тот временной масштаб, в котором мы будем описывать брауновское движение частицы. При меньших временах описание движения частицы представляет собой исключительно динамическую (механическую) задачу о взаимодействии (столкновения) тяжелой частицы и молекул. [c.42]

Брауновское движение осциллятора [c.50]

Однако более подробное рассмотрение брауновского движения осциллятора мы отложим до следующей главы, где изложены основы общего подхода к описанию брауновского движения и соответствующий математический аппарат. [c.53]

Следует отметить, что область применимости уравнения Фоккера—Планка не ограничивается теорией брауновского движения или разреженного газа тяжелых молекул в среде легких молекул. [c.60]

Как было отмечено в предыдущей главе, современное расширение понятия брауновского движения связано не с физической или структурной общностью этих явлений, имеющих самую разнообразную природу, а с общностью математического аппарата, разработанного для их описания. В этой главе мы изложим кратко некоторые основные вопросы этого описания и элементы используемого математического аппарата. Естественно, наше изложение будет ограничиваться принятым в учебной физической литературе уровнем строгости и не претендует на математическую полноту. [c.61]

Напомним некоторые свойства гауссовского распределения (см. приложение IV), которое играет центральную роль во многих физических задачах и в том числе в теории брауновского движения. Прежде всего, как легко убедиться, интегрирование распределения (5.6) по какой-либо переменной дает гауссово распределение меньшей размерности. Статистическая независимость Х и X] эквивалентна равенству Кц = 0. Характеристическая функция гауссова распределения [c.62]

Важную роль в теории брауновского движения играет уравнение Смолуховского, или, как его называют математики, уравнение Чепмена—Колмогорова. [c.66]

Хотя описание брауновского движения с помощью уравнения Фоккера—Планка (5.55), (5.44) эквивалентно описанию, основанному на уравнении Ланжевена (4.1), однако в первом случае расчетная схема является более удобной и компактной. Решение уравнений (5.44) или (5.55) с начальными условиями позволяет определить все необходимые средние значения в виде интегралов. [c.73]

Рассмотрим другой пример брауновского движения, имеющий совершенно другую физическую природу и связанный с движением заряда Q в проводнике. Описание этого явления аналогично предыдущему примеру. Действительно, соответствующее уравнение Ланжевена для электрической цепи имеет вид [c.79]

Многомерное и вращательное брауновские движения [c.84]

В гл. IV мы отмечали, что взвешенные в жидкости или газе брауновские частицы совершают брауновское движение двух типов трансляционное и вращательное. Тогда мы ограничились обсуждением первого типа движения, связанного с перемещением центра массы частицы. [c.85]

Рассмотрим теперь вращательное брауновское движение. В общем случае поворот частицы описывается тремя углами Эйлера й = а, р, 7 и сферическими функциями Вигнера Пт (а, р, у), образующими неприводимые представления группы Ot трехмерных вращений (см. приложения V, VII). [c.85]

Математически задача о вращательном брауновском движении в. подробном временном масштабе t < Aiугловой скорости (или момента импульса) частицы. Мы по-прежнему исключаем из рассмотрения механический масштаб связанный с временем корреляции момента случайной силы. Случайную силу и ее момент можно считать независимыми и рассматривать вращательное движение отдельно. [c.86]

Приравнивая <а<=Л1<(0, <р)/уи находим уравнение Фоккера— Планка для вращательного брауновского движения (для Рг или [c.87]

В качестве простейшего примера рассмотрим вращательное брауновское движение свободной частицы. Полярную координатную ось направим вдоль оси частицы при =0 6(0)=0. Вследствие аксиальной симметрии задачи плотность вероятности Р зависит только от полярного угла 0. Уравнение Фоккера—Планка (5.132) принимает вид [c.88]

Теория брауновского движения допускает изящную и весьма наглядную (однако математически более сложную) формулировку, разработанную Н. Винером. Речь идет о концепции усреднения по различным траекториям частицы (реализациям процесса). [c.90]

Заметим, что для расчетов реакции системы на термические возмущения применяется также целый ряд других методов, основанных на кинетических уравнениях (см. гл. VII), на теории брауновского движения и марковских процессов (см. гл. V), метод неравновесного статистического оператора ) и др. [c.182]

В отличие от равновесных процессов единая теория неравновесных систем появилась фактически, лишь начиная с работ Боголюбова в 1946 г. [11]. До этого кинетические уравнения устанавливались на интуитивной основе. В 1872 г. Л. Больцман получил свое знаменитое уравнение [4]. Позднее А. Эйнштейном и М. Смолуховским была создана теория брауновского движения [36]. В 30-х годах получены уравнения Л. Д. Ландау [37] и А. А. Власова [38]. [c.214]

VII. Вращательное брауновское движение [c.231]

В пособии, написанном в соответствии с программой по теоретической физике, утвержденной Минвузом СССР, приведен материал второй части курса термодинамики и статистической физики (Ч. I Термодинамика и статистическая физика. Теория равновесных систем — 1986 г.). Излагаются общий метод вывода кинетических уравнений по Боголюбову и получение этим методом газокинетического уравнения Больцмана и кинетического уравнения Власова для плазмы. Рассматриваются вопросы теории брауновского движения, случайных процессов и процессов переноса, а также новые вопросы, определяющие перспективы развития термодинамики и статистической физики самоорганизация сильно неравновесных систем, численные методы в статистической физике — метод Монте-Карло и метод молекулярной динамики. [c.2]

В 1877 г. Дельсо впервые высказал мнение, в настоящее время общепринятое, что брауновское движение обязано своим происхождением ударам молекул жидкости о частицы. Эта же мысль была высказана Карбонеллем. [c.37]

Количественная теория брауновского движения впервые была разработана в 1905 г. Эйнштейном, который в своей первой работе не ссылался на работы Гуи и других исследователей, о чем писал ему Зидентопф. Наряду с работами Эйнштейна большую роль, сыграли опубликованные в 1906 г. работы Смолуховского, [c.37]

Пожалуй, наиболее важный принципиальный вопрос в теории брауновского движения (да и кинетики в целом) связан с временной шкалой (временными масштабами, иерархией времен релаксации...) описания и операцией перехода от одного масштаба к другому (крупноструктурному), связанному с огрублением картины, сглаживанием во времени, при котором более мелкие детали, подробности движения размываются. Этот вопрос непосредственно связан с проблемой возникновения необратимости статистического поведения системы частиц, подчиняющихся обратимым динамическим уравнениям движения. [c.41]

Формулы такого типа иногда называют формулами Грина — Кубо для коэффициентов переноса. Они, как и приведенные ниже формулы для брауновского движения (см. также формулу Найквиста в 22), являются частными формами записи весьма общего соотношения между флуктуационными и диссипативными характеристиками систем — так называемой флуктуационно-диссипа-ционной теоремы. [c.47]

Рассмотрим теперь брауновское движение гармонического осциллятора. При этом в уравнении Ланжевена появляется дополнительный член Р (х) =—с1и1ёх = —ах, линейный по смещению [c.50]

Рассматриваемая задача представляет значительно большую информацию о брауновском движении и гораздо богаче характерными временными параметрами (масштабами). Мы по-прежнему будем считать время корреляции Xf случайной силы самым малым из них (в частности, т/<Са>о ) и ограничиваться рассмотрением масштабов в которых случайная сила дельта-коррелиро- [c.51]

Случайный процесс, предназначенный специально для описания брауновского движения, получил название винеровского процесса по имени Н. Винера, внесшего значительный вклад в его теорию. [c.65]

Рассмотрим винеровский случайный процесс (см. 18), описывающий, пока для простоты, одномерное брауновское движение свободной частицы (многомерное обобщение этого подхода очевидно). Мы уже знаем, что условия и безусловная плотности вероятности удовлетворяют уравнениям Смолуховского (5.27) и Фоккера—Планка (5.39) (в данном случае — уравнению диффузии (5.47)), и нашли их решение (5.48). Обсудим, каким образом можно определить вероятность тех или иных траекторий х 1) бра-уновской частицы, начинающихся при =0 в точке хо. Для этого прежде всего разделим временной интервал (0, ) на п частей (например, равных At=t n) t =jAt и введем для каждого момента пространственные интервалы (aj, 6 ,). Теперь разобьем множество возможных траекторий частицы в зависимости от того, проходят ли они через эти ворота (или окна ) а <Х]<Ь , где, как и раньше, Xj = x(tj) (рис. 9). Вероятность реализации такого множества траекторий можно найти, интегрируя условную плотность вероятности [c.90]

Однако в общем случае приходится использовать методы теории возмущений для приближенного вычисления винеровских интегралов. Последние широко используются не только в теории брауновского движения, но и (с некоторыми изменениями) в квантовой статистической физике, в физике полимеров, в квантовой механике (фейнмановские интегралы по траекториям) и в ряде других областей физики и математики. [c.95]

В гл. V при рассмотрении временных корреляционных функций и их спектральных представлений (для брауновского движения и, в частности, на примере гармонического осциллятора) мы уже вводили функции Грина (запаздывающие) и их спектральные (частотные) представления (Фурье). Там же были получены для этого случая дисперсионные соотношения (Крамерса—Кронига), соотношения Грина—Кубо и флуктуационно-диссипационная теорема Кэллена—Вельтона. [c.164]

Математический аппарат статистической физики создан Гиббсом и опубликован в 1902 г. в его книге Основные принципы статистической механики [5]. Здесь впервые введено понятие классического ансамбля. В 1905—1906 гг. Эйнштейн и Смолу-ховский построили молекулярную теорию брауновского движения. [c.212]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...