Сингулярная матрица

Ввиду линейной зависимости строк сингулярной матрицы размерностей, при составлении уравнений для показателей степени Xj достаточно учитывать лишь т ее строк. В нашем примере г = 2 и система уравнений для показателей Xj (/ = 1, 5) имеет вид [c.28]

Сведение парного ряда-уравнения общего вида к бесконечной системе первого рода с сингулярной матрицей. Ниже будет приведен метод сведения широкого класса таких парных рядов-уравнений к бесконечным системам линейных алгебраических уравнений первого рода с сингулярной матрицей и некоторые подходы к исследованию таких систем [40, 310, 311, 336]. Аналогично могут быть рассмотрены и тройные ряды-уравнения. [c.28]

Таким образом решение парных рядов-уравнений (1.1) сводится к решению систем бесконечных линейных алгебраических уравнений (1.6)-(1.8) с сингулярной матрицей коэффициентов. Заметим, что в работах [50-53] и др. использован другой подход сведения отдельных интегральных уравнений, эквивалентных парным уравнениям типа (1.1), к системам линейных алгебраических уравнений такого же вида. [c.30]

Метод решения бесконечной системы первого рода путем сведения к конечной системе первого рода. В этом разделе излагается другой подход (см., например, [133, 177, 305, 319] и др.) к решению бесконечных систем линейных алгебраических уравнений первого рода с сингулярной матрицей коэффициентов (1.6). Метод основан на знании характера поведения решения систем при больших номерах, что может быть определено из анализа поведения решения исходных задач в особых точках. Это позволяет свести бесконечную систему к эффективно решаемой конечной системе. Метод не требует факторизации функций, позволяет найти главный член решения бесконечных систем и, вместе с этим, найти в явном виде особенности решений задач в точках смены граничных условий. Предлагаемый подход практически не накладывает ограничений на параметры задач, а численная его реализация не требует больших затрат времени ПК. [c.33]

Такая задача отражает все особенности других более сложных задач, если для их решения использовать метод сведения парных рядов к бесконечным системам с сингулярной матрицей. [c.34]

Для решения поставленных задач используем метод сведения парных рядов к бесконечным системам первого рода с сингулярной матрицей коэффициентов и метод однородных решений. [c.52]

Числовые результаты хорошо согласуются с результатами, полученными выше методом сведения парных рядов к бесконечным системам первого рода с сингулярной матрицей. [c.67]

Известно, что Ут, l ml (Тт 7 < ш) при гп ОО, тогда, учитывая асимптотическое представление Кп х) и 1п х) при х оо, систему (2.62) можно регуляризовать путем выделения и обращения бесконечной сингулярной матрицы Е с элементами (1.9). [c.69]

Задача приведена к парному ряду-уравнению, решение которого сводится к бесконечной системе линейных алгебраических уравнений с сингулярной матрицей. Излагается метод решения этой системы. Для некоторых распространенных моделей резиноподобных материалов вычислены контактные напряжения и жесткость цилиндра в зависимости от степени предварительного бокового сжатия или растяжения, а также геометрических параметров — цилиндра. 211 [c.79]

Здесь для решения парного ряда (2.104)-(2.105) использован метод (см. 1.2) сведения его к исследованию бесконечной системы линейных алгебраических уравнений первого рода с сингулярной матрицей коэффициентов вида (2.62). [c.82]

Решение парного ряда-уравнения (2.118) так же, как и парного ряда-уравнения (1.1), может быть получено методом сведения его к исследованию бесконечной системы линейных алгебраических уравнений первого рода с сингулярной матрицей коэффициентов (1.6). [c.89]

Для решения парного ряда-уравнения воспользуемся также методом сведения его к бесконечной системе линейных алгебраических уравнений первого рода с сингулярной матрицей. Функция К и) из парного ряда обладает необходимыми для этого свойствами. Для преодоления в дальнейшем трудностей, связанных с факторизацией функции К и), аппроксимируем ее на действительной оси функцией (1.13) при В = А. [c.94]

Для описания свойств упругого тела используется модель нелинейного несжимаемого изотропного материала [343]. Задача приведена к парному ряду-уравнению по тригонометрическим функциям, для решения которого используется метод сведения его к бесконечной системе алгебраических уравнений с сингулярной матрицей. После регуляризации найдено решение системы и проведен числовой анализ поставленной задачи в зависимости от различных параметров задачи [292. [c.111]

В этом параграфе в полярной системе координат методом сведения парных рядов-уравнений к бесконечным системам линейных алгебраических уравнений с сингулярной матрицей и методом однородных решений исследован ряд контактных задач для кольцевого сектора, кольца и усеченного клина. [c.118]

Рассмотрим плоскую статическую задачу теории упругости о вдавливании без трения штампа в цилиндрическую поверхность кольцевого сектора. Предполагается, что штамп расположен несимметрично, остальные границы сектора взаимодействуют с гладкими неподвижными поверхностями [189]. Задача исследуется путем сведения полученных тройных рядов-уравнений к бесконечной системе линейных алгебраических уравнений первого рода с сингулярной матрицей (см. 1.2). После обраш,ения главной части получена система второго рода, ре- [c.118]

Предлагаемая схема опирается на работы [80, 81]. Решение исходной задачи представляется в виде суперпозиции решений более простых задач для кольца, которые эквивалентны соответствующим задачам для сектора кольца с одним или несколькими штампами с известными условиями на торцах и могут быть сведены к парным (тройным и т.д.) рядам-уравнениям и далее к бесконечным системам линейных алгебраических уравнений первого рода с сингулярной матрицей. Последние урезаются специальным образом с учетом асимптотического поведения их решения [305, 319] и решаются любым прямым методом. Приводятся результаты численной реализации решения задачи с четырьмя штампами, когда три штампа неподвижны, а перемещение четвертого задано. Исследована зависимость величин контактных напряжении, сил и моментов для каждого штампа в зависимости от параметров задачи. Периодические контактные задачи для кольца рассматривались в работах [66, 98, 187, 280] и др. [c.131]

Решение ряда-уравнения (3.116) будем разыскивать методом сведения его к бесконечной системе линейных алгебраических уравнений с сингулярной матрицей, изложенным в 1.2. Система в этом случае имеет вид [c.134]

Для решения парного уравнения (4.43) воспользуемся методом сведения его к бесконечной системе линейных алгебраических уравнений с сингулярной матрицей коэффициентов (см. 1.2). [c.168]

Полученный на основе этих аппроксимаций элемент является распространением на случай слабо искривленных оболочек простей-иего изгибного элемента пластины и обладает рядом существенных недостатков, а именно несовместен, для некоторых видов треу -гольников имеет сингулярную матрицу связи[А] (1.59) [22J, никоим образом не учитывает особенности еханики оболочек. [c.51]

Реализация этой схемы несколько проще, чем для первоначель-ного варианта, но опасность получении сингулярной матрицы [c.123]

Большое внимание в монографии уделено разработке новых и развитию известных аналитических и численно-аналитических методов перечисленных выше задач. Основными из них являются 1) метод сведения парных интегральных уравнений (ИУ) и парных рядов-урав-нений к бесконечным системам линейных алгебраических уравнений (БСЛАУ) первого рода с сингулярной матрицей специальный способ решения этих систем 2) метод однородных решений применительно к телам конечных размеров канонической и неканонической формы 3) метод сведения парных интегральных уравнений к ИУ 1-го и 2-го рода с разностным ядром 4) метод больших Л, построение всех членов разложения с помощью алгебраических рекуррентных соотношений [c.13]

В 1.2 излагается метод решения парных рядов-уравнений, к которым сводятся некоторые рассмотренные в монографии задачи, путем сведения их к БСЛАУ первого рода с сингулярной матрицей коэффициентов. Излагается также два подхода получения приближенного реше- [c.13]

Глава 2 посвящена решению осесимметричных контактных задач для цилиндрических тел конечных размеров канонической формы, когда штамп воздействует на плоскую или цилиндрическую части их границы. Для решения задач применяется метод сведения парных рядов-уравнений к БСЛАУ первого рода с сингулярной матрицей с последующей регуляризацией (п. 1.2.1) и метод однородных решений. Метод однородных решений позволяет свести задачи к решению БСЛАУ второго рода типа Пуанкаре-Коха с экспоненциально убывающими элементами матрицы и правой части и хорошо изученным ИУ для слоя с различными правыми частями. Как известно, решение таких бесконечных систем может быть получено при любых значениях параметров методом редукции. [c.14]

Глава 3 посвяшена исследованию контактных задач для упругих тел канонической формы, имеющих в сечении форму четырехугольников в декартовой или полярной системах координат. Для решения этих задач будут использованы метод сведения парных рядов-уравнений к БСЛАУ первого рода с сингулярной матрицей коэффициентов, метод однородных решений и асимптотический метод больших Л. [c.15]

В 3.1 в декартовой системе координат рассмотрены контактные задачи Q, Q2 и Q3 для прямоугольника о вертикальном воздействии штампа без трения на одну из его граней, смежные грани находятся в условиях скользящей заделки. В задачах Q и Q2 противоположная грань соответственно лежит без трения на жестком основании или жестко защемлена, а штамп расположен симметрично. Эти задачи исследуются с помощью методов сведения парных рядов-уравне-ний к БСЛАУ первого рода с сингулярной матрицей коэффициентов и асимптотическим методом больших Л. В задаче Q3 штамп расположен несимметрично и для исследования использован метод однородных решений. Произведен расчет контактных напряжений и жесткости системы штамп-прямоугольник. Здесь также как и для задачи Сз обнаружена аналогичная немонотонная зависимость жесткости системы штамп-прямоугольник относительного расстояния боковой грани от края штампа, при этом немонотонность более ярко выражена при больших значениях коэффициента Пуассона. Также показано, что влияние боковой грани затухает обратно пропорционально величине этого расстояния для задачи Q и по экспоненциальному закону для задачи Q2. [c.15]

В 3.2 рассмотрена задача Q4 для предварительно напряженного прямоугольника методом сведения парных рядов-уравнений к БСЛАУ первого рода с сингулярной матрицей коэффициентов. Граничные условия для добавочного напряженно-деформированного состояния такие же, как и в задаче Q[. Для решения БСЛАУ использовался метод ре- [c.15]

Методом сведения парных рядов-уравнений к БСЛАУ первого рода с сингулярной матрицей коэффициентов рассмотрена задача Qs для кольцевого сектора, когда штамп несимметрично вдавливается в цилиндрическую поверхность. По постановке задача аналогична задаче (5з для прямоугольника. Методом однородных решений исследована аналогичная симметричная задача Qe для кольцевого сектора. Произведен расчет контактных напряжений и жесткости системы штамп-кол ьцевой сектор. Здесь также, как и для задач (7з, Q и Q2, обнаружена аналогичная немонотонная зависимость жесткости системы штамп-прямоугольник от относительного расстояния боковой грани от края штампа. Кроме того для задачи Qs показано, что возможно такое несимметричное расположение штампа, когда момент контактных напряжений под штампом будет равен нулю. [c.16]

Рассмотрена также обобшенно-периодическая контактная задача Qj для кольца, когда на ее внешней поверхности периодически расположено несколько штампов и при этом один из штампов перемешается в направлении радиуса к центру кольца, а другие неподвижны. Для решения такой задачи используется подход М. Л. Бурышкина. Согласно этому подходу задача сводится к ряду периодических задач типа Qe, которые решаются методом сведения парного ряда-уравнения к БСЛАУ первого рода с сингулярной матрицей коэффициентов. Подробно исследован случай четырех штампов. Произведен под каждым штампом расчет контактных напряжений, вектора и момента контактных напряжений. [c.16]

Проведено исследование двух контактных задач Qg и Qg для тонкого кольцевого слоя о взаимодействии с его внутренней поверхностью штампа в форме цилиндра близкого радиуса. Рассматриваются случаи, когда внешняя поверхность закреплена или взаимодействует с гладкой жесткой обоймой. Такие задачи хорошо моделируют работу цилиндрического подшипника. Для решения задач используется метод сведения парных рядов к БСЛАУ с сингулярной матрицей с после-дуюшим получением их асимптотического решения при относительно малых толшинах кольцевого слоя. [c.16]

В 4.2 рассматривается задача теории упругости 5з о взаимодействии шара с внутренней поверхностью сферического упругого слоя, внешняя поверхность которого жестко закреплена. Такая задача достаточно хорошо моделирует работу сферического самосмазывающего подшипника, особенно при нагрузках, когда размер площадки контакта соизмерим с шириной подшипника. Для решения используется метод сведения парного ряда-уравнения к БСЛАУ первого рода с сингулярной матрицей коэффициентов. Предполагая, что толщина слоя мала, а радиусы шара и внутренней сферы слоя близки, получено асимптотическое решение БСЛАУ. В результате получены простые удобные для инженерных расчетов формулы для контактных напряжений, размера области контакта и жесткости системы штамп-сферический слой. [c.17]

Рассмотрим парное уравнение (2.37), эквивалентное уравнению (2.34), и получим его решение методом сведения к бесконечной системе линейных алгебраических уравнений с сингулярной матрицей [41]. В качестве решения последней возьмем главный член его асимптотики при малых Л [56. [c.63]

Для решения уравнения (3.71) используем метод, основанный на сведении его к бесконечным системам линейных алгебраических уравнений первого рода с сингулярной матрицей (см. 1.2). Предположим, что перемещение штампа и его форма задаются соотношением 6 (р) = = (5 os( , 5 = onst). Тогда, решив уравнение (3.71) с правой частью [c.121]

Для получения решения парного ряда ((3.132) используем метод сведения его к бесконечной системе линейных алгебраических уравнений (БСЛАУ) с сингулярной матрицей коэффициентов [19], который в сочетании со специальным методом решения получаемой БСЛАУ [305] позволяет исследовать задачи при любых значениях их параметров. Вместе с тем метод позволяет получить достаточно простое асимптотическое решение при относительно малых толщинах кольцевого слоя. [c.142]

Разработаны и развиты аналитические методы решения парных рядов-уравнений, связанных с разложениями, порождаемыми соответствующими задачами Штурма-Лиувилля, путем сведения их к ИУ с разностным ядром или к БСЛАУ с сингулярной матрицей. Развиты некоторые методы решения полученных ИУ и бесконечных систем первого и второго рода. Получено точное решения одного важного класса ИУ, к которым сводятся некоторые плоские контактные задачи для канонических тел конечных размеров. [c.263]

К настояш,ему времени имеется довольно большой спектр аналитических и полуаналитических методов решения рассматриваемых в этом параграфе задач [3,4,11,12]. Среди них наибольшее распространение получили такие методы, как метод однородных решений [1, 5, 14, 57, 59, 60], метод сведения парных рядов-уравнений к интегральным уравнениям [44, 45], метод сведения парных рядов-уравнений и интегральных зфавнений с сумматорными ядрами к бесконечным системам линейных алгебраических уравнений (БСЛАУ) первого рода с сингулярной матрицей [2, 13, 25, 60], метод кусочно-однородных решений [41], метод сечений [26], вариационные методы [19-22, 24] и др. [c.157]

Для решения этой и аналогичных задач было использовано несколько методов, которые в совокупности позволяют полностью провести исследования на всем диапазоне изменения параметров. Был разработан метод, заключающийся в сведении парных рядов-уравнений к БСЛАУ первого рода с сингулярной матрицей коэффициентов [13,61]. Поставленная выше задача может быть сведена к исследованию следующего парного ряда-уравнения, который выпишем здесь в более общем виде [c.158]

Отметим, что в работах [13, 57] и др. также рассматривалась осесимметричная задача о кручении штампом кругового цилиндра конечных размеров (задача 4). Штамп жестко сцеплен с одной плоской гранью цилиндра, другая его плоская грань неподвижна, а на цилиндрической поверхности заданы условия отсутствия перемещ,ений или напряжений. Для исследования были использованы изложенные выше методы метод сведения парного ряда к БСЛАУ первого рода с сингулярной матрицей коэффициентов и метод однородных решений. Эти задачи имеют самостоятельный интерес и в то же время их можно рассматривать как модельные для проверки эффективности предложенных методов. Расчеты показали высокую эффективность предложенных методов и в совокупности позволили полностью их исследовать при всех значениях параметров. [c.167]

В (33) функция К (и) обладает всеми необходимыми свойствами, позволяющими парный ряд-уравнение свести, как это было сделано для парного ряда-уравнения (1), к БСЛАУ первого рода с сингулярной матрицей коэффициентов. Эта система обладает теми же свойствами, что и система [c.169]

Пусть В цилиндрической системе координат г,(р,г) задан цилиндр г К, г Ь из нелинейного упругого изотропного материала. Цилиндр предварительно подвергнут однородному осевому растяжению или сжатию и закреплен торцами между гладкими жесткими поверхностями таким образом, что отсутствуют нормальные перемещения и касательные напряжения. На описанную деформацию, которая считается конечной, накладывается малая осесимметричная деформация, вызванная внедрением в поверхность цилиндра при 2 а жесткого бандажа. Трение между цилиндром и бандажом отсутствует, а бандаж имеет радиус К-6, (5 > 0. В работе [47] для добавочной деформации получены линеаризованные уравнения и выписаны соответствующие граничные условия. Известным приемом полученная краевая задача была сведена к парному ряду-уравнению вида (33), в котором nQ = 0, К2 = К, а К(и) — известная функция [47]. Решение парного ряда, как и в предыдущей задаче, было получено путем сведения его к БСЛАУ первого рода с сингулярной матрицей. Был проведен расчет контактных напряжений и жесткости системы штамп — цилиндр Р для материала Муни. Анализ расчетов показывает, что с увеличением параметра предварительного напряжения в сторону растяжения жесткость Р увеличивается. Существует также такое сочетание геометрических параметров, при которых жесткость Р возрастает и с увеличением предварительного сжатия (с уменьшением Л при Л < 1). [c.170]

Для решения этой задачи использовался метод однородных решений (см. сноску на с. 157), схема которого изложена в п. 1.3. В случае симметрии, когда Ъ = с, использовался метод сведения парных рядов-уравнений к БСЛАУ первого рода с сингулярной матрицей (см. п. 1.2), а в работе [37] для решения задач в случае Ь = с использовался метод больших Л . [c.171]

На смежных гранях прямоугольника заданы условия отсутствия нормальных перемещений и касательных напряжений. Для описания свойств упругого тела используется модель нелинейного несжимаемого материала [70]. Как это было сделано в задачах 6 и 8 для предварительно напряженных цилиндров, здесь задача сведена к парному ряду-уравнению по тригонометрическим функциям, для решения которого также используется метод сведения его к БСЛАУ с сингулярной матрицей. После регуляризации системы найдено ее решение и проведен численный анализ задачи в зависимости от ее параметров. Расчеты проводились для материалов Муни и Бартенева-Хазановича и отражены в таблицах и графиках [46]. [c.173]

В работах [14, 34, 35, 66] рассмотрен ряд плоских и антиплоских контактных задач для кольцевого сектора, для решения которых были использованы метод однородных решений [14, 66] и метод сведения парных или тройных рядов-уравнений к БСЛАУ с сингулярной матрицей [34, 35]. [c.173]

Предложенная схема опирается на работу [23]. Решение исходной задачи представляется в виде суперпозиции решений более простых задач для кольца, которые эквивалентны некоторым задачам для сектора кольца типа рассмотренных выше. Здесь эти задачи также сводятся к парным (тройным и т.д.) рядам-уравнениям и далее к БСЛАУ первого рода с сингулярной матрицей. Последние урезаются специальным образом с учетом асимптотического поведения их решения [53] и решаются любым прямым методом. Приводятся результаты численной реализации задачи с четырьмя штампами, когда три штампа неподвижны, а перемещение четвертого известно. [c.174]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...