Граничные условия в напряжениях перемещениях (геометрические)

Граничные условия в напряжениях (механические) 26 ---перемещениях (геометрические) 26 [c.532]

На рис. 5.3 показана типовая структурная схема расчета диска с помощью МКЭ. Выбор размеров сетки элементов влияет на точность решения. Уменьшая размер сетки в осесимметричной задаче, мы приближаемся к точному решению. Однако увеличение числа узлов резко увеличивает потребную память и время счета. Поэтому к выбору густоты сетки следует подходить рационально. В местах резких градиентов (изменений нагрузки, температурного поля, геометрических параметров) сетка должна быть более густой. Обычно используют следующий прием. Проводят расчет всего диска с достаточно крупной сеткой, а затем выделяют области, требующие уточненного расчета. На внутренней границе задают граничные условия (силы или перемещения), найденные из предыдущего общего решения. Такой прием используют для расчета в местах концентрации напряжений. Этот подход позволяет, в частности, сочетать МКЭ с другими более простыми ме- [c.164]

Этим требованиям удовлетворяет предложенный в работе [ 75 ] сингулярный элемент с аппроксимацией поля перемещений исходя из собственных функций для установившегося распространения трещины. В указанной работе выведен соответствующий вариационный принцип, позволяющий получить несимметричные конечно элементные уравнения движения, и предложена процедура перестроения сетки конечных элементов при распространении трещины. Достоинства введенного авторами элемента заключаются в том, что на берегах трещины точно удовлетворяются свободные граничные условия, в результате же решения системы уравнений движения определяются коэффициент интенсивности напряжений, а также его первая и вторая производные по времени (что представляет интерес при решении задач, в которых скорость распространения трещины непостоянна на каждом шаге по времени и определяется.из некоторого критерия). Кроме того, поскольку элемент основан на аппроксимации по достаточно большому числу собственных функций, он нечувствителен к изменению геометрических размеров. [c.77]

Известно, что при решении задачи в напряжениях, когда поперечное сечение тела является многосвязной областью, граничных условий оказывается недостаточно для определения произвольных постоянных. К ним необходимо добавить условия однозначности перемещений. Поперечное сечение замкнутой трубы является двухсвязной областью. Для составления условия однозначности перемещений подставим в формулы закона Гука для плоского напряженного состояния (18.5) геометрические соотношения (18.4). Тогда получим два уравнения [c.392]

Линейное пространство — частный случай аффинного пространства, т. е. пространства, которое вместе с любыми двумя точками X, у содержит всю проходящую через них прямую линию (множество ах +(1 — а)у. а — любое вещественное число). Линейное пространство отличается тем, что всегда содержит нулевой элемент. В книге встречаются пространства состояний, являющиеся лишь аффинными, например множество полей перемещений, удовлетворяющих неоднородным геометрическим граничным условиям (пространство, связанное с функционалом Лагранжа), или пространство напряжений, удовлетворяющих неоднородным уравнениям равновесия (па котором определен функционал Кастильяно). [c.204]

Из них в силу (13.6.8) вытекает, что, если на краю 71 сферической оболочки заданы два тангенциальных статических условия, то это эквивалентно заданию краевых значений комплексной функции напряжения на соответствующем контуре gi- Точно так же, если на краю сферической оболочки оба тангенциальные граничные условия — геометрические, то этим на gz определятся граничные значения комплексной функции перемещения g ( ). [c.267]

Книга состоит из 11 глав, Гл. 1 содержит сведения из геометрически нелинейной теории многослойных анизотропных оболочек типа Тимошенко построенной на основе независимых гипотез относительно характера распределения перемещений и поперечных касательных напряжений по толщине пакета. Путем использования смешанного вариационного принципа получены уравнения равновесия, граничные условия и интегральные соотношения упругости для поперечных касательных напряжений. В случае осесимметричной деформации многослойных анизотропных оболочек вращения выведена нормальная система десяти обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, которая в дальнейшем решается численно на ЭВМ. [c.4]

Таким образом, общий порядок расчета сводится к следующим вычислениям. Задаются геометрические параметры срединной поверхности оболочки в форме резной линейчатой поверхности Монжа, т. е. величины 0, а, оо, Ро (см. рис. 1.25). Исходя из конкретных требований, принимается внешняя распределенная нагрузка. Для случая действия собственного веса оболочки можно воспользоваться формулами (8.27). Затем находят общие решения однородных уравнений (8.26) и определяют частные решения (8.31), после чего вычисляют функцию напряжений Ф и функцию перемещений Ч " по формулам (8.18). Но выражения для определения Ф и F содержат 16 произвольных постоянных величин ai (по 8 в каждой функции) и два параметра Хп- Указанные постоянные величины находятся из граничных условий на контуре оболочки. [c.221]

Располагая вариационными уравнениями Лагранжа и Кастильяно, можем теперь дать вариационную постановку задачи теории упругости если задача решается в п е р е м е -щ е н и я X, то требуется найти такие перемещения и, которые непрерывны внутри тела, удовлетворяют геометрическим граничным условиям и минимизируют полную потенциальную энергию системы V если задача решается в напряже-н и я X, то требуется найти такие напряжения а, которые удовлетворяют уравнениям равновесия и статическим граничным условиям и минимизируют полную дополнительную энергию системы У, [c.43]

Как уже отмечалось, для решения системы сингулярных ИУ (И 1.9) граница тела представляется набором сегментов (в двумерном случае это могут быть отрезки прямых, дуги окружности и т. д.), на каждом из которых перемещения и усилия аппроксимируются каким-либо образом, например полиномиально. Для полиномов первой степени аппроксимация производится между величинами граничных перемещений и граничных усилий, расположенных в точках дискретизации. Вследствие этого вектор напряжений может быть не определен для случаев, когда существует разрыв в геометрических характеристиках или граничных условиях (разрывность внешней нормали, сосредоточенная сила, трещина и т. д.). [c.72]

Все уравнения МСС и граничные условия суть уравнения, связывающие между собой различные размерные величины Qt, среди них — геометрические и механические координаты и перемещения X, и=дс—X, время /, скорость V, ускорение лу, векторы базиса Э1, массовая Р и поверхностная Р > силы, напряжения физические 01/, компоненты тензора напряжений 5//, деформации е//, скорости деформаций Vi , работа Л, мощность R, кинетическая энергия К, различные механические константы среды — модуль упругости Е, коэффициент вязкости 1 и ряд других термодинамические температура 7, количество тепла Q, тепловой поток д, внутренняя и свободная энергия и, -ф, энтропия 5, рассеяние ш, коэффициенты теплоемкости с, теплопроводности X, расширения а и т. д. и величины р электромагнитной (Е, Н, в, о. е. . . ) и другой природы. [c.278]

Граничные условия. Статические (1.3), физические (1.6) и геометрические (1.11) соотношения образуют полную систему уравнений теории упругости анизотропного тела, содержащую 15 уравнений и столько же искомых функций — шесть напряжений, шесть относительных деформаций и три перемещения. Решение этой системы должно удовлетворять заданным граничным условиям, которые характеризуют условия закрепления и нагружения тела. Если на границе заданы перемещения, то найденные в результате решения перемещения приравниваются к заданным. Если на граничной поверхности задаются распределенные по этой поверхности нагрузки, то ставятся статические граничные условия [c.307]

Таким образом, используя изложенный выше вариационный принцип, мы приходим к уравнениям равновесия и граничным условиям, записанным непосредственно в перемещениях. Отсюда очевидно, что данный принцип заключает в себе, как следствие, соотношения между напряжениями и деформациями (9.2). Это закономерно, поскольку рассматриваемый вариационный принцип выбирает из всех мыслимых геометрически возможных перемещений и статически возможных напряжений только те, которые соответствуют равновесию упругого тела при заданных внешних силах и условиях закрепления. А эти последние перемещения и напряжения отличаются от всех прочих геометрически возможных перемещений и статически возможных напряжений именно тем, что они связаны между собою соотношениями (9.2), выражающими тот закон упругости, которому подчиняется материал тела. [c.136]

Таким образом, если в задачах, рассмотренных в гл. 2 в рамках линейной теории упругости, внешние напряжения полагать компонентами тензора Пиолы-Кирхгофа, то все уравнения и граничные условия сохраняются неизменными. Следовательно, неизменными сохраняются и решения этих задач, отвечающих теперь геометрически точной модели сплошной идеально упругой среды с указанной выше связью между напряжениями и градиентом перемещений. [c.79]

Для I варианта расчетной схемы задание граничных условий по перемещению полностью совпадает с I вариантом при определении температурных напряженнй. Для II варианта вместо всего пояса без учета отверстий нами рассматривалась его половина (учитывая геометрическую симметрию), но с отверстием под форсунку. Это позволяет проанализировать влияние отверстия на поворот координатной плоскости. При задании угла поворота нижней плоскости опорного фланца под действием сил давления газов также использовались данные, полученные при расчете этой втулки в осесимметричной постановке. [c.193]

ГД0 (Туо И Tvo — заданные на граничном срезе S внешние напряжения. Если на поверхности 2 заданы геометрические условия, то должны быть заданы перемещения и н v в функции координат линии С [c.444]

При использовании статико-геометрической аналогии в вариационной форме проявляется преимущество вариационных формулировок, охватывающих все стороны задачи и согласующих дифференциальные уравнения и граничные условия. В частности, эта форма содержит в себе аналогию между статическими и геометрическими граничными величинами, между геометрическими граничными условиями в перемещениях или деформациях и статическими — в функциях напряжений или усилиях, а также между сложными граничными условиями для односвязных и многосвяз-пых областей. [c.136]

Строгая математическая модель деформаций дЛя всей конструкции ЭМУ, состоящей из п тел, в соответствии с теорией упругости представляет совокупность п систем известных уравнений физических (закон Гука) для составляющих напряжений в точке, геометрических (условия совместности) для деформаций в точке от перемещений и статических (уравнения равновесия) для связи напряжений с проекциями объемных сил совместно со взаимосвязанными геометрическими и граничными условиями [3]. При этом предполагается, что нагрузки на элементы конструкции заданы. Это существенно, например, при рассмотрении температурных полей и деформаций и их взаимовлияршя. [c.120]

Приведенные выше определения мало помогают при фактическом вычислении эффективных модулей, хотя они и полезны для нахождения их верхних и нижних границ (см., например, Хашин и Розен [6]). Несколько иное определение (Адамс и До-нер [1]) можно дать следующим образом. Предположим, что распределение деформаций и напряжений одинаково во всех ТИ1ТИЧНЫХ геометрических элементах неоднородной среды. Далее, предположим, что на поверхностях раздела между смежными элементами удовлетворяются условия непрерывности поверхностных сил и перемещений. Тогда эффективные модули определяются равенствами (5), где усреднение можно, очевидно, проводить по объему типичного элемента. В качестве примера рассмотрим граничные условия для типичного элемента в виде квадрата, удобные для вычисления эффективных модулей растяжения, связывающих усредненные по объему нормальные напряжения и деформации. Для этой цели достаточно рассмотреть класс граничных задач о так называемом обобщенном плоском деформированном состоянии, при котором компоненты тензоров напряжений и деформаций являются функциями только Xi и Х2, а S33 постоянна. Задаются следующие граничные условия (см. рис. 2) [c.19]

Сравнение полученных результатов с точным решением показывает, что использование сложных конечных элементов значительно повышает точность расчетов при одном и том же числе степенен свободы (числе узлов). Так, в вариантах задачи (д) и (е) по 8 узлов, по 16 степеней свободы, по 3 граничных условия и одному условию нагружения, однако для случая (е) мы имеем только один восьмиузловой изопараметрический элемент по сравнению с шестью треугольными регулярными для случая (В) и соответственно меньшее количество входной информации по связям в конечных элементах. Вместе с тем точность результатов для случая (е) на 50 % выше. Особенно это важно, если конструкция имеет криволинейную поверхность, так как при разбиении на конечные элементы с прямолинейными сторонами обычно требуется большое число элементов для моделирования геометрических характеристик конструкции без существенного улучшения в описании полей напряжений и перемещений. Поэтому представление конструкции с помощью криволинейных элементов позволяет сохранить требуемую точность решения, уменьшить затраты па описание геометрии. [c.51]

Рассматриваемое неоднородное анизотропное упругое тело. чанимает объем V, ограниченный поверхностью S с внешней нормалью п. Всюду в объеме V задан вектор объемных сил F, а на поверхности S заданы некоторые компоненты вектора поверхностных сил (напряжений) / и дополнительные компоненты вектора перемещений и. Будем различать статические и геометрические граничные условия, смотря по тому, будут ли они касаться поверхностных сил или перемещений. Краткие сведения и пояснения по используемой тензорной форме записи уравнений и функционалов см. в Приложении 2. [c.50]

Для построения расчетных схем, основанных на МКЭ, могут быть пспользованы различные функционалы для разрывных полей перемещений, напряжений и т. д. (см. гл. 3 б и гл. 4 6), а в более сложных случаях — комплекс полных и частных функционалов для многоконтактных задач [4.1]. Особый интерес представляют функционалы граничных условий, которые могут быть использованы как в варианте МКЭ, основанном на методе Ритца, так и в варианте, основанном на аппроксимации функционала. Первый представляет интерес для энергетических оценок погрешности он может быть реализован при достаточно простых законах распределения упругих констант и нагрузок в области, таких, что все уравнения (геометрические, физические, статические) внутри конечного элемента могут быть выполнены за счет выбора аппроксимирующих функций это возможно, например, для однородного анизотропного тела при отсутствии объемных сил. Задача о стационарном значении функционала граничных условий служит для приближенного выполнения граничных условий и условий контакта между элементами. [c.172]

Этот метод является обобщением метода Галеркииа, в котором требуется, чтобы приближенные выражения для перемещений (1.34) выбирались ие только удовлетворяющими геометрическим граничным условиям на Sj, но также с учетом уравнений, выражающих напряжения через перемещения, и механическим граничным условиям на Si (метод Галеркина см., например, в [5, 7—11]). [c.31]

В этом параграфе будут рас смотрены обобщения принципа ми нимума потенциальной энергии Сначала напомним рассуждения которые привели к выводу прин ципа минимума потенциальной энергии из принципа виртуальной работы. Мы предполагали (1) можно вывести положительно определенную функцию состояния Л (е, ty, Уху) из соотношений между деформациями и напряжениями (2) компоненты деформаций удовлетворяют уравнениям совместности, т. е. их можно вычислить по формулам (1,5) из и, V, w (3) компоненты перемещений ы, v, w определены так, чтобы удовлетворялись геометрические граничные условия (1.14) (4) объемные и поверхностные нагрузки должны выводиться из потенциальных функций Ф и Ч по формулам (2.10) и (2.11). Если принять эти предположения, то, согласно принципу минимума потенциальной энергии, действительные деформации могут быть получены из условий минимума функционала П, определенного по формуле (2.12). [c.54]

В главе строится нелинейная теория жесткогибких оболочек без использования гипотез Кирхгофа. Ее главное отличие от квази-кирхгофовской теории (гл. 3) и теории типа Тимошенко-Рейсснера (гл. 9) заключается в учете вариаций параметров поперечного обжатия Статическая гипотеза заменяется известным приемом подчинения нормальных поперечных напряжений граничным условиям на лицевых поверхностях оболочки. Поперечные сдвиги учитываются по линейной теории, что естественно для тонких жесткогибких оболочек. Показано, что в граничном вариационном уравнении Лагранжа независимыми являются вариации, вообще говоря, шести геометрических величин — компонент вектора перемещения и их производных по тангенциальной нормали к граничному контуру. Как частный случай получены уравнения уточненной теории пологих оболочек. На примере показано, что слагаемые, связанные с вариациями параметров А , могут иметь принципиальное значение для контактных задач со свободной границей. [c.232]

Следует отметить, что решение уравнений для компонент напряжений, деформаций и перемещений может быть найдено в аналитической форме лишь для тел несложной геометрической формы при упрощенных граничных условиях и регулярном распределении температуры. Именно такие условия часто реализуются в лазерной технике. Обычный для лазерных элементов характер температурного распределения (зависимость Т лишь от одной координаты) позволяет существенно упростить решение задачи термоупругости, введя приближения плоскодеформиро-ванного или плосконапряженного состояния. Боковая и торцовая поверхности активных элементов обычно свободны, и компоненты поверхностных сил в выражениях для граничных условий можно положить равными нулю [9]. [c.24]

Пусть В цилиндрической системе координат г,(р,г) задан цилиндр г К, г Ь из нелинейного упругого изотропного материала. Цилиндр предварительно подвергнут однородному осевому растяжению или сжатию и закреплен торцами между гладкими жесткими поверхностями таким образом, что отсутствуют нормальные перемещения и касательные напряжения. На описанную деформацию, которая считается конечной, накладывается малая осесимметричная деформация, вызванная внедрением в поверхность цилиндра при 2 а жесткого бандажа. Трение между цилиндром и бандажом отсутствует, а бандаж имеет радиус К-6, (5 > 0. В работе [47] для добавочной деформации получены линеаризованные уравнения и выписаны соответствующие граничные условия. Известным приемом полученная краевая задача была сведена к парному ряду-уравнению вида (33), в котором nQ = 0, К2 = К, а К(и) — известная функция [47]. Решение парного ряда, как и в предыдущей задаче, было получено путем сведения его к БСЛАУ первого рода с сингулярной матрицей. Был проведен расчет контактных напряжений и жесткости системы штамп — цилиндр Р для материала Муни. Анализ расчетов показывает, что с увеличением параметра предварительного напряжения в сторону растяжения жесткость Р увеличивается. Существует также такое сочетание геометрических параметров, при которых жесткость Р возрастает и с увеличением предварительного сжатия (с уменьшением Л при Л < 1). [c.170]

Метод асимптотического интегрирования обобш ен также для вывода уравнений динамики пластинок при больших перемещениях (Л. Я. Айнола, 1965, 1966). Результаты показывают, что известные уравнения мембранной теории Кармана, линейной теории изгиба с плоским напряженным состоянием и чисто линейной теории являются при определенных условиях нагрузки асимптотическими приближениями уравнений геометрически нелинейной теории упругости. Указанные выше исследования должны представлять интерес в отношении методики — уравнения движения и граничные условия выводятся из требования, чтобы вариация соответствующего функционала равнялась нулю с требуемой асимптотической точностью. [c.264]

Излагается вывод геометрически нелинейных дифференциальных уравнений в перемещениях для конической оболочки в рамках теории, базирующейся на гипотезах Кирхгофа—Лява. Вариационным методом Власова—Канторовича система нелинейных дифс )еренциальных уравнений в частных производных сводится к обыкновенным. Далее обыкновенные нелинейные дифференциальные уравнения методом конечных разностей сводятся к системе алгебраических нелинейных уравнений. Приводятся результаты численных расчетов для напряжений, перемещений и нагрузок нри некоторых типах граничных условий. Ил. 7, список лит. 3 назв. [c.328]

Не повторяя подробно весь алгоритм расчета, отметим здесь лишь основные его этапы, а также укажем на некоторые исходные предпосылки и особенности задания граничных условий. Сжатие резинового бурта оболочки происходит при сближении двух жестких штампов. Предполагается, что весь объем деформируемого в узле зашемления материала может смещаться лишь в направлении от оси муфты. Возникающие при этом силы трения подчиняются закону Кулона. Напряженное состояние бурта оболочки при сближении штампов рассматривается как осесимметричное при этом матрицы жесткости кольцевых конечных элементов, на которые в процессе решения задачи разбивается бурт оболочки, определяются согласно зависимости (1.25). В общем случае поверхности штампов (фланца полумуфты и прижимного кольца) могут иметь конфигурацию, отличную от ответных поверхностей бурта оболочки. При проведении расчетов задача о нагружении бурта оболочки решалась методом сил, поскольку он обеспечивает большую точность, чем метод перемещений, хотя алгоритм расчета в этом случае оказывается более сложным. Процесс нагружения бурта оболочки во избежание ошибок, связанных с проявлением эффектов конструкционной и геометрической нелинейностей, разбивался на ряд последовательных шагов. В пределах каждого шага с помощью итерационной процедуры устанавливались величины и характер распределения нормальных и касательных сил на контактной поверхности бурта. Суть итерационной процедуры состоит в следующем. Задается шаговое сближение штампов путем задания новых значений координат точек поверхности штампов, а также начальная система распределенных нормальных и касательных сил, которая в каждой узловой точке на поверхности контакта бурта дает составляющие Fri и F i (рис. 5.2). [c.107]

Предлагаемая вниманию читателей книга освещает различные методы решения задач механики деформируемого твердого тела. Для иллюстрации возможностей методов выбраны задачи статики, динамики и устойчивости стержневых и пластинчатых систем, т.е. задачи сопротивления материалов, строительной механики и теории упругости, имеющих важное практическое и методологическое значения. Каждая задача механики деформируемого твердого тела содержит в себе три стороны 1. Статическая - рассматривает равновесие тела или конструкпди 2. Геометрическая - рассматривает связь между перемещениями и деформациями точек тела 3. Физическая -описывает связь между деформациями и напряжениями. Объединение этих сторон позволяет составить дифференциальное уравнение задачи. Далее нужно применить методы математики, которые разделяются на аналитические и численные. Большим преимуществом аналитических методов является то, что мы имеем точный и достоверный результат решения задачи. Применение численных методов приводит к получению просто результата и нужно еще доказывать его достоверность и оценивать величину погрепшости. К сожалению, до настоящего времени получено весьма мало точных аналитических решений задач механики деформируемого твердого тела и других наук. Поэтому приходится применять численные методы. Наличие весьма мощной компьютерной техники и развитого программного обеспечения практически обеспечивает решение любой задачи любой науки. В этой связи большую популярность и распространение приобрел универсальный численный метод конечных элементов (МКЭ). Применительно к стержневым системам алгоритм МКЭ в форме метода перемещений представлен во 2, 3 и 4 главах книги. Больпшми возможностями обладает также универсальный численный метод конечных разностей (МКР), который начал развиваться раньше МКЭ. Оба этих метода по праву занимают ведущие места в арсенале исследований. Большой опыт их применения выявил как преимущества, так и очевидные недостатки. Например, МКР обладает недостаточной устойчивостью численных операций, что сказывается на точности результатов при некоторых краевых условиях. МКЭ хуже, чем хотелось бы, решает задачи на определение спектров частот собственных колебаний и критических сил потери устойчивости. Эти и другие недостатки различных методов способствовали созданию и бурному развитию принццпиально нового метода решения дифференциальных уравнений задач механики и других наук. Метод получил название метод граничных элементов (МГЭ). В отличии от МКР, где используется конечно-разностная аппроксимация дифференциальных операторов, в МГЭ основой являются интегральное уравнение задачи и его фундаментальные решения. В отличие от МКЭ, где вся область объекта разбивается на конечные элементы, в МГЭ дискретизации подлежит лишь граница объекта. На границе объекта из системы линейных алгебраических уравнений определяются необходимые параметры, а состояние во [c.6]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...